Gruppe 2: Blei, Koch
Protokoll:
Mathematisches Pendel INF M1
0. Aufgabenstellung
1. Grundlagen des Versuches
2. Versuchsdurchführung
3. Auswertung und Fehlerberechnung
4. Anhang
0. Aufgabenstellung
1. Anhand zweier Messreihen der Schwingungsdauer eines Fadenpendels ist deren statistischer Charakter zu überprüfen.
2. Die Schwerebeschleunigung g ist mit Hilfe eines Fadenpendels zu ermitteln.
3. Aufgaben zur Versuchsdurchführung
3.1. Messen Sie im Umkehrpunkt und im Nulldurchgang jeweils 100 mal die Periodendauer einer Schwingung.
Für beide Messreihen sind jeweils Mittelwert, Standardabweichung, Vertrauensbereich des Mittelwertes, Messunsicherheit und relative Fehler zu berechnen.
Beide Messreihen sind auf eine Zeitachse ins Wahrscheinlichkeitsnetz einzutragen. Dazu teilen Sie die gewonnen Ergebnisse in jeweils 10 Werteklassen ein. Ermitteln Sie daraus die Mittelwerte sowie deren Standardabweichung grafisch und vergleichen Sie diese mit den Ergebnissen der Berechnung.
Stellen Sie die Häufigkeitsverteilung der genaueren Messreihe für die ersten 10, 50 und alle 100 Messwerte als Säulendiagramm in Abhängigkeit von der Schwingungsdauer dar.
3.2. Zur Bestimmung der Schwerebeschleunigung g messen Sie die Dauer von 1000 zusammenhängenden Schwingungen mit einer Stoppuhr. Geben Sie die Messunsicherheit für die Periodendauer T an. Ermitteln Sie die Pendellänge l durch Einzelmessung mit einem Bandmaß und bestimmen Sie. Berechnen Sie daraus die Messunsicherheit von g.
1. Grundlagen des Versuchs
1.1. Allgemeines
Ein mathematisches Pendel ist ein starrer Körper mit einer im allgemeinen horizontalen, fest vorgegebenen Drehachse, die nicht durch den Massenmittelpunkt des Körpers geht.
Nach einer Auslenkung führt das Pendel unter dem Einfluss der Schwerkraft Schwingungen um seine Ruhelage aus. In den Versuchen wird vorausgesetzt, dass die Reibung im Achsenlager vernachlässigbar klein ist, die Masse als Punktmasse angesehen wird und dass die Masse des Fadens unberücksichtigt bleibt.
1.2. Begriffserklärungen zum Versuch
1.2.1. Nulldurchgang:
Als Nulldurchgang wird der Punkt bezeichnet in dem sich das Pendel im Lot befindet. Vektoriell kann man das folgendermaßen beschreiben: Vektor sei der Abstand zwischen dem Ort an dem das Pendel befestigt ist und der Punktmasse des Pendels. Vektor sei der Vektor der durch die Erdanziehungskraft gebildet wird.
Wenn die Richtung von der Richtung von entspricht, dann befindet sich das Pendel im Nulldurchgang.
1.2.2. Umkehrpunkt:
Als Umkehrpunkt wir der Punkt bezeichnet, an dem das schwingende Pendel die Richtung der Schwingung ändert.
1.3. Benötigte Formelgleichungen zum Versuch
1.3.1. Bewegungsgleichung des mathematischen Pendels:
Bei kleinen Auslenkungen gilt:
Daraus folgt die Bewegungsgleichung des mathematischen Pendels für kleine Auslenkwinkel:
1.3.2. Gleichung der Periodendauer(T):
1.3.3. Gleichung zur Berechnung der Schwerebeschleunigung:
2. Versuchsdurchführung
2.1. Durchführung
- Kontrolle des Versuchsaufbaus (Aufbau war vorhanden)
- Messen der Periodendauer im Nulldurchgang für 100 Schwingungen
(siehe 1.Messreihe)
- Messen der Periodendauer im Umkehrpunkt für 100 Schwingungen
(siehe 2. Messreihe)
- Messen der Pendellänge
- Messen der Gesamtperiodendauer von 100 zusammenhängenden Schwingungen mit 2 Stoppuhren
2.2. Messwerte:
Pendellänge: l = 845 mm
Dauer für 100 zusammenhängende Schwingungen:
T1 = 187,2s
T2 = 187,1s
3. Auswertung und Fehlerberechnung
3.1. Grundlagen der Fehlerberechnung
3.1.1. Zufällige Fehler:
Ein zufälliger Fehler entsteht durch Ungenauigkeit in der menschlichen Wahrnehmung, wie z.b. die Reaktionszeit beim Messen mit der Stoppuhr.
3.1.2. Systematische Fehler:
Ein systematischer Fehler entsteht durch Ungenauigkeit in der Messapparatur, die durch Verschleiß, unsachgemäße Behandlung oder durch das Messprinzip selbst verursacht werden.
3.1.3. Absoluter Fehler:
3.1.4. Relativer Fehler:
3.1.5. Messfehler:
3.1.6. Mittelwert:
3.1.7. Empirische Standardabweichung:
3.1.8. Empirische Standardabweichung des Mittelwertes:
3.1.9. Vertrauensbereich des Mittelwertes:
3.1.10. Messunsicherheit:
3.1.11. Fehlerberechnung von g:
; ;
3.2. Fehlerberechnung für die Messreihe N (Nulldurchgang)
Mittelwert der Periodendauer:
Empirische Standardabweichung:
Empirische Standardabweichung des Mittelwertes:
Vertrauensbereich des Mittelwertes:
Absoluter Fehler:
Relative Fehler:
Ergebnis:
Messunsicherheit: für t=2 (95%)
3.3. Fehlerberechnung für die Messreihe U (Umkehrpunkt)
Mittelwert der Periodendauer:
Empirische Standardabweichung:
Empirische Standardabweichung des Mittelwertes:
Vertrauensbereich des Mittelwertes:
Absoluter Fehler:
Relative Fehler:
Ergebnis:
Messunsicherheit: für t=2 (95%)
3.4. Wahrscheinlichkeitsnetz
Summenhäufigkeit für die Messreihe N
Summenhäufigkeit für die Messreihe U
Die graphische Ermittlung von Standardabweichung und Mittelwert ergibt:
Für die Messreihe N: Für die Messreihe U:
3.5. Graphische Darstellung
3.5.1. Für die Messreihe N:
Die ersten 10 Werte:
Werteklassen (w) | von | bis | Mittelwert | Häufigkeit (h) | Summenhäufigkeit (hs) |
1 | 1,920 | 2,007 | 1,964 | 3 | 3 |
2 | 2,007 | 2,093 | 4,100 | 3 | 6 |
3 | 2,093 | 2,180 | 2,137 | 4 | 10 |
Die ersten 50 Werte:
Werteklassen (w) | von | bis | Mittelwert | Häufigkeit (h) | Summenhäufigkeit (hs) |
1 | 1,920 | 1,964 | 1,942 | 5 | 5 |
2 | 1,964 | 2,009 | 1,987 | 5 | 10 |
3 | 2,009 | 2,053 | 2,031 | 10 | 20 |
4 | 2,053 | 2,097 | 4,150 | 9 | 29 |
5 | 2,097 | 2,141 | 2,119 | 11 | 40 |
6 | 2,141 | 2,186 | 2,164 | 3 | 43 |
7 | 2,186 | 2,230 | 2,208 | 7 | 50 |
Für alle 100 Werte:
Werteklassen (w) | von | bis | Mittelwert | Häufigkeit (h) | Summenhäufigkeit (hs) |
1 | 1,900 | 1,933 | 1,917 | 2 | 2 |
2 | 1,933 | 1,966 | 1,950 | 7 | 9 |
3 | 1,966 | 1,999 | 1,983 | 6 | 15 |
4 | 1,999 | 2,032 | 2,016 | 22 | 37 |
5 | 2,032 | 2,065 | 2,049 | 12 | 49 |
6 | 2,065 | 2,098 | 2,082 | 12 | 61 |
7 | 2,098 | 2,131 | 2,115 | 15 | 76 |
8 | 2,131 | 2,164 | 2,148 | 7 | 83 |
9 | 2,164 | 2,197 | 2,181 | 6 | 89 |
10 | 2,197 | 2,230 | 2,214 | 11 | 100 |
3.5.2. Für die Messreihe U:
Die ersten 10 Werte:
Werteklassen (w) | von | bis | Mittelwert | Häufigkeit (h) | Summenhäufigkeit (hs) |
1 | 1,810 | 1,933 | 1,872 | 6 | 6 |
2 | 1,933 | 2,057 | 1,995 | 2 | 8 |
3 | 2,057 | 2,180 | 2,118 | 2 | 10 |
Die ersten 50 Werte:
Werteklassen (w) | von | bis | Mittelwert | Häufigkeit (h) | Summenhäufigkeit (hs) |
1 | 1,420 | 1,599 | 1,510 | 1 | 1 |
2 | 1,599 | 1,777 | 1,688 | 8 | 9 |
3 | 1,777 | 1,956 | 1,867 | 22 | 31 |
4 | 1,956 | 2,134 | 2,045 | 9 | 40 |
5 | 2,134 | 2,313 | 2,224 | 7 | 47 |
6 | 2,313 | 2,491 | 2,402 | 2 | 49 |
7 | 2,491 | 2,670 | 2,581 | 1 | 50 |
Für alle 100 Werte:
Werteklassen (w) | von | bis | Mittelwert | Häufigkeit (h) | Summenhäufigkeit (hs) |
1 | 1,420 | 1,545 | 1,483 | 1 | 1 |
2 | 1,545 | 1,670 | 1,608 | 1 | 2 |
3 | 1,670 | 1,795 | 1,733 | 17 | 19 |
4 | 1,795 | 1,920 | 1,858 | 36 | 55 |
5 | 1,920 | 2,045 | 1,983 | 17 | 72 |
6 | 2,045 | 2,170 | 2,108 | 14 | 86 |
7 | 2,170 | 2,295 | 2,233 | 9 | 95 |
8 | 2,295 | 2,420 | 2,358 | 3 | 98 |
9 | 2,420 | 2,545 | 2,483 | 1 | 99 |
10 | 2,545 | 2,670 | 2,608 | 1 | 100 |
3.6. Bestimmung der Schwerebeschleunigung g
3.6.1. Periodendauer T:
Die Messung der Periodendauer von 100 zusammenhängenden Schwingungen mit 2 Stoppuhren ergab: T1=187,2s und T2=187,1s. Dies entspricht dem Mittelwert von 187,15s. Also ist die Periodendauer der Einzelschwingung T=1,8715s ohne Fehlerberücksichtigung.
3.6.2. Messunsicherheit der Periodendauer T:
Als systematischer Fehler wird 1/100 Sekunde angenommen.
Der zufällige Fehler ergibt sich aus der Reaktionszeit des Menschen, die wir mit 0,2s angeben.
Daraus ergibt sich nun: ;
3.6.3. Bestimmung der Pendellänge l:
Gemessene Länge des Pendels: l=845mm
daraus folgt:
3.6.4. Berechnung von g:
daraus folgt:
nach dem einsetzen der Messwerte ergibt sich:
3.6.5. Berechnung der Messunsicherheit von g:
·
daraus folgt die Ableitung der Funktion g nach T und l:
;
Einsetzen in Gaußsches Fortpflanzungsgesetz:
nach einsetzen der Werte ergibt sich:
Ergebnis:
4. Anhang
Originalaufzeichnungen beim Versuch:
1. Messreihe (Nulldurchgang)
2. Messreihe (Umkehrpunkt
Bestimmung der Pendellänge
Dauer für 100 zusammenhängende Schwingungen
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