In der heutigen Zeit geht man nicht zuletzt aufgrund der rapiden Entwicklung der Computertechnik immer mehr dazu über, die bereits in digitaler Form vorliegenden Informationen auch digital zu übertragen, da hier Verzerrungen des Signals unerheblich sind und eine hundertprozentige Rekonstruktion möglich ist, solange die Information fehlerfrei zurückgewonnen werden kann.
Natürlich wird dabei eine möglichst bandbreiteneffiziente Übertragung angestrebt.
Um die Grundschwingung des digitalen Signals übertragen zu können, muss die Bandbreite des Kanals mindestens gleich der Nyquistbandbreite sein.
Durch die Sprungstellen bei Rechteckimpulsen haben diese ein langsam abklingendes Spektrum und es muss bei Begrenzung dieses Spektrums entweder eine gute Rekonstruktion stattfinden, die den durch den Übertragungskanal verursachten Verzerrungen entgegenwirkt, oder man verwendet zur Übertragung eine andere Impulsform.
Thema dieser Arbeit ist insbesondere die Untersuchung der Auswirkungen verschiedener Detektionsgrundimpulsformen auf das Augendiagramm des rekonstruierten Signals.
Die Impulsform und somit das daraus rekonstruierte Signal ist abhängig von Filtertyp, bei dem hier zunächst Filter mit Nyquistflanken untersucht werden, die eine symmetrische Gewichtsfunktion haben. Die resultierenden Augenmuster werden dann mit denen von Formfiltern mit unsymmetrischer Gewichtsfunktion, wie zum Beispiel Butterworth-, Cauer-, Tschebyscheff1- und Tschebyscheff2-Tiefpass verglichen und bewertet.
Zusätzlich wird die Veränderung der Augenform durch Rauschen und Phasenjittern betrachtet.
Um nicht nur einzelne Beispiele vorführen zu können, sind im Programm eine Vielzahl von Variationsmöglichkeiten zugelassen, für die eine übersichtliche Bedienoberfläche geschaffen wurde.
Es ist möglich das Nutzsignal beliebig selbst zu wählen oder zufällig erzeugen zu lassen, wobei nicht nur binäre sondern auch mehrstufige Signale zulässig sind. Auch Störeinflüsse vor und nach dem Übertragungskanal sowie Amplitudenschwankungen und Phasenjittern des Empfangssignals lassen sich simulieren. Die Kanaleigenschaften können durch Einstellung des Kanalfilters variiert werden und durch die Einbindung von Mathcad ist es möglich, sowohl Nyquisttiefpässe als auch verschiedene Filter dritter bis siebter Ordnung als Impulsformer zu verwenden.
Inhaltsverzeichnis
Verzeichnis der Abkürzungen und Formelzeichen
Verzeichnis der Abbildungen
1 Einleitung
2 Übertragung im Tiefpasskanal
3 Prinzip der Impulsformung
4 Filtertypen
4.1 Filter mit symmetrischer Gewichtsfunktion
4.1.1 Rechteck-Tiefpass
4.1.2 Trapez-Tiefpass
4.1.3 Cos²-Tiefpass
4.2 Filter mit unsymmetrischer Gewichtsfunktion
4.2.1 Cauer-Tiefpass
4.2.2 Butterworth-Tiefpass
4.2.3 Tschebyscheff1-Tiefpass
4.2.4 Tschebyscheff2-Tiefpass
5 Vergleich der Augendiagramme
5.1 Filter mit symmetrischer Gewichtsfunktion
5.2 Filter mit unsymmetrischer Gewichtsfunktion
5.3 Einfluss von Amplitudenschwankungen und Phasenjittern
6 Softwaredokumentation
6.1 Hinweise zur Installation
6.2 Menüpunkte
6.2.1 Menüpunkt Programm
6.2.2 Menüpunkt Nutz-/Störsignalquelle
6.2.3 Menüpunkt Ü-Kanal-Filter
6.2.4 Menüpunkt Impulsformer-Filter
6.2.5 Menüpunkt Hilfe
6.3 Einbindung von Mathcad
7 Zusammenfassung
8 Literaturverzeichnis
9 Anhang
10 Thesen
Verzeichnis der Abkürzungen und Formelzeichen
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Verzeichnis der Abbildungen
Abb. 2.1 Realer tiefpassbegrenzter Ü-Kanal
Abb. 2.2 Augenmuster des Empfangssignals
Abb. 3.1 Übertragungsstrecke mit Impulsformer vor dem Kanal
Abb. 3.2 Ternäres Nutzsignal
Abb. 3.3 Abgetastetes Nutzsignal
Abb. 3.4 Rekonstruiertes Nutzsignal
Abb. 3.5 Rekonstruiertes Nutzsignal nach dem Kanal
Abb. 3.6 Augenmuster des Empfangssignals nach Impulsformung
Abb. 3.7 Übertragungsstrecke mit Impulsformer nach dem Kanal
Abb. 4.1 Roll-off-Factor am Beispiel des Trapez-Tiefpasses
Abb. 4.2 |G(ω)| des Rechteck-Tiefpasses
Abb. 4.3 g(t) des Rechteck-Tiefpasses
Abb. 4.4 Rekonstruktion für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abb. 4.5 Rekonstruktion für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abb. 4.6 Rekonstruktion für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abb. 4.7 |G(ω)| des Trapez-Tiefpasses
Abb. 4.8 g(t) des Trapez-Tiefpasses
Abb. 4.9 Rekonstruiertes Signal
Abb. 4.10 |G(ω)| des Cos²-Tiefpasses
Abb. 4.11 g(t) des Cos²-Tiefpasses
Abb. 4.12 |G(ω)| des Cos²-Tiefpasses für r=1
Abb. 4.13 |G(ω)| des Cauer-Tiefpasses
Abb. 4.14 g(t) des Cauer-Tiefpasses
Abb. 4.15 |G(ω)| des Butterworth-Tiefpasses
Abb. 4.16 g(t) des Butterworth-Tiefpasses
Abb. 4.17 |G(ω)| des Tschebyscheff1-Tiefpasses
Abb. 4.18 g(t) des Tschebyscheff1-Tiefpasses
Abb. 4.19 |G(ω)| des Tschebyscheff2-Tiefpasses
Abb. 4.20 g(t) des Tschebyscheff2-Tiefpasses
Abb. 5.1 Augenmuster Trapez-/Cos²-Tiefpass
Abb. 5.2 Augenmuster Rechteck-Tiefpass
Abb. 5.3 Augenmuster Trapez-Tiefpass mit Kanalbegrenzung
Abb. 5.4 Signal vor und nach Kanalfilterung
Abb. 5.5 Augenmuster Butterworth-Tiefpass
Abb. 5.6 Augenmuster Cauer-Tiefpass
Abb. 5.7 Augenmuster Tschebyscheff1-Tiefpass
Abb. 5.8 Augenmuster Tschebyscheff2-Tiefpass
Abb. 5.9 Nutzsignalabtastung und -rekonstruktion
Abb. 5.10 Augenmuster mit Amplitudenschwankungen
Abb. 5.11 Augenmuster mit Phasenjittern
Abb. 5.12 Augenmuster mit extremem Phasenjittern
Abb. 5.13 Augenmuster mit Rauschen
Abb. 5.14 Augenmuster des Rekonstruktionssignals
Abb. 5.15 Signalverläufe für 50% Rauschamplitude
Abb. 5.16 Signalverläufe für 100% Rauschamplitude
Abb. 5.17 Signalverläufe für 150% Rauschamplitude
Abb. 5.18 Augenmuster für Signale mit unterschiedlicher Stufenanzahl
Abb. 6.1 Menüleiste
Abb. 6.2 Änderung des Dateipfades
Abb. 6.3 Fenster „Hauptprogramm“
Abb. 6.4 Fenster „Rekonstruiertes Signal“
Abb. 6.5 Fenster „Übersicht“
Abb. 6.6 Fenster „Nutzsignal mit Signalgenerator“
Abb. 6.7 Fenster „Manuelles Nutzsignal“
Abb. 6.8 Fenster „Ü-Kanal“
Abb. 6.9 Fenster „Weitere Filter“
1 Einleitung
In der heutigen Zeit geht man nicht zuletzt aufgrund der rapiden Entwicklung der Computertechnik immer mehr dazu über, die bereits in digitaler Form vorliegenden Informationen auch digital zu übertragen, da hier Verzerrungen des Signals unerheblich sind und eine hundertprozentige Rekonstruktion möglich ist, solange die Information fehlerfrei zurückgewonnen werden kann.
Natürlich wird dabei eine möglichst bandbreiteneffiziente Übertragung angestrebt.
Um die Grundschwingung des digitalen Signals übertragen zu können, muss die Bandbreite des Kanals mindestens gleich der Nyquistbandbreite sein.
Durch die Sprungstellen bei Rechteckimpulsen haben diese ein langsam abklingendes Spektrum und es muss bei Begrenzung dieses Spektrums entweder eine gute Rekonstruktion stattfinden, die den durch den Übertragungskanal verursachten Verzerrungen entgegenwirkt, oder man verwendet zur Übertragung eine andere Impulsform.
In dieser Arbeit wurden deshalb zwei Programme entwickelt, die ein digitales Übetragungssystem simulieren bei dem ein Impulsformertiefpass in diplom.vee als Rekonstruktionstiefpass nach dem Kanal und in diplom2.vee als Impulsformer vor dem Kanal verwendet wird.
Eine sehr gute Möglichkeit zur Beurteilung der Qualität des empfangenen Signals ist das Augendiagramm, bei dem die Augenöffnung Aufschluss darüber gibt, wie robust die Übertragung gegenüber additivem Rauschen sowie Phasenjittern ist.
Thema dieser Arbeit ist insbesondere die Untersuchung der Auswirkungen verschiedener Detektionsgrundimpulsformen auf das Augenmuster des rekonstruierten Signals.
Die Impulsform und somit das daraus rekonstruierte Signal ist abhängig von Filtertyp, bei dem hier zunächst Filter mit Nyquistflanken untersucht werden, die eine symmetrische Gewichtsfunktion haben. Die resultierenden Augenmuster werden dann mit denen von Formfiltern mit unsymmetrischer Gewichtsfunktion, wie zum Beispiel Butterworth-, Cauer-, Tschebyscheff1- und Tschebyscheff2-Tiefpass verglichen und bewertet.
Zusätzlich wird die Veränderung der Augenform durch Rauschen und Phasenjittern betrachtet.
Um nicht nur einzelne Beispiele vorführen zu können, sind im Programm eine Vielzahl von Variationsmöglichkeiten zugelassen, für die eine übersichtliche Bedienoberfläche geschaffen wurde.
Es ist möglich das Nutzsignal beliebig selbst zu wählen oder zufällig erzeugen zu lassen, wobei nicht nur binäre sondern auch mehrstufige Signale zulässig sind. Auch Störeinflüsse vor und nach dem Übertragungskanal sowie Amplitudenschwankungen und Phasenjittern des Empfangssignals lassen sich simulieren. Die Kanaleigenschaften können durch Einstellung des Kanalfilters variiert werden und durch die Einbindung von Mathcad ist es möglich, sowohl Nyquisttiefpässe als auch verschiedene Filter dritter bis siebter Ordnung als Impulsformer zu verwenden.
2 Übertragung im Tiefpasskanal
Bei der in Abbildung 2.1 dargestellten Signalübertragung im realen tiefpass-begrenzten Kanal werden die Spektralkomponenten der hohen Frequenzen, die für schnelle Änderungen im Signal verantwortlich sind, abgeschnitten. Aus diesem Grund tritt eine Glättung des Signals ein, die senkrechten Flanken der Rechteckimpulse werden verschliffen und benachbarte Impulse überlagern sich beziehungsweise löschen sich teilweise gegenseitig aus. Diese sogenannten Nachbarzeicheninterferenzen erschweren die Rekonstruktion des Nutzsignals.
Abbildung 2.1
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
In Abbildung 2.2 ist ein mögliches Augendiagramm des Empfangssignals zu sehen.
Das Augendiagramm wird gebildet, indem die empfangenen Impulse geeignet getriggert und übereinandergezeichnet werden.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2.2
Zur Wiederherstellung des Rechtecksignals wird das Empfangssignal zu den Detektionszeitpunkten abgetastet und mittels Entscheiderschwellen rekonstruiert.
Anhand der Augenöffnung kann festgestellt werden, wie groß der Abstand zur Entscheiderschwelle im Detektionszeitpunkt sein muss, um durch Rauschen bedingte Fehlentscheidungen zu verhindern. Der optimale Detektionszeitpunkt liegt immer im Maximum der Augenöffnung.
3 Prinzip der Impulsformung
Da Rechteckimpulse mit relativ hoher Bandbreite übertragen werden müssen, um die Nachbarzeicheninterferenzen gering zu halten, nutzt man andere Impulsformen, die eine bandbreiteneffizientere Übertragung ermöglichen.
Abbildung 3.1 zeigt eine Übertragungsstrecke unter Verwendung eines Impulsformers, wie sie in diplom2.vee simuliert wird.
Abbildung 3.1
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bei der Impulsformung wird zunächst das Nutzsignal abgetastet und mit dem jeweils um Tb verschobenen Detektionsgrundimpuls, der gleich der Gewichtsfunktion des verwendeten Impulsformers ist, gewichtet.
Diese verschobenen Impulse addieren sich dann wieder zum Gesamtsignal.
Die einzelnen Schritte des Vorgangs sind in den Abbildungen 3.2 bis 3.5 für den als Impulsformer häufig verwendeten Cos²-Tiefpass mit r=0,8 dargestellt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 3.2
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 3.3
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 3.4
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 3.5
Abbildung 3.2 zeigt das Nutzsignal, das abgetastet und mit der jeweils um Tb verschobenen Gewichtsfunktion beziehungsweise des Detektionsgrundimpulses des Cos²-Tiefpasses gewichtet wird, wie es in Abbildung 3.3 dargestellt ist. Dabei wurde für den Tiefpass die Nyquistfrequenz so gewählt, dass sie gleich der Bitfrequenz ist, wodurch die vorhergehenden beziehungsweise nachfolgenden Grundimpulse jeweils zu den Abtastzeitpunkten ihre Nullstellen haben und hier keine Interferenzen bilden. Die Addition dieser Grundimpulse und somit das rekonstruierte Signal ist in Abbildung 3.4 vor und in Abbildung 3.5 leicht verschliffen nach dem Übertragungskanal zu sehen.
Die Darstellung des Augendiagramms des Empfangssignals nach dem Kanal für diesen Fall zeigt Abbildung 3.6.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 3.6
Bei realen Übertragungsstrecken dieser Art wird als Empfangstiefpass ein MF-Empfänger gewählt, der an den Sendegrundimpuls angepasst ist, so dass in den Detektionszeitpunkten das größtmögliche Signal-Rausch-Verhältnis erreicht wird. Die Funktionsweise der MF-Empfänger ist in3 Abschnitt 6.4 genauer erläutert. In der Simulation unter diplom2.vee wurde dieses Empfangsfilter nicht mit berücksichtigt.
Abbildung 3.7 zeigt die im Programm diplom.vee simulierte Übertragungsstrecke.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 3.7
Hier wird der Impulsformer nicht vor sondern nach dem Kanal als Rekonstruktionstiefpass eingesetzt und die Abtastwerte des Empfangssignals werden mit dem Detektionsgrundimpuls gewichtet. Der Rekonstruktionstiefpass ist mit und ohne Kanalanpassung wählbar. Bei der Option „Mit Kanalanpassung“ wird das im Blockschaltbild mit Störsignal2 bezeichnete weiße Rauschen unterdrückt. Dabei wird wieder ein angepasstes Filter vor dem Kanal vorausgesetzt, das aber in der Simulation aus Gründen der Übersichtlichkeit und des Aufwands nicht berücksichtigt wurde.
4 Filtertypen
Nachfolgend werden die zur Impulsformung verwendeten Filtertypen vorgestellt, deren Gewichtsfunktionen die Form der Augenmuster bestimmen.
4.1 Filter mit symmetrischer Gewichtsfunktion
Rechteck-, Trapez- und Cos²-Tiefpass sind Filter, die eine symmetrische Gewichtsfunktion haben und somit als Impulsformer prädestiniert sind. Entscheidend für die Höhe der Vor- und Nachschwinger der Gewichtsfunktion sind der Phasengang, auf den hier nicht speziell eingegangen beziehungsweise der als linear angenommen wird und bei Trapez- und Cos²-Tiefpass der Roll-off-Factor r, der auch den Anstieg der sogenannten Nyquistflanken des Amplitudengangs bestimmt.
Als Beispiel ist hier in Abbildung 4.1 ein Trapez-Tiefpass mit den entsprechenden Frequenzen aufgeführt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 4.1
Wenn man Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten annimmt, dann ist der Roll-off-Factor als Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten definiert. Also werden mit steigendem r die Flanken flacher, was bei der Gewichtsfunktion eine Dämpfung der Vor- und Nachschwinger verursacht. Dafür erhöht sich allerdings die Grenzfrequenz wg und somit die benötigte Bandbreite. Die Flanken sind symmetrisch zur Nyquistfrequenz wN, so dass |G(ω)| immer den gleichen Flächeninhalt und an der Stelle wN den Wert 0,5 hat.
Einfluss und Bedeutung des Roll-off-Factors sind eingehender in2 Abschnitt 7.5.2 erläutert.
4.1.1 Rechteck-Tiefpass
Ein Rechteck im Spektralbereich korrespondiert mit einer Spaltfunktion im Zeitbereich, so dass sich aus der Übertragungsfunktion in Abbildung 4.2 die in Abbildung 4.3 dargestellte Gewichtsfunktion g(t) ergibt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 4.2
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 4.3
Generell wird g(t) nach folgender Formel berechnet.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
In diesem Fall ist Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten mit T=0.
Bei dem in Abschnitt 3 gezeigten Beispiel wurde für den Cos²-Tiefpass eine Nyquistfrequenz gewählt, die gleich der Bitfrequenz des Nutzsignals ist. Im Folgenden wird nun gezeigt, welche Auswirkungen eine nicht genau abgestimmte Nyquistfrequenz des Impulsformers hat. Dazu sind in Abbildung 4.4 abgetastetes und rekonstruiertes Nutzsignal für fN=fb dargestellt. Hier treten zu den Detektionszeitpunkten keine Störungen durch vorhergehende oder nachfolgende Grundimpulse auf, da diese hier ihre Nullstellen haben. In Abbildung 4.5 wurde Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und in Abbildung 4.6 Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gewählt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 4.4
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 4.5
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 4.6
Diese Abbildungen zeigen, dass es bei nicht optimal an das Nutzsignal angepassten Impulsformern sowohl aufgrund der Überlagerungen zu den Detektionszeitpunkten als auch durch die Breite des Grundimpulses zur Signalverfälschung kommt.
4.1.2 Trapez-Tiefpass
Die Abbildungen 4.7 und 4.8 zeigen Übertragungs- und Gewichtsfunktion eines Trapez-Tiefpasses, wobei für die gepunktete Funktion r=0,3 und für die durchgezogene r=0,7 gewählt wurde. Dadurch sind die Auswirkungen des Roll-off-Factors auf die Flankensteilheit der Übertragungsfunktion und auf die Höhe der Vor- und Nachschwinger der Gewichtsfunktion deutlich erkennbar.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 4.7
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 4.8
Für die Berechnung der Gewichtsfunktion wurde von folgendem in5 behandelten Zusammenhang ausgegangen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Trapezfunktion |G(ω)| setzt sich aus Rechteckfunktion und Dreieckfunktion zusammen, wobei die Rechteckfunktion im Spektralbereich mit einer einfachen und die Dreieckfunktion mit einer quadratischen Spaltfunktion im Zeitbereich korrespondiert. Die Analytik hierzu wird in4 Abschnitt 2.5 näher erläutert.
Für kleiner werdenden Roll-off-Factor r werden die Trapezflanken steiler und der Einfluss der Dreieckfunktion nimmt ab. Wenn im Extremfall r=0 ist handelt es sich nur noch um eine reine Rechteckfunktion, beziehungsweise bei r=1 um eine reine Dreieckfunktion.
Abbildung 4.9 zeigt, dass für r=0.8 Vor- und Nachschwinger des Detektionsgrundimpulses bereits stark gedämpft sind und somit ein wesentlich besser rekonstruiertes Signal entsteht als bei dem in Abbildung 4.4 eingesetzten Rechtecktiefpass.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 4.9
4.1.3 Cos²-Tiefpass
Wie beim Trapez-Tiefpass wirkt sich eine Änderung des Roll-off-Factors auf Übertragungs- und Gewichtsfunktion des Cos²-Tiefpasses aus, die in den Abbildungen 4.10 und 4.11 gepunktet für r=0,3 und durchgezogen für r=0,7 dargestellt sind.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 4.10
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 4.11
Zur Berechnung der Gewichtsfunktion wurde die in5 und in3 Abschnitt 6.6 angegebene Formel verwendet.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der Nenner bewirkt hier sogar einen quadratischen Abfall der Vor- und Nachschwinger von g(t).
Abgetastetes und rekonstruiertes Signal bei r=0,8 sind für den bereits unter 3 als Beispiel verwendeten Cos²-Tiefpass in den Abbildungen 3.3 und 3.4 dargestellt. Wie beim Trapez-Tiefpass erfolgt auch hier eine sehr gute Signalrekonstruktion.
Die Verwendung eines Cos²-Tiefpasses mit dem Roll-off-Factor r=1 als Übertragungskanalfilter, dessen Übertragungsfunktion noch einmal in Abbildung 4.12 sichtbar ist, kommt dem in der Realität typischen gaußförmigen Verlauf am nahesten.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 4.12
4.2 Filter mit unsymmetrischer Gewichtsfunktion
Da durch unsymmetrische Detektionsgrundimpulse besonders interessante Augenmuster der rekonstruierten Signale entstehen, wurden für die nachfolgend vorgestellten vier Filtertypen Programme unter Mathcad geschrieben, mit denen Übertragungs- und Gewichtsfunktion für Tiefpässe dritter bis siebter Ordnung berechnet und in HP VEE eingebunden werden können.
Die Beispiele sind mit den aus6 übernommenen PN-Daten jeweils für eine maximale Durchlassdämpfung von aD=0,2 dB und aD=1 dB und bei Butterworth-Filtern von aD=3 dB berechnet worden. Für die Sperrdämpfung der Cauer- und Tschebyscheff2-Filter dritter bis sechster Ordnung wurde as=30 dB beziehungsweise bei siebter Ordnung as=40 dB angenommen.
4.2.1 Cauer-Tiefpass
Die Abbildungen 4.13 und 4.14 zeigen Übertragungs- und Gewichtsfunktion eines Cauer-Tiefpasses links vierter und rechts siebter Ordnung für aD=1 dB.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 4.13
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 4.14
Vergleicht man die Übertragungsfunktionen, dann stellt man bei beiden zunächst die typische Welligkeit im Übergangs- und Sperrbereich fest. Auffallend ist auch, dass der Cauer-Tiefpass siebter Ordnung eine höhere Flankensteilheit und eine durch die vier zusätzlichen Nullstellen stärker gedämpfte Welligkeit im Sperrbereich hat.
Die Übertragungsfunktionen wurden folgendermaßen berechnet.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten n=7
In Abbildung 4.14 ist erkennbar, dass die Form der Gewichtsfunktion stark abhängig von den PN-Daten ist, was sich auch auf die entstehenden Augenmuster auswirken wird.
Zur Berechnung von g(t) wurde bei allen Filtern der in5 behandelte Residuensatz angewendet, der hier einmal als Beispiel für n=4 aufgeführt ist.
Allgemein gilt für die Entwicklung eines Pols bei p=p∞n
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
und für diesen Fall
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.
Somit folgt für die Gewichtsfunktion
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.
Hierbei werden die Residuen für jeden Pol berechnet und diese mit der jeweiligen Verschiebung multipliziert. Die Gewichtsfunktion setzt sich additiv aus den durch die einzelnen Pole verursachten Partialschwingungen zusammen. Da der Residuensatz nur für positive Zeiten definiert ist, wird mit der Sprungfunktion multipliziert.
Zur Kontrolle wurde g(t) zusätzlich über Korrespondenzen aus1 ermittelt. Aufgrund des Umfangs wird hierzu und auch für die Berechnung der Gewichtsfunktionen der nachfolgend vorgestellten Filter auf die Mathcad-Programme im Anhang verwiesen, wo die einzelnen Berechnungsschritte ausführlich aufgeführt sind.
4.2.2 Butterworth-Tiefpass
Abbildung 4.15 zeigt den typischen Verlauf der Übertragungsfunktion des Butterworth-Tiefpasses, der maximal flach im Durchlass- und im Sperrbereich verläuft. Auch hier stellt man beim Vergleich der Tiefpässe vierter und siebter Ordnung eine mit steigender Ordnung zunehmende Flankensteilheit fest, die durch die Polstellenanzahl beeinflusst wird.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 4.15
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Wegen der fehlenden Nullstellen klingt die Übertragungsfunktion langsamer ab als beim Cauer-Tiefpass.
Abbildung 4.16 zeigt, dass die Gewichtsfunktionen mit steigender Ordnung sowohl breiter als auch stärker verzögert wird und sich somit je nach Grad des Filters auch unterschiedliche Augenmuster ergeben werden.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 4.16
4.2.3 Tschebyscheff1-Tiefpass
Übertragungs- und Gewichtsfunktion des Tschebyscheff1-Tiefpasses werden nach den gleichen Formeln wie die des Cauer-Tiefpasses berechnet. Die Tiefpässe unterscheiden sich lediglich in der Wahl der PN-Daten.
In Abbildung 4.17 ist der typische Verlauf der Übertragungsfunktion zu sehen, die im Durchlassbereich wellig und im Sperrbereich maximal flach ist.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 4.17
Abbildung 4.18 zeigt eine breitere und für n=7 noch stärker verzögerte Gewichtsfunktion mit geringerem Maximum und stärkeren Nachschwingern als die des Cauer-Tiefpasses.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 4.18
4.2.4 Tschebyscheff2-Tiefpass
Die in Abbildung 4.19 dargestellten Übertragungsfunktionen zeigen einen maximal flachen Verlauf im Durchlass- und einen welligen im Sperrbereich. Auch hier ist die höhere Flankensteilheit beim Tiefpass siebter Ordnung zu erkennen.
G(ω) wird nach
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
beziehungsweise nach
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
berechnet.
Für n=7 unterscheidet sich die Übertragungsfunktion nur in der Wahl der PN-Daten von der des Cauer-Tiefpasses siebter Ordnung, da beide jeweils sechs Null- und sieben Polstellen haben.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 4.19
Abbildung 4.20 zeigt deutliche Unterschiede der Gewichtsfunktionen besonders bei t=0.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 4.20
Generell kann man sagen, dass bei allen Tiefpässen höherer Ordnung g(t) breiter wird und höhere Nachschwinger bekommt, während der Maximalwert kleiner wird.
Dadurch ergibt sich bei Integration immer der gleiche Flächeninhalt und die Sprungfunktion pegelt sich auf den Wert 1 ein.
[...]
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