Eigenwerte von Matrizen zu berechnen ist ein Problem, das häufig in naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen auftritt. In der Theorie kann man mit Hilfe von Eigenwerten unter anderem Aussagen über die Stabilität von dynamischen Systemen machen. Außerdem spielen sie in der Stochastik, z.B. bei Markov-Ketten (Übergangswahrscheinlichkeiten, Brownsche Bewegung), eine wichtige Rolle. Nun einige Beispiele aus praktischen Anwendungen:
- in der Physik bei Schwingungsproblemen
- in der Chemie bei Verbrennungsprozessen
- in der Makroökonomie bei der Überprüfung von Marktstabilität
- in der Biologie bei Populationsmodellen
Die hierbei auftretenden Fragen bzw. Aufgaben sind z.B.: Wie berechnet man
- alle Eigenwerte und/oder alle Eigenvektoren für eine kleine Matrix (bis 10^3*10^3)?
- einen Eigenwert und/oder den zugehörigen Eigenvektor (betragsgrößter, -kleinster, mit größtem Realteil,...)?
- einige wenige Eigenwerte und gegebenenfalls die zugehörigen Eigenvektoren?
- einen Eigenvektor zu einem bekannten Eigenwert (Markov-Ketten)
Bei kleinen Matrizen, das heißt Matrizen der Größenordnung bis etwa 10^3*10^3, können diese mittels Householder-Transformationen auf Hessenberg-Form bzw. im hermiteschen
Fall auf Tridiagonal-Form zurückgeführt werden. Dann kann man z.B. mit der QR-Zerlegung die gewünschten Eigenwerte und/oder die zugehörigen Eigenvektoren berechnen.
In dieser Arbeit sollen Matrizen in der Größenordnung 10^3*10^3 bis 10^6*10^6 betrachtet werden. Da die erwähnten Standard-Algorithmen einen zu hohen Rechen- und Speicheraufwand verursachen, versucht man mittels Projektionsverfahren dieses große Problem auf ein kleines zu reduzieren, um darauf die Standardtechniken wieder anwenden und somit einen Teil des Spektrums approximieren zu können. Diese Arbeit hat die "Konvergenz von Krylov-Verfahren für Eigenwertprobleme" zum Thema.
Inhaltsverzeichnis
- Danksagung
- Erklärung
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Diplomarbeit befasst sich mit der Konvergenz von Krylov-Verfahren für Eigenwertprobleme. Ziel ist es, die verschiedenen Konvergenzeigenschaften dieser Verfahren zu untersuchen und zu vergleichen.
- Krylov-Verfahren
- Eigenwertprobleme
- Konvergenzverhalten
- Numerische Methoden
- Anwendungen in der Mathematik
Zusammenfassung der Kapitel
Die Diplomarbeit beginnt mit einer Danksagung an die Betreuerin und alle Unterstützer. Es folgt eine Erklärung, in der die eigenständige Erstellung der Arbeit und die Kennzeichnung aller Quellen bestätigt werden.
Schlüsselwörter
Krylov-Verfahren, Eigenwertprobleme, Konvergenz, numerische Mathematik, lineare Algebra.
Häufig gestellte Fragen
Was sind Krylov-Verfahren?
Krylov-Verfahren sind iterative numerische Methoden, die zur Lösung großer linearer Gleichungssysteme oder zur Berechnung von Eigenwerten bei sehr großen, oft dünnbesetzten Matrizen eingesetzt werden.
Warum nutzt man Projektionsverfahren für Eigenwertprobleme?
Bei Matrizen der Größenordnung 10^6 x 10^6 sind Standard-Algorithmen (wie QR-Zerlegung) zu rechen- und speicherintensiv. Projektionsverfahren reduzieren das große Problem auf ein kleineres Teilproblem, das lösbar ist.
In welchen Bereichen werden Eigenwertberechnungen benötigt?
Anwendungen finden sich in der Physik (Schwingungen), Chemie (Verbrennungsprozesse), Makroökonomie (Marktstabilität) und Biologie (Populationsmodelle).
Was bedeutet Konvergenz bei diesen Verfahren?
Konvergenz beschreibt, wie schnell und zuverlässig sich das iterative Verfahren dem tatsächlichen Eigenwert der Matrix annähert.
Können mit Krylov-Verfahren alle Eigenwerte berechnet werden?
Meist werden diese Verfahren genutzt, um nur einen Teil des Spektrums (z. B. die betragsgrößten oder -kleinsten Eigenwerte) zu approximieren, da die Berechnung aller Eigenwerte bei riesigen Matrizen oft unmöglich ist.
- Citation du texte
- Aktuar DAV, Dipl.-Math. Alexander Weiß (Auteur), 1998, Konvergenz von Krylov-Verfahren für Eigenwertprobleme, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/85906
