Die wohl wichtigste Kennzahl in der Finanzmarktökonomie ist die Risikoprämie. Ihre herausragende Stellung lässt sich auch anhand eines Zitates von Ökonom Martin Leibowitz veranschaulichen, der die Risikoprämie als „…the financial equivalent of a cosmological concept“ bezeichnet1. Die Lösung zur Bestimmung einer ex-ante Risikoprämie ist oberste Antriebsfeder heutiger Finanzmarktexperten. Dabei werden grundsätzlich vier prinzipielle Methoden unterschieden: Zunächst besteht die Möglichkeit der Befragung von Experten. Jedoch liegen die dabei ermittelten Schätzungen der zukünftigen Risikoprämie im Durchschnitt signifikant über modelltheoretisch generierten Werten2. Eine weitere Möglichkeit eröffnet Gordon in seinem Modell, in dem sich implizit aus Fundamentalvariablen wie Wirtschaftswachstum, Dividenden oder Erträgen eine Prämie berechnen lässt3. Die am häufigsten verwendete Methode ist die ex-ante Ableitung von historisch erzielten ex-post Risikoprämien. Basierend auf dieser historischen Herangehensweise hat sich letztes Prinzip herausgebildet, das sich größtenteils auf die Arbeit „Equity Premium Puzzle“ von Mehra und Prescott aus dem Jahr 1985 stützt und das intertemporale Nutzenmaximierungsverhalten der Investoren in den Vordergrund stellt4. Auch die Arbeiten von Tallarini und Alvarez/Jermann haben den Anspruch, Ihren Teil zur Lösung dieses Rätsels beizutragen, jedoch liegt ein Hauptaugenmerk dieser Arbeiten darin, eine Brücke schlagen zu wollen zwischen Betrachtung des gesamten Konjunkturzyklus und der Wertpapierbewertung. Tallarini, dessen Artikel „Risk-Sensitive Real Business Cycles“ den Schwerpunkt dieser Arbeit darstellt, untersucht bei erhöhter Risikoaversion und konstanter Konsumelastizität Auswirkungen auf die Wohlfahrt sowie auf Eckdaten von Konjunkturzyklen. Gleichzeitig soll es möglich sein, verbesserte Aussagen über den Kapitalmarkt zu treffen. Um das Problem der vollen Spezifikation von Nutzenfunktionen und Präferenzen der Investoren zu umgehen, verwenden Alvarez/Jermann in ihrer Arbeit „Using asset prices to measure the cost of business cycles“ stattdessen Wertpapierpreise, um Wohlfahrtskosten von Konjunkturschwankungen direkt zu messen. Weiterhin soll die Beziehung zwischen Kosten der Konsumunsicherheit, der Risikoprämie und der Grenzkosten von Konsumschwankungen beleuchtet werden.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Das Standardmodell
3. Tallarini`s Spezifikation der Präferenzen
4. Implikationen der gewählten Präferenzen und Eigenschaften der intertemporalen Grenzrate der Substitution
5. Kosten der Wohlfahrt im Modell Tallarini
6. Erweiterung um den Faktor Freizeit
7. Ergebnisse des Arbeit-Freizeit-Modells und Vergleich mit dem Modell ohne Freizeit
8. Würdigung und Kritik des Modells Tallarini
9. Grundidee des Modells Alvarez/Jermann
10. Die Grenzkosten von Konsumschwankungen
11. Vergleich der Grenzkosten der Unsicherheit mit der Risikoprämie
12. Grenzkosten von Konjunkturzyklen
13. Ergebnisse, Würdigung und Kritik des Modells Alvarez/Jermann
14. Gesamtbetrachtung und persönliche Ansicht
Anhang
1. Statistische Konzepte
2. Tallarini`s Produktionsökonomie basierend auf dem Wachstumsmodell von Christiano und Eichenbaum
Literaturverzeichnis
1. Einleitung
Die wohl wichtigste Kennzahl in der Finanzmarktökonomie ist die Risikoprämie. Ihre herausragende Stellung lässt sich auch anhand eines Zitates von Ökonom Martin Leibowitz veranschaulichen, der die Risikoprämie als „…the financial equivalent of a cosmological concept“ bezeichnet[1].
Die Lösung zur Bestimmung einer ex-ante Risikoprämie ist oberste Antriebsfeder heutiger Finanzmarktexperten. Dabei werden grundsätzlich vier prinzipielle Methoden unterschieden:
Zunächst besteht die Möglichkeit der Befragung von Experten. Jedoch liegen die dabei ermittelten Schätzungen der zukünftigen Risikoprämie im Durchschnitt signifikant über modelltheoretisch generierten Werten[2].
Eine weitere Möglichkeit eröffnet Gordon in seinem Modell, in dem sich implizit aus Fundamentalvariablen wie Wirtschaftswachstum, Dividenden oder Erträgen eine Prämie berechnen lässt[3].
Die am häufigsten verwendete Methode ist die ex-ante Ableitung von historisch erzielten ex-post Risikoprämien.
Basierend auf dieser historischen Herangehensweise hat sich letztes Prinzip herausgebildet, das sich größtenteils auf die Arbeit „Equity Premium Puzzle“ von Mehra und Prescott aus dem Jahr 1985 stützt und das intertemporale Nutzenmaximierungsverhalten der Investoren in den Vordergrund stellt[4].
Auch die Arbeiten von Tallarini und Alvarez/Jermann haben den Anspruch, Ihren Teil zur Lösung dieses Rätsels beizutragen, jedoch liegt ein Hauptaugenmerk dieser Arbeiten darin, eine Brücke schlagen zu wollen zwischen Betrachtung des gesamten Konjunkturzyklus und der Wertpapierbewertung.
Tallarini, dessen Artikel „Risk-Sensitive Real Business Cycles“ den Schwerpunkt dieser Arbeit darstellt, untersucht bei erhöhter Risikoaversion und konstanter Konsumelastizität Auswirkungen auf die Wohlfahrt sowie auf Eckdaten von Konjunkturzyklen. Gleichzeitig soll es möglich sein, verbesserte Aussagen über den Kapitalmarkt zu treffen.
Um das Problem der vollen Spezifikation von Nutzenfunktionen und Präferenzen der Investoren zu umgehen, verwenden Alvarez/Jermann in ihrer Arbeit „Using asset prices to measure the cost of business cycles“ stattdessen Wertpapierpreise, um Wohlfahrtskosten von Konjunkturschwankungen direkt zu messen. Weiterhin soll die Beziehung zwischen Kosten der Konsumunsicherheit, der Risikoprämie und der Grenzkosten von Konsumschwankungen beleuchtet werden.
2. Das Standardmodell
Im Folgenden wird anhand eines einfachen Modells versucht, die von den Investoren theoretisch geforderte Risikoprämie auf Aktien von der Nachfrageseite her zu ermitteln[5].
Das Grundprinzip der Konsumtheorie besagt, dass der Verlust an Grenznutzen durch Verzicht auf heutigen Konsum dem erwarteten Gewinn an Grenznutzen durch zukünftigen Konsum entsprechen muss. Dabei ist der Grenznutzen stets positiv, nimmt aber bei zunehmender Konsumhöhe ab[6].
Die folgende Darstellung folgt weitgehend den Ausführungen von Cochrane[7]. Die Nutzenfunktion für jeden möglichen zukünftigen Konsumpfad eines repräsentativen Investors wird darin mit
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
beschrieben. Ct bezeichnet dabei den Konsum zum Zeitpunkt t und der Parameter [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] beschreibt den subjektiven Diskontierungsfaktor des repräsentativen Investors. Die Funktion U(·) ist streng monoton steigend und konkav und beschreibt damit einen steigenden aber abnehmenden Grenznutzen des Konsums.
Dabei beschreibt u(C) eine Funktion der konstanten relativen Risikoaversion:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der Risikoaversionsparameter[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]steht einerseits für die Höhe der Risikoaversion und andererseits für die Bereitschaft der Investoren, ihren Konsum über die Zeit zu substituieren. Die intertemporale Substitutionselastizität ψ ist dabei direkt mit dem Risikoaversions-parameter[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] verbunden[8]. Die Intuition dahinter ist, dass, wenn Konsumenten abgeneigt gegenüber der Variation verschiedener Zustände zu einem bestimmten Zeitpunkt sind, sie auch gegenüber der Veränderung des Konsums über die Zeit abgeneigt sind. Für[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] = 0 liegt dabei Risikoneutralität und eine perfekte Substitution des Konsums im Zeitablauf vor,[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] = 1 steht für u(C) = ln(C) und bedeutet, dass jede Verdopplung des Konsums einen identischen zusätzlichen Nutzen stiftet.
Durch einfaches umformen von Gleichung (2) erhält man:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Hohe[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bedeuten, dass die Investoren eine hohe Risikoaversion sowie eine niedrige intertemporale Substitutionselastizität aufweisen.
Dieses Standardmodell dient als Grundlage zahlreicher makroökonomischer Modelle. Theoretisch kann also nun ex-ante eine Risikoprämie berechnet werden. Dabei werden folgende Annahmen getroffen: Die Präferenzen der Investoren werden durch die Nutzenfunktion in Gleichung (1) beschrieben. Es besteht ein vollkommener Kapitalmarkt und es existieren weder Transaktionskosten noch Steuern. Die Investoren können dabei zwischen risikolosen und risikobehafteten Anlagen wählen.
3. Tallarini`s Spezifikation der Präferenzen
Wie in der gesamten Mikroökonomie tritt auch an dieser Stelle zunächst die Frage nach einer geeigneten Spezifikation der Präferenzen der Agenten auf. Standardnutzenfunktionen, die Verhalten über Zeit und verschiedene Zustände der Welt lediglich durch Diskontfaktoren und Wahrscheinlichkeiten generieren, erlauben höchstens eine inkonsistente, statische Betrachtung[9].
Als Einstieg betrachtet Tallarini zunächst eine Ökonomie mit exogen gegebenem Konsum und wie folgt generalisierten Präferenzen,
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (4)
wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]der Koeffizient der relativen Risikoaversion und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der bedingte Erwartungswert zum Zeitpunkt t ist. Da angenommen wird, dass alle Agenten gleiche, homothetische Präferenzen besitzen, kann der Fokus auf einen repräsentativen Agenten gerichtet werden[10]. Der Generalisierung der Präferenzen liegt die Idee von rekursiven Nutzenfunktionen zugrunde, basierend auf der Arbeit von Epstein und Zin. Zunehmend verallgemeinernd lassen sich Präferenzen generell in drei Unterklassen einteilen. Zunächst einmal die Annahme von additiven, homogenen von Neumann-Morgenstern Nutzenfunktionen, weiterhin eine um einen unendlichen Zeithorizont erweiterte Version und schließlich der hier zu betrachtende Fall einer „non-expected“ Nutzentheorie, der eine Modellierung über mehrere Perioden erlaubt[11].
Im oben beschriebenen Standardmodell ist der Risikoaversionsparameter[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] direkt mit der intertemporalen Substitutionselastizität [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]verbunden. Somit lehnt ein Investor, der der Variation des Konsums zu einem bestimmten Zeitpunkt ablehnend gegenübersteht, auch eine Veränderung über die Zeit ab. Das Mehra-Prescott Modell hat somit die Schwäche, dass der Agent wenig Anreiz zum Sparen hat und einen zukünftig möglichen Mehrkonsum nicht realisieren will. Die Nachfrage nach festverzinslichen Anlagen ist höher und der risikofreie Zins muss hoch sein. Epstein und Zin durchbrechen mit dieser Spezifikation diese Einschränkung und ermöglichen eine Betrachtung von unterschiedlich hohen Risikoaversionen bei unterschiedlichen Substitutionselastizitäten.
4. Implikationen der gewählten Präferenzen und Eigenschaften der intertemporalen Grenzrate der Substitution
Bevor Tallarini zum Kern seiner Arbeit vordringt, nämlich den Implikationen bei erhöhter Risikoaversion in Konjunkturzyklen, betrachtet er zunächst die Eigenschaften seiner gewählten Präferenzen sowie der intertemporalen Grenzrate der Substitution (IGRS).
In diesem Fall, in dem nicht nach Zuständen differenziert wird, ist die Darstellung der intertemporalen Grenzrate der Substitution etwas komplizierter[12]:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bedingt man diesen Ausdruck auf einen Zeitpunkt t, so erhält man den Preis einer risikolosen Anlage bewertet anhand einer Einheit Konsum zum Zeitpunkt t + 1:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Aus diesem Term, den Tallarini auch als verzerrten Erwartungsoperator bezeichnet, lässt sich nun ein durchschnittlicher Zinssatz und der Marktpreis des Risikos berechnen, wobei letzterer definiert ist als Verhältnis aus der Standardabweichung der Überschussrendite eines wertmäßig gewichteten Portfolios zu seinem Durchschnitt[13].
Nun wird der exogen gegebene Konsum der Ökonomie auf zwei übliche Arten spezifiziert. Einerseits wird die Annahme eines trendstationären Konsumstroms getroffen,
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
und andererseits wird eine Random-Walk Spezifikation betrachtet[14]:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Eingebettet in das Modell erhalten wir aus trendstationärer Sicht folgenden Ausdruck für den erwarteten risikolosen Zins:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der zugehörige Marktpreis des Risikos ergibt sich aus folgender Gleichung:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Für das Random-Walk Modell lässt sich der risikolose Zins wie folgt berechnen:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Und schließlich der Marktpreis des Risikos im Random-Walk Modell[15]:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Um die Sinnhaftigkeit der beiden gewählten Umgebungen zu untermauern, verwendet Tallarini eine Grafik (Abb.1), in der er neben trendstationärem und Random-Walk Modell auch Punkte für ein Erwartungsnutzenmodell sowie den Hansen-Jagannathan[16] Bereich einzeichnet.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abb.1: Alle Datenpaare basieren auf wertmäßig gewichteten Portfolios der New Yorker Börse für den Zeitraum von 1948 bis 1993. Als Referenzwert für die risikolose Anlage wird der Treasury Bill desselben Zeitraums verwendet. Durchgezogene Linie: Hansen-Jagannathan Bereich, Kreuze: Erwartungsnutzenmodell, Kreise: Random-Walk Modell, Plusse: trendstationäres Modell[17].
Der Koeffizient der relativen Risikoaversion nimmt dabei die Werte 1, 5, 10, 20, 30, 40 und 50 an. Der Diskontfaktor beträgt in allen Fällen ß=0,995.
Eindeutig zu erkennen ist, dass steigende Risikoaversion bei trendbehaftetem Konsum geringere Auswirkungen auf den Kapitalmarkt hat wie in einer zufälligen Zeitreihe. Ebenso ist ersichtlich, dass steigende Risikoaversion im Falle einer erwarteten Nutzentheorie die Standardabweichung der IGRS erhöht, gleichzeitig aber den Durchschnitt senkt, da die Elastizität der intertemporalen Substitution ebenfalls sinkt. Somit sind sämtliche Datenpaare sehr weit von der zulässigen Region entfernt.
Die Steigung einer Verbindung vom Ursprung zu jedem beliebigen Datenpaar stellt den Marktpreis des Risikos dar. Bemerkenswert ist die Tatsache, dass dieser Marktpreis bei einer zufälligen Wahl des Konsumstroms vom Koeffizienten der relativen Risikoaversion abhängt und nicht von der Elastizität der intertemporalen Substitution. Der risikolose Zins hingegen wird von beiden Größen beeinflusst[18].
[...]
[1] Vgl. Leibowitz, M.L., 2001. Equity Risk Premium Forum. Abrufdatum: 2.10.05 unter: http://aimrpubs.org/ap/issues/v2002n1/toc.html Die Risikoprämie ist definiert als Differenz zwischen erwarteter Rendite aus dem Marktportfolio aus Aktien und der Verzinsung risikoloser Anlagen.
[2] Als Beispiel wäre hier eine Befragung von Ivo Welch zu nennen. Vgl. Welch, I., 2000. Views of Financial Economists on the Equity Premium and on Professional Controversies, Journal of Business 73, S. 501-537.
[3] Vgl. Gordon, M.J., 1962. The Investment, Financing and Valuation of the Corporation, Homewood.
[4] Vgl. Mehra, R., Prescott, E.C., 1985. The equity premium: a puzzle. Journal of Monetary Economics 15, S. 145-161.
[5] Vgl. Mehra, R., Prescott, E.C., 1985 . The equity premium: a puzzle. Journal of Monetary Economics 15, S. 145-161.
[6] Hierbei handelt es sich um die „Gossenschen Gesetze“, vgl. Gossen H.H., 1889. Entwicklung der Gesetze des menschlichen Verkehrs und der daraus fließenden Regeln für menschliches Handeln, Berlin: Prager.
[7] Vgl. Cochrane, J.H., 1997. Where is the market going? Uncertain facts and novel theories. Federal Reserve Bank of Chicago Economic Perspectives Nov/Dec, S. 3-37.
[8] Die intertemporale Konsumelastizität ψ ist dabei der Kehrwert des Parameters.
[9] Additive Erwartungsnutzenstruktur:
mit Diskontfaktor ß (0 < ß < 1), Wahrscheinlichkeiten p abhängig von der Geschichte .
[10] Vgl. Tallarini Jr., T.D., 2000. Risk-Sensitive Real Business Cycles, Journal of Monetary Economics 45, S. 510.
Anmerkung: Eine Nutzenfunktion heißt „homothetisch“, wenn sie als monotone Transformation einer linear homogenen Funktion dargestellt werden kann.
[11] Vgl. Epstein, L.G., Zin, S.E., 1989. Substitution, risk aversion and the temporal behavior of consumption and asset returns: a theoretical framework. Econometrica 57, S. 938
[12] Vgl. Tallarini Jr., T.D., 2000. S. 511.
Anmerkung: Bei einer zustandsabhängigen Spezifikation einer logarithmischen Nutzenfunktion ist die IGRS einfach ß mal dem Verhältnis von heutigem zu morgigem Konsum.
[13] Vgl. Tallarini Jr., T.D., 2000. S. 513.
Der Marktpreis wird berechnet aus den ersten beiden Momenten von und entspricht dann dem Verhältnis aus Standardabweichung der GRS und dem Durchschnitt. Diese Berechnung folgt der Analyse von Hansen und Jagannathan (1991).
[14] Vgl. Tallarini Jr., T.D., 2000. S. 514.
Anmerkung: Zur Erinnerung an statistische Konzepte siehe Anhang.
folgt einem AR(1)-Prozess, hier: , wobei
folgt einem Random-Walk mit Drift: , wobei
[15] Vgl. Tallarini Jr., T.D., 2000. Risk-Sensitive Real Business Cycles, Journal of Monetary Economics 45, S. 512.
[16] Vgl. Hansen L.P., Jagannathan, R., 1991. Implications of security market data for models of dynamic economies, Journal of Political Economy 99, S. 225-262
Die Autoren zeigen, wie historische Marktdaten verwendet werden können, um eine zulässige Region für Durchschnitte und Standardabweichungen der IGRS zu generieren. Auffallend ist hierbei die Dualität zur effizienten Grenze aus dem CAPM. Die Region liefert also einen groben Umriss von vorteilhaften Datenpunkten.
[17] Abb. aus: Tallarini Jr., T.D., 2000. S. 514.
[18] Vgl. Tallarini Jr., T.D., 2000. S. 515.
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