Inhalt dieser Arbeit ist die numerische Berechnung beschleunigter Wassertropfen in einer Düsenströmung. Zur Modellierung der Gas- und dispersen Phase wird das Euler-Lagrange-Modell verwendet. Die Simulation wird mit der Software ANSYS CFX R3 durchgeführt. In weiteren Untersuchungen werden Einflussgrößen auf die Tropfenbeschleunigung detaillierter betrachtet. Dazu werden Turbulenzeinflüsse, unterschiedliche Tropfengrößen, sowie der Einfluss des Widerstandskoeffizienten analysiert. Ein großes Augenmerk soll auf dem Tropfenzerfall liegen, der durch ein entsprechendes Sekundärzerfallsmodell untersucht wird. Abschließend soll der Energieaustausch zwischen Gasströmung und Tropfen betrachtet werden, um Temperaturänderungen und potenzielle Verdampfungseffekte zu erforschen.
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Tabellenverzeichnis
Nomenklatur
1 Einleitung
2 Grundlagen
2.1 Mehrphasenstromung
2.1.1 Euler-Euler-Modell
2.1.2 Euler-Lagrange-Modell
2.2 Modellierung der kontinuierlichen Phase
2.2.1 Erhaltungsgleichungen
2.2.2 Turbulenzmodellierung
2.2.3 Diskretisierungsmethoden
2.3 Modellierung der dispersen Phase
2.3.1 Kopplungseigenschaften
2.3.2 Bewegungsgleichung des Partikels
2.3.3 Energietransport
2.3.4 Tropfendeformation
3 Particle Transport Modell
3.1 Partikeldispersion
3.2 Energietransport
3.3 Sekundarzerfall
4 Aufbau der Stromungssimulation
4.1 Analytisches Berechnungstool fur die Dusenauslegung
4.2 Dusenmodell und Vernetzung
4.3 Randbedingungen
4.3.1 Modellierung der kontinuierlichen Phase
4.3.2 Modellierung der dispersen Phase
5 Simulationsauswertung
5.1 Vergleich der numerischen Simulation mit analytischen Berechnungen
5.2 Untersuchung des Tropfenverhaltens
5.2.1 Einfluss des Tropfendurchmessers
5.2.2 Einfluss des Widerstandskoeffizienten
5.2.3 Untersuchung des Tropfenzerfalls
5.2.4 Untersuchung der Tropfenverdampfung
6 Zusammenfassung und Ausblick
Literaturverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
2.1 Infinitesimal kleines Kontrollvolumen dV mit den ein- und austretenden Massenstromen, in Anlehnung [10]
2.2 Kategorisierung der moglichen angreifenden Krafte am Fluidteilchen, in Anlehnung an [10]
2.3 Kopplungsmoglichkeiten fur das Euler-Lagrange-Modell, in Anlehnung an [13]
2.4 Trajektorie eines Partikels bei der Lagrangeschen Betrachtung, in Anleh- nung an [13]
2.5 Kraftebilanz eines kugelformigen Partikels in einer beschleunigten Stro- mung in einer Duse
2.6 Kontrolloberflache an einem bewegten Partikel, in Anlehnung an [6]
2.7 Zerfallsbereiche in Abhangigkeit der We- und Ohnesorge-Zahl [19]
2.8 Tropfenzerfallsarten in Abhangigkeit der We-Zahl [18]
3.1 Darstellung der Parcel-Methode
3.2 Partikelbewegung in turbulenten Wirbeln, in Anlehnung an [21]
3.3 Betrachtung der freien Formschwingungen eines Tropfens in Analogie zu einem Feder-Masse-Dampfer-System, in Anlehnung an [19]
3.4 Tropfendeformation nach dem ETAB Modell [3]
4.1 Vereinfachter Ablauf des analytischen Auslegungstools von Herrn Gabriel zur Berechnung der Dusengeometrie fur die Beschleunigung von Einzel- tropfen
4.2 Schnittansicht des Dusenmodells
4.3 Detailansicht des unstrukturierten Rechengitters am vorderen Bereich der Duse
4.4 Schematische Darstellung der Begrenzungsflachen des Dusenmodells
4.5 Darstellung der Point Cone Injection Methode fur die Tropfeneinbringung
4.6 Darstellung der Einbringungsorte der Tropfen
4.7 Tropfengeschwindigkeitsverlauf aufgetragen uber der Dusenlange fur un- terschiedliche Integrationszeitschritte
5.1 Statischer Druckverlauf der analytischen Berechnung und der flachenge- mittelte statische Druckverlauf der Simulation, aufgetragen uber der Du- senlange
5.2 Geschwindigkeitsverlauf der kontinuierlichen Phase der analytischen Be- rechnung und der flachengemittelte Geschwindigkeitsverlauf der Simulation, aufgetragen uber der Dusenlange
5.3 Verlauf der Tropfengeschwindigkeit aufgetragen uber der Dusenlange fur die analytische Auslegung und fur die Simulation in ANSYS CFX
5.4 Tropfengeschwindigkeit fur verschiedene Tropfendurchmesser aufgetragen uber der Dusenlange
5.5 Tropfengeschwindigkeit aufgetragen uber der Dusenlange fur einen kon- stanten Widerstandskoeffizienten C W und fur die Berechnung mit dem Schiller-Naumann-Modell
5.6 Verlauf der We-Zahl und Relativgeschwindigkeit u rel entlang des Tropfen- pfades fur die Injektionsorte I1, I2 und I
5.7 Vergleich der Verlaufe fur die Particle Number Rate und Tropfenmasse fur verschiedene Injektionsorte aufgetragen uber der Dusenlange
5.8 Verlauf der We-Zahl und des Tropfensdurchmessers entlang der Tropfen- bahnen fur kleinere Tropfen
5.9 Verlauf der We-Zahl und des Tropfensdurchmessers entlang der Tropfen- bahnen fur grofiere Tropfen
5.10 Verlauf der statischen Temperatur und des Tropfendurchmessers entlang der Tropfenbahnen fur unterschiedliche Tropfengrofien mit Verdampfungs- modellierung
5.11 Darstellung der Durchlaufzeiten der Tropfen fur unterschiedliche Durch- messer entlang der Dusenlange
Tabellenverzeichnis
2.1 Kategorisierung von Mehrphasenstromungen [8]
3.1 Ubersicht der Materialzusammensetzung fur die Phasen bei Anwendung des Liquid Evaporation Modells
3.2 Modellkonstanten fur Gleichung 3.12
4.1 Randbedingungen fur die kontinuierliche Phase
4.2 Ubersicht der Integrationszeitschritte zur Durchfuhrung der Zeitschrittab- hangigkeitsstudie
5.1 Randbedingungen fur die kontinuierliche Phase mit Turbulenzmodellierung
Nomenklatur
Abkurzungen
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Lateinische Buchstaben
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Griechische Buchstaben
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Tiefgestellte Indizes
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Hochgestellte Indizes
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Dimensionslose Kennzahlen
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Operatoren, Funktionen und Symbole
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
1 Einleitung
Das Intergovernmental Panel on Climate Change (IPCC) hat im Jahr 2018 einen Son- derbericht uber die Folgen einer globalen Erderwarmung uber 1,5 °C gegenuber vorin- dustriellem Niveau veroffentlicht. Dieser bekraftigt die Notwendigkeit einer signifikanten Emissionsminderung von Treibhausgasen. Ein wichtiger Pfeiler hierbei ist der starke Aus- bau von erneuerbaren Energien und ein Ruckgang fossiler Verbrennung zur Deckung des Energiebedarfs. Um eine Stabilitat des elektrischen Stromnetzes trotz steigender fluktu- ierender Energieformen und dem geplanten Ausstieg aus der Atomenergie zu gewahr- leisten, ist die Verwendung fossiler Primarenergietrager in Verbrennungsprozessen zur Deckung der Grundlast aktuell unumganglich. [15]
In Feuerungsprozessen wird mittels thermischer Energie Wasserdampf generiert, wel- cher in einer nachfolgenden Dampfturbine durch Entspannung in elektrische Energie umgewandelt wird. Die Bereitstellung der benotigten thermischen Leistung erfolgt grofi- tenteils aus der Verbrennung fossiler Rohstoffe. Im Hinblick aufden erforderlichen Ruckgang der CO2-Emissionen ist eine steigende Anzahl an Biomasse- und solarthermischen Kraftwerken zu beobachten. Die zunehmenden Anforderungen einer nachhaltigen Ener- gieerzeugung erfordern eine kontinuierliche Steigerung der Energieeffizienz dieser Kraft- werke. [23]
Um eine Verbesserung des Wirkungsgrades in Dampfturbinen zu erzielen, erfolgt die Entspannung bis in das Zwei-Phasen-Gebiet. Ein bekanntes Phanomen ist dabei die sogenannte Tropfenschlagerosion, die in den Endstufen von Kondensations- und Satt- dampfturbinen auftreten kann. Hierbei bilden sich bei der Entspannung Kondensations- tropfen (Nebel). Diese legen sich auf den Leitschaufeln nieder und bilden einen Nas- sefilm. Durch das Losen an den Austrittskanten entstehen Sekundartropfen, die vom Dampfstrom mitgerissen werden und bis zu einer Grofie von 1 pm anwachsen kon- nen. Aufgrund der hoheren Dichte im Vergleich zum Dampf werden diese nicht auf die Dampfgeschwindigkeit beschleunigt, schlagen jedoch mit sehr grofien Geschwindigkei- ten in der Nahe der Eintrittskanten der Laufschaufeln auf. Das wiederholte Auftreffen fuhrtzu einer Materialschadigung der Schaufeln, sowie zu Wirkungsgradverlusten. [1, 20] Eine Moglichkeit dem Schadenmechanismus entgegenzuwirken ist die Entwicklung ho- her erosionsbestandiger Materialien und die anschliefiende Erprobung unter realitats- nahen Bedingungen, wie sie in den letzten Stufen der Dampfturbine vorherrschen. Zur Untersuchung der Erosion werden am Institut fur thermische Stromungsmaschinen und Maschinenlaboratorium experimentelle Versuche durchgefuhrt. Eine Duse beschleunigt hierbei pro Sekunde bis zu 2 •IO[4] Wassertropfen mit Geschwindigkeiten bis zu 600 m/s, die anschliefiend auf einer Materialprobe aufschlagen. Die Proben bilden hierbei die Laufschaufelgeometrie an bestimmten Stellen ab. Zur Erforschung der mechanischen Einflussgrofien von Tropfenschlagerosion ist es von Bedeutung die Aufprallgeschwindig- keit und Tropfengrofie zu kennen. Dazu ist es erforderlich individuelle Einzeltropfen mit definierten Geschwindigkeiten und Grofien zu beschleunigen, was am Versuchsstand je- doch nicht moglich ist. In Zukunft soll dazu ein neuer Versuchsstand zur Beschleunigung von Einzeltropfen entwickelt werden. [1, 20]
Im Rahmen einer studentischen Arbeit wurde bereits ein analytisches Tool fur die Aus- legung einer Dusengeometrie zur Beschleunigung von Wassertropfen entwickelt. Dabei wurde versucht eine grofitmogliche Beschleunigung unter Vermeidung eines Tropfenzer- falls zu gewahrleisten. Als Kriterium fur den Zerfall wird auf die We-Zahl zuruckgegriffen, die das Verhaltnis zur aerodynamischen Krafteinwirkung und Oberflachenspannung des Tropfens angibt. Eine anwachsende Beschleunigung fuhrt demnach zu einer steigenden We-Zahl bis hin zu einem kritischen Wert, der nicht uberschritten werden soll.
Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Uberprufung des analytischen Modells anhand einer numerischen Berechnung. Dazu wird das Euler-Lagrange-Modell zur Modellierung der Gas- und dispersen Phase verwendet. Die Simulation wird mit der Software ANSYS CFX R3 durchgefuhrt und die Ergebnisse der analytischen Berechnung gehen als Randbedingungen in das Simulationsmodell mit ein. In weiteren Untersuchungen werden Ein- flussgrofien aufdie Tropfenbeschleunigung detaillierter betrachtet. Dazu werden Turbu- lenzeinflusse, unterschiedliche Tropfengrofien, sowie der Einfluss des Widerstandskoef- fizienten analysiert. Ein grofies Augenmerk soll auf dem Tropfenzerfall liegen, der durch ein entsprechendes Sekundarzerfallsmodell untersucht wird. Abschliefiend soll der Ener- gieaustausch zwischen Gasstromung und Tropfen betrachtet werden, um Temperaturan- derungen und potenzielle Verdampfungseffekte zu erforschen.
2 Grundlagen
In der vorliegenden Arbeit wird eine Stromung untersucht, die aus zwei unterschied- lichen Fluiden besteht und damit als Mehrphasenstromung definiert ist. Fur die Be- wertung der Stromungsvorgange ist ein grundlegendes Verstandnis uber Mehrphasen- stromungen von zentraler Bedeutung. Es werden zwei mogliche Modellierungsansatze zur Simulation vorgestellt. Dazu erfolgt ein kurzer Einstieg in das Gebiet der numeri- schen Stromungsmechanik, wobei die wichtigsten Grundgleichungen zur Modellierung der verschiedenen Phasen erlautert werden. AnschlieBend wird die theoretische Grund- lage zur Umsetzung der CFD-Simulation mit der Simulationssoftware ANSYS CFX be- schrieben.
2.1 Mehrphasenstromung
In diesem Abschnitt wird eine Klassifizierung von Mehrphasenstromungen, sowie zwei in der Praxis bewahrte Modellierungsansatze erlautert. In der numerischen Stromungs- simulation ist eine Kategorisierung von Mehrphasenstromung notwendig, da die Ver- wendung eines einheitlichen Modellierungsansatzes fur alle Arten von Mehrphasenstro- mungen schwierig ist. Tabelle 2.1 stellt eine mogliche Kategorisierung von Mehrphasen- stromungen nach [8] dar. Dabei wird eine Unterteilung in zwei Gruppen vorgenommen, die jeweils die Stromungsart der kontinuierlichen Phase beschreiben. Die erste Gruppe bezieht sich auf kompressible Stromungen. Hierbei besteht die zweite Phase aus einem Feststoff oder einer Flussigkeit. Die zweite Gruppe bezieht sich auf inkompressible Stro- mungen, deren zweite Phase ebenfalls aus einem Feststoffoder einer Flussigkeit besteht. In dieser Arbeit wird auf die Gruppe der Gas-Flussigkeit-Stromungen eingegangen. Da- bei bildet ein Gasstrom die kontinuierliche Phase ab und die zweite Phase besteht aus einer Flussigkeit. [13]
Besteht die zweite Phase aus diskreten Formen, so wird das Gemisch den dispersen Mehrphasenstromungen (Dispersionen) zugeordnet. Beispiele hierfur sind Partikel-, Blasen- oder Tropfenstromungen. Fur die numerische Simulation von dispersen Mehr- phasenstromungen haben sich das Euler-Euler- und das Euler-Lagrange-Modell be- wahrt, die in den folgenden Abschnitten erlautert werden. [13]
2.1.1 Euler-Euler-Modell
Wie in Kap. 2.1 eingeleitet, ist eine Modellierung einer Mehrphasenstromung mit dem Euler-Euler-Modell moglich. Bei diesem Ansatz wird die kontinuierliche und disperse Phase jeweils als kontinuierliches Fluid betrachtet. Nach der Definition von [2] fullt ein kontinuierliches Fluid den Raum oder einen Teil des Raumes zu jedem Zeitpunkt stetig ohne Uberlappungen oder Fehlstellen aus. Fur die Fluide werden zu jedem Zeitpunkt an einem festen Ort thermodynamische und stromungsmechanische ZustandsgroBen be- rechnet. Diese ergeben sich an ortsfesten Kontrollvolumen, die vom Fluid durchstromt werden. Beide Phasen sind mit einem eigenen Satz an Erhaltungsgleichungen (Massen-, Impuls- und Energiebilanz) charakterisiert. Die zwei Fluide konnen sich durchdringen und zu jedem Ort und Zeitpunkt im Rechengebiet sind jeweils zwei Satze von Zustands- groBen (Druck, Temperatur, Geschwindigkeitsvektor etc.) definiert. Zudem stehen beide Phasen in wechselwirkung miteinander. Hierbei sind die Gleichungssysteme durch Pha- senwechselwirkungsterme gekoppelt. [13]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Tabelle 2.1 - Kategorisierung von Mehrphasenstromungen [8]
Diese Betrachtungsweise hat den Vorteil, dass fur beide Phasen der gleiche Losungsan- satz gilt und die Rechenzeit nicht vom Massenanteil der dispersen Phase abhangt. Nach- teilig ist jedoch, dass der Rechenaufwand stark ansteigt, wenn spezifische Eigenschaften wie z.B unterschiedliche Tropfendurchmesser oder Tropfenmassen betrachtet werden. Das Euler-Euler-Modell ist bei der Betrachtung hinreichend groBer Massen der disper- sen Phase gut anwendbar. Eine Anwendung findet sich beispielsweise bei der Berech- nung von Sprays, mit relativ groBen Partikelwolken. Fur die Modellierung von Mehrpha- senstromungen, die aus relativkleinen dispersen Phasen bestehen, eignet sich das Euler- Lagrange-Modell, aufdas im folgenden Abschnitt eingegangen wird und im Zuge dieser Arbeit fur die Stromungssimulation verwendet wird. [13, 24]
2.1.2 Euler-Lagrange-Modell
Die Lagrangesche Betrachtungsweise unterscheidet sich vom Eulerschen Modellansatz durch eine unterschiedliche Perspektive bei der Beobachtung von Fluiden. Dabei ist das Kontrollvolumen an Fluid-Elemente gebunden und bewegt sich mit diesen mit. Dieses Vorgehen ermoglicht die Berechnung der Trajektorien zu jedem Zeitpunkt jedes einzelnen Fluid-Elements bzw. Fluid-Element-Pakets. Die Kombination der Eulerschen und Lagrangeschen Betrachtungsweise fuhrt zum Euler-Lagrange-Modell. Dabei wird die kontinuierliche Phase mit dem Eulerschen Ansatz berechnet und fur die disperse Phase wird der Lagrangesche Modellierungsansatz verwendet. Beide Phasen stehen in Wechsel- wirkung zueinander. Durch die Vorgabe von Anfangs- und Randbedingungen, sowie der Impulsubertragung von Fluid auf die disperse Phase, werden die auf das diskrete Element eingreifenden Krafte bestimmt, womit sich dessen Flugbahn bestimmen lasst. Der Rechenaufwand steigt mit zunehmendem Anteil an Partikeln in der Stromung an. Ein entscheidender Vorteil ist durch die Moglichkeit gegeben, jedes Partikel mit individu- ellen Eigenschaften zu beschreiben. Diese konnen beispielsweise mit unterschiedlichen Durchmessern und Massen charakterisiert und ausgewertet werden. Dies ist auch bei der Eulerschen Betrachtungsweise moglich, jedoch wurde der Rechenaufwand unverhaltnis- maBig stark ansteigen. [13]
Nachfolgend werden grundlegende Gleichungen und die Vorgehensweise zur Berech- nung der kontinuierlichen und dispersen Phase separat erlautert. AnschlieBend erfolgt die Beschreibung des Particle Transport Modells, welches das Euler-Lagrange-Modell in ANSYS CFX reprasentiert.
2.2 Modellierung der kontinuierlichen Phase
Im folgenden Kapitel werden allgemeine Erhaltungsgleichungen erlautert, die zur Modellierung der kontinuierlichen Phase von zentraler Bedeutung sind. Fur ein Newton- sches Fluid erfolgt die Beschreibung der Bewegungsgleichung in einem dreidimensio- nalen Raum mit den Geschwindigkeitskomponenten u, v und w der jeweiligen Raum- richtung, sowie dem Druck p und der Temperatur T. Mit den allgemeinen Erhaltungs- gleichungen ist die Bestimmung dieser GroBen moglich. Zu diesen zahlen die Massen-, Impuls-, und Energieerhaltung, welche als Navier-Stokes-Gleichungen bezeichnet wer- den. [10]
2.2.1 Erhaltungsgleichungen
Die nachfolgenden Erhaltungsgleichungen sind dem allgemeinen Fall einer dreidimen- sionalen, kompressiblen und instationaren Stromung zu Grunde gelegt. Nacheinander werden die zeitlichen Anderungen der Erhaltungsgleichungen anhand eines infinitesimal kleinen Kontrollvolumens dV betrachtet.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2.1 - Infinitesimal kleines Kontrollvolumen dV mit den ein- und austretenden Mas- senstromen, in Anlehnung [10]
Massenerhaltung
In Abbildung 2.1 ist das Kontrollvolumen dV dargestellt. Die Kanten besitzen jeweils die Langen dX, d y und dz. Die zeitliche Anderung der Masse im Volumenelement ergibt sich aus der Differenz der ein- und austretenden Massenstromen. Normal zur Oberfla- che dxdy fliefit der Massenstrom p wdxdy ein. Die Grofie p w beschreibt die Stromdich- te, die sich von der Stelle dz zur Stelle z + dz in z-Richtung um (d(p w)/dz) • dz andert. Analoges Vorgehen gilt fur die x- und y-Richtung mit den jeweiligen Oberflachen dXdz und dydz. Gemafi diesen Uberlegungen ergibt sich die Anderung der Masse pro Zeitein- heit aus
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Durch entsprechendes Kurzen der Komponenten in Gleichung 2.1 ergibt sich die Konti- nuitatsgleichung fur alle drei Koordinatenrichtungen nach [10]:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Impulserhaltung
Der Impuls lasst sich als das Produkt von Masse und Geschwindigkeit beschreiben. Auf das Volumenelement dV in Abbildung 2.1 wirken ein- und austretende Impulsstrome. Zusatzlich wird der Impuls innerhalb des Volumens durch die am Volumen angreifenden Krafte beeinflusst. Eine Ubersicht zu den moglichen angreifenden Krafte ist in Abbildung 2.2 ersichtlich. Diese werden in Volumen- und Oberflachenkraften unterteilt. Zu den Vo- lumenkraften zahlen Schwer-, Elektrische- und Elektromagnetische Kraft. Dagegen wer- den den Oberflachenkraften die Druckkraft, sowie Normal- und Schubspannungskraft zugeordnet.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2.2 - Kategorisierung der moglichen angreifenden Krafte am Fluidteilchen, in Anleh- nung an [10]
werden die genannten Krafte in der Bilanz berucksichtigt, so ergibt sich der Ausdruck fur die Impulserhaltung fur ein Volumenelement nach [10] in allen drei Koordinatenrichtun- gen:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der Term f V steht fur die in Abbildung 2.2 dargestellten Volumenkrafte der entsprechen- den Koordinatenrichtung. Fur Newtonsche Fluide wird fur die Bestimmung der Normal- und Schubspannungen das Stokes'sche Reibungsgesetz verwendet. [17]
Energieerhaltung
Die Energieerhaltung stellt den funften Erhaltungssatz dar. Nach dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik folgt fur die Erhaltung der Energie in einem geschlossenen System:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Fur die Herleitung der Energiebilanz wird an den Flachen des Kontrollvolumens die Ge- samtenergie bilanziert. Die Anderung der Gesamtenergie E ges in einem Volumenelement entspricht damit der Summe aus Leistung V P und Warmestrom Q. Basierend auf dieser Grundlage ergibt sich der Energieerhaltungssatz in kartesischen Koordinaten nach [14] aus
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
mit dem Geschwindigkeitsvektor U[2] = u [2] + v [2] + w [2]. Die Warmeleitung wird mit der War- meleitfahigkeit A aus den Fourierschen Warmeleitungsgesetzen bestimmt und die ther- modynamische GroBe h steht fur die spezifische Enthalpie. Die Leistung V P resultiert aus der Gravitation g, dem Druck p und der Normal- und Schubspannung T, die aufdas Vo- lumenelement einwirken.
Die hier aufgefuhrten funf Erhaltungsgleichungen bilden zusammen die Navier-Stokes- Gleichungen, mit denen eine vollstandige Berechnung des Stromungsfeldes moglich ist. Zur Losung des Gleichungssystems wird unter anderem die thermische und kalorische Zustandsgleichung, sowie die Isenstropenbeziehung benotigt. Fur eine detailliertere Er- lauterung hierzu, sei auf geeignete Literatur [13] verwiesen.
Mit den Navier-Stokes-Gleichungen konnen kleinste Wirbel in einer Stromung aufgelost werden. Die direkte Losung der Gleichungen bezeichnet sich als DNS (Direktische Nu- merische Simulation), da hier kein Modell erforderlich ist. Dazu muss jedoch eine genu- gend hohe Auflosung bis zu den kleinsten Turbulenzstrukturen garantiert werden. Dies fuhrt fur viele technische Problemstellungen zu unvertretbar hohen Rechenzeiten. [13] Die Reynolds-gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen (RANS-Gleichungen) ermoglichen den Rechenaufwand erheblich zu reduzieren und die Physik der Stromung in erforderli- chem AusmaB wiederzugeben.[24] Dazu werden die Momentanwerte der Stromungsgro- Ben aus der Summe von zeitlichem Mittelwert und Schwankungswert gebildet. Beispiel- haft wurde sich nach [24] fur den Druck p folgender Ausdruck
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
ergeben. Hierbei steht der erste Summand fur den zeitlichen Mittelwert und der zweite fur den Schwankungswert. Die Mittelung fuhrt zu zusatzlichen unbekannten Termen in den Erhaltungssatzen, die als Reynoldsspannungen bezeichnet werden. Um das unbe- stimmte Gleichungssystem losen zu konnen, ist eine Turbulenzmodellierung notwendig. In der Praxis stehen dazu je nach Anwendungsfall verschiedene Moglichkeiten zur Ver- fugung, von denen einige relevante im nachsten Abschnitt erlautert werden. [13]
2.2.2 Turbulenzmodellierung
Die in der Natur vorkommenden Stromungen sind meist turbulent. Sie zeichnen sich durch zeitliche und ortliche Schwankungen der Stromungsgrofien aus, durch die ein zusatzlicher Impuls- und Energieaustausch verursacht wird. Die Schwankungsgro- fien werden mittels entsprechender Turbulenzmodelle bestimmt. Die Grundlage be- steht in der Modellierung der Reynoldsspannungen in Abhangigkeit der mittleren Stromung. Mit den sogenannten Wirbelviskositatsmodellen werden die Reynoldss- pannungen durch die Wirbelviskositat modelliert. Dazu wird fur den Reynoldsschen Spannungstensor die Wirbelviskositat als numerische Grofie eingefuhrt. In der Praxis wichtige Ansatze sind die sogenannten Zweigleichungsmodelle. Diese Gleichungen beruhen auf der Grundlage, dass charakteristische Grofien der Turbulenzen in einer Stromung anhand von Transportgleichungen modelliert werden konnen. Hierbei wird davon ausgegangen, dass Turbulenzen lokal produziert werden, bevor sie durch das Stromungsfeld weitertransportiert werden und anschliefiend reibungsbedingt dissi- pieren. [13] Bekannte Zweigleichungsmodelle sind das K - e -Modell, K - w -Modell und das SST-Modell (Shear-Stress-Transport-Modell). Bei ersterem handelt es sich um ein Transportgleichungs-Wirbelviskositatsmodell, welches fur die turbulente kinetische Energie K und die Dissipationsrate e zwei zusatzliche Transportgleichungen einfuhrt. Hierbei wird eine Isotropie der Turbulenz angenommen. Das bedeutet, dass die tur- bulenten Schwankungsgrofien in ihrer Grofienordnung in allen Koordinatenrichtungen gleich sind. Das Modell besitzt seine Starken im Bereich der Hauptstromung, in der eine hinreichend gute Abbildung von Turbulenzeffekten moglich ist. [13] Wird anstelle von e die Grofie w = K/e herangezogen, fuhrt dies zum K - w -Modell mit der turbulenten Frequenz w. Hiermit ist eine gute Abbildung von Turbulenzeffekten im wandnahen Be- reich moglich. Eine Kombination der beiden Modelle fuhrt zum SST-Modell, welches die Vorteile der jeweiligen Modelle miteinander vereint und sich in der industriellen Praxis durchgesetzt hat. Zusammenfassend besteht das SST-Modell aus [17]:
- Uberfuhrung des K- e -Modell in ein K- w -Modell in Wandnahe
- Verwendung des Standard K- e -Modells im wandfernen turbulenten Bereich
Aufgrund der genannten Vorteile wird in dieser Arbeit fur die Simulation auf das SST- Modell zuruckgegriffen. Die numerische Berechnung der in diesem Kapitel behandelten kontinuierlichen Grundgleichungen bedingt die Uberfuhrung in eine diskontinuierliche Form. Die Methoden dazu sollen im nachsten Abschnitt beschrieben werden.
2.2.3 Diskretisierungsmethoden
Um die behandelten Differenzialgleichungen numerisch berechnen zu konnen, mussen diese in eine diskrete Schreibweise umgeformt werden, was als Diskretisierung bezeich- net wird. Es existieren verschiedene Methoden, die fur das zu untersuchende Stromungs- feld ein Berechnungsgitter generieren und eine Berechnung der StromungsgroBen auf einzelne Punkte, Elemente oder Volumen ermoglichen. Zu den gebrauchlichen Methoden zahlen:
- Finite-Differenzen-Methode (FDM)
- Finite-Volumen-Methode (FVM)
- Finite-Elemente-Methode (FEM)
Bei der Netzgenerierung wird zwischen strukturierten und unstrukturierten Gittern un- terschieden. Bei letzterem sind die Gitterpunkte in ungleichen Abstanden im Stromungs- gebiet verteilt. Dabei bestehen die Zellen im dreidimensionalen Raum haufig aus Tetraeder, Hexaeder und Prismen. [13] Bei der Finite-Volumen-Methode werden statt einzel- ner Punkte Volumenelemente im Integrationsraum betrachtet. Hierbei werden die Er- haltungssatze in integraler Form uber die Volumengrenzen berechnet. In kommerziellen Programmen fur die Berechnung von Stromungen haben sich insbesondere die Finite- Volumen-Verfahren durchgesetzt, da sie eine hohe Genauigkeit mit einer guten Flexibi- litat vereinen. Zudem besteht eine gewisse Unempfindlichkeit gegenuber Verzerrungen des Rechengitters. [13, 17]
Zusammenfassend wird die Eulersche Betrachtungsweise mit den relevanten Erhal- tungsgleichungen vorgestellt, die durch die Reynoldssche Mittelung zu den RANS- Gleichungen uberfuhrt werden. SchwankungsgroBen, die aus aus Turbulenzeffekten resultieren, werden mittels Turbulenzmodellen abgebildet. weiterhin werden Diskre- tisierungsmethoden vorgestellt, fur die das Erzeugen eines Rechengitters notwendig ist. Im Hinblick auf der hier vorliegenden Arbeit ist damit die Erfassung der Stro- mungsphanomene der kontinuierlichen Gasphase moglich. Im nachsten Kapitel erfolgt die Beschreibung fur die Berechnung der dispersen Phase.
2.3 Modellierung der dispersen Phase
Nachfolgend wird die Modellierung der dispersen Phase mit der Lagrangeschen Betrach- tungsweise aufgezeigt. Anhand der Kopplungseigenschaften werden zunachst die wech- selwirkungen zwischen den Partikeln und dem umgebenden Gas bei der Modellierung beschrieben. AnschlieBend erfolgt die Erlauterung der Vorgehensweise fur die Berech- nung der Partikelbahnen und des warmetransports, sowie der theoretische Hintergrund bei der Betrachtung des Tropfenzerfalls.
2.3.1 Kopplungseigenschaften
Fur die Modellierung mit dem Euler-Lagrange-Modell sind zunachst die Wechselwirkun- gen zwischen kontinuierlicher und disperser Phase, sowie der Partikel untereinander ein- zugrenzen. Die Kopplungsmoglichkeiten dazu sind in Abbildung 2.3 dargestellt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2.3 - Kopplungsmoglichkeiten fur das Euler-Lagrange-Modell, in Anlehnung an [13]
Im Falle der Ein-Weg-Kopplung wird davon ausgegangen, dass nur die kontinuierliche Phase einen Impuls aufdie disperse Phase ausubt und damit die Trajektorien der einzel- nen Partikel bestimmt. Diese Betrachtungsweise kann fur eine geringe Anzahl an Parti- keln im Vergleich zur kontinuierlichen Phase gewahlt werden. Als Bewertungskriterium wird dazu haufig der Volumenanteil aP der dispersen Phase verwendet. Mit steigendem Volumenanteil wird der Einfluss der Partikel auf das umgebende Gas grofier. Nach [12] ergibt sich der Volumenanteil aP der Dispersion aus
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
mit der Anzahl der Partikel N i in einem beliebigen Kontrollvolumen V und dem Volu- men eines einzelnen Partikels V p,i. Bei einem Volumenanteil von aP < 10 - [6] hat die disperse Phase nach [16] keinen entscheidenden Einfluss aufdie kontinuierliche Phase. Ist der Volumenanteil grofier, so muss auch die Wirkung der Partikel auf die kontinuierliche Phase mittels Quelltermen berucksichtigt werden, was als Zwei-Weg-Kopplung bezeich- net wird. Zusatzlich konnen die Wechselwirkungen der Partikel untereinander betrachtet werden. Dabei werden Partikel-Kollisionen einkalkuliert, was als Vier-Weg-Kopplung be- zeichnet wird. Der Rechenaufwand steigt hierbei jedoch stark an, da zusatzlich ein raum- licher und zeitlicher Vergleich der Trajektorien miteinander stattfindet. Daher werden Simulationen, bei denen mit haufigen Partikel-Kollisionen zu rechnen ist, selten nach dem Euler-Lagrange-Modell ausgefuhrt. In der hier vorliegenden Arbeit wird im Weite- ren von einer Ein-Weg-Kopplung ausgegangen, da nur eine geringe Anzahl an Tropfen in der Stromung vorhanden ist. Der Einfluss der kontinuierlichen Phase auf die Dispersion wird im nachsten Kapitel behandelt. [13]
2.3.2 Bewegungsgleichung des Partikels
Im Folgenden wird auf die Berechnung von Partikelbahnen in einer beschleunigten Stro- mung eingegangen. Zur Veranschaulichung fur die Ermittlung der Trajektorien, ist die Flugbahn eines Partikels in Abbildung 2.4 dargestellt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2.4 - Trajektorie eines Partikels bei der Lagrangeschen Betrachtung, in Anlehnung an [13]
Die einzelnen Partikel werden durch die Geschwindigkeit uP, den Ort xP und die Masse m P, sowie weitere thermodynamische GroBen beschrieben [13]:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Jedem Partikel wird zudem eine Anfangsposition und -geschwindigkeit, sowie gegebe- nenfalls weitere thermodynamische Werte als Startbedingung vorgegeben. Die Trajekto- rien xP lassen sich fur ein Partikel durch Integration ihrer Geschwindigkeit uP uber den Zeitschritt t nach [13] aus
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
mit der Anfangsposition xP(t = 0) berechnen. Die unbekannte Partikelgeschwindigkeit uP hangt von den angreifenden Kraften ab, die aus der kontinuierlichen Phase resultieren. Aus dem zweiten Newtonschen Axiom geht die Berechnung der Bewegung eines Partikels aus
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
hervor. Es besagt, dass das Produkt von Masse und Beschleunigung die Summe aller an- greifenden Krafte ergibt. Mit der Annahme einer konstanten Masse vereinfacht sich die Gleichung zu:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Anhand der Geschwindigkeit lasst sich schlieBlich die Bewegungsgleichung eines Parti- kels berechnen. Der Kraftvektor Fp reprasentiert alle auf das diskrete Partikel einwirken- den Krafte, die zur Berechnung der Trajektorien benotigt werden. In Abbildung 2.5 ist zur besseren Darstellung die an einem spharischen Partikel angreifende Widerstands- kraft F w und die Gewichtskraft Fg dargestellt, sowie die Geschwindigkeit des beschleu- nigten Gasstroms U.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2.5 - Kraftebilanz eines kugelformigen Partikels in einer beschleunigten Stromung in einer Duse
Werden alle auf das Partikel eingreifende Krafte in der Bilanzierung berucksichtigt, fuhrt dies nach [21] zur folgenden Gleichung:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Zusatzlich zu den in Abbildung 2.5 dargestellten Kraften ist in der Bilanzierung die Druckkraft F D, virtuelle-Massenkraft Fvm, Basset-Kraft F B, Saffman-Kraft FSaff und Magnus-Kraft FMag enthalten.
Die Widerstandskraft FW setzt sich aus einem Reibungs- und Druckwiderstand zusam- men und wird in Abhangigkeit des Widerstandskoeffizienten C W beschrieben. Fur ein spharisches Partikel ergibt sich damit die Widerstandskraft nach [21] aus
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Geschwindigkeitsdifferenz ( Ff — FP) ergibt die Relativgeschwindigkeit Urei, wobei Uf die Geschwindigkeit des kontinuierlichen Fluids beschreibt. Die GroBe d P steht fur den Durchmesser des spharischen Partikels und p F fur die Dichte des Fluids. Der Wider- standskoeffizient C W ist eine Funktion der Reynoldszahl und wird haufig mit der Schiller- Naumann-Formel angenahert [13]:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Reynoldszahl ergibt sich nach [21] mit der kinematischen Viskositat p,F des Fluids aus
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Liegen im Stromungsfeld Druckgradienten vor, so wirkt eine Druckkraft F D auf das Par- tikel. Diese berechnet sich nach [13] aus dem lokalen Druckgradienten V p am Ort des Partikels mit
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bei einem kleinen Dichteverhaltnis p F/ p P kann die Druckkraft vernachlassigt werden. [22]
Die Auftriebskraft entspricht dem Gewicht des verdrangten Fluids und kann nach [21] zusammen mit der Gewichtskraft FG folgendermaBen formuliert werden:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Hierbei steht g fur die Gravitationskonstante. Mit steigendem Dichteverhaltnis zwischen Partikel und Fluid wird der Einfluss des Auftriebsterms geringer.
Die virtuelle Massenkraft FVM tritt dann auf, wenn die Beschleunigung des Partikels und der kontinuierlichen Stromung voneinander abweichen. Das fuhrt dazu, dass eine be- stimme Masse der kontinuierlichen Phase in unmittelbarer Nahe des Partikels wegen der Haftbedingung an der Partikeloberflache mitbeschleunigt wird. Daher zieht das Partikel wahrend seiner Beschleunigung eine Art Schleppe hinter sich her, was in einer Brems- wirkung resultiert. Die Berechnung der virtuellen Massenkraft FVM ergibt sich nach [13] aus
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Fur spharische Partikel, die ausreichend weit von Nachbarpartikeln entfernt sind, kann ein Koeffizient C vM von 0,5 angenommen werden. [13]
Die Basset-Kraft F B wird den Zahigkeitskraften zugeordnet und tritt bei beschleunigten Partikeln auf. Hierbei wird die Kraft an der Partikeloberflache verursacht, an der sich die Grenzschicht durch eine zeitliche verzogerung andert. Die Berechnung der Basset-Kraft erfordert eine Rechenzeit, die um Faktor 10 hoher ist. Fur Zwei-Phasen-Stromungen mit geringen Dichteverhaltnissen p F/ p P kann diese jedoch vernachlassigt werden. [22] Eine ungleichformige Anstromung eines Partikels fuhrt zu einer Querkraft in einer Scherrstro- mung, woraus sich die Saffman-Kraft FSaff ergibt. Dieser Effekt ist nur bei Vorhandensein groBer Partikel und Scherrgradienten zu berucksichtigen, wie beispielsweise in der Nahe von Wandgrenzschichten. Somit ist die Kraft im weiteren Verlauf dieser Arbeit zu ver- nachlassigen. Zu einer Querkraft kann es ebenso durch Rotation des Partikels kommen. Dabei fuhrt die Rotation des Partikels relativ zum umgebenden Fluid zur Magnus-Kraft FMag. Der Krafteinfluss kann ebenfalls vernachlassigt werden, da keine hohen Rotations- geschwindigkeiten zu erwarten sind. Diese ergeben sich hauptsachlich durch Wandkol- lisionen. [22] Die Berechnungsgleichungen der hier genannten Krafte konnen aus geeig- neter Literatur [22] entnommen werden. Im nachsten Abschnitt wird der Warmetrans- port erlautert, aus der die Temperaturanderung des Partikels ermittelbar ist.
2.3.3 Energietransport
Die Temperatur an der Oberflache eines Tropfens ist abhangig von inneren und aufie- ren Stromungsvorgangen und damit nicht konstant. Aufgrund hoher Rechenzeiten wird die Berechnung interner Stromungsvorgange vernachlassigt. Hierbei wird angenommen, dass die Vorgange im Tropfen unendlich grofi sind. Damit kann von einer homogenen Temperaturverteilung innerhalb des Tropfens ausgegangen werden. Die Gultigkeit dieser Annahme wurde in der Arbeit von [3] uberpruft. Dabei findet ein Vergleich zur Berech- nung der Tropfentemperatur fur den Fall einer homogenen und inhomogenen Tempera- turverteilung innerhalb des Tropfens statt. Fur Partikelreynoldszahlen Re P bis zu einem Wert von 1000 konnte bestatigt werden, dass die Abweichungen vernachlassigbar klein sind. Im Folgenden soll daher der Ansatz einer homogenen Tropfentemperatur verfolgt werden.
Der Warmetransport zwischen disperser und kontinuierlicher Phase lasst sich ausge- hend vom ersten Hauptsatz der Thermodynamik nach Gleichung 2.6 ableiten und setzt sich aus der Leistung W und dem Warmestrom Q zusammen. Letzteres steht zusam- menfassend fur den Warmetransport durch Konvektion und Strahlung. Der Arbeitsanteil beschreibt die geleistete Arbeit durch das Aus- und Einstromen aus der Kontrolloberfla- che des Tropfens und durch die angreifenden Krafte am Tropfen. Damit ergibt sich die Gesamtgleichung fur die Energiebilanz am Tropfen nach [6]:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der Massenstrom m beschreibt die Anderung der Masse des Tropfens und die Grofie h L reprasentiert die latente Verdampfungsenthalpie. Des Weiteren wird die spezifische Warmekapazitat der dispersen Phase durch die Grofie c d beschrieben. Die Grofie w' be- schreibt die Geschwindigkeit durch den Ausfluss aus der Kontrolloberflache des Tropfens und steht ubergreifend fur die kinetische Energie. Fur ein besseres Verstandnis ist eine Kontrolloberflache an einem bewegten Tropfen in Abbildung2.6 schematisch dargestellt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2.6 - Kontrolloberflache an einem bewegten Partikel, in Anlehnung an [6]
Die Anderung der Masse eines Tropfens kann durch Kondensation oder Verdampfung bewirkt werden. Dabei stromt der Massenanteil mit einer Geschwindigkeit w' aus der Kontrolloberflache. Es kann jedoch angenommen werden, dass die kinetische Energie durch das Aus- und Einstromen aus der Kontrolloberflache des Tropfens vernachlassig- bar klein ist. Dies vereinfacht Gleichung 2.21 folgendermaBen:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Mit dieser Gleichung ist es moglich den Warmetransport von Fluid auf den Tropfen be- schreiben.
Ein zentraler Untersuchungsaspekt in der hier vorliegenden Arbeit ist zudem die Be- trachtung des Tropfenzerfalls, was im nachsten Abschnitt vorgestellt wird.
2.3.4 Tropfendeformation
Die im vorherigen Kapitel beschriebenen Gleichungen unterliegen dem Aspekt, dass fur die Berechnung ein kugelformiger Partikel angenommen wird, der keine Deformation zulasst. Die an einem Tropfen angreifenden Krafte konnen jedoch in der Realitat eine Verformung bewirken, was anschlieBend zu einem Tropfenzerfall fuhren kann. Auf die- se Charakteristik hat die Oberflachenspannung aP des Tropfens einen entscheidenden Einfluss. Sobald die Verformung eine bestimmte Grenze uberschreitet, kann der Tropfen nicht mehr in seine ursprungliche Form zuruckkehren und er beginnt zu zerfallen. In dieser Arbeit liegtdie Aufmerksamkeit insbesondere aufder Frage, zu welchem Zeitpunkt der Zerfall eintritt. Ein MaB fur den Zerfall ist die We-Zahl. Sie gibt das Verhaltnis von aerodynamischen Kraften zur Oberflachenspannung aP des Tropfens an und berechnet sich aus
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bestimmend ist hierbei die Relativgeschwindigkeit v rel zwischen Tropfen und konti- nuierlicher Phase. Fur die Charakterisierung des Viskositateinflusses eignet sich die Ohnesorge-Zahl Oh, die folgendermaBen definiert ist [7]:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Sie ist maBgebend fur die Bestimmung der kritischen We-Zahl und berechnet sich aus der Viskositat p,P des Tropfens. In Abbildung 2.7 sind Zerfallsbereiche in Abhangigkeit der Ohnesorge-Zahl dargestellt. Die Bestimmung dieser Bereiche liegt umfangreichen Mes- sungen zugrunde. Dabei wurden Zerfallsvorgange unterschiedlicher Tropfen untersucht, die sich in verschiedenen Tragerfluiden mit einem Dichteverhaltnis p P/ p F von 580 bis 12000 befanden. Die vertikale Achse reprasentiert die We-Zahl und die horizontale Ach- se die Ohnesorge-Zahl. Bei einer konstanten Oh-Zahl werden bei Erhohung der We-Zahl nacheinander die verschiedenen Zerfallsbereiche, beginnend mit der Deformation des Tropfens, durchlaufen. Die Grenze zwischen den Zerfallsbereichen ist durch die kritische We-Zahl definiert. Bei kleinen Ohnesorge-Zahlen bis 10 - [2] ergeben sich naherungsweise konstante We-Zahlen.
[...]
- Citar trabajo
- Drin Marmullaku (Autor), 2019, Die Untersuchung von Tropfenschlagerosion. Numerische Berechnung einer Düse zur Beschleunigung von Einzeltropfen, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/539282
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