Zusammenfassung
Logistik hat heutzutage sehr viel an Bedeutung gewonnen, da sie eine neue Sichtweise bei der Analyse und Lösung von Problemen in Unternehmen induziert. Damit die Logistiksysteme innerhalb eines Unternehmens leistungsstark und effektiv arbeiten, ist es wichtig sie optimal zu gestalten. Für deren optimale Gestaltung ist es von großer Bedeutung, den Einfluss von Grenzleistungen und Staueffekten zu kennen sowie die Maßnahmen zur Grenzleistungserhöhung und Stausbehebung umsetzen zu können.
Diese Hausarbeit beschäftigt sich damit, die Engpassstellen, Schwachstellen und funktionskritischen Elemente rechtzeitig zu erkennen, die daraus resultierenden Staueffekte quantifizieren und entschärfen zu können und anschließend die Prozesse funktionssicher zu machen.
Für die Steuerung von Systemen ist eine Quantifizierung der Staueffekte unerlässlich. Hierfür werden Formeln zur Berechnung von mittleren Warteschlangen, Rückstau- und Blockierwahrscheinlichkeiten, Wartezeiten, Auslastbarkeit der Stationen unter der Anwendung teilweise bekannter Verfahren der Warteschlangentheorie entwickelt. Auch die Zuverlässigkeit und Verfügbarkeit der Systemelemente sowie deren Funktionssicherheit wird hier mit Hilfe verschiedener Formeln entwickelt und anschaulich dargestellt. Abschließend wird eine Funktions- und Leistungsanalyse inklusive der Grenzleistungs- und Staugesetze durchgeführt, die helfen soll, Engpässe zu erkennen, Schwachstellen auszuweisen und Maßnahmen zur Steigerung der Leistungsfähigkeit zu planen.
Als Ergebnis der Arbeit wird deutlich, dass vor der Realisierung eines geplanten Logistiksystems eine sorgfältige Funktions- und Leistungsanalyse durchzuführen ist, um bei der Inbetriebnahme böse Überraschungen und kostspielige Änderungen zu vermeiden.
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Tabellenverzeichnis
1 Einleitung
2. Leistungsdurchsatz
3 Staueffekte und Staugesetzte
3.1 Warteschlangentheorie sowie Probleme von Warteschlangen
3.2 Klassifizierung der Wartesysteme
3.3 Systemvariabilität
3.4 Staugesetze für stochastische Staus
3.5 Rückstau- und Blockierwahrscheinlichkeit
3.6 Auslastbarkeit
4 Zuverlässigkeit und Verfügbarkeit
4.1 Verfügbarkeit der Systemelemente
4.2 Zuverlässigkeit der Systemelemente
4.3 Funktionssicherheit von Leistungs- und Prozessketten
4.4 Funktionssicherheit von Systemen
5 Funktions- und Leistungsanalyse
6 Zusammenfassung und Ausblick
Literaturverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1: Auslastungsabhängigkeit der mittleren Warteschlangenlänge
Abbildung 2: Wahrscheinlichkeitsverteilung der momentanen Warteschlange
Abbildung 3: Blockierwahrscheinlichkeit als Funktion der Staukapazität
Abbildung 4: Abhängigkeit der Verfügbarkeit eines Systemelements von der Strombelastung
Tabellenverzeichnis
Tabelle 1: Tabellenkalkulation für Staueffekte
1 Einleitung
Leistungs- und Logistiksysteme sind Netzwerke von Stationen, die durch Transportverbindungen miteinander verknüpft sind und von Logistikobjekten durchlaufen werden. Die Logistikobjekte oder Abfertigungseinheiten können Produkte, Waren, Sendungen, Ladeeinheiten, Personen und Transporteinheiten aber auch Aufträge, Belege, Informationen und Daten sein. In den Abfertigungs-, Produktions- und Leistungsstellen des Systems werden die Objekte verbraucht, abgefertigt oder erzeugt.
Die Leistungs- und Durchsatzfähigkeit der einzelnen Stationen und Verbindungen bestimmt das Leistungs- und Durchsatzvermögen des Gesamtsystems. Wenn der Zulauf die Grenzleistung einer Station erreicht oder überschreitet, kommt es zu Warteschlangen, Rückstaus und Blockierungen. Warteschlangen in den Stationen und auf den Verbindungen verlängern die Durchlaufzeiten der Logistikobjekte von den Eingängen und Quellen des Logistiksystems zu den Ausgängen und Senken. Durch Störungen und Ausfälle wird die technische Grenzleistung der Systemelemente auf eine verfügbare Grenzleistung reduziert. Für die optimale Gestaltung und Dimensionierung eines neuen Systems sowie für die Bewertung, den Vergleich und die Verbesserung vorhandener Systeme ist daher die Kenntnis der Grenzleistungen und Staueffekte der Stationen und Verbindungen erforderlich, aus denen sich die Systeme zusammensetzen.[1]
2. Leistungsdurchsatz
Produktionssysteme, Logistiksysteme und Transportsysteme sind Subsysteme der Leistungssysteme eines Unternehmens. Sie unterscheiden sich voneinander durch das Ausmaß der Veränderung, die im System mit oder an den Logistikobjekten stattfindet.
- Wenn die einlaufenden materiellen Objekte im System technisch verändert oder aus ihnen andere Objekte erzeugt werden, ist das Leistungssystem ein Produktionssystem.
- Wenn die einlaufenden materiellen Objekte das System nach gewisser Zeit in gleicher oder anderer Zusammensetzung technisch unverändert verlassen, handelt es sich um ein reines Logistiksystem.
- Wenn die Einlaufströme aus Lade- oder Transporteinheiten bestehen, die das System an einem anderen Ort inhaltlich unverändert verlassen, ist das Logistiksystem ein Transportsystem.
Das Durchsatz- und Leistungsvermögen eines Produktions-, Logistik- oder Transportsystems wird durch die Durchsatz- oder Leistungsfähigkeit eines oder weniger Engpasselemente begrenzt. Engpasselemente sind die Stationen einer Leistungskette, die bei dem geforderten Durchsatz am höchsten ausgelastet sind.
Das Durchsatz- und Leistungsvermögen eines Systems oder einer Station bezieht sich stets auf eine bestimmte Zeiteinheit oder Bemessungszeit, deren Länge von den gestellten Anforderungen abhängt. Maßgebend für die Auslegung und Dimensionierung eines Leistungs- und Logistiksystems sind in der Regel der Durchsatz und Leistungsbedarf in der Spitzenstunde des Spitzentages des Planungszeitraumes. Hieraus folgt die Bemessungsregel:
- Die Strombelastungen l [LO/h oder AE/h], mit denen Leistungsberechnungen, Auslastungsanalysen und Stauuntersuchungen durchgeführt werden, beziehen sich in der Regel auf die Zeiteinheit einer Stunde [h].[2]
3 Staueffekte und Staugesetzte
„Wenn die Gesamtbelastung einer Station die Belastungsgrenze erreicht oder überschreitet, kommt es vor den Einlaufpunkten zu Wartezeiten, Warteschlangen und Rückstaus, die voranliegende Stationen blockieren können. Diese Staueffekte können durch einen stochastischen oder einen systematischen Stau verursacht werden:
- Ein stochastischer Stau entsteht unterhalb der zulässigen Belastungsgrenze, wenn der Zulauf oder die Abfertigung stochastisch sind.
- Ein systematischer Stau entsteht oberhalb der zulässigen Belastungsgrenze unabhängig davon, ob der Zulauf oder die Abfertigung getaktet oder stochastisch sind.
Die Analyse der Einflussfaktoren und die Berechnung von Größe und Auswirkungen stochastischer Stau ist Gegenstand der Warteschlangentheorie.“[3]
3.1 Warteschlangentheorie sowie Probleme von Warteschlangen
Die Theorie der Warteschlangen befasst sich nicht mit Einzelvorgängen, sondern mit Massenerscheinungen. Warteschlangen, und zwar Zugangswarteschlangen entstehen, wenn die Zahl der Einheiten (Kunden, Lieferaufträge, Gäste, Flugzeuge, Maschinenstörungen, Werkstücke etc.), die in einem Zeitabschnitt an einer oder mehreren Abfertigungsstellen (Schalter, Auslieferungswagen, Kellner, Landebahnen, Reparaturmechaniker, Maschinen etc.) ankommen, vorübergehend oder ständig größer sind als die im gleichen Zeitabschnitt verfügbare Abfertigungs- oder Bedienungskapazität. Das bedeutet, dass bei Engpässen in der Abfertigungskapazität Zugangswarteschlangen entstehen . Wenn umgekehrt Bedienungsstationen frei sind und auf Einheiten warten, die bedient werden wollen, so entstehen Abgangswarteschlangen. Das sind z.B. Warteschlangen von Taxis, die auf Fahrgäste warten[4] oder Maschinen, die auf Aufträge, Bedienungspersonal oder Reparaturleistungen warten. Läger können auch als Warteschlangen von Endprodukten, die auf Verkauf warten, betrachtet werden.[5] Somit ist der duale Charakter des Warteschlangenproblems angedeutet.[6]
„Ziel der systematischen Behandlung von Warteschlangenproblemen ist zunächst deren Beschreibung, um die Probleme transparent zu machen. Darüber hinaus kann die Theorie der Warteschlangen u. U. auch zur Errechnung optimaler Lösungen benutzt werden. Warten verursacht in der Regel Kosten oder hat sonstige Nachteile. Andererseits ist die Einrichtung und Unterhaltung zusätzlicher Bedienungsstellen ebenfalls mit Kapitaleinsatz und Kosten verbunden. Bei Entscheidungen über derartige Wartesysteme ist zwischen den Kosten für die Erweiterung der Bedienungskapazitäten und den Nachteilen aus Wartezeiten der auf Bedienung wartenden Einheiten abzuwägen. Unter Umständen ist die Summe aus Warte- und Bedienungskosten zu minimieren. Zu den Wartekosten gehören z.B. auch entgangene Gewinne durch vorzeitiges Ausscheiden von Kunden aus der Schlange (verlorene Aufträge).“[7]
Es wird jedoch nie gelingen, störungsbedingte Wartezeiten vollständig auszuschließen. Es müssen Materialreserven in den dafür vorgesehenen Warteräumen vorgehalten werden, falls die Auslastung eines Produktionsbereichs selbst dann noch gewährleistet sein soll, wenn es im davorliegenden Bereich zu Störungen gekommen ist. Genauso wenig wird es in Produktionen mit stark wachsendem Variantenmix gelingen, Teilbereiche so aufeinander abzustimmen und zu synchronisieren, dass es nie zu Wartezeiten für Material oder Betriebsmittel kommen kann. Entsprechende Analysen sollen in der Planungsphase erfolgen, ansonsten müssen später im realen Betrieb improvisierte Warteräume eingerichtet werden – wie leider häufig zu beobachten ist.
Kurzzeitige, sehr selten auftretende Wartezeiten duldet man gegebenenfalls ohne weitere Maßnahmen, wenn der Materialflussprozess nur im geringen Maße gestört wird. Für häufiger auftretende Wartezeiten müssen entsprechend dimensionierte Warteräume (Puffer, Staustrecken, Speicher, Lager) im Materialfluss vorgesehen werden.[8]
3.2 Klassifizierung der Wartesysteme
Zur Kennzeichnung verschiedener Wartesystem-Modelle hat D.G.Kenndall folgende Notation eingeführt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Darin symbolisieren:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
„Für A und B können folgende spezifische Symbole verwendet werden:
M = POISSON-Verteilung (M als Symbol für Markovprozess)
E = ERLANG-Verteilung
D = äquidistante Ankunft (D von „deterministic“)
G = beliebige Abfertigungszeitverteilung bzw. beliebige Ankunftverteilung (G von „general“)“[10]
Das einfachste und deshalb am häufigsten betrachtete Wartesystem [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist eine einzelne Bedienungsstation mit exponentialverteilten Ankunfts- und Abfertigungszeiten, die als Poissonströme oder als Markov-Prozess bezeichnet werden.
Für Wartesysteme vom Typ [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (Erlangverteilung bei der Zulauf- und Abfertigungsverteilung) gibt es explizite Formeln zu Berechnung von Staueffekten. Aus diesen Formeln kann man ableiten, dass die Staueffekte vor einer Abfertigungsstation in erster Näherung nur von der Systemauslastung und Systemvariabilität abhängen.[11]
- „Die Systemvariabilität ist der Mittelwert der Einlaufvariabilität [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und der Abfertigungsvariabilität [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Hieraus folgt weiterhin der Satz:
- Stochastisch bedingte Staueffekte treten nur auf, wenn die Systemvariabilität größer 0 ist.“[12]
Um die Staueffekte für Wartesysteme vom Typ [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] mit m>1 Parallelstationen berechnen zu können, braucht man zusätzlich zu den Mittelwerten und den Variabilitäten des Zulaufs und der Abfertigung die Angaben über die Abfertigungsstrategie.[13]
3.3 Systemvariabilität
Im Straßenverkehr wurde in zahlreichen Messungen für die Taktzeiten eine modifizierte Exponentialverteilung zwischen Personenwagen beobachtet, die auf einer Fahrspur einander folgen.[14]
„Wenn die Taktzeiten eines Einlaufstroms eine modifizierte Exponentialverteilung mit der minimalen Taktzeit tE0 haben, ist die Zulaufgrenzleistung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Für die Einlaufvariabilität gilt dann:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
„Bei einer Rechtecksverteilung der Abfertigungszeiten sind die Taktzeiten ta zwischen einer minimalen Taktzeit tmin und einer maximalen Taktzeit tmax gleichverteilt. In diesem Fall ergibt sich für die Abfertigungsvariabilität:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Wenn sich allerdings die Systemvariabilität weder messen noch mit den angegebenen Formeln berechnen lässt, so genügt es in meisten Fällen, die Systemvariabilität nach folgenden Regeln abzuschätzen:
- Wenn der günstigste Fall eines getakteten Zulaufs mit getakteter Abfertigung vorliegt, ist die Systemvariabilität 0.
- Wenn der ungünstigste Fall eines poissonverteilten Zulaufs mit poissonverteilter Abfertigung vorliegt, ist die Systemvariabilität 1.
- Wenn der mittlere Fall, der bei stochastischem Zulauf und getakteter Abfertigung, bei getaktetem Zulauf und stochastischer Abfertigung oder bei einer Zulauf- und Abfertigungsvariabilität ½ eintritt, ist die Systemvariabilität ½[17].
3.4 Staugesetze für stochastische Staus
Die Menge aller Einheiten, die vor dem Einlaufpunkt warten und sich in der Abfertigung befinden, wird allgemein als Warteschlangenlänge bezeichnet. Die momentane Wartschlangenlänge ist eine stochastisch schwankende Größe, deren exakter Wert für einen bestimmten Zeitpunkt nicht voraussehbar ist.
Für den Fall der gleichberechtigten Einzelabfertigung von stationären Strömen lassen sich aus den Ergebnissen der Warteschlangentheorie folgende Staugesetze ableiten, deren Genauigkeitsgrad für die Planungspraxis ausreicht:[18]
- „Die mittleren Warteschlangen auf den Zuführungsstrecken vor den Einlaufpunkten Ei haben bei gleichberechtigter Abfertigung die Länge:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
- Die Summe der Warteschlangen, die im Mittel insgesamt auf den Zuführungsstrecken vor den Einlaufpunkten warten, ist bei gleichberechtigter Abfertigung
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
- Die Gesamtwarteschlange aller Einheiten, die sich im Mittel insgesamt vor und in der Station befinden, ist bei gleichberechtigter Abfertigung
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
- Die Gesamtwarteschlange schwankt im Verlauf der Zeit um den Mittelwert mit der Streubreite [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (7)
- Die mittlere partielle Wartezeit der Einheiten, die auf der Zuführungsstrecke vor einem Einlaufpunkt Ei auf den Eintritt in die Abfertigungszone warten, ist bei gleichberechtigter Abfertigung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Hierin ist [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Gesamtstrombelastung, p die Gesamtauslastung und V ist die Systemvariabilität (1).
Die Abb. 1 zeigt die mit Hilfe der Beziehung (6) errechnete Abhängigkeit der mittleren Wartenschlange von der Auslastung bei einer Systemvariabilität 0,60. Die eingetragenen Punkte sind das Ergebnis einer digitalen Simulation für Zulauf- und Abfertigungsvariabilitäten.[20]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abb. 1: Auslastungsabhängigkeit mit der mittleren Warteschlangenlänge[21]
Die durchgeführten Simulationsrechnungen ergeben auch für andere Verteilungen folgende Gesetzmäßigkeiten:
- Bei Auslastungen unter 50% sind die Warteschlangen im Durchschnitt kleiner als 1 und die Staueffekte auch bei maximaler Systemvarianz unbedeutend.
- Mit Annäherung an die Belastungsgrenze nehmen die Warteschlangen und damit auch die übrigen Staueffekte immer schneller zu.
- Die Staueffekte steigen überproportional mit der Auslastung und linear mit der Systemvariabilität an.
- Bei maximaler Systemvariabilität beginnt der steile Anstieg der Warteschlangen ab einer Auslastung von ca. 85% und bei mittlerer Systemvariabilität ab einer Auslastung von 90%.
- Die Streuung der momentanen Warteschlange um den stationären Mittelwert nimmt mit der Auslastung und der Variabilität zu. Die momentane Warteschlange kann sich kurzzeitig auf hohe Werte hochschaukeln, aber auch bis auf 0 sinken.
- Bei gleicher Systemvariabilität hat die spezielle Verteilung der Einlauf- und Abfertigungszeiten keinen praktisch bedeutsamen Einfluss auf die Staueffekte.[22]
3.5 Rückstau- und Blockierwahrscheinlichkeit
Die Blockierwahrscheinlichkeit BR ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Warteschlange vor einer Station länger ist als die Rückstaukapazität R auf der Verbindung bis zur voranliegenden Station.[23]
„Die Blockierwahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Rückstauwahrscheinlichkeit PN. Diese ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass sich vor und in dem Wartesystem genau N Einheiten befinden.
Bei Einzelabfertigung eines stationären rekurrenten Stroms ist die Rückstauwahrscheinlichkeit für eine Systemvariabilität V und eine Gesamtauslastung p näherungsweise: PN=((1-p)/V)*(pV/(1-p+pV))N wenn N ³ 1 (9)
Die Wahrscheinlichkeit, die Abfertigungszone besetzt vorzufinden, ist gleich der Gesamtauslastung p der Abfertigungsstation. Die Wahrscheinlichkeit, die Station unbesetzt vorzufinden, ist daher: PN=1-p, wenn N = 0“[24] (10)
Abb. 2 zeigt für eine Systemvariabilität V=0,75 die mit Hilfe der Beziehungen (9) und (10) errechnete Rückstauwahrscheinlichkeit als Funktion der Warteschlangenlänge.[25]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abb. 2: Wahrscheinlichkeitsverteilung der momentanen Warteschlange[26]
Aus Beziehung (9) folgt:
Die Blockierwahrscheinlichkeit oder Überlaufwahrscheinlichkeit für eine Rückstaukapazität R berechnet sich bei Einzelabfertigung eines rekurrenten stationären Einlaufstroms, einer Gesamtauslastung p und einer Systemvariabilität V folgendermaßen:[27]
[...]
[1] Vgl. Gudehus, Timm: Logistik 1 (Grundlagen, Verfahren und Strategien); 2000; S.369
[2] vgl. Gudehus, Timm: Logistik 1 (Grundlagen, Verfahren und Strategien); 2000; S.370
[3] Gudehus, Timm: Logistik 1 (Grundlagen, Verfahren und Strategien); 2000; S.404
[4] Vgl. Runzheimer, Bodo: Operations Research; 7. Auflage 1999; S.327-328
[5] Vgl. Gal, Thomas: Grundlagen des Operations Research; 2. Auflage 1992; S.256
[6] Vgl. Runzheimer, Bodo: Operations Research; 7. Auflage 1999; S.328
[7] Runzheimer, Bodo: Operations Research; 7. Auflage 1999; S.328
[8] Vgl. Arnold, Dieter / Furmans, Kai: Materialfluss in Logistiksystemen; 4. Auflage 2005; S.112
[9] Vgl. Arnold, Dieter / Furmans, Kai: Materialfluss in Logistiksystemen; 4. Auflage 2005; S.114
[10] Runzheimer, Bodo: Operations Research; 7. Auflage 1999; S.331
[11] Vgl. Gudehus, Timm: Logistik 1 (Grundlagen, Verfahren und Strategien); 2000; S.405
[12] Gudehus, Timm: Logistik 1 (Grundlagen, Verfahren und Strategien); 2000; S.405
[13] Vgl. Gudehus, Timm: Logistik 1 (Grundlagen, Verfahren und Strategien); 2000; S.405
[14] Vgl. Gudehus, Timm: Logistik 1 (Grundlagen, Verfahren und Strategien); 2000; S.406
[15] Gudehus, Timm: Logistik 1 (Grundlagen, Verfahren und Strategien); 2000; S.406
[16] Gudehus, Timm: Logistik 1 (Grundlagen, Verfahren und Strategien); 2000; S.406
[17] Vgl. Gudehus, Timm: Logistik 1 (Grundlagen, Verfahren und Strategien); 2000; S.407
[18] Vgl. Gudehus, Timm: Logistik 1 (Grundlagen, Verfahren und Strategien); 2000; S.407
[19] Gudehus, Timm: Logistik 1 (Grundlagen, Verfahren und Strategien); 2000; S.408
[20] Vgl. Gudehus, Timm: Logistik 1 (Grundlagen, Verfahren und Strategien); 2000; S.408
[21] Vgl. Gudehus, Timm: Logistik 1 (Grundlagen, Verfahren und Strategien); 2000; S.409
[22] Vgl. Gudehus, Timm: Logistik 1 (Grundlagen, Verfahren und Strategien); 2000; S.409-410
[23] Vgl. Gudehus, Timm: Logistik 1 (Grundlagen, Verfahren und Strategien); 2000; S.412
[24] Gudehus, Timm: Logistik 1 (Grundlagen, Verfahren und Strategien); 2000; S.412
[25] Vgl. Gudehus, Timm: Logistik 1 (Grundlagen, Verfahren und Strategien); 2000; S.413
[26] Vgl. Gudehus, Timm: Logistik 1 (Grundlagen, Verfahren und Strategien); 2000; S.412
[27] Vgl. Gudehus, Timm: Logistik 1 (Grundlagen, Verfahren und Strategien); 2000; S.413
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