Die Arbeit ist in vier Kapitel aufgeteilt. Im ersten Kapitel werde ich den Leser in die Thematik einführen und ihm ein erstes Bild der linearen Optimierung vermitteln. Dabei gehe ich von drei verschiedenen Perspektiven aus, die zunehmend mathematische Aspekte aufgreifen.
In Kapitel 2 steht die lineare Optimierungsaufgabe als mathematisches Gebilde im Mittelpunkt meiner Betrachtungen. Nach einer auf rein mathematische Gesichtspunkte bezogenen Beschreibung der Problemstellung, wende ich mich den beiden Normalformen linearer Optimierungsaufgaben zu. Zunächst beschäftige ich mich sehr ausführlich mit der „Allgemeinen Form“. Ich gehe dabei besonders intensiv auf die geometrische Interpretation linearer Optimierungsaufgaben ein, sowie auf das graphische Lösungsverfahren, welches sich aus der geometrischen Interpretation im Fall des bzw. des ergibt. Der Grund dafür liegt in der Tatsache, dass beide Aspekte dazu beitragen, die charakteristischen Merkmale der Lösungsverfahren – und zwar sowohl die des graphischen als auch später die der rechnerischen - anschaulich zu verstehen. Danach führe ich das zur allgemeinen Form äquivalente Standardformat ein, und diskutiere deren Zusammenhang.
Im Hauptteil, dem dritten Kapitel, beschäftige ich mich mit der Herleitung des Simplex-Algorithmus, als das wichtigste rechnerische Lösungsverfahren der linearen Optimierung. Dabei ist es nicht mein Interesse, einen mathematisch korrekten Beweis für den gesamten Simplex-Algorithmus und dessen Elementen zu liefern. Vielmehr liegt mir daran, den Algorithmus möglichst anhand von Beispielen oder mithilfe der Anschauung zu entwickeln, da sich gerade auf diesem Weg bestimmte Möglichkeiten für die Umsetzung der Thematik der linearen Optimierung in der Schule bieten.
Zunächst befasse ich mich mit den geometrischen Eigenschaften konvexer Polyeder und deren algebraischer Beschreibung, bevor ich die einzelnen Elemente des Simplex-Algorithmus entwickele und diese schließlich zum Simplex-Algorithmus zusammenführe. Danach gehe ich kurz auf zwei Sonderfälle des Simplex-Algorithmus ein, nämlich die „Antizyklentechniken“ im Falle einer Entartung und die „Revidierte Form des Simplex-Algorithmus“.
Im letzten Kapitel spanne ich schließlich den Bogen von den Verfahren linearer Optimierungsprobleme hin zur Schule und untersuche dort deren Anwendungsmöglichkeiten und Relevanz.
Inhaltsverzeichnis
Abkürzungsverzeichnis
Verzeichnis der Abbildungen
Verzeichnis der Tabellen
Verzeichnis der Beispiele
Vorwort
1 Einleitung
1.1 Einordnung der Thematik „Lineare Optimierung“
1.1.1 Thematischer Kontext
1.1.2 Geschichtliche Einordnung
1.1.3 Mathematischer Kontext
2 Die lineare Optimierungsaufgabe
2.1 Mathematische Beschreibung der Problemstellung
2.2 Normalformen linearer Optimierungsaufgaben
2.2.1 Die allgemeine Form einer linearen Optimierungsaufgabe..
2.2.1.1 Definitionen und Erläuterungen
2.2.1.2 Geometrische Interpretation
2.2.1.3 Graphisches Lösungsverfahren
2.2.1.4 Beispiele
2.2.2 Das Standardformat einer linearen Optimierungsaufgabe...
2.2.2.1 Eine einführende Definition und Erläuterungen...
2.2.2.2 Die Beziehung zwischen der allgemeinen Form und dem Standardformat
2.2.2.3 Einige abschließende Definitionen
3 Rechnerische Lösungsverfahren linearer Optimierungsaufgaben
3.1 Die geometrischen Eigenschaften der Polyederecken
3.1.1 Algebraische Grundlagen
3.1.2 Die Eigenschaften konvexer Polyeder
3.1.3 Die Eigenschaften der Polyederecken
3.1.4 Ein rechnerisches „Verfahren“ für die Sekundarstufe I - Die algebraische Lösungsmethode
3.1.5 Zusammenfassung
3.2 Die Elemente des Simplex-Verfahrens
3.2.1 Ein Einstiegsbeispiel
3.2.2 Das Optimalitätskriterium einer Basislösung
3.2.3 Kriterium zum Austausch einer Basisvariablen gegen eine Nichtbasisvariable
3.2.4 Erstellen einer neuen Basisdarstellung
3.2.5 Das Simplextableau
3.2.6 Zusammenfassung der Simplexelemente
3.3 Die Grundform des Simplex-Algorithmus (GSV)
3.3.1 GSV einer Maximierungsaufgabe
3.3.2 GSV einer Minimierungsaufgabe
3.3.3 Beispiele
3.4 Sonderfälle des Simplex-Algorithmus
3.4.1 Antizyklentechniken
3.4.1.1 Die lexikographische Regel
3.4.1.2 Die Regel nach Bland
3.4.2 Die revidierte Form des Simplex-Algorithmus (rGSV)
3.4.2.1 Die Idee des rGSV
3.4.2.2 Der Algorithmus rGSV
3.4.2.3 Einige Vorteile der revidierten Simplexmethode gegenüber der ursprünglichen Simplexmethode..
3.5 Ausblick
4 Die lineare Optimierung und ihre Möglichkeiten in der Schule
4.1 Extremwertprobleme und ihre Rolle in Mathematik und Schule...
4.2 Notwendige mathematische Voraussetzungen zur Anwendung von Optimierungsverfahren
4.3 Lineare Optimierung und die Richtlinien und Lehrpläne
4.3.1 Prozessbezogene Kompetenzen
4.3.2 Inhaltsbezogene Kompetenzen
4.3.3 Lineare Optimierung: Konkrete Umsetzungsmöglichkeiten in der Schule
4.4 Schlussfolgernde Konsequenzen: Kann die lineare Optimierung die von der KMK geforderten Kompetenzen sinnvoll fördern?
5 Literaturverzeichnis
6 Anhang
6.1 Anhang 1: PISA-Ergebnisse der OECD-Staaten 2000
6.2 Anhang 2: PISA-Ergebnisse der OECD-Staaten 2003
Abkürzungsverzeichnis
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Verzeichnis der Abbildungen
Abb. 1.1: Bearbeitungskreislauf von Optimierungsproblemen
Abb. 2.1: Beschränkter zulässiger Lösungsbereich
Abb. 2.2: Leerer Lösungsbereich
Abb. 2.3: Unbeschränkter zulässiger Lösungsbereich
Abb. 2.4: Beispiele für konvexe und nicht konvexe Mengen
Abb. 2.5: Graphische Veranschaulichung der Lösung 2.4 ohne Zielfunktion
Abb. 2.6: Graphische Veranschaulichung der Lösung 2.4 mit Ziel- Funktion
Abb. 2.7: Graphische Veranschaulichung der Lösung zu Bsp. 2.5
Abb. 3.1: Graphische Veranschaulichung der Lösung zu Bsp. 2.6
Abb. 3.2: Graphische Veranschaulichung der Lösung zu Bsp. 3.1
Abb. 3.3: Graphische Veranschaulichung des Lösungsweges zu Bsp. 3.1
Verzeichnis der Tabellen
Tab. 2.1: Nährstoffangaben
Tab. 3.1: Tableau
Tab. 3.2: Lösungstableau zu Beispiel 3.1
Tab. 3.3: Normaltableau I
Tab. 3.4: Verkürztes Tableau I
Tab. 3.5: Normaltableau II
Tab. 3.6: Verkürztes Tableau II
Tab. 3.7: Starttableau I
Tab. 3.8: Starttableau II
Tab. 3.9a: Tableau Ia zu Bsp. 3.2
Tab. 3.9b: Tableau Ib zu Bsp. 3.2
Tab. 3.10a: Tableau IIa zu Bsp. 3.2
Tab. 3.10b: Tableau IIb zu Bsp. 3.2
Tab. 3.11: Tableau III zu Bsp. 3.2
Tab. 3.12: Tableau I zu Bsp. 3.3
Tab. 3.13: Tableau II zu Bsp. 3.3
Tab. 3.14: Tableau III zu Bsp. 3.3
Tab. 3.15: Normaltableau II
Tab. 3.16: Lösungstableau zu Beispiel 3.4
Tab. 3.17: Tableau I und II zu Bsp. 3.5
Tab. 3.18: Tableau III und IV zu Bsp. 3.5
Tab. 3.19: Tableau V und VI zu Bsp. 3.5
Tab. 3.20: Tableau VII zu Bsp. 3.5
Tab. 3.21: Ausgangstableau des rGSV
Tab. 3.22: Normaltableau des rGSV
Tab. 3.23: Revidiertes Tableau I
Tab. 3.24: Revidiertes Tableau I
Tab. 3.25: Revidiertes Tableau II
Tab. 3.26: Tableau I zu Bsp. 3.6
Tab. 3.27: Tableau II zu Bsp. 3.6
Tab. 3.28: Tableau III zu Bsp. 3.6
Tab. 3.29: Tableau VI zu Bsp. 3.6
Tab. 3.30: Tableau V zu Bsp. 3.6
Tab. 4.1: Mathematische Kompetenzen
Tab. 5.1: PISA-Ergebnisse der OECD-Staaten 2000
Tab. 5.2: PISA-Ergebnisse der OECD-Staaten 2003
Verzeichnis der Beispiele
Beispiel 2.1: Beschränkter zulässiger Bereich
Beispiel 2.2: Leerer zulässiger Lösungsbereich
Beispiel 2.3: Unbeschränkter zulässiger Bereich
Beispiel 2.4: Der Automobilhersteller
Beispiel 2.5: Der Viehzuchtbetrieb
Beispiel 2.6: Umwandlung eines (LP)-Problems in ein (P)-Problem
Beispiel 3.1: Bestimmung aller Basislösungen eines (P)-Problems
Beispiel 3.2: Simplex-Algorithmus bei einer Maximierungsaufgabe
Beispiel 3.3: Simplex-Algorithmus bei einer Minimierungsaufgabe
Beispiel 3.4: Lexikographische Regel
Beispiel 3.5: Regel nach Bland
Beispiel 3.6: Revidierte Form des Simplex-Algorithmus
Vorwort
Die vorliegende Examensarbeit beschäftigt sich schwerpunktmäßig mit linearen Verfahren der Optimierung, die dem Bereich des Operations Research zuzuordnen sind, sowie deren Möglichkeiten in der Schule.
Anlass für die Wahl dieses Themas war meine Teilnahme an der Vorlesung „Anwendungen der Mathematik“ an der Bergischen Universität Wuppertal im SS 2005, wo u.a. auch die sog. „Lineare Optimierung“ thematischer Bestandteil war. Trotz ihrer recht knappen Abhandlung, die sich auf die rein graphische Lösung linearer Optimierungsprobleme beschränkte, war ich - auch nach intensiverer Auseinandersetzung mit der Thematik - von diesem mathematischen Teilgebiet fasziniert, welches sich mir als sehr konkreter und anwendungsbezogener Bereich präsentierte und in ganz unterschiedlichen Lebensbereichen wiederzufinden war.
Die lineare Optimierung macht - meiner Meinung nach - recht deutlich, dass die Mathematik auch im alltäglichen Leben sinnvolle Anwendung findet und sich nicht fern von aller Vorstellungskraft befinden muss, was beides oft in der Gesellschaft - und vor allem auch von Schülern - propagiert wird. Damit verbindet dieser Bereich für mich, wie es kein anderes Gebiet der Mathematik vermag, konkrete, lebensnahe Probleme mit Lösungen in und durch Mathematik.
In dieser Begeisterung kam mir die Idee, dass damit die lineare Optimierung auch für die Schule attraktiv sein müsste und dem Mangel an Anwendungsbezogenheit ein Stück entgegentreten könnte.
1 Einleitung
Seit den ersten Veröffentlichungen der Ländervergleichsstudien wie PISA (Programme for International Student Assessment) und TIMMS (Third International Mathematics and Science Study) ist das momentan vorherrschende deutsche Schulsystem stark in die Kritik geraten, denn aus diesen Studien geht hervor, dass deutsche Schüler1 im internationalen Vergleich2 deutlich unter dem Durchschnitt abschneiden. Vor allem im Fachbereich Mathematik treten die Defizite u.a. besonders gravierend hervor. So haben die Ergebnisse, vor allem die der PISA-Studie aus dem Jahr 2000, für große Aufregung sowohl in der Bildungspolitik als auch in den Medien gesorgt und das Wort „PISA“ wurde zum Inbegriff aller Probleme des Bildungssystems3.
Nach diesem „PISA-Schock“ erfolgte von den verschiedensten Seiten und Interessensgruppen aus eine Überschwemmung der Öffentlichkeit mit Patentrezepten zur Lösung dieses Missstandes. Bis heute wurden aus dieser Fülle von Maßnahmen das Ganztagsschulprogramm des BMBF, die von Bund und Ländern finanzierte Bildungsberichterstattung und die Verbesserungen des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts als notwendig angesehene Bildungsreformen in den Anfängen umgesetzt.
Und tatsächlich zeigte sich nach der aktuellen PISA-Studie von 2003 eine leichte Verbesserung im Vergleich zur ersten Erhebung, wenn auch Deutschland weiterhin nur im Mittelfeld der Länder vorzufinden ist. Doch bei näherer Betrachtung fällt auf, dass diese Verbesserungen ausschließlich auf die Verbesserungen in den Gymnasien zurückzuführen sind, in den Hauptschulen wurden hingegen keine Fortschritte erzielt. Die Streuung der PISA-Ergebnisse ist damit noch größer geworden und so hoch wie in keinem anderen Land4. Es steht damit fest:
„Ein Durchschnittsplatz für Deutschland kann unter diesen Umständen nicht zufrieden stellen.“
So kommentierte auch die Bundesministerin Bulmahn die Ergebnisse der aktuellen PISA-Studie zu Recht. Und wieder wurde und wird nach Gründen und wirksamen Methoden gesucht, um Deutschlands Schüler endlich wieder an den Anschluss an die sog. Eliteländer5zu bringen.
Doch bevor man die Suche nach Bildungsreformen in dieser Art weiter betreibt, sollte man sich zunächst einmal die Frage stellen, ob es ausreichen kann die Qualitätsentwicklung im Schulsystem auf formale Aspekte der Schulorganisation oder die Optimierung bestehender Strukturen des Bildungssystems zu beschränken!
Nein, denn nicht die ökonomischen, sondern gerade die pädagogischen Werte sollten im Mittelpunkt der Betrachtungen stehen, so die Botschaft von BRÜGELMANN (vgl. [Brügelmann/Heymann 2002]). Das bedeutet, dass Qualitätsentwicklung im Schulsystem vor allem da ansetzen sollte, wo Bildung stattfindet, nämlich im Unterricht selbst.
So wird auch die Forderung nach einer „Veränderung der Unterrichtskultur“ erneut laut, wie sie bereits nach den Ergebnissen der ersten PISA-Studie von BLUM in [Blum/Neubrand 1998] geäußert wurde. Konkret für die Qualitätssteigerung im Mathematikunterricht bedeutet das primär die Forderung die Problemlösekompetenz der Schüler herauszubilden, wie es die Mathematikdidaktik schon seit langem nahe legt. In der aktuellen PISA-Studie ist dieser Ansatz bereits vertreten, indem zum ersten Mal der internationale Vergleich für den Bereich Problemlösen mit durchgeführt wurde6.
Basierend auf dieser Grundlage wird im Rahmen der aktuellen Diskussionen nun verstärkt darauf gedrängt, dass der Mathematikunterricht näher an den Bildungsstandards auszurichten ist, da eine solche Ausrichtung genau der Forderung nach einer Veränderung der Unterrichtskultur nachkommt. Diese Bildungsstandards sind von der Kultusministerkonferenz (KMK) für den mittleren Schulabschluss in Anlehnung an PISA 2000 erstellt worden7und bilden die Grundlage der aktuellen Richtlinien und Lehrplänen. Sie beinhalten folgende zentrale Forderungen an den Mathematikunterricht: Die Schüler sollen neben dem mathematischen Problemlösen, auch das mathematische Modellieren, Argumentieren, Darstellen und Kommunizieren erlernen, sowie den Umgang mit symbolischen, technischen und formalen Elementen der Mathematik.
Durch eine derartige Ausrichtung verändert sich der Schwerpunkt des Mathematikunterrichts hin zu einem problemlösenden, entdeckenden Unterricht, so dass dieser mehr wird als nur das Rechnen von Aufgaben. Es besteht darüber hinaus vielmehr die Chance, dass die Mathematik als lebendiges Fach erlebt, ihre Rolle bei der Erschließung von Problemen aus unterschiedlichen Lebensbereichen verdeutlicht und auf sie neugierig gemacht wird.
Die konkrete Umsetzung dieser Forderungen scheint jedoch - resultierend aus den schlechten Ergebnissen deutscher Schüler bei der PISA-Studie von 2003 - im Mathematikunterricht bisher kaum Resonanz gefunden zu haben.
Um diese Forderungen jedoch nicht weiterhin einfach im Raum stehen zu lassen, ohne sie in einen konkreten mathematischen Rahmen einzubinden, in welchem diese realisiert werden könnten, möchte ich an dieser Stelle die Aufmerksamkeit auf den komplexen Bereich der Extremwertaufgaben lenken. Dieser scheint, meiner Meinung nach, für die Ausbildung von den oben genannten mathematischen Kompetenzen einen geeigneten Raum zur Umsetzung zu bieten.
Ein besonderer Vorteil des Gebiets der Extremwertaufgaben liegt darin, dass diese auf allen Stufen des Gymnasiums, in Grund-, Real- und Hauptschulen sinnvoll behandelt werden können und zwar durch ganz vielfältige, den Alters- und Könnensstufen entsprechende Lösungsmethoden. So werden die ersten
Extremwertaufgaben mithilfe experimentell-konstruktiver und graphischer Verfahren gelöst. Später werden die Lösungsmethoden dann auf funktionalelementare Verfahren erweitert. Die Behandlung von Extremwertproblemen kann sich damit wie ein roter Faden durch den Mathematikunterricht ziehen, der immer neue Facetten aufgreift.
„Bei allem Streben nach Allgemeinheit sollte man nie vergessen, dass die bunte Vielfalt der individuellen Probleme für die Vitalität der Mathematik entscheidend ist.“8
In dieser Arbeit möchte ich zu dieser Vielfalt mathematischer Probleme beitragen und dem Leser eine ganz bestimmte, in der Schule bisher nur sehr selten berücksichtigte Art von Extremwertproblemen und deren Lösungsverfahren vorstellen und näher bringen. Diese Art kann nicht nur wegen ihres hohen Anwendungsbezugs die im Mathematikunterricht typisch behandelten Standardformen von Extremwertproblemen sinnvoll ergänzen, vielmehr beinhaltet dieser Extremwerttyp ein bisher kaum erkanntes und genutztes Potential nicht nur bzgl. der Herausbildung der geforderten mathematischen Kompetenzen. Es handelt sich bei diesem Typ um die „Lineare Optimierung“ und deren verschiedene Lösungsverfahren.
Der Titel der Arbeit, „Lineare Verfahren der Optimierung in der Mathematik und ihre Möglichkeiten in der Schule“, bietet zur näheren Erforschung eine ganze Fülle an mathematischen Möglichkeiten, die nicht alle berücksichtigt werden können. Um jedoch beiden Teilen des Themas, nämlich sowohl der mathematischen Erschließung linearer Optimierungsverfahren, was den Schwerpunkt meiner Arbeit bilden wird, als auch den Anwendungsmöglichkeiten solcher Verfahren in der Schule, gerecht zu werden, beschränke ich mich auf die grundlegendsten Verfahren, die stets auch eine Verwendung in der Schule finden können. Dazu zähle ich das graphische und das algebraische Verfahren, sowie das Simplex-Verfahren mit und ohne Tableaudarstellung.
Die Arbeit ist in vier Kapitel aufgeteilt. Im ersten Kapitel werde ich den Leser in die Thematik einführen und ihm ein erstes Bild der linearen Optimierung vermitteln. Dabei gehe ich von drei verschiedenen Perspektiven aus, die zunehmend mathematische Aspekte aufgreifen.
In Kapitel 2 steht die lineare Optimierungsaufgabe als mathematisches Gebilde im Mittelpunkt meiner Betrachtungen. Nach einer auf rein mathematische Gesichtspunkte bezogenen Beschreibung der Problemstellung, wende ich mich den beiden Normalformen linearer Optimierungsaufgaben zu. Zunächst beschäftige ich mich sehr ausführlich mit der „Allgemeinen Form“. Ich gehe dabei besonders intensiv auf die geometrische Interpretation linearer Optimierungsaufgaben ein, sowie auf das graphische Lösungsverfahren, welches sich aus der geometrischen Interpretation im Fall des [2] bzw. des [3]ergibt. Der Grund dafür liegt in der Tatsache, dass beide Aspekte dazu beitragen, die charakteristischen Merkmale der Lösungsverfahren - und zwar sowohl die des graphischen als auch später die der rechnerischen - anschaulich zu verstehen. Danach führe ich das zur allgemeinen Form äquivalente Standardformat ein, und diskutiere deren Zusammenhang.
Im Hauptteil, dem dritten Kapitel, beschäftige ich mich mit der Herleitung des Simplex-Algorithmus, als das wichtigste rechnerische Lösungsverfahren der linearen Optimierung. Dabei ist es nicht mein Interesse, einen mathematisch korrekten Beweis für den gesamten Simplex-Algorithmus und dessen Elementen zu liefern. Vielmehr liegt mir daran, den Algorithmus möglichst anhand von Beispielen oder mithilfe der Anschauung zu entwickeln, da sich gerade auf diesem Weg bestimmte Möglichkeiten für die Umsetzung der Thematik der linearen Optimierung in der Schule bieten.
Zunächst befasse ich mich mit den geometrischen Eigenschaften konvexer Polyeder und deren algebraischer Beschreibung, bevor ich die einzelnen Elemente des Simplex-Algorithmus entwickele und diese schließlich zum Simplex-Algorithmus zusammenführe. Danach gehe ich kurz auf zwei Sonderfälle des Simplex-Algorithmus ein, nämlich die „Antizyklentechniken“ im Falle einer Entartung und die „Revidierte Form des Simplex-Algorithmus“. Im letzten Kapitel spanne ich schließlich den Bogen von den Verfahren linearer Optimierungsprobleme hin zur Schule und untersuche dort deren Anwendungsmöglichkeiten und Relevanz. Nach einer kurzen, allgemeinen Beschreibung der Stellung von Extremwertproblemen im Schulunterricht, gehe ich speziell auf die lineare Optimierung ein. Zunächst untersuche ich, für welche Verfahren welche mathematischen Voraussetzungen notwendig sind. Danach betrachte ich die Richtlinien und Lehrpläne bzgl. der Thematik und stelle auf deren Basis heraus, ob die lineare Optimierung den von der KMK geforderten Bildungsstandards genügen kann. Aus den Ergebnissen beider Betrachtungen kristallisiere ich dann konkrete Umsetzungsmöglichkeiten der linearen Optimierung für die Schule heraus. Abschließend werde ich die gewonnen Ergebnissen bzgl. der Frage nach der sinnvollen Förderung mathematischer Kompetenzen durch die lineare Optimierung reflektieren und weitere Chancen herausstellen, die sich durch die Behandlung der lineare Optimierung im schulischen Mathematikunterricht ergeben können.
1.1 Einordnung der Thematik „Lineare Optimierung“
Mit diesem Kapitel verfolge ich den Zweck, den Leser in die Thematik der linearen Optimierung einzuführen. Dazu betrachte ich den Bereich der linearen Optimierung aus drei verschiedenen Perspektiven, um ein allgemeines Vorstellungsbild darüber zu vermitteln, was sich hinter diesem Begriff verbirgt. Dabei werde ich mich zunehmend der mathematischen Perspektive zuwenden.
[...]
1Ist in dieser Arbeit von „Schülern“ bzw. „Lehrern“ die Rede, so begründet sich diese Wortwahl allein auf der flüssigeren Lesbarkeit des Textes. Selbstverständlich sind damit stets „Schülerinnen und Schüler“ bzw. „Lehrerinnen und Lehrer“ gemeint.
2Im Anhang unter Kapitel 6 befinden sich Tabellen, in denen die Ergebnisse aller teilgenommenen Länder aus den Jahren 2000 und 2003 dokumentiert sind.
3Vgl. Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/PISA-Studien; Datum: 28.08.2006.
4 vgl. Quelle: http://www.bmbf.de/de/3292.php; Datum: 28.08.2006.
5Vgl. dazu das Abschneiden anderer Länder, das aus den Tabellen 6.1 und 6.2 im Anhang entnommen werden kann.
6 Vgl. Quelle: http://www.bmbf.de/de/3292.php; Datum: 28.08.2006.
7 Vgl. Quelle: http://www.bildungsportal.nrw.de/BP/Schulsystem/Qualitaetssicherung/ PISA/PISA_2003/PISA_E/index.html; Datum: 28.08.2006.
8 Vgl. [Courant/Robbins 1962].
- Quote paper
- Andrea Jänisch (Author), 2006, Lineare Verfahren der Optimierung in der Mathematik und ihre Möglichkeiten in der Schule, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/74682
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