Wenn wir uns die Aufgabe stellen, ein Bogenstück durch ein Geradenstück so anzunähern, dass der unterschied zwischen beiden Linien möglichst klein wird, so werden wir die Gerade immer so zu legen versuchen, dass sowohl rechts als auch links von ihr die maximale Abweichung gleich wird. Beispielsweise käme niemand auf die Edee, den Halbkreis durch eine Linie anzunähern, die genau dem Durchmesser entlangläuft. Vielmehr wird man hier die Gerade in die Mitte zu legen versuchen. Genau diese Idee verwendet Euler, um eine möglichst genaue Karte des russischen Reiches zu zeichnen: Er nähert die Erdkugel so durch eine Ebene an, dass der Fehler am nördlichsten Punkt, am südlichsten Punkt und "irgendwo in der Mitte" gleich ist. Nun könnte man vermuten, dass sie beste Näherung hier von der Lage dieses Punktes abhängt, jedoch nach dem Alternantensatz hängt vielmehr der Punkt von der Größe des minimale maximalen Fehlers ab, bzw. beide Werte korrespondieren miteinander.
Der Satz, von dem in dieser Arbeit die Rede sein wird, verallgemeinert dieses im Falle von Gerade und Bogen noch sehr anschauliche Problem auf reelwertige stetige Funktionen, die durch Polynome, bzw. im noch allgemerineren Fall, auf Funktionen, die der Haar'schen Bedingung genügen, angenähert werden.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Der Alternantensatz
- Vereinbarungen
- Die Alternantenbedingung als hinreichende Bedingung
- Der direkte Beweis
- ,,Null in der konvexen Hülle”
- Diskussion
- Maximale lineare Funktionale
- Approximation auf einer Punktmenge
- Beweis des Alternantensatzes
- Diskussion. Eine konstruktive Anwendung des Satzes von Kolmogorov
- Eine Anwendung des Lemmas von Zorn
- Eine minimale Menge, die die Bestapproximation bestimmt minimale Menge
- ẞ enthält nur Abweichungspunkte von f — po
- Beweisschluß. Alternation
- Vorläufer des Alternantensatzes
- Eulers Analyse des Delisle’schen Kartennetzentwurfs
- Die Delisle'sche Kartenprojektion
- Die Methode
- Lagebestimmung der Punkte P und Q
- Minimierung des Projektionsfehlers
- Diskussion
- Ein bestes Planetenmodell von Laplace
- Eine Näherungsformel zur Berechnung eines Ellipsenbogenstücks
- Die Bogenlänge eines Ellipsenstücks
- Das charakteristische Gleichungssystem.
- Die Alternantenbedingung als hinreichende Bedingung
- Die Alternantenbedingung als notwendige Bedingung
- Bestimmung der Maximalfehler . .
- Bestimmung des größten Fehlers
- Bestimmung des kleinsten Fehlers
- Bestimmung der besten Ellipse
- Anwendung auf Erdvermessungen
- Diskussion. Ein diskretes Approximationsproblem
- Die Petersburger Mathematische Schule
- Die Anstöße zur Theorieentwicklung.
- Der Watt'sche Mechanismus
- Čebyševs Auslandsreise...
- Die Poncelet'schen Näherungsformeln.
- Erste Theorieansätze bei Čebyšev
- Charakteristische Gleichungen
- Ansätze für reell-analytische Funktionen
- Das am wenigsten von Null abweichende Polynom (n + 1)-ten Grades mit vorgegebenem ersten Koeffizienten
- Der Fall m = 0
- Bemerkung. Alternanten
- Erste theoretische Ausarbeitungen
- Problemstellung. .
- Ein allgemeines notwendiges Kriterium
- Die Anzahl der Abweichungspunkte. Fallunterscheidungen
- Polynomapproximation. .
- Bewertung der „Fragen über Minima [...]”
- Zum weiteren Werk Pafnutij L'vovič Čebyševs
- Kein Beweis des Alternantensatzes
- Einige Spezialfälle bei Čebyševs Schülern
- Egor Ivanovič Zolotarev
- Das frühe Werk von Andrej Andreevič Markov
- Über eine Frage von D. I. Mendeleev. Ein Alternantensatz.
- Vladimir Andreevič Markov
- Ein Alternantensatz von V. A. Markov
- Die Aufgabenstellung. Ein Hilfssatz.
- Die ersten Beweise des Alternantensatz
- Blichfeldts Bemerkung
- Kirchbergers Dissertation. Ein erster Beweis
- Rückgriff auf Čebyšev
- Der Beweis des Alternantensatzes
- Fast im Ziel
- E. Borels Vorlesungen
- Der Alternantensatz als Hilfssatz für den Eindeutigkeitssatz
- Bemerkung zu Borels Quellen
- A. A. Markovs Vorlesungen
- Young füllt die letzte Lücke
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Arbeit befasst sich mit dem Alternantensatz in der Geschichte der besten Čebyšev-Approximation. Sie untersucht die Entwicklung des Satzes von seinen ersten Ansätzen bis hin zu den ersten vollständigen Beweisen. Die Arbeit verfolgt dabei das Ziel, die historische Entwicklung des Satzes zu beleuchten und die verschiedenen Beiträge von bedeutenden Mathematikern zu analysieren.
- Die historische Entwicklung des Alternantensatzes
- Die verschiedenen Beiträge von bedeutenden Mathematikern zur Theorie der besten Approximation
- Die Rolle des Alternantensatzes in der Geschichte der Mathematik
- Die Anwendung des Alternantensatzes in verschiedenen Bereichen der Mathematik
- Die Weiterentwicklung des Alternantensatzes in der modernen Mathematik
Zusammenfassung der Kapitel
- Kapitel 1: Der Alternantensatz: Dieses Kapitel stellt den Alternantensatz vor und erläutert seine Bedeutung in der Theorie der besten Approximation. Es werden verschiedene Beweise des Satzes diskutiert und einige Anwendungen des Satzes in der Praxis gezeigt.
- Kapitel 2: Vorläufer des Alternantensatzes: Dieses Kapitel befasst sich mit den ersten Ansätzen zur Entwicklung des Alternantensatzes. Es werden die Arbeiten von Euler und Laplace im Bereich der Approximationstheorie vorgestellt und deren Bedeutung für die spätere Entwicklung des Alternantensatzes hervorgehoben.
- Kapitel 3: Die Petersburger Mathematische Schule: Dieses Kapitel beleuchtet die Beiträge der Petersburger Mathematischen Schule zur Theorie der besten Approximation. Es wird die Rolle von Čebyšev und seinen Schülern bei der Entwicklung des Alternantensatzes untersucht.
- Kapitel 4: Die ersten Beweise des Alternantensatz: Dieses Kapitel beleuchtet die ersten vollständigen Beweise des Alternantensatzes. Es werden die Arbeiten von Blichfeldt, Kirchberger, Borel und Young diskutiert und deren Bedeutung für die Entwicklung der Approximationstheorie hervorgehoben.
Schlüsselwörter
Die wichtigsten Schlüsselwörter in dieser Arbeit sind: Alternantensatz, Čebyšev-Approximation, beste Approximation, Approximationstheorie, historische Entwicklung, Mathematikgeschichte, Euler, Laplace, Čebyšev, Blichfeldt, Kirchberger, Borel, Young.
- Quote paper
- Karl-Georg Steffens (Author), 1994, Über Alternationskriterien in der Geschichte der Besten Chebyshev-Approximation, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/6006
