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VI 4. Bekanntes zur Kurvendiskussion
4.1 Satz Sei f ! R diibar. Dann ist f monoton steigend fallend , f 0 x 0 f 0 x 0 f ur alle x 2 I.
4.2.Satz Sei f ! R n + 1 ,mal diibar mit f n+1 x = 0 f ur alle x 2 I. Dann ist f ein Polynom vom Maximalgrad n, d.h.
P n j=0 d j x j . fx =
4.3 Def. Eine diibare Fkt. heit konvex konkav wenn f 0 monoton w achst f allt.
4.4 Def. Sei f ! R und c 2 I, dann heit fc
ur alle x 2 I streng f ur fc f x Maximum von f, falls fc fx f
ur alle x 2 I streng f ur fc f x Minimum von f, falls fc fx f
4.5 Satz Sei f : : a; b ! R stetig, dann besitzt f ein Maximum und ein Minimum.
ur c 2 a; b ein rel. Extremum, dann gilt f 0 c = 0 4.6 Satz Sei f ! R diibar und fc f
4.7 Def. Sei f : : a; b ! R diibar und c 2 a; b. fc heit Wendepunkt von f, falls f 0 c ein rel. Extremum von f 0 ist.
4.8 Satz Sei f : : a; b ! R n+1,mal diibar und sei f n+1 stetig. Sei c 2 a; b mit f 0 c = f 00 c = f n c = 0 u n d f n+1 c 6 = 0 .
f n+1 c 0; n + 1 gerade fc rel. Minimum von f
f n+1 c 0; n + 1 gerade fc rel. Maximum von f
f n+1 c 6 = 0 ; n + 1 gerade fc W endepunkt von f
5.1 Satz de l'Hospital Seien f;g: a; b ! R diibar und sei g 0 x 6 = 0 f ur x 2 a; b auch a = ,1; b = 1. Sei lim x! = 0 oder
gleich 1 in einem 2 a; b. Gilt dann lim x! f 0 x
VII 1. Der Integralbegriff
Sei a; b 2 R mit a a b . Sei Ba; b die Menge aller beschr ankten Funktionen f : : a; b ! R. Sei z := x 0 ; x 1 ; : : :; x n mit a =
x 0 x 1 x 2 x n = b eine Zerlegung des Intervalls a; b. Wir nennen jzj := max k=1;:::n jx k , x k,1 j die Feinheit. Wir setzen
P n P n k=1 m k x k , x k,1 bzw. sz : = k=1 m k x k , x k,1 m k := inf x2xk,1;xk fx und m k := sup x2xk,1;xk fx. Wir nennen sz : =
0 f ur x 2 Q 0; 11
1.2 Beispiel Sei f : : 0 ; 11 ! R deeniert durch fx : = . Dann gilt f ur jede Zerlegung sz = 0 und jede
1 f ur x sonst
Obersumme ist sz = 1 . F olglich ist f nicht R-integrierbar.
VII 2. Integrabilit atskriterien
2.1 Satz Sei a a b und f 2 Ba; b. f ist R-integrierbar , V W : sz , sz ".
""0 z a;b
2.2.Satz Sei f : : a; b ! R stetig a a b . Dann ist f auch R-integrierbar auf a; b.
2.3 Satz Ist f : : a; b ! R monoton wachsen oder fallend, so gilt f 2 Ra; b.
2.4 Satz Folgenkriterium Sei a b; f 2 Ba; b. Dann gilt f 2 Ra;b genau dann, wenn f ur jede Zerlegung z k k mit lim k!1 jz k j =
ur k ! 1 konvergieren, 0 und jede Folge zugeh origer Zwischenvektoren k k die resultierenden Riemannsummen S k ; z k f
R b ubereinstimmen. In diesem Fall ist der eindeutige Grenzwert identisch mit und alle Grenzwerte a fxdx.
2.5 Satz Seien f;g2 Ra; b, dann gilt
R
b
R
b
R
b
f g
R b
R b
R b
VII 3. Stammfunktion
3.1 Def. Sei I R ein Intervall und f : I ! R vorgegeben. F : I ! R mit F 0 x = fx f ur alle x 2 I heit Stammfunktion von f
auf I.
3.2 Satz
Hauptsatz Sei ~ F : I
! R
eine Stammfkt. von f auf I. Dann ex. c
2 R
mit ~ ur alle x
2
I. Es folgt Fx + c = F x f
~ Fx , ~ Fa = Fx =
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3.3 Satz partielle Integration Sei I R;a2 I;f 2 C 1 I; g2 CI und G eine Stammfkt. von g auf I. Dann gilt f ur x 2 I :
R x R x a f 0 tGtdt a ftgtdt = = ftGt x a ,
3.4 Satz Substitutionsregel Seien I;J2 R Intervalle, d 2 J; f2 CJ; g2 C 1 J mit gJ J und a := g 2 J. Dann gilt f ur
R x R g R fgg 0 dd alle 2 J mit x := g 2 I : a ftdt = g ftdt =
R 1 R 1
Beispiel
Rekursionsformel
Herleitung der Rekursionsformel f ur
Rekursion liefert I n = 1 , x 2 n sinxj 1 0 ,
elle Integration ergibt I n = 2 n
2n + 4 nn , 1 I n,1 , 4nn , 1I n,2 .
rundintegrale
Z x dx = x +1 Z x ,1 dx = l n jxj
VII 4. Uneigentliche R-Integrale
Unbeschr ankte Funktionen Sei a b; f : : a; b ! R vorgegeben. Zus atzlich gelte f 2 Rx; y f ur alle x; y 2 a; b. Dann heit f
R b R y x ftdt 1 gilt. uneigentlich R-integrierbar auf fa; b genau dann, wenn a ftdt = lim x!a;y!b
Unbeschr anktes Integrationsgebiet Sei a b; f : : a; 1 ! R vorgegeben. Zus atzlich sei f 2 Ra; x f ur alle x x a . Dann heit
R 1 R x f uneigentlich R-integrierbar auf a; 1 genau dann, wenn a ftdt 1 gilt. a ftdt := lim x!1
VIII 1. Der n-dimensionale euklidische Raum R n n 2 N
p euklidische Norm von x 2 R n : jxj := x 2 1 + : : : + x 2 n
p euklidischer Abstand von x; y 2 R n : jx , yj := x 1 , y 1 2 + : : : + x n , y n 2
Homogenit at: jxj = jj j xj
Dreiecksungleichung: jx + yj j xj + jyj
Cauchy-Schwarz: jx yj j xj j yj
VIII 2. Folgen in R n
2.1 Def. Eine Folge a k k2N von Vektoren a k 2 R n heit konvergent gegen a 2 R n , falls f ur alle " " 0 ein k 0 2 N ex., da f ur alle
k 2 N; k k 0 gilt: ja k , aj ".
2.2 Korollar Eine Vektorfolge a k k2N konvergiert genau dann, wenn alle ihre n Komponentenfolgen konvergieren.
2.3 Satz Cauchy-Kriterium Eine Vektorfolge konvergiert , V W V : ja m , a n j "
""0 n02N mn2N m;n0
2.4 Satz Bolzano-Weierstra Jede beschr ankte Vektorfolge in R n besitzt eine konvergente Teilfolge.
VIII 3. Stetige Funktionen von R n nach R m
3.1 Def. Eine Fkt. f : D ! R n mit D R n heit stetig in 2 D, falls f = lim x! fx gilt.
3.2 Satz Eine Fkt. f : D ! R n mit D R n ist stetig in 2 D, falls: V W V : jx , j jfx , fj "
""0 0 x2D
3.3 Satz Es seien f : D ! R m ; g: D ! R m ; h: D ! Rn f 0g stetig in a 2 D R. Dann sind auch die folgenden Funktionen stetig:
f + g; f , g; f g; f h und f.
3.4 Satz Eine Fkt. f : D ! R m ist genau dann stetig in 2 D R n , w enn es zu jeder Umgebung V = V f von f eine
Umgebung U = U D gibt mit fU V .
3.5 Satz Eine Fkt. f : D ! R m mit D R n ist genau dann stetig in D, w enn das Urbild jeder ooenen Teilmenge von R m ooen in D
ist.
VIII 4. Partielle Ableitungen
4.1 Def. Sei D R n ooen und f : D ! R. Die Fkt. f heit in x 2 D partiell diibar bzgl. der i,ten Koordinatenrichtung, falls
@xi x := lim h!0 fx+hei,fx @ i fx : = @f existiert.
h
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ur alle x 2 D existiert. Und heit stetig partiell
diibar, falls die Fkt. @ i f : D ! R in D stetig sind i = 1 ; : : : ; n . Man schreibt in diesem Fall f 2 C 1 D.
Beispiel
p 2 x 2 1 + + x 2 n , 1 2 2x i = xi ur x 6 = 0 gilt hier @ i fx : = @ i x 2 1 + + x 2 n = 1 jxij .
Wir setzen rx : = jxj und betrachten die zusammengesetzte Fkt. frx, wobei f : R + ! R diibar vorgegeben ist. Dann
folgt: @ i frx = f 0 rx @ i rx = f 0 rx xi
rx :
4.3 Def. Sei D R n ooen und f : D ! Rpartiell diibar. Dann heit die Vektorfkt. grad fx : = rf := @ 1 fx; @ 2 fx; : : :; @ n fx
der Gradient v on f.
4.4 Def. Sei D R n ooen und F : D ! R n eine Vektorfkt. mit partiell diibaren Komponenten F j : D ! R. Dann heit die skalare
Fkt. div F : D ! R deeniert durch div F x : = r f := @ 1 F 1 x + @ 1 F 2 x + + @ n F n x die Divergenz von F .
4.5 Satz Schwarz Sei D R n ooen und f 2 C 2 D. Dann gilt f ur alle x 2 D und i; j = 1 ; : : :; n : @ i @ j fx = @ j @ i fx.
4.7 Def. Sei D R 3 ooen und f : D ! R 3 eine stetig partiell diibare Vektorfkt. Dann heit die durch g := rot f := r f :=
@ 2 f 3 , @ 3 f 2 ; @ 3 f 1 , @ 1 f 3 ; @ 1 f 2 , @ 2 f 1 deenierte Vektorfkt. g : D ! R 3 die Rotation von f.
4.8 Def. Sei D R n ooen mit f : D ! R zweimal partiell diibar. Dann heit f := divgrad f = P n i=1 @ i @ i f und nennt : =
P n i=1 @ i @ i den Laplace-Operator. Fkt. mit f = 0 heien harmonisch i n D.
VIII 5. Totale Differenzierbarkeit
5.1 Def. Sei D R n ooen und f : D ! R m vorgegeben. f heit in x 2 D total diibar, falls es eine lineare Abbildung A : R n ! R m
P n gibt, so da in einer Umgebung Ux die Darstellung fx + = fx + A + ' bzw. f i x + = f i x + j=1 a ij j + ' i
gilt. dabei ist ' in einer Umgebung U0 von 0 deeniert mit Werten im R n und mit lim !0 '
5.2 Satz Sei D R n ooen und f als Fkt. D ! R n in x 2 D total diibar, dann gilt: f ist stetig in x und alle Komponenten f i : D ! R
von f sind in x partiell diibar und es gilt @ j f i x = a ij
5.3 Satz Sei D R n ooen und f : D ! R n partiell diibar. Alle partiellen Ableitungen @ i f seien stetig in x 2 D. dann ist f in x
total diibar d.h. stetig partiell diibar total diibar partiell diibar, total diibar stetig.
.4 Satz Kettenregel Es seien U R n ; V R m ooen, g : U ! R m ; f: V ! R k mit gU V . Auerdem sei g in x 2 U und f in
y := gx total diibar. Dann ist auch die Komposition f g : U ! R k in x total diibar und es gilt Df gx = DfgxDgx
im Sinne der Martixmultiplikation.
.5 Korollar Gegeben seien die Voraussetzungen von Satz 5.4 f ur k = 1. Dann ist die Fkt. h : f g : U ! R in x partiell diibar mit
@
i
hx =
rfgx
@
i
gx : =
P
m j=1
@
j
fgx
@
i
g
j
x.
.6 Def. Sei D R n ooen, f : D ! R eine Fkt, x 2 D und e 2 R n mit jej = 1. Dann heit @ e fx : = d dt fx + tej t=0 =
5.7 Satz Sei D R n ooen, f : D ! R stetig partiell diibar. Dann gilt f ur jedes x 2 D und e 2 R n mit jej = 1 : @ e fx = rfx e
5.8 Satz Mittelwertsatz Sei D R n ooen, f : D ! Rstetig partiell diibar, sei x 2 D und 2 R n , so, da fx + t j 0 t 1g g D.
R 1 Dann gilt: fx + , fx = 0 Dfx + tdt
III 6. Taylorformel und lokale Extrema
.1 Satz Taylorformel Sei D R n ooen, x 2 D und 2 N n mit fx + t j 0 t 1g g D. Sei f : D ! R k + 1 ,mal stetig partiell
6.3 Def. Sei D 2 R n ooen und f : D ! R mit f 2 C 2 D gegeben. Dann heit die symmetrische n n,Matrix Hess fx : =
@ i @ j fx i;j=1;::: ;n die Hesse-Matrix von f an der Stelle x.
.5 Satz Sei D 2 R n ooen und f : D ! R partiell diibar und x 2 D lokales Extremum von f. Dann gilt rfx = 0 .
.6 Def. Sei A 2 R nn eine symmetrische Matrix. Dann gilt:
ur alle 0 6 = 2 R n
ur alle 0 6 = 2 R n
A heit indeenit, falls es Vektoren ;gibt mit A 0; A 0
Ersetzt man bei den ersten beiden F allen " durch h " bzw. " durch h ", so heit A positiv bzw. negativ semideenit.
ur alle k = 1 ; : : :; nmit
2 3 a 11 : : : a 1k
A k := 6
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6.8 Satz Sei D 2 R n ooen, x 2 D;f : D ! R mit f 2 C 2 D und es gelte rfx = 0. Dann gilt:
Ist Hess fx pos. deenit, so hat f ein isoliertes Minimum
F ur R 2 gilt dies, wenn @ 2 1 fx @ 2 2 fx , @ 1 @ 2 fx 2 0 ist. 1 fx 0 und @ 2
Ist Hess fx neg. deenit, so hat f ein isoliertes Maximum
F ur R 2 gilt dies, wenn @ 2 1 fx 0 und @ 2
positiv und negativ.
Ist Hess fx indeenit, so hat f kein lokales Extremum
F ur R 2 gilt dies, wenn @ 2 2 fx , @ 1 @ 2 fx 2 0 ist, d.h. mindestens je ein Eigenwert positiv und einer negativ. 1 fx @ 2
VIII 7. Implizite Funktionen
7.3 Satz Hauptsatz Seien U 1 R n ; U 2 R m ooene Mengen, sei F : U 1 U 2 ! R m stetig diibar, a; b 2 U 1 U 2 mit Fa; b = 0
und D y Fa; b i n vertierbar. Dann gibt es ooene Umgebungen V 1 U 1 von a und V 2 U 2 von b und eine stetige Fkt. g : V 1 ! V 2
ur alle x 2 V 1 . Ist x; y 2 V 1 V 2 mit Fx; y = 0, so gilt y = gx.
D x F x; gx.
7.5 Satz Extrema unter N.B. Sei D R n ooen, f : D ! Rstetig diibar und M := fx 2 Djfx = 0 g. Sei a 2 M mit grad fa 6 = 0 .
Die stetig diibare Fkt. h : D ! R besitze in a ein lokales Maximum bzw. Minimum unter NB f = 0. Dann existiert ein sog.
Lagranger Multiplikator 2 R mit grad ha = gradfx.
ur i = 1 ; : : :; m verwendet man analog die Funktion F x; : = hx,fx : =
hx , P m i=1 i f i x.
Beispiel Bestimmte die lokalen Extrema von h : R 2 ! R;h x = x 2 f ur x = x 1 ; x 2 u n ter N.B. fx : = x 2 2 , x 2 1 , 1 = 0. Es gilt:
Fx; = hx,Fx = 2 x 2 ,x 2 2 ,x 2 1 ,1. Die Forderung rFx; = 2 x 1 ; 2,2x 2 ; x 2 2 ,x 2 1 ,1 ! = 0 liefert x 1 = 0 ; x 2 2 = 1 .
Also sind a = 0 ; 1 und b = 0 ; ,1 die m oglichen Kandidaten.
VIII 8. Kurven im R n
8.1 Def. Sei ? 6 = I R ein Intervall. Eine stetige Abb. f : I ! R n heit Kurve i m R n . f heit diibar, wenn alle ihre Komponenten
f k : I ! Rk = 1 ; : : :; n diibar sind.
Beispiel
Die Kurve ft : = a + r cost; r sint im R 2 beschreibt f ur r r 0; a 2 R den Kreis mit Radius r um a.
F ur a 2 R n und 0 6 = 2 R n beschreibt ft : = a + t eine Gerade im R n durch a 2 R n in Richtung .
F ur r r 0 und 0 6 = c 2 R beschreibt die Kurve ft : = r cost; r sint; c t eine Schraubenlinie im R 3 .
ur t 2 I heit der Vektor f 0 t : = f 0 1 t; : : :; f 0 n t 2 R n Tangentialvektor von
f zum Parameterwert t. Gilt f 0 t 6 = 0, so heit der auf den Betrag 1 normierte Vektor f 0 t
Doppelpunkt Eine Kurve f : I ! R n mu nicht notwendig injektiv sein. Gilt ft 1 = ft 2 = : x f ur t 1 6 = t 2 , so heit x Doppelpunkt
von f. I n x besitzt f dann verschiedene Tangetialvektoren.
Beispiel Betrachte f : R ! R 2 mit ft = t 2 , 1; t 3 , t. Dann ist fR : = fx; y 2 R 2 jy 2 = x 2 + x 3 g. Die Kurve hat einen
Doppelpunkt f ur t 1 = ,1; t 2 = 1 , d a f,1 = f 1 = 0 ; 0.
ur alle t 2 I gilt. Ein Parameterwert
T 2 I mit f 0 t = 0 heit singul ar.
p
x 3 g. W egen
f 0 t = 2 t; 3t 2 ist t = 0 singul ar.
8.4 Def. eine Kurve f : : a; b ! R n heit rektiizierbar mit der L ange L, wenn: V W ti , L " f ur jede Unterteilung : n
L ""0 0
a = t 0 : : : t n = b der Feinheit max i=1;::: ;n jt i , t i,1 j .
R b a jf 0 tjdt 8.5 Satz Jede stetig diibare Kurve f : : a; b ! R n ist rektiizierbar mit der L ange L :=
Beispiel
Sei r r 0 und f : : 0 ; a ! R 2 mit ft : = r cost; r sint. Wegen der Ableitung f 0 t = ,r sint; r cost gilt jf 0 tj =
R a p 0 r d t = rtj a 0 = ra. ,r sint 2 + r cost 2 = r und damit L =
Die Zykloide f : R ! R 2 ist deeniert durch ft : = t , sint; 1 , cost. Sie beschreibt die Bahn eines Punktes auf der
Peripherie eines Kreises der auf der x-Achse der x , y-Ebene abrollt. Man erh alt f ur L des Bogens f : : 0 ; 2 ! R 2 : L = 8 .