Die Bewertung festverzinslicher Wertpapiere scheint einfach zu sein, sind doch im voraus Höhe und Zeitpunkte der Zahlungen bekannt. Jedoch ist der Wert dieser Zinstitel, genauso wie der von Dividendentiteln, den Schwankungen des Marktes unterworfen, ist damit alles andere als fest. In Anbetracht des Umfangs, den Zinstiteln an Kapitalmärkten darstellen, ist eine genaue Untersuchung des Preisverhaltens unumgänglich.
Zum Beispiel sind in den USA Anfang der achtziger Jahre in einer Hochzinsphase viele Spar- und Kreditgenossenschaften in finanzielle Nöte geraten. Ihre zu niedrigem Zins abgeschlossenen Hypothekendarlehen haben an Wert verloren, gleichzeitig stieg der Aufwand der Refinanzierzung, die überwiegend mit kurzfristigen Spareinlagen erfolgte.
Gerald Bierwag stellt in seinem Buch "Duration Analysis - Managing Interest Rate Risk" ausführlich Bewertungsmethoden, Analysen und Handlungsstrategien vor, die sich mit dem Zinsänderungsrisiko befassen. Angelehnt an dieses Buch ist die vorliegende Seminararbeit entstanden. Sie behandelt die Duration als Maß des Zinsänderungsrisikos und geht dabei auf verschiedene Zinsänderungsszenarien ein. Des Weiteren wird das Binominalmodell zur arbitragefreien Zinsbewegung nach Ho-Lee erläutert und ein Durationmaß auf Basis dieses Modells vorgestellt.
Inhaltsverzeichnis
1 Problemstellung
2 Bewertung bei flacher Zinsstruktur
2.1 Z ahi imgs ströme
2.2 Bewertung von Zahlungsströmen
2.3 Duration als Elastizitätsmaß
2.4 Die Duration einer Anlage
2.5 Anwendung
3 Bewertung bei ausgeprägter Zinsstruktur
3.1 Verschiedene Zinsänderungsszenarien
3.2 Durationmaße bei ausgeprägter Zinsstruktur
3.3 Empirische Untersuchungen
4 Das Но-Lee Modell
4.1 Vorstellung des Modells
4.2 Eigenschaften des Ho-Lee Modells
4.3 Duration im Ho-Lee Modell
5 Abgrenzung
Abbildungsverzeichnis
1 Bondpreisschätzung mittels der Duration
2 laufzeitabhängiges Verhalten der Duration
3 Die Störterme h^(t) und h^(t)
1 Problemstellung
Die Bewertung festverzinsliche Wertpapiere scheint einfach zu sein, sind doch im voraus Höhe und Zeitpunkte der Zahlungen bekannt. Jedoch ist der Wert dieser Zinstitel, genauso wie der von Dividendentiteln, den Schwankungen des Marktes unterworfen, ist damit alles andere als fest. In Anbetracht der Umfangs, den Zinstiteln an Kapitalmärkten darstellen, (etwa | des Umsatz an deutschen Börsen wird mit verzinslichen Wertpapieren erzielt), ist eine genaue Untersuchung des Preisver- h al t ens unumgängl i ch.
Zum Beispiel sind in den USA Anfang der achtziger Jahre in einer Hochzinsphase viele Spar- und Kreditgenossenschaften (Savings and Loan Association) in finanzielle Nöte geraten. Ihre zu niedrigem Zins abgeschlossenen Hypothekendarlehen haben an Wert verloren, gleichzeitig stieg der Aufwand der Refinazierung, die überwiegend mit kurzfristigen Spareinlagen erfolgte.
Bierwag1 stellt ausfürlich Bewertungsmethoden, Analysen und Handlungsstrategien vor, die sich mit dem Zinsänderungsrisiko befassen. Angelehnt an dieses Buch ist die vorliegende Seminararbeit entstanden.
2 Bewertung bei flacher Zinsstruktur
2.1 Zahlungsströme
Aus Zinsansprüchen resultierende Zahlungsstöme (Z.\.Z¿ Z.„) lassen sich grob wie folgt einteilen: Kuponanleihen (Bonds): Hier erfolgen periodische Zinszahlungen gleicher Höhe, des sogenannten Kupons mit der Kuponrate c. Bei Fälligkeit T wird die Anleihe durch Rückzahlung des Nennwertes N getilgt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Man unterscheidet zwischen
1. Par Bonds (Preis P = 100)
2. Premium Bonds (P > 100)
3. Discount Bonds (P < 100)
Nullkuponanleihen (Zerobonds): Wie der Name schon sagt, erbringt die Nullkuponanleihe (NKA) keine Kuponzahlungen. Ihre Zinserträge resultieren daraus, daß sie mit einem Abschlag zum Nennwert verkauft werden. Die Differenz zur bei Fälligkeit T erfolgenden Rückzahlung stellen die thesaurierten Zinsen dar.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Annuitäten: Eine Annuität zeichnet sich dadurch aus, daß über die gesamte Laufzeit ein gleichförmiger Geldfluß besteht = Z2 = ... = Zj). In den einzelnen Zahlungen sind sowohl Zins- als auch Tilgungsanteile enthalten, die sich im zeitlichen Verlauf von einem hohen Zinsanteil zu wachsenden Tilgungsraten verschieben. So sind zum Beispiel Hypothekenkredite überwiegend Annui t ät end ari eb en.
Die obigen Elemente lassen sich kombinieren, so kann man z.B. ein Anleihe aus mehreren Zerobonds nachbilden. Aufgrund der Wertadditivität ist es gleichgültig, ob man die Kupon- und Tilgungszahlungen einzeln in Form von Nullkuponanleihen kauft, oder den gesamten Zahlungsstrom in Form einer Anleihe.
2.2 Bewertung von Zahlungsströmen
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Dieser Ausdruck läßt sich auch darstellen als
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bei einer ebenen Zinskurve ist der Marktzinssatz i für alle Anlagezeiträume konstant und gleich der Rendite r. Dies erleichtert die Bewertung eines Zahlungsstromes sehr, denn sein Wert ( Preis ) setzt sich aus der Summe der mit dem Zins i diskontierten Zahlungen bis zur Fälligkeit zusammen. Eine Anleihe mit Nennwert iY, Laufzeit T und Kuponrate c hat damit folgenden Preis P (bzw. Wert V):
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Wirkung des Zinssatzes auf den Preis ist offensichtlich. Als Maß für die Zinsabhängigkeit des Anleihepreises bezüglich des Zinssatzes ergibt sich die Duration, die als auch als gewichtetes Zeitmaß zu verstehen ist.
2.3 Duration als Elastizitätsmaß
Macaulay prägte 1938 als erster den Begriff „Duration“. Er definiert die Duration eines Zahlungsstroms folgendermaßen (vgl. Bierwag 1, S. 57ff):
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Damit lassen sich Wertänderungen bei kleinen Zinsbewegungen abschätzen mit:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Unter der Annahme, D sei konstant, erhält man eine bessere Näherung durch Integration der Differentialgleichung (8):
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 1: Bondpreisschätzimg mittels der Duration
Der noch au'ft reten de Fehler beruht darauf, daß entgegen der Annahme D vom Marktzins abhängig ist und damit nicht als Konstante vor das Integral gezogen werden darf.
2.4 Die Duration einer Anlage
Bierwag (1. S.74-78) zeigt, daß die Duration einer Anleihe sich durch die Formel
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
berechnen läßt.
Für einen Parbond (c=i) vereinfacht sich die Kalkulation zu
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Duration Dp eines Anleiheportfolios ist eine Linearkombination aus den Duration Di der im Portfolio P vertretenen Werte /. Gewichtet werden sie mit ihrem Anteil am Gesamtwert Vp des Portfolios.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2: laufzeitabhängiges Verhalten der Duration
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Entwicklung der Duration während der Laufzeit eines Bonds sieht bei unverändertem Zins folgendermaßen aus (vgl. Abb.(2)):
- Bei Zerobonds entspricht die Duration der Restlaufzeit, da in Formel (4) das ganze Gewicht auf die Tilgungszahlung in T fällt.
- Die Duration einer Kuponanleihe nähert sich mit länger werdender Laufzeit der Duration einer ewigen Rente an.
- Die Duration der ewigen Rente (Annuität mit unendlicher Laufzeit) ist -M^. Dies ergibt sich für den Grenzwert lim7^co D nach Gleichung (13).
- Mit abnehmender Laufzeit fällt die Duration von Premium- und Parbonds. aber langsamer als die Restlaufzeit.
[...]
1 Einige Discountbonds (mit extrem langer Laufzeit und im Vergleich zum Marktzins sehr niedrigem Kupon) zeigen ein unerwartetes Verhalten. Die Duration steigt mit Abnahme der Laufzeit an. um dann wie erwartet ebenfalls
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