Lineare Verfahren der Optimierung in der Mathematik und ihre Möglichkeiten in der Schule

Examination Thesis , 2006 , 137 Pages , Grade: 1,0

Mathematics - Applied Mathematics

Die Arbeit ist in vier Kapitel aufgeteilt. Im ersten Kapitel werde ich den Leser in die Thematik einführen und ihm ein erstes Bild der linearen Optimierung vermitteln. Dabei gehe ich von drei verschiedenen Perspektiven aus, die zunehmend mathematische Aspekte aufgreifen.
In Kapitel 2 steht die lineare Optimierungsaufgabe als mathematisches Gebilde im Mittelpunkt meiner Betrachtungen. Nach einer auf rein mathematische Gesichtspunkte bezogenen Beschreibung der Problemstellung, wende ich mich den beiden Normalformen linearer Optimierungsaufgaben zu. Zunächst beschäftige ich mich sehr ausführlich mit der „Allgemeinen Form“. Ich gehe dabei besonders intensiv auf die geometrische Interpretation linearer Optimierungsaufgaben ein, sowie auf das graphische Lösungsverfahren, welches sich aus der geometrischen Interpretation im Fall des bzw. des ergibt. Der Grund dafür liegt in der Tatsache, dass beide Aspekte dazu beitragen, die charakteristischen Merkmale der Lösungsverfahren – und zwar sowohl die des graphischen als auch später die der rechnerischen - anschaulich zu verstehen. Danach führe ich das zur allgemeinen Form äquivalente Standardformat ein, und diskutiere deren Zusammenhang.
Im Hauptteil, dem dritten Kapitel, beschäftige ich mich mit der Herleitung des Simplex-Algorithmus, als das wichtigste rechnerische Lösungsverfahren der linearen Optimierung. Dabei ist es nicht mein Interesse, einen mathematisch korrekten Beweis für den gesamten Simplex-Algorithmus und dessen Elementen zu liefern. Vielmehr liegt mir daran, den Algorithmus möglichst anhand von Beispielen oder mithilfe der Anschauung zu entwickeln, da sich gerade auf diesem Weg bestimmte Möglichkeiten für die Umsetzung der Thematik der linearen Optimierung in der Schule bieten.
Zunächst befasse ich mich mit den geometrischen Eigenschaften konvexer Polyeder und deren algebraischer Beschreibung, bevor ich die einzelnen Elemente des Simplex-Algorithmus entwickele und diese schließlich zum Simplex-Algorithmus zusammenführe. Danach gehe ich kurz auf zwei Sonderfälle des Simplex-Algorithmus ein, nämlich die „Antizyklentechniken“ im Falle einer Entartung und die „Revidierte Form des Simplex-Algorithmus“.
Im letzten Kapitel spanne ich schließlich den Bogen von den Verfahren linearer Optimierungsprobleme hin zur Schule und untersuche dort deren Anwendungsmöglichkeiten und Relevanz.

Inhaltsverzeichnis

• Abkürzungsverzeichnis
• Verzeichnis der Abbildungen
• Verzeichnis der Tabellen
• Verzeichnis der Beispiele
• Vorwort
• 1 Einleitung
• 1.1 Einordnung der Thematik „Lineare Optimierung“
• 1.1.1 Thematischer Kontext
• 1.1.2 Geschichtliche Einordnung
• 1.1.3 Mathematischer Kontext
• 2 Die lineare Optimierungsaufgabe
• 2.1 Mathematische Beschreibung der Problemstellung
• 2.2 Normalformen linearer Optimierungsaufgaben
• 2.2.1 Die allgemeine Form einer linearen Optimierungsaufgabe
• 2.2.1.1 Definitionen und Erläuterungen
• 2.2.1.2 Geometrische Interpretation
• 2.2.1.3 Graphisches Lösungsverfahren
• 2.2.1.4 Beispiele
• 2.2.2 Das Standardformat einer linearen Optimierungsaufgabe
• 2.2.2.1 Eine einführende Definition und Erläuterungen
• 2.2.2.2 Die Beziehung zwischen der allgemeinen Form und dem Standardformat
• 2.2.2.3 Einige abschließende Definitionen
• 3 Rechnerische Lösungsverfahren linearer Optimierungsaufgaben
• 3.1 Die geometrischen Eigenschaften der Polyederecken
• 3.1.1 Algebraische Grundlagen
• 3.1.2 Die Eigenschaften konvexer Polyeder
• 3.1.3 Die Eigenschaften der Polyederecken
• 3.1.4 Ein rechnerisches „Verfahren“ für die Sekundarstufe I - Die algebraische Lösungsmethode
• 3.1.5 Zusammenfassung
• 3.2 Die Elemente des Simplex-Verfahrens
• 3.2.1 Ein Einstiegsbeispiel
• 3.2.2 Das Optimalitätskriterium einer Basislösung
• 3.2.3 Kriterium zum Austausch einer Basisvariablen gegen eine Nichtbasisvariable
• 3.2.4 Erstellen einer neuen Basisdarstellung
• 3.2.5 Das Simplextableau
• 3.2.6 Zusammenfassung der Simplexelemente
• 3.3 Die Grundform des Simplex-Algorithmus (GSV)
• 3.3.1 GSV einer Maximierungsaufgabe
• 3.3.2 GSV einer Minimierungsaufgabe
• 3.3.3 Beispiele
• 3.4 Sonderfälle des Simplex-Algorithmus
• 3.4.1 Antizyklentechniken
• 3.4.1.1 Die lexikographische Regel
• 3.4.1.2 Die Regel nach Bland
• 3.4.2 Die revidierte Form des Simplex-Algorithmus (rGSV)
• 3.4.2.1 Die Idee des rGSV
• 3.4.2.2 Der Algorithmus rGSV
• 3.4.2.3 Einige Vorteile der revidierten Simplexmethode gegenüber der ursprünglichen Simplexmethode
• 3.5 Ausblick
• 4 Die lineare Optimierung und ihre Möglichkeiten in der Schule
• 4.1 Extremwertprobleme und ihre Rolle in Mathematik und Schule
• 4.2 Notwendige mathematische Voraussetzungen zur Anwendung von Optimierungsverfahren
• 4.3 Lineare Optimierung und die Richtlinien und Lehrpläne
• 4.3.1 Prozessbezogene Kompetenzen
• 4.3.2 Inhaltsbezogene Kompetenzen
• 4.3.3 Lineare Optimierung: Konkrete Umsetzungsmöglichkeiten in der Schule
• 4.4 Schlussfolgernde Konsequenzen: Kann die lineare Optimierung die von der KMK geforderten Kompetenzen sinnvoll fördern?
• 5 Literaturverzeichnis
• 6 Anhang
• 6.1 Anhang 1: PISA-Ergebnisse der OECD-Staaten 2000
• 6.2 Anhang 2: PISA-Ergebnisse der OECD-Staaten 2003

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Die Arbeit beschäftigt sich mit linearen Optimierungsverfahren in der Mathematik und ihren Einsatzmöglichkeiten in der Schule. Sie analysiert die mathematischen Grundlagen der linearen Optimierung und untersucht, wie diese im Schulunterricht angewendet werden können. Darüber hinaus wird die Relevanz der linearen Optimierung im Kontext der aktuellen Lehrpläne und der Entwicklung von Kompetenzen bei Schülern beleuchtet.

• Mathematische Grundlagen der linearen Optimierung
• Lösungsverfahren für lineare Optimierungsprobleme
• Einsatzmöglichkeiten der linearen Optimierung im Schulunterricht
• Relevanz der linearen Optimierung für die Entwicklung von Schülerkompetenzen
• Einordnung der linearen Optimierung im Kontext der aktuellen Lehrpläne

Zusammenfassung der Kapitel

• Kapitel 1: Einleitung: Dieses Kapitel bietet eine Einführung in die Thematik der linearen Optimierung und erläutert ihren thematischen, geschichtlichen und mathematischen Kontext.
• Kapitel 2: Die lineare Optimierungsaufgabe: Hier werden die mathematische Beschreibung der Problemstellung und die verschiedenen Normalformen linearer Optimierungsaufgaben vorgestellt. Die allgemeinen und Standardformen werden definiert und anhand von Beispielen erläutert.
• Kapitel 3: Rechnerische Lösungsverfahren linearer Optimierungsaufgaben: Dieses Kapitel befasst sich mit den geometrischen Eigenschaften der Polyederecken und stellt verschiedene rechnerische Lösungsverfahren vor, darunter die algebraische Lösungsmethode und das Simplex-Verfahren.
• Kapitel 4: Die lineare Optimierung und ihre Möglichkeiten in der Schule: In diesem Kapitel wird die Relevanz von Extremwertproblemen im Mathematikunterricht untersucht und die notwendigen mathematischen Voraussetzungen für die Anwendung von Optimierungsverfahren betrachtet. Die Integration der linearen Optimierung in die Richtlinien und Lehrpläne sowie die Förderung von Schülerkompetenzen durch diese Thematik werden diskutiert.

Schlüsselwörter

Lineare Optimierung, Optimierungsverfahren, Extremwertprobleme, Polyederecken, Simplex-Verfahren, Schulunterricht, Lehrpläne, Schülerkompetenzen, mathematische Modellierung, Anwendungsbezogene Mathematik.

• College: University of Wuppertal
• Grade: 1,0
• Author: Andrea Jänisch (Author)
• Publication Year: 2006
• Pages: 137
• Catalog Number: V74682
• ISBN (eBook): 9783638635264
• Language: German
• Tags: Lineare, Verfahren, Optimierung, Mathematik, Möglichkeiten, Schule