Digital Signal Processing using the Fast Fourier Transform (FFT)

Exposé Écrit pour un Séminaire / Cours , 1997 , 40 Pages , Note: 1 (A)

Technologie

Conventionally a signal is a physical variable that changes with time and contains information. The signal may be represented in analogue (continuos) or discrete (digital) form. The majority of the physical variables of interest for the engineer are of analogue form. However digital data acquisition equipment favour a digital representation of the analogue signal.

The digital representation of a analogue signal will effect the characteristic of the signal. Thus an understanding of the underlying principles involved in signal processing is essential in order to retain the basic information of the original signal.

The primary goal to use the Discrete Fourier Transform (DFT) is to approximate the Fourier Transform of a continuous time signal. The DFT is discrete in time and frequency domain and has two important properties:
- the DFT is periodic with the sampling frequency
- the DFT is symmetric about the Nyquist frequency

Due to the limitations of the DFT there are three possible phenomena that could result in errors between computed and desired transform.

- Aliasing
- Picket Fence Effect
- Leakage

The DFT of a signal uses only a finite record length of the signal. Thus the input signal for the DFT can be considered as the result of multiplying the signal with a window function. Multiplication in the time domain results in convolution in the frequency domain, which will influence the spectral characteristic of the sampled signal. In the table below rectangular and Hanning window are compared:

[...] Table

The Fast Fourier Transform (FFT) is a computationally efficient algorithm for evaluating the DFT of a signal. It is imported to appreciate the properties of the FFT if it is to be used effectively for the analysis of signals. In order to avoid aliasing and resulting misinterpretation of measurement data the following steps should be followed:

[...]

Inhaltsverzeichnis

• OBJECTIVE
• APPROACH
• Introduction
• ANALYTICAL
  • Introduction
    • Classification of Signals
    • Periodic Signals
  • FOURIER SERIES
    • Fourier Series of a square wave
  • FOURIER TRANSFORM
    • Definition of the Fourier Transform
    • Fourier Transform of a sin wave
    • Fourier Transform of a square wave
    • Fourier Transform of a rectangular pulse
    • Window Functions
      • Convolution in Frequency Domain
      • Convolution in Time Domain
      • Fourier Transform of a rectangular window
      • Fourier Transform of a Hanning Window
      • Periodic Function through Rectangular Window
      • Periodic Function through Hanning Window
    • FOURIER TRANSFORM
      • of the Discrete Fourier Transform
      • The DFT speclrumisperiodicin Frequency
      • The speclrum is symmelric aboul Ihe in Nyquislfrequency
      • pruclical Consideralions
        • Aliæsing
        • Picket _
        • Ix•akage...... .
      • Fast Fourier Transformation
  • APPLICATION OF THE FFT
  • CONCLUSION
  • Reference
  • Appendix

  Zielsetzung und Themenschwerpunkte

  Die Arbeit zielt darauf ab, die Eigenschaften der Fast Fourier Transform (FFT) anhand von MATLAB-Simulationen zu demonstrieren, um die spektrale Analyse von Signalen zu veranschaulichen. Sie beinhaltet eine theoretische Einführung in die Grundprinzipien der digitalen Signalverarbeitung und untersucht die FFT-Eigenschaften anhand von verschiedenen bekannten Eingangssignalen.

  • Die Eigenschaften der FFT für die spektrale Analyse von Signalen
  • Die Bedeutung der Faltung im Zeit- und Frequenzbereich
  • Die Auswirkungen von Fensterfunktionen auf die spektrale Auflösung
  • Die Phänomene Aliasing und Leakage sowie deren Minimierung
  • Die Anwendung der FFT in der Fahrzeugentwicklung

  Zusammenfassung der Kapitel

  Kapitel 4 bietet einen theoretischen Hintergrund zu digitalen Signalen und deren Verarbeitung. Es behandelt die Klassifizierung von Signalen, die Fourier-Reihe, die Fourier-Transformation und die Diskrete Fourier-Transformation (DFT). Die Kapitel 4.3 und 4.4 erläutern die Faltung im Zeit- und Frequenzbereich sowie die Auswirkungen von Fensterfunktionen wie dem Rechteck- und Hanning-Fenster auf die spektrale Auflösung. Kapitel 4.4.4 beschäftigt sich mit den praktischen Aspekten der DFT, insbesondere mit den Problemen von Aliasing und Leakage. Kapitel 4.5 stellt die Fast Fourier Transform (FFT) als effizienten Algorithmus zur Berechnung der DFT vor.

  Kapitel 5 zeigt die Anwendung der FFT anhand verschiedener Beispiele in MATLAB. Es werden die FFT-Eigenschaften von verschiedenen Signalen, wie z.B. Sinuswellen, Rechteckpulsen und Hanning-Fenstern, demonstriert. Die Kapitel 5.2, 5.3 und 5.4 zeigen die Auswirkungen von Aliasing und Rauschen auf die FFT-Ergebnisse. Kapitel 5.5 bis 5.11 behandeln die Auswirkungen von Fensterfunktionen auf die spektrale Auflösung und illustrieren die Phänomene "Picket-Fence-Effect" und "Leakage".

  Schlüsselwörter

  Die Schlüsselwörter und Schwerpunktthemen des Textes umfassen die Fast Fourier Transform (FFT), digitale Signalverarbeitung, spektrale Analyse, Faltung, Fensterfunktionen, Aliasing, Leakage, "Picket-Fence-Effect" und die Anwendung der FFT in der Fahrzeugentwicklung. Die Arbeit beleuchtet die Eigenschaften der FFT und zeigt anhand von MATLAB-Simulationen die Auswirkungen verschiedener Faktoren auf die spektrale Analyse von Signalen.

• Université: Loughborough University (Department of Aeronautical and Automotive Engineering)
• Note: 1 (A)
• Auteur: Albert H. Kaiser (Auteur)
• Année de publication: 1997
• Pages: 40
• N° de catalogue: V5978
• ISBN (ebook): 9783638136815
• ISBN (Livre): 9783638639149
• Langue: anglais
• mots-clé: Digital Signal Processing, Fast Fourier Transform (FFT), Aliasing, Filter, Niquist Frequency, Discrete Fourier Transform