Über Alternationskriterien in der Geschichte der Besten Chebyshev-Approximation

Diploma Thesis , 1994 , 114 Pages , Grade: 1,3

Mathematics - Analysis

Wenn wir uns die Aufgabe stellen, ein Bogenstück durch ein Geradenstück so anzunähern, dass der unterschied zwischen beiden Linien möglichst klein wird, so werden wir die Gerade immer so zu legen versuchen, dass sowohl rechts als auch links von ihr die maximale Abweichung gleich wird. Beispielsweise käme niemand auf die Edee, den Halbkreis durch eine Linie anzunähern, die genau dem Durchmesser entlangläuft. Vielmehr wird man hier die Gerade in die Mitte zu legen versuchen. Genau diese Idee verwendet Euler, um eine möglichst genaue Karte des russischen Reiches zu zeichnen: Er nähert die Erdkugel so durch eine Ebene an, dass der Fehler am nördlichsten Punkt, am südlichsten Punkt und "irgendwo in der Mitte" gleich ist. Nun könnte man vermuten, dass sie beste Näherung hier von der Lage dieses Punktes abhängt, jedoch nach dem Alternantensatz hängt vielmehr der Punkt von der Größe des minimale maximalen Fehlers ab, bzw. beide Werte korrespondieren miteinander.
Der Satz, von dem in dieser Arbeit die Rede sein wird, verallgemeinert dieses im Falle von Gerade und Bogen noch sehr anschauliche Problem auf reelwertige stetige Funktionen, die durch Polynome, bzw. im noch allgemerineren Fall, auf Funktionen, die der Haar'schen Bedingung genügen, angenähert werden.

Inhaltsverzeichnis

• Verzeichnis der Abbildungen
• Einleitung
• Danksagung
• Der Alternantensatz
  • Vereinbarungen
  • Die Alternantenbedingung als hinreichende Bedingung
  • Der direkte Beweis
  • „Null in der konvexen Hülle"
  • Maximale lineare Funktionale
    • Approximation auf einer Punktmenge
    • Beweis des Alternantensatzes
    • Diskussion. Eine konstruktive Anwendung des Satzes von Kolmogorov
  • Eine minimale Menge, die die Approximation bestimmt
  • Beweisschluß. Alternation
• Vorläufer des Alternantensatzes
  • Eulers Analyse des Delisle'schen Kartennetz-entwurfs
    • Die Delisle'sche Kartenprojektion
    • Die Methode
    • Lagebestimmung der Punkte P und Q
    • Minimierung des Projektionsfehlers
    • Diskussion
  • Ein bestes Planetenmodell von Laplace
    • Eine Näherungsformel zur Berechnung eines Ellipsenbogenstücks
    • Das charakteristische Gleichungssystem
    • Die Alternantenbedingung als hinreichende Bedingung
    • Die Alternantenbedingung als notwendige Bedingung
    • Bestimmung der Maximalfehler
      • Bestimmung des größten Fehlers
      • Bestimmung des kleinsten Fehlers
      • Bestimmung der besten Ellipse
    • Anwendung auf Erdvermessungen
    • Diskussion. Ein diskretes Approximationsproblem
• Die Petersburger Mathematische Schule
  • Die Anstöße zur Theorieentwicklung
    • Cebysevs Auslandsreise
    • Die Poncelet'schen Näherungsformeln
    • Der Watt'sche Mechanismus
  • Erste Theorieansätze bei Cebysev
    • Charakteristische Gleichungen
    • Ansätze für reell-analytische Funktionen
    • Das am wenigsten von Null abweichende Polynom n-ten Grades mit vorgegebenem ersten Koeffizienten
    • Bemerkung. Alternanten
  • Erste theoretische Ausarbeitungen
    • Problemstellung
    • Ein allgemeines notwendiges Kriterium
    • Die Anzahl der Abweichungspunkte. Fallunterscheidungen
    • Bewertung der „Fragen über Minima"
  • Zum weiteren Werk Pafnutij L'vovié Cebysevs
    • Kein Beweis des Alternantensatzes
  • Einige Spezialfälle bei Cebygevs Schülern
    • Egor Ivanoviö Zolotarev
    • Das frühe Werk von Andrej Andreeviö Markov
      • Über eine Frage von D. I. Mendeleev. Ein Alternantensatz.
    • Vladimir Andreeviö Markov
      • Die Aufgabenstellung. Ein Hilfssatz
      • Ein Alternantensatz von V. A. Markov
• Die ersten Beweise des Alternantensatz
  • Blichfeldts Bemerkung
  • Kirchbergers Dissertation. Ein erster Beweis
    • Rückgriff auf Cebygev
    • Der Beweis des Alternantensatzes
    • Fast im Ziel
  • Emile Borels Vorlesungen über reelle Funktionen und Potenzreihenentwicklungen
    • Der Alternantensatz als Hilfssatz für den Eindeutigkeitssatz
    • Bemerkung zu Borels Quellen
  • Andrej A. Markovs Vorlesungen über Funktionen, die am wenigsten von Null abweichen
  • Young füllt die letzte Lücke
• Anhang A
  • Beantragung einer Reise zur Londoner Maschinenansstellung
  • Der Aufenthalt in Frankreich
    • Beschränkung des Forschungsprogramms
    • Rechenschaftsbericht über die Dienstreise nach Frankreich
  • Der Aufenthalt in England
• Anhang B
  • Der Beweis des Alternantensatzes von A. A. Markov (1906)
• Literaturverzeichnis

Zielsetzung und Themenschwerpunkte

Diese Diplomarbeit beschäftigt sich mit der Geschichte des Alternantensatzes in der Theorie der besten Ceb$ev-Approximation. Sie analysiert verschiedene Beweise des Satzes, untersucht historische Problemstellungen, die das Alternationsprinzip zur Bestimmung von Näherungslösungen verwendeten, und zeichnet den Weg von konkreten Problemen zur Bildung einer einheitlichen Theorie der Besten Approximation nach, wie er von P. L. Ceb$ev und seinen Schülern beschritten wurde. Die Arbeit zielt darauf ab, die ersten Beweise des Alternantensatzes vorzustellen und die Frage zu klären, wer den Satz zuerst bewiesen hat.

• Die Entwicklung des Alternantensatzes als notwendiges und hinreichendes Kriterium für die beste Ceb$ev-Approximation
• Die Rolle von P. L. Ceb$ev und seiner Schüler in der Entwicklung der Approximationstheorie
• Die Anwendung des Alternationsprinzips in historischen Problemen der Mechanismentheorie, Kartographie und Astronomie
• Die verschiedenen Beweise des Alternantensatzes und ihre historischen Zusammenhänge
• Die Bedeutung der algebraischen und funktionentheoretischen Ansätze in der Approximationstheorie

Zusammenfassung der Kapitel

Das erste Kapitel analysiert den Alternantensatz und seine verschiedenen Beweise. Es werden sowohl moderne Beweise, die auf der Konstruktion von maximalen Punktfunktionalen und dem Hahn-Banach'schen Satz sowie dem Satz von Kolmogorov beruhen, als auch ein direkter Beweis, der auf Verschiebungsargumenten basiert, vorgestellt. Der Alternantensatz wird als ein wichtiges Werkzeug zur Charakterisierung der Minimallösung des Approximationsproblems durch Polynome dargestellt.

Das zweite Kapitel beleuchtet historische Vorläufer des Alternantensatzes. Es werden Eulers Analyse des Delisle'schen Kartennetz-entwurfs, die Anwendung des Alternationsprinzips zur Konstruktion einer bestmöglichen Karte, und Laplaces Bestimmung eines besten Planetenmodells anhand von Beobachtungen und der Minimierung des maximalen Fehlers zwischen beobachteten und berechneten Meridianen untersucht. Diese Beispiele zeigen, wie das Alternationsprinzip schon vor der Entwicklung einer formalen Theorie zur Lösung konkreter Probleme eingesetzt wurde.

Das dritte Kapitel befasst sich mit der Petersburger Mathematischen Schule und ihren Beiträgen zur Entwicklung der Approximationstheorie. Es werden die Anstöße zur Theorieentwicklung, die ersten Arbeiten von P. L. Ceb$ev und seine theoretischen Ausarbeitungen in „Sur les questions des minima" analysiert. Die Arbeit von Ceb$ev und seinen Schülern E. I. Zolotarev, A. A. Markov und V. A. Markov wird vorgestellt, wobei die Schwerpunkte auf der Lösung von Spezialfällen des Approximationsproblems und der Entwicklung von Alternantensätzen liegen.

Schlüsselwörter

Die Schlüsselwörter und Schwerpunktthemen des Textes umfassen den Alternantensatz, die beste Ceb$ev-Approximation, die Approximationstheorie, die Petersburger Mathematische Schule, P. L. Ceb$ev, E. I. Zolotarev, A. A. Markov, V. A. Markov, Euler, Laplace, Mechanismentheorie, Kartographie, Astronomie, Polynome, Approximation durch Polynome, Minimallösung, Abweichungspunkte, Alternation, historische Entwicklung, Beweise, algebraische und funktionentheoretische Ansätze.

• College: University of Frankfurt (Main) (Fachbereich Mathematik)
• Grade: 1,3
• Author: Karl-Georg Steffens (Author)
• Publication Year: 1994
• Pages: 114
• Catalog Number: V6006
• ISBN (eBook): 9783638137058
• ISBN (Book): 9783640860296
• Language: German