Mathematisches Pendel

Presentation / Essay (Pre-University) , 2000 , 17 Pages

Physics - Mechanics

Gruppe 2: Blei, Koch

Protokoll:

Mathematisches Pendel INF M1

0. Aufgabenstellung
1. Grundlagen des Versuches
2. Versuchsdurchführung
3. Auswertung und Fehlerberechnung
4. Anhang

0. Aufgabenstellung

1. Anhand zweier Messreihen der Schwingungsdauer eines Fadenpendels ist deren statistischer Charakter zu überprüfen.

2. Die Schwerebeschleunigung g ist mit Hilfe eines Fadenpendels zu ermitteln.

3. Aufgaben zur Versuchsdurchführung

3.1. Messen Sie im Umkehrpunkt und im Nulldurchgang jeweils 100 mal die Periodendauer einer Schwingung.

Für beide Messreihen sind jeweils Mittelwert, Standardabweichung, Vertrauensbereich des Mittelwertes, Messunsicherheit und relative Fehler zu berechnen.
Beide Messreihen sind auf eine Zeitachse ins Wahrscheinlichkeitsnetz einzutragen. Dazu teilen Sie die gewonnen Ergebnisse in jeweils 10 Werteklassen ein. Ermitteln Sie daraus die Mittelwerte sowie deren Standardabweichung grafisch und vergleichen Sie diese mit den Ergebnissen der Berechnung.
Stellen Sie die Häufigkeitsverteilung der genaueren Messreihe für die ersten 10, 50 und alle 100 Messwerte als Säulendiagramm in Abhängigkeit von der Schwingungsdauer dar.

3.2. Zur Bestimmung der Schwerebeschleunigung g messen Sie die Dauer von 1000 zusammenhängenden Schwingungen mit einer Stoppuhr. Geben Sie die Messunsicherheit für die Periodendauer T an. Ermitteln Sie die Pendellänge l durch Einzelmessung mit einem Bandmaß und bestimmen Sie. Berechnen Sie daraus die Messunsicherheit von g.

1. Grundlagen des Versuchs

1.1. Allgemeines

Ein mathematisches Pendel ist ein starrer Körper mit einer im allgemeinen horizontalen, fest vorgegebenen Drehachse, die nicht durch den Massenmittelpunkt des Körpers geht.
Nach einer Auslenkung führt das Pendel unter dem Einfluss der Schwerkraft Schwingungen um seine Ruhelage aus. In den Versuchen wird vorausgesetzt, dass die Reibung im Achsenlager vernachlässigbar klein ist, die Masse als Punktmasse angesehen wird und dass die Masse des Fadens unberücksichtigt bleibt.

1.2. Begriffserklärungen zum Versuch

1.2.1. Nulldurchgang:

Als Nulldurchgang wird der Punkt bezeichnet in dem sich das Pendel im Lot befindet. Vektoriell kann man das folgendermaßen beschreiben: Vektor sei der Abstand zwischen dem Ort an dem das Pendel befestigt ist und der Punktmasse des Pendels. Vektor sei der Vektor der durch die Erdanziehungskraft gebildet wird.
Wenn die Richtung von der Richtung von entspricht, dann befindet sich das Pendel im Nulldurchgang.

1.2.2. Umkehrpunkt:

Als Umkehrpunkt wir der Punkt bezeichnet, an dem das schwingende Pendel die Richtung der Schwingung ändert.

1.3. Benötigte Formelgleichungen zum Versuch

1.3.1. Bewegungsgleichung des mathematischen Pendels:

Bei kleinen Auslenkungen gilt:
Daraus folgt die Bewegungsgleichung des mathematischen Pendels für kleine Auslenkwinkel:

1.3.2. Gleichung der Periodendauer(T):

1.3.3. Gleichung zur Berechnung der Schwerebeschleunigung:

2. Versuchsdurchführung

2.1. Durchführung

- Kontrolle des Versuchsaufbaus (Aufbau war vorhanden)

- Messen der Periodendauer im Nulldurchgang für 100 Schwingungen

(siehe 1.Messreihe)

- Messen der Periodendauer im Umkehrpunkt für 100 Schwingungen

(siehe 2. Messreihe)

- Messen der Pendellänge

- Messen der Gesamtperiodendauer von 100 zusammenhängenden Schwingungen mit 2 Stoppuhren

2.2. Messwerte:

Pendellänge: l = 845 mm

Dauer für 100 zusammenhängende Schwingungen:

    T₁ = 187,2s
    T₂ = 187,1s

3. Auswertung und Fehlerberechnung

3.1. Grundlagen der Fehlerberechnung

3.1.1. Zufällige Fehler:

Ein zufälliger Fehler entsteht durch Ungenauigkeit in der menschlichen Wahrnehmung, wie z.b. die Reaktionszeit beim Messen mit der Stoppuhr.

3.1.2. Systematische Fehler:

Ein systematischer Fehler entsteht durch Ungenauigkeit in der Messapparatur, die durch Verschleiß, unsachgemäße Behandlung oder durch das Messprinzip selbst verursacht werden.

3.1.3. Absoluter Fehler:

3.1.4. Relativer Fehler:

3.1.5. Messfehler:

3.1.6. Mittelwert:

3.1.7. Empirische Standardabweichung:

3.1.8. Empirische Standardabweichung des Mittelwertes:

3.1.9. Vertrauensbereich des Mittelwertes:

3.1.10. Messunsicherheit:

3.1.11. Fehlerberechnung von g:

; ;

3.2. Fehlerberechnung für die Messreihe N (Nulldurchgang)

Mittelwert der Periodendauer:

Empirische Standardabweichung:

Empirische Standardabweichung des Mittelwertes:

Vertrauensbereich des Mittelwertes:

Absoluter Fehler:

Relative Fehler:

Ergebnis:

Messunsicherheit: für t=2 (95%)

   
   

3.3. Fehlerberechnung für die Messreihe U (Umkehrpunkt)

Mittelwert der Periodendauer:

Empirische Standardabweichung:

Empirische Standardabweichung des Mittelwertes:

Vertrauensbereich des Mittelwertes:

Absoluter Fehler:

Relative Fehler:

Ergebnis:

Messunsicherheit: für t=2 (95%)

 

3.4. Wahrscheinlichkeitsnetz

Summenhäufigkeit für die Messreihe N

 

Summenhäufigkeit für die Messreihe U

Die graphische Ermittlung von Standardabweichung und Mittelwert ergibt:

Für die Messreihe N: Für die Messreihe U:

3.5. Graphische Darstellung

3.5.1. Für die Messreihe N:

Die ersten 10 Werte:

Werteklassen (w)	von	bis	Mittelwert	Häufigkeit (h)	Summenhäufigkeit (hs)
1	1,920	2,007	1,964	3	3
2	2,007	2,093	4,100	3	6
3	2,093	2,180	2,137	4	10

Die ersten 50 Werte:

Werteklassen (w)	von	bis	Mittelwert	Häufigkeit (h)	Summenhäufigkeit (hs)
1	1,920	1,964	1,942	5	5
2	1,964	2,009	1,987	5	10
3	2,009	2,053	2,031	10	20
4	2,053	2,097	4,150	9	29
5	2,097	2,141	2,119	11	40
6	2,141	2,186	2,164	3	43
7	2,186	2,230	2,208	7	50

Für alle 100 Werte:

Werteklassen (w)	von	bis	Mittelwert	Häufigkeit (h)	Summenhäufigkeit (hs)
1	1,900	1,933	1,917	2	2
2	1,933	1,966	1,950	7	9
3	1,966	1,999	1,983	6	15
4	1,999	2,032	2,016	22	37
5	2,032	2,065	2,049	12	49
6	2,065	2,098	2,082	12	61
7	2,098	2,131	2,115	15	76
8	2,131	2,164	2,148	7	83
9	2,164	2,197	2,181	6	89
10	2,197	2,230	2,214	11	100

3.5.2. Für die Messreihe U:

Die ersten 10 Werte:

Werteklassen (w)	von	bis	Mittelwert	Häufigkeit (h)	Summenhäufigkeit (hs)
1	1,810	1,933	1,872	6	6
2	1,933	2,057	1,995	2	8
3	2,057	2,180	2,118	2	10

Die ersten 50 Werte:

Werteklassen (w)	von	bis	Mittelwert	Häufigkeit (h)	Summenhäufigkeit (hs)
1	1,420	1,599	1,510	1	1
2	1,599	1,777	1,688	8	9
3	1,777	1,956	1,867	22	31
4	1,956	2,134	2,045	9	40
5	2,134	2,313	2,224	7	47
6	2,313	2,491	2,402	2	49
7	2,491	2,670	2,581	1	50

Für alle 100 Werte:

Werteklassen (w)	von	bis	Mittelwert	Häufigkeit (h)	Summenhäufigkeit (hs)
1	1,420	1,545	1,483	1	1
2	1,545	1,670	1,608	1	2
3	1,670	1,795	1,733	17	19
4	1,795	1,920	1,858	36	55
5	1,920	2,045	1,983	17	72
6	2,045	2,170	2,108	14	86
7	2,170	2,295	2,233	9	95
8	2,295	2,420	2,358	3	98
9	2,420	2,545	2,483	1	99
10	2,545	2,670	2,608	1	100

3.6. Bestimmung der Schwerebeschleunigung g

3.6.1. Periodendauer T:

Die Messung der Periodendauer von 100 zusammenhängenden Schwingungen mit 2 Stoppuhren ergab: T₁=187,2s und T₂=187,1s. Dies entspricht dem Mittelwert von 187,15s. Also ist die Periodendauer der Einzelschwingung T=1,8715s ohne Fehlerberücksichtigung.

3.6.2. Messunsicherheit der Periodendauer T:

Als systematischer Fehler wird 1/100 Sekunde angenommen.
Der zufällige Fehler ergibt sich aus der Reaktionszeit des Menschen, die wir mit 0,2s angeben.

Daraus ergibt sich nun: ;

3.6.3. Bestimmung der Pendellänge l:

Gemessene Länge des Pendels: l=845mm
daraus folgt:

3.6.4. Berechnung von g:

daraus folgt: 

nach dem einsetzen der Messwerte ergibt sich:

3.6.5. Berechnung der Messunsicherheit von g:

·

daraus folgt die Ableitung der Funktion g nach T und l:

;

Einsetzen in Gaußsches Fortpflanzungsgesetz:

nach einsetzen der Werte ergibt sich:

Ergebnis:

4. Anhang

Originalaufzeichnungen beim Versuch:

1. Messreihe (Nulldurchgang)

2. Messreihe (Umkehrpunkt

Bestimmung der Pendellänge

Dauer für 100 zusammenhängende Schwingungen

Häufig gestellte Fragen

Was ist das mathematische Pendel und wie funktioniert es?

Ein mathematisches Pendel ist ein starrer Körper, der um eine horizontale Drehachse schwingt, die nicht durch seinen Massenmittelpunkt verläuft. Unter dem Einfluss der Schwerkraft führt das Pendel Schwingungen um seine Ruhelage aus. In den hier beschriebenen Versuchen werden Reibung, die Masse des Fadens und die Ausdehnung der Masse vernachlässigt.

Was ist ein Nulldurchgang beim mathematischen Pendel?

Der Nulldurchgang ist der Punkt, an dem sich das Pendel im Lot befindet. Vektoriell ist dies der Zustand, in dem der Vektor vom Aufhängepunkt zur Punktmasse des Pendels die gleiche Richtung hat wie der Vektor der Erdanziehungskraft.

Was ist der Umkehrpunkt beim mathematischen Pendel?

Der Umkehrpunkt ist der Punkt, an dem das schwingende Pendel die Richtung seiner Schwingung ändert.

Welche Formeln werden zur Berechnung der Schwingungsdauer und der Schwerebeschleunigung verwendet?

Die Bewegungsgleichung des mathematischen Pendels für kleine Auslenkwinkel lautet: . Die Schwingungsdauer (T) wird berechnet mit: . Die Schwerebeschleunigung (g) wird berechnet mit: .

Wie wurde der Versuch zur Bestimmung der Schwingungsdauer durchgeführt?

Die Periodendauer wurde sowohl im Nulldurchgang als auch im Umkehrpunkt jeweils 100 Mal gemessen. Für diese Messreihen wurden Mittelwert, Standardabweichung, Vertrauensbereich des Mittelwertes, Messunsicherheit und relative Fehler berechnet. Außerdem wurde die Dauer von 1000 zusammenhängenden Schwingungen mit einer Stoppuhr gemessen, um die Schwerebeschleunigung zu bestimmen.

Wie wurde die Pendellänge bestimmt?

Die Pendellänge (l) wurde durch Einzelmessung mit einem Bandmaß ermittelt.

Welche Arten von Fehlern werden bei der Fehlerberechnung berücksichtigt?

Es werden zufällige Fehler (z.B. Reaktionszeit beim Messen mit der Stoppuhr) und systematische Fehler (z.B. Ungenauigkeiten in der Messapparatur) berücksichtigt. Die Fehlerberechnung umfasst absolute Fehler, relative Fehler und die Messunsicherheit.

Wie werden Mittelwert und Standardabweichung berechnet?

Der Mittelwert wird als Summe der Messwerte geteilt durch die Anzahl der Messwerte berechnet. Die empirische Standardabweichung wird nach der entsprechenden Formel berechnet.

Wie wurde die Messunsicherheit der Periodendauer bestimmt?

Als systematischer Fehler wurde 1/100 Sekunde angenommen, und der zufällige Fehler wurde durch die Reaktionszeit des Menschen (0,2s) bestimmt.

Wie wurde die Schwerebeschleunigung (g) berechnet und welche Messunsicherheit wurde ermittelt?

Die Schwerebeschleunigung (g) wurde aus der gemessenen Periodendauer (T) und der Pendellänge (l) berechnet. Die Messunsicherheit von g wurde mit dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz berechnet.

Was sind die Ergebnisse der statistischen Analyse der Messreihen?

Die Messreihen im Nulldurchgang und im Umkehrpunkt weisen unterschiedliche Mittelwerte und Standardabweichungen auf, die in den Auswertungen detailliert dargestellt sind. Die grafische Darstellung der Häufigkeitsverteilungen und Wahrscheinlichkeitsnetze veranschaulicht die statistische Verteilung der Messwerte.

• Author: Stefan Koch (Author)
• Publication Year: 2000
• Pages: 17
• Catalog Number: V99247
• ISBN (eBook): 9783638976961
• Language: German
• Tags: Mathematisches, Pendel