Die Regressionsanalyse ist eine äußerst vielseitig anwendbare und daher bedeutende statistische Methodik. Sie ndet neben der Ökonomie in zahlreichen anderen
Wissenschaftsgebieten wie etwa der Soziologie und Psychologie, der Politologie
aber auch in der experimentellen Forschung der naturwissenschaftlichen Disziplinen Verwendung (Gruber, 1997, S. 3). Regressionsmodelle dienen ganz allgemein zur Untersuchung von Beziehungen, die zwischen irgendwelchen beobachtbaren Größen bestehen bzw. bestehen können. Es wird eine Masse an Daten gebraucht, um die Existenz der vermuteten Zusammenhänge zwischen den Variablen nachzuweisen. Dabei wird auf Einzelphänomene in der Datenmasse keine Rücksicht oder Bezug genommen. Im Gegensatz zur Korrelationsanalyse, welche die Stärke des Zusammenhangs zweier Variablen erfaßt ohne eine Aussage bzgl. einer Wirkungsrichtung zu treffen baut die Regressionsanalyse auf der Annahme über eine einseitig funktionale Beziehung auf, deren Herleitung es in der Praxis sachlogischer Überlegungen bedarf (Fahrmeier, 1999, S. 152). Ein sogenanntes ökonometrisches Modell ergibt sic somit durch die wirtschaftstheoretische Fundierung eines rein formalen Regressionsmodells (vgl. Gruber (1997, S. 2 f.)) oder anders herum gesehen durch die Ausstattung eines Theoriegerüstes ökonomischer Kausalbeziehungen mit diversen stochastischen Prämissen (vgl. Judge (1988, S. 175)). Die Arbeit widmet sich dem Fall der verallgemeinerten, multiplen Regression.
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Tabellenverzeichnis
Abkürzungsverzeichnis
Symbolverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Problemstellung
1.2 Struktur der vorliegenden Arbeit
1.3 Zielsetzung
2 Spezi kation der restriktionsfreien Modelle
2.1 Das multiple lineare Regressionsmodell
2.1.1 Skizzierung des Regressionsmodells
2.1.2 Varianz-Kovarianz-Matrix versus Mittlerer Quadratischer Fehler-Matrix
2.1.3 Das klassische lineare Regressionsmodell .
2.2 Punktschätzung der unbekannten Parameter
2.2.1 Die Kleinst-Quadrate-Methode
2.2.2 Die Maximum-Likelihood-Methode
2.3 Veranschaulichende Beispiele
2.3.1 Beispiel mit zwei unabhängigen Variablen
2.3.2 Beispiel mit einer unabhängigen Variablen
3 Regressionsmodelle mit linearen Parameterrestriktionen
3.1 Restriktionen in Gleichungsform
3.1.1 Die restringierten Schätzer
3.1.2 Die Varianz-Kovarianz-Matrix
3.1.3 Konsequenzen inkorrekter Bedingungen
3.1.4 Der RLSE bei Verletzung der Rangbedingungen .
3.1.5 Beispiel aus der Mikroökonomik
3.2 Restriktionen in Ungleichungsform
3.2.1 Die Optimalitätsbedingungen
3.2.2 Spezialfälle für eine geschlossene Lösung
3.2.3 Ansätze für eine geschlossene Form
3.2.4 Asymptotische Eigenschaften des ICLSE
3.2.5 Beispiele: Lösungsvergleich Kuhn-Tucker versus geschlossene Form
3.2.6 Der zweistu ge Ansatz
3.3 Stochastische Restriktionen
3.3.1 Der Mixed Estimator
3.3.2 Die Varianz-Kovarianz-Matrix
3.3.3 Spezialfälle
3.4 Mischformen
3.5 Der Pretest Schätzer
4 Multikollinearität
4.1 Exakte Multikollinearität
4.1.1 Beispiel
4.2 Beinahe Multikollinearität
4.2.1 Beispiel
5 Fazit
Literaturverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
2.1 geschtzte Nachfragefunktion
3.1 Einfache Regression mit PR
4.1 Exakte Kollinearitt .
4.2 Beinahe Kollinearitt
Tabellenverzeichnis
3.1 Datentabelle fr Beispiel 3.1.536
3.2 Datentabelle zu Beispiel
3.3 Datentabelle zu Beispiel
Abkrzungsverzeichnis
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Symbolverzeichnis
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Kapitel 1 Einleitung
1.1 Problemstellung
DieRegressionsanalyseisteineuerstvielseitiganwendbareunddaherbedeutende statistische Methodik. Sie ndet neben der konomie in zahlreichen anderen Wissenschaftsgebieten wie etwa der Soziologie und Psychologie, der Politologie aberauchinderexperimentellenForschungdernaturwissenschaftlichenDisziplinen Verwendung (Gruber, 1997, S. 3).
Regressionsmodelle dienen ganz allgemein zur Untersuchung von Beziehungen, die zwischen irgendwelchen beobachtbaren Gren bestehen bzw. bestehen knnen. Es wird eine Masse an Daten gebraucht, um die Existenz der vermuteten Zusammenhnge zwischen den Variablen nachzuweisen. Dabei wird auf EinzelphnomeneinderDatenmassekeineRcksichtoderBezuggenommen.Im GegensatzzurKorrelationsanalyse,welchedieStrkedesZusammenhangszweier Variablen erfat ohne eine Aussage bzgl. einer Wirkungsrichtung zu treen, bautdieRegressionsanalyseaufderAnnahmebereineeinseitigfunktionaleBeziehungauf,derenHerleitungesinderPraxissachlogischerberlegungenbedarf (Fahrmeier, 1999, S. 152). Ein sogenanntes konometrisches Modell ergibt sich somit durch die wirtschaftstheoretische Fundierung eines rein formalen Regressionsmodells (vgl. Gruber (1997, S. 2 f.)) oder anders herum gesehen durch die Ausstattung eines Theoriegerstes konomischer Kausalbeziehungen mit diversen stochastischen Prmissen (vgl. Judge (1988, S. 175)).
Die Arbeit widmet sich dem Fall der verallgemeinerten, multiplen Regression bei dem nur eine abhngige Variable[1] y sich als eine Funktion mehrerer erklrender Variablen[2] x ausdrcken lsst, von der im brigen davon ausgegangen werden soll, dass sie linear ist. Das Adjektiv multipel bringt zum Ausdruck, dass dieFunktionmehrereRegressorenhat,undnichtwiebeidereinfachenRegressionnurdurcheineunabhngigeVariabledeterminiertwird.BeidenAusprgungen dererklrtenVariablenhandeltessichinallerRegelumkardinalskalierteWerte. Binre[3] Werte fr y wrden in den Bereich der logistischen Regression fhren, wobei als Wahrscheinlichkeit denierte y Werte den Probitmodellen zugeordnet werdenknnen.DiebeidenletztgenanntenMglichkeitenfrdieAusprgungdes Regressanden werden hier nicht behandelt, weil sie nicht zum zentralen Thema der Arbeit gehren. Im Unterschied dazu ist es bei der Auswahl der Regressoren durchausblich,nebendenkardinalauchbinrskalierteVariablenzubercksichtigen.
Diese Diplomarbeit behandelt das Problem der Einbringung von a- prioriInformationen[4] (API) in das lineare Regressionsmodell (RM). Hierbei handelt es sich um einen Spezialfall der linearen Regression, da Vorinformationen fr die Schtzung der Koezienten nicht zwangslug existieren mssen. In einigen FllenistaberdieBeachtungvonZusatzinformationenausGrndenderModellspezikationabsolutnotwendig,umnichtinterpretierbareLsungen,diesichaus Fehlern im Datenmaterial ergeben wrden, von vornherein auszuschliessen.[4] RestriktionenkommenauchinFllenzurAnwendung,indenensichErfahrungswerte fr die Koezientenschtzer aus vorhergehenden empirischen Untersuchungen gebildet haben. Eine rein empirisch begrndete Vorinformation hat den Nachteil, dass die Untersuchungen hug nicht vergleichbar sind, auch wenn dieselbe Problemstellungzugrundeliegt(Stahlecker,1987,S.18).EsistfolglicheineEntscheidungzutreen,obdieKoezientennachdemrestriktivenModelloderdem nichtrestriktiven Modell geschtzt werden sollen. Diese Entscheidung hngt von derjeweiligenGtederSchtzungab.Dabeiwirderwartet,dassdieEinbringung KAPITEL 3
vonVorinformationenzusammenmitdenBeobachtungsdatenindeneigentlichen SchtzvorgangzuverbessertenSchtzergebnissenfhrt.Dieserscheintrechteinleuchtend,wennmanberlegt,dassAPInebendemDatenmaterialalszustzliche Information in den Schtzprozess einwirken. API entstehen aus technologischen odersachlogischenEinschrnkungen,undtreteninLRMalsRestriktionenunterschiedlichster Form auf. Da in dieser Arbeit nur lineare Parameterrestriktionen (PR) behandelt werden, sind diese entweder in Gleichungsform mit oder ohne stochastischem Glied oder in Ungleichungsform vorzunden.
1.2 Struktur der vorliegenden Arbeit
Zum Einstieg wird dem Leser das Grundmodell erlutert, um die Voraussetzungen zur Betrachtung des Modells mit Parameterrestriktionen (PR) zu schaen. DieKoezientenunddieVarianzderStrvariablenwerdennachdemPrinzipder Kleinsten-Quadrate und nach der Maximum-Likelihood-Methode fr das unrestringierteModellgeschtzt.DieEigenschaftenderSchtzerwerdenaufgezeigt, und zum Abschlu veranschaulichen Zahlenbeispiele die zuvor behandelte Theorie.
ImdarauolgendenKapitelwerdendieverschiedenenErscheinungsformenvon PR nacheinander aufgefhrt. Es wird auf die Schreibweise, und darauf wie Restriktionen in den Schtzprozess eingebaut werden knnen, eingegangen. Soweit mglich, werden die Schtzer in einer geschlossenen Form[5] angegeben. Wie im vorhergehenden Kapitel werden die Eigenschaften von jedem Schtzer analysiert.BesonderesAugenmerkflltdabeiaufdenErwartungswertunddieVarianz des Schtzers. Der Lageparameter gibt an, ob die geschtzte Gre im Mittel demwahrenWertentspricht,undderStreuungsparameterwirdfrdenVergleich der Gte der verschiedenen Schtzer (Wirksamkeitsbetrachtung) bentigt. Das Theoriengerst wird, wann immer sich die Mglichkeit dazu ergibt, mit praktischen Beispielen untersttzt.
InKapitel4wirdaufdieBedingungenfrMultikollinearittunddiesichdaraus ergebenden Besonderheiten eingegangen.
In Kapitel 5 werden die Ergebnisse der gesamten Arbeit zusammengefasst.
1.3 Zielsetzung
Dem interessierten Leser sollen Unterschiede in der Koezientenschtzung zwischen dem linearen RM ohne Restriktionen und dem linearen RM mit PR veranschaulichtwerden.BemerkbarmachensichdieseUnterschiedeletztendlichinder Schtzfunktion. Die Schtzungen werden auf ihre Gte hin berprft und verglichen. Es wird errtert, inwiefern Restriktionen zur Verbesserung des Schtzergebnisses beitragen knnen.
Kapitel 2 Spezikation der restriktionsfreien Modelle
IndiesemKapitelgehendiestatistischenSchtzverfahrendavonaus,dasskeinerleiVorinformationenberdieunbekanntenParameter vorliegen.Alles,wasman ber die Parameter in Erfahrung bringen kann, soll allein aus den der Schtzung zugrundeliegenden Beobachtungsdaten entnommen werden.
[...]
[1] y wird auch Regressand, endogene oder erklrte Variable genannt.
[2] x wird auch Regressor, exogene oder erklrende Variable genannt.
[3] Nur zwei Ausprgungsmglichkeiten zumeist 0 und 1 4Synonym fr Vorinformationen, Zusatzinformationen
[4] Allerdings wird eine empirische berprfung der verwendeten Restriktionen im nachhinein nicht mehr mglich sein.
[5] Die geschlossene Form oder Lsung ist die Bezeichnung fr eine allgemeine Gleichung, nach der die Schtzer bestimmt werden knnen.
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