Diese Ausarbeitung, welche mit LaTeX geschrieben wurde, umfasst die Grundlagen für das differenzierte Verständnis über Markov-Ketten im Studium.
Irreduzible und aperiodische Markov-Ketten
Felix Busch
29.10.2019
1 Irreduzible und aperiodische Markov-Ketten
1.1 Definition
Sei eine Markov Kette (Xo,Xi,...) mit Zustandsraum {s1,..., Sk} und Ujbergangsmatrix P gegeben. Man sagt, dass ein Zustand Si mit einem Zustand Sj kommuniziert, in Zeichen Si — Sj, genau dann, wenn die Markov- Kette positive Wahrscheinlichkeit besitzt, innerhalb einer Zeit n von Zustand si nach Zustand sj zu gelangen. Also, wenn ein n e N existiert, sodass:
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Weiterhin gilt: Zwei Zustande Si und Sj kommunizieren miteinander, in Zeichen Si Sj, genau dann, wenn
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Diese Definition ist unabhangig von der Wahl von m, wie das folgende Lemma zeigt:
1.2 Lemma
Sei eine Markov-Kette (X0,X1,...) mit Zustandsraum {s1, ..., Sk} und Ujbergangsmatrix P gegeben. Seien i,j e {1,k}. Dann gilt Vm, n e N:
P(Xm+n = Sj | Xm = Si) = (Pn)i,j . Das bedeutet, dies ist unabhängig von m.
Beweis.
Sei m fest aber beliebig. Beweise die Behauptung durch Induktion uäber n:
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* bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit eines gegebenen Weges durch den jäbergangsgraph mit gegebenen Zeiten ist gleich dem Produkt der einzelnen Wege mit den entsprechenden Zeiten und folgt direkt aus der Gedaächtnislosigkeit der Markov-Kette. Denn P(Xm+n+1 = Sj | Xm = Sq), wuärde nicht den vorherigen Zustand betrachten, sondern einen Zustand der schon n Schritte zuvor durchlaufen wurde. Da es väollig egal ist an welchem Punkt wir n Schritte zuvor gewesen sind, sondern nur der unmittelbare jäbergang von einem Zustand Si in einen Zustand Si+1 von Bedeutung ist, kann man sagen, dass diese Gleichheit gilt. Dies beschreibt die Haupteigenschaft der Markov-Ketten, die Gedachtnislosigkeit.
1.3 Definition
Eine Markov-Kette (X0, Xi,...) mit Zustandsraum {s1,..., sk} und Übergangsmatrix P heißt irreduzibel genau dann, wenn für alle i,j e {s1,..., sk} gilt, dass si Sj. Ansonsten heißt die Markov-Kette reduzibel. Eine äquivalente Formulierung fur Irreduzibilitat ist, dass fi'ir alle i, j e {1,..., k} ein n e N mit (P n ) i ,j > 0 existiert.
1.4 Beispiel
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Abbildung 1: reduzible Markov-Ketten,Quelle: Schomaker, J.
Man sieht in diesem Beispiel die Rechtfertigung fuär den Begriff ”reduzibel”, da man sich auf eine kleinere Markov-Kette und damit auf eine entsprechend angepasste Üä bergangsmatrix konzentrieren kann. Wenn man im linken Beispiel die Markov-Ketten als zwei einzelne betrachten wuärde, dann haätte man zwei irreduzible Markov-Ketten.
1.5 Definition
SeieineMarkov-Kette(X0,X1,...)mitZustandsraum{s1,...,sk} und Üäbergangsmatrix P gegeben. Die Periode d(si) eines Zustandes si definiert man als:
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In Worten: Die Periode von si ist der gräoßte gemeinsame Teiler der Menge von Zeiten, an denen die Markov- Kette wieder nach si (mit positiver Wahrscheinlichkeit) zuruäckkehren kann. Dabei bezeichnen wir mit si = X0 den Startpunkt der Markov-Kette.
1.6 Definition
SeieineMarkov-Kette(X0,X1,...)mitZustandsraum{s1,...,sk} und Üäbergangsmatrix P gegeben.
Ist d(si) = 1, so heißt der Zustand si aperiodisch (unregelmäaßige Ruäckkehrwahrscheinlichkeit), andernfalls heißt der Zustand periodisch. Falls alle Zustäande der Markov-Kette aperiodisch sind, so heißt auch die Markov- Kette aperiodisch. Andernfalls heißt sie periodisch.
1.7 Beispiel
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Abbildung 2: Periodische Markov-Kette,Quelle: Eigene Darstellung
Wir nehmen an, dass wir in Punkt s1 starten. Er muss also eine gerade Anzahl an Schritten nehmen, um zurück zu s1 zu kommen. Das heißt (P n ) i ,j > 0 nur für n= 2, 4, 6,... daraus folgt: ggT {n > 1 : (P n ) i ,j > 0} = ggT{2, 4, 6,...} = 2 und die Kette ist somit periodisch.
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Abbildung 3: Aperiodische Markov-Kette,Quelle: Schomaker, J.
Man sieht hier, dass fur jeden Zustand si gilt, dass (P2)i,i > 0 und (P3)i,i > 0 ist. Damit gilt d(si) = 1 und diese Markov-Kette ist aperiodisch.
1.8 Lemma
Sei A = {a1,a2,a3,...} eine Menge positiver, naturlicher Zahlen mit folgenden Eigenschaften:
i) ggT(A) = 1
ii) A ist abgeschlossen unter Addition, d.h. wenn a,b e A gilt, dann gilt auch a + b e A. Dann existiert ein N < to so, dass n e A Vn > N.
Beweis.
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Wir werden dieses Lemma im Folgenden Satz benutzen, um zu zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit von einem Zustand si in denselben zuruck zu gelangen, nachdem N Schritte durchlaufen wurden, ftir die weiteren n Schritte positiv ist.
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- Felix Busch (Autor), 2019, Markov-Ketten Grundlagen, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/538580
