In dieser Arbeit werden Fehler im Mathematikunterricht thematisiert. Es wird der Frage nachgegangen, welches Potential in ihnen steckt und wie im Mathematikunterricht in der Mittelschule damit umgegangen werden sollte.
Für die Bearbeitung dieser Fragestellung wurde vor allem das Werk „Fehleranalysen im Mathematikunterricht“ von Radatz (1980) als theoretischer Grundstock herangezogen. Der Autor prägte den Fehlerbegriff in der Mathematikdidaktik besonders und wird bis heute oft zitiert. Auch bot die Arbeit „Fehlerklima in der Klasse – Zum Umgang mit Fehlern im Mathematikunterricht“ von Steuer (2014) eine wertvolle Grundlage für die Auseinandersetzung mit dieser Thematik, da sie einen sehr umfassenden Überblick dazu gibt.
Der Aufbau dieser Arbeit gliedert sich in zwei Stichpunkte. In einem Theorieteil sollen zunächst die thematisch relevanten Aspekte aufgegriffen werden, um die Grundlage für den darauffolgenden analytischen Teil zu bilden. Im ersten Schritt werden die Kompetenzformulierungen für den Mathematikunterricht an bayerischen Mittelschulen benannt, um die pädagogische Bedeutung dieses Themas, im Rahmen eines kompetenzorientierten Mathematikunterrichts, aufzuzeigen. Die curricularen Vorgaben stützen sich auf die Beschlüsse der Kultusministerkonferenz aus dem Jahre 2005 sowie auf den sich noch in der Entwicklung befindlichen LehrplanPlus für die bayerische Mittelschule. Da es für die Auseinandersetzung mit dieser Thematik einer begrifflichen Eingrenzung bedarf, was überhaupt einen Fehler darstellt, erfolgen im nächsten Schritt Annäherungen an den Begriff.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Kompetenzen im Mathematikunterricht der bayerischen Mittelschule
3. Der Fehler
3.1. Annäherungen an den Begriff
3.2. Der Fehler als Hindernis oder Chance ? – Lerntheoretische Ansichten
3.3. Gründe und Fehlerarten im Mathematikunterricht
3.4. Vorgehensweise bei der Fehleranalyse
4. Fehlerklima
5. Analytischer Teil
5.1 Lehrerinterviews
5.1.1 Methodik und Leitfragen
5.1.2 Auswertung der Ergebnisse
5.2 Schülerbefragungen
5.2.1 Vorbereitung
5.2.2 Methodik
5.2.3 Fragebogen
5.2.4 Darstellung der Ergebnisse der sechsten Klasse
5.2.5 Darstellung der Ergebnisse der zehnten Klasse
5.3 Zusammenfassung
6. Fazit
7. Literaturverzeichnis
8. Anhang
1. Einleitung
„Hast du einen jungen Menschen davor bewahrt, Fehler zu machen, dann hast du ihn auch davor bewahrt, Entschlüsse zu fassen!“1 lautet eine Äußerung des amerikanischen Literaturwissenschaftlers und Romanautors John Erskine. Doch was genau ist ein Fehler und wenn er doch etwas Gutes darstellt, warum sollte überhaupt jemand versuchen, einen anderen Menschen davor zu bewahren?
„Der Fehler“ ist ein Begriff, der in allen Lebensbereichen aufzufinden ist. Um einige beispielhafte Fehlersituationen aufzuzeigen: Ein Mann, der seine Ehefrau, aufgrund seiner Untreue, um Entschuldigung bittet, gesteht, einen Fehler gemacht zu haben; ein Schüler, der in der Klassenarbeit null Fehler hatte, freut sich und legt die Arbeit stolz seinen Eltern vor; die Zuschauer sind wegen des Schiedsrichters aufgebracht, der bei einem Fußballspiel fehlerhaft gepfiffen hat; beim Aufruf einer Internetseite, die aktuell nicht verfügbar ist, heißt es: „Ein unbekannter Fehler ist aufgetreten“. An dieser Stelle könnten noch etliche weitere Beispiele angeführt werden, die zeigen, dass in unterschiedlichsten Kontexten vom „Fehler“ gesprochen werden kann. Eine Gesamtheit wird jedoch deutlich: Der Fehlerbegriff ist stets negativ konnotiert und auch wenn es allgemeiner Tenor ist, dass Fehler dazugehören, wenn nicht sogar bedeutend sind, werden diese mit etwas Unerwünschtem assoziiert. Sie signalisieren für die meisten einen Irrtum oder ein Misslingen und lösen negative Gefühle, wie Ärger, Scham oder Reue aus. Schon in der Kindheit fangen Menschen an, sich über ihre Fehler zu definieren. Insbesondere in der Schule gelten Fehler als ein Indikator für Misserfolge. Je weniger Fehler ein Schüler2 in einem Leistungsnachweis hat, desto besser ist seine Bewertung und umgekehrt geht eine hohe Fehleranzahl mit einer schlechteren Bewertung einher. Auch die Reaktion auf Fehler ist meist eine negative, ihnen wird mit „Vermeidung, Ablenkung oder gar Leugnung begegnet.“3
Doch gerade im schulischen Kontext wird die Bedeutung des Fehlers für den Lernprozess von zahlreichen Autoren (z.B. Althof 1999, Ohrmann & Wehner 1989, Oser & Spychiger 2005, Weingart 2004, Wuttke & Seifried 2012, Zhao & Olivera 2006)4 unterstrichen. Insbesondere im Mathematikunterricht ist die Auffassung verbreitet, dass Fehler etwas Negatives darstellen, verbunden mit der Vorstellung, Schüler sofort korrigieren zu müssen, damit sie sich nichts Falsches einprägen. Auf jeden Fall ist es bedeutsam, sie zu berichtigen, aber damit wirklich ein nachhaltiges Lernen erfolgen kann muss sich Fehlern auf eine bewusste Art und Weise angenähert werden. Auch in dieser Arbeit werden Fehler im Mathematikunterricht thematisiert. Es wird der Frage nachgegangen, welches Potential in ihnen steckt und wie im Mathematikunterricht in der Mittelschule damit umgegangen werden sollte.
Für die Bearbeitung dieser Fragestellung wurde vor allem das Werk „Fehleranalysen im Mathematikunterricht“ von Radatz (1980) als theoretischer Grundstock herangezogen. Der Autor prägte den Fehlerbegriff in der Mathematikdidaktik besonders und wird bis heute oft zitiert. Auch bot die Arbeit „Fehlerklima in der Klasse – Zum Umgang mit Fehlern im Mathematikunterricht“ von Steuer (2014) eine wertvolle Grundlage für die Auseinandersetzung mit dieser Thematik, da sie einen sehr umfassenden Überblick dazu gibt. Der Aufbau dieser Arbeit gliedert sich in zwei Stichpunkte. In einem Theorieteil sollen zunächst die thematisch relevanten Aspekte aufgegriffen werden, um die Grundlage für den darauffolgenden analytischen Teil zu bilden. Im ersten Schritt werden die Kompetenzformulierungen für den Mathematikunterricht an bayerischen Mittelschulen benannt, um die pädagogische Bedeutung dieses Themas, im Rahmen eines kompetenzorientierten Mathematikunterrichts, aufzuzeigen. Die curricularen Vorgaben stützen sich auf die Beschlüsse der Kultusministerkonferenz aus dem Jahre 2005 sowie auf den sich noch in der Entwicklung befindlichen LehrplanPlus für die bayerische Mittelschule. Da es für die Auseinandersetzung mit dieser Thematik einer begrifflichen Eingrenzung bedarf, was überhaupt einen Fehler darstellt, erfolgen im nächsten Schritt Annäherungen an den Begriff.
Danach werden verschiedene lerntheoretische Positionen und die Ansichten zum Fehler präsentiert, um die für die Schule relevanten Aspekte zu beleuchten. Bevor auf die Besonderheiten eines positiven Umgangs mit Fehlern eingegangen werden kann, muss jedoch vorher erst hinterfragt werden, welche Arten es von Fehlern im Mathematikunterricht gibt und welche Ursachen diese haben. Weiterhin sollen verschiedene Methoden der Fehleranalyse im Mathematikunterricht dargestellt werden, um dann, unter dem nächsten Punkt, das Fehlerklima und ihre verschiedenen Dimensionen aufzuzeigen. Darauf aufbauend, folgt der analytische Teil, der sich einerseits aus zwei Interviews mit Lehrkräften, die an einer bayerischen Mittelschule Mathematik unterrichten und andererseits aus Schülerbefragungen, die in einer siebten und in einer zehnten Klasse, mittels eines Fragebogens zum Thema „Umgang mit Fehlern im Mathematikunterricht“ erfolgten, zusammensetzt. Zunächst werden die hierfür notwendigen Vorbereitungsmaßnahmen, das methodische Vorgehen sowie das Design der Erhebung erläutert, um anschließend die Ergebnisse, in Bezug auf den vorherigen Theorieteil, auszuwerten. Am Schluss folgt eine abschließende Reflexion, in der alle wichtigen Sachverhalte noch einmal resümiert werden sollen.
2. Kompetenzen im Mathematikunterricht der bayerischen Mittelschule
Im Fachprofil Mathematik des neuen LehrplanPlus für die bayerische Mittelschule, der voraussichtlich ab dem Schuljahr 2017/2018 in Kraft treten wird, wird unter dem Punkt „Teilhabe am gesellschaftlichen Leben“ dargestellt, welchen wichtigen Beitrag das Fach, im Rahmen der Qualifikation, Sozialisation Entkulturation des Schülers leistet: „Mathematische Kompetenzen schaffen wesentliche Voraussetzungen für eine Teilhabe am gesellschaftlichen Leben. Die Schülerinnen und Schüler lernen dabei, technische, natürliche, soziale sowie kulturelle Erscheinungen und Vorgänge mithilfe der Mathematik wahrzunehmen, zu verstehen und unter Nutzung mathematischer Gesichtspunkte zu beurteilen.“5 Das mathematische Grundverständnis befähigt demnach die Schüler dazu, ihren Alltag, durch das Erkennen und Verstehen mathematischer sowie nicht – mathematischer Probleme, insbesondere durch den Transfer, der im Unterricht gewonnenen Erkenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten, zu bewältigen. Weiterhin lautet es unter dem Punkt „Anwendung der Mathematik“: „Die mathematische Bildung hat für die Ausbildungsreife eine Schlüsselrolle. Die Fähigkeit, Zusammenhänge zu erkennen, sie angemessen zu verbalisieren und Darstellungsformen sowie Modelle der Mathematik zu benutzen, ist Voraussetzung für die Bearbeitung verschiedenster Sachverhalte. Die Mathematik ermöglicht es daher den Schülerinnen und Schülern, ihre Zukunft aktiv und eigenverantwortlich mitzugestalten. Mathematik wird für Beschreibungen von Vorgängen in den Naturwissenschaften und der Technik verwendet. Aber auch in Wirtschaft und Politik sowie in den Sozialwissenschaften bilden mit mathematischen Methoden gewonnene Aussagen häufig die Grundlage für Entscheidungen von weitreichender Bedeutung.“6
Auch hier wird die Interdisziplinarität durch den Bezug des Faches zu anderen Wissenschaften sowie ihre Bedeutung für die Bewältigung und Gestaltung des Lebens betont.
Um diesen Ansprüchen gerecht zu werden, muss der Mathematikunterricht so formuliert werden, dass er die Schüler aktiviert und sie bei der Entwicklung grundlegender mathematischer Kompetenzen fördert. Unter Kompetenzen im Allgemeinen werden nach Weinert (2001) „die bei Individuen verfügbaren oder durch sie erlernbaren kognitiven Fähigkeiten und Fertigkeiten, um bestimmte Probleme zu lösen, sowie die damit verbundenen motivationalen, volitionalen und sozialen Bereitschaften und Fähigkeiten, um die Problemlösungen in variablen Situationen erfolgreich und verantwortungsvoll nutzen zu können.“7, verstanden. Zentral ist demnach die Lösung eines Problems durch das in der Schule erworbene prozedurale und deklarative Wissen. Die Kompetenz enthält aber auch eine motivationale Komponente, d. h., der Schüler muss aus eigenem Einsatz heraus – ohne externen Druck – die Beständigkeit zeigen, das vorhandene Problem mit den ihm vorhandenen Mitteln zu lösen. Es wird ganz stark die Eigenaktivität des Schülers betont. Die Kultusministerkonferenz beschloss im Jahre 2004 für den Mathematikunterricht an Mittelschulen die allgemeinen mathematischen Kompetenzen Argumentieren, Probleme lösen, Modellieren, Darstellungen verwenden, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen sowie Kommunizieren. Besonders die Kompetenz „Kommunizieren“ steht im Zusammenhang mit den überfachlichen Kompetenzen Sprachkompetenz, Sozialkompetenz und der Problemlösekompetenz. Die Schüler sollen dazu befähigt werden, ihre Überlegungen, Lösungswege bzw. Ergebnisse verständlich darzustellen“8, „auf Fragen und Kritik sachlich und angemessen zu reagieren“9, „auf Äußerungen von anderen zu mathematischen Inhalten einzugehen“10 sowie „mit Fehlern konstruktiv umzugehen“11.
Folglich wird hier hervorgehoben, wie bedeutend es ist, dass die Schüler ihre Ergebnisse präsentieren und ihren eigenen Gedankengang vor anderen artikulieren und begründen können, um sich innerhalb der Klasse über die verschiedenen Lösungswege auszutauschen und durch diese offene Kommunikationskultur zu einem konstruktiven Umgang mit Kritik sowie Fehlern zu gelangen. Mathematikunterricht besteht demnach nicht darin, Schüler während des Lernprozesses immer leise für sich auf ihrem Blatt „rechnen“ zu lassen und am Ende des Ergebnis unreflektiert abzuhaken oder durchzustreichen. Durch den Austausch mit anderen Schüler kann insbesondere das soziale Lernen gefördert werden.12 Diese genannten Kompetenzen wurden auch im Rahmen der Kompetenzorientierung im neuen LehrplanPlus für die bayerische Mittelschule integriert.13
3. Der Fehler
3.1. Annäherungen an den Begriff
Fehler sind besonders im schulischen Zusammenhang entscheidende Indikatoren für die individuelle Leistung. Einen Fehler als solchen zu identifizieren, stellt unabhängig vom Kontext für die meisten Menschen, seien es Lehrer, Schüler oder Eltern, kaum eine Herausforderung dar, doch eine genaue Definition, was darunter zu verstehen ist, hingegen schon. Steuer (2014) begründet diese Problem, die die Begriffsklärung innehat, durch „die Abhängigkeit des Fehlers von der Situation in der ein Fehler auftritt sowie die Abhängigkeit von den Merkmalen des Individuums, welches einen Fehler begeht.“14 Demnach ist die Feststellung sowie die Beurteilung, ob ein Fehler vorliegt, personen – sowie kontextabhängig.
Auch demonstriert sich das breite Verständnis darüber, was einen Fehler als solchen ausmacht, durch die hohe Anzahl an Definitionen, die sich in der Literatur finden lassen: „Keller (1980) verstand darunter die Frustration von Erwartungen, Gloy (1987) die die Abweichung von individuellen Absichten.
Kobi (1994) und Mehl (1993) einen von der Norm abweichenden Sachverhalt oder Prozess, wobei die Norm sowohl individuell gesetzt, als auch durch Konvention oder (sach-) logische Argumentationen festgelegt sein kann.“15
Auch die Definition nach Oser und Hascher (1996) weist Übereinstimmungen mit den genannten Definitionen auf, dagegen unterstreicht diese darüber hinaus die mit der Feststellung des Fehlers verbundene Erkenntnis im Hinblick auf das Richtige. Demnach ist ein Fehler „ein von der Norm abweichender Sachverhalt oder Prozess, der es überhaupt erst ermöglicht, den dem Sachverhalt oder Prozess entgegengesetzten richtigen normbezogenen Sachverhalt in seinen Abgrenzungen zu erkennen.“16
Steuer (2014) fasst die definitorischen Ansätze des Fehlerbegriffs folgendermaßen zusammen: Ein Fehler steht für „die Abweichung von einer Norm, die Abweichung von einem Ziel, der Bewertungs- oder Beurteilungsaspekt und die Unabsichtlichkeit.“17 Sie drückt dabei die Gemeinsamkeit aus, „dass Fehler als Abweichungen des Ist – Zustandes von dem Soll – Zustand“18 gelten.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Fehlern im Mathematikunterricht, bei dem sowohl der Soll – Zustand als sogenanntes Lern- bzw. Kompetenzziel als auch die Normen klar vorgegebenen werden. Abweichungen können gut als solche bestimmt werden, was wiederum die Fehlerbestimmung vereinfacht. Doch an dieser Stelle sei angemerkt, dass es diesbezüglich auch Differenzen gibt: „Während man über Fehler in bestimmten (Teil-) Bereichen der Mathematik (-didaktik) gute Kenntnisse besitzt, wie Fehler bei der Bruchrechnung […] und Fehler im Bereich der Arithmetik […], lässt sich feststellen, dass es bei komplexen Anforderungen nur peripher Kenntnisse über Fehler gibt.“19 Insbesondere im problemorientierten Mathematikunterricht kann nicht durchwegs behauptet werden, es gäbe nur einen gültigen Lösungsweg, den es zu beherrschen gilt, sodass die Normvorgaben durchaus eine Bewegungsfreiheit zulassen.
Die Bewertung liegt zumeist in den Händen der Lehrkraft: „Aufgrund der hierarchischen Struktur in der Schule und des Wissensvorsprungs hat die Lehrkraft in der Regel die Deutungshoheit. Das bedeutet, dass die Lehrkraft bewertet, ob ein Fehler aufgetreten ist und in der Regel auf den Fehler hinweist, sodass die Schülerin oder der Schüler diesen auch erkennt, sofern er nicht selbst bemerkt wurde und somit keine primäre Eigenbeurteilung stattfand.“20
3.2. Der Fehler als Hindernis oder Chance ? – Lerntheoretische Ansichten
Im Zusammenhang mit der Einstellung gegenüber Fehlern im Lernprozess unterscheidet Waasmeier (2009) zwei unterschiedliche lernpsychologische Positionen: den Defizitansatz sowie den konstruktivistischen Ansatz.21
Nach Schoy – Lutz (2005) handelt es sich bei dem Defizitansatz um eine behavioristische geprägte Sichtweise. „Der Behaviorismus versteht Lernen als beobachtbare Verhaltensänderung, die im Reiz – Reaktionssystem unter anderem mit Konditionierung, Stimuluskontrolle oder Vertärkung gebildet werden kann.“22
Ein Unterricht, dem dieses Lernverständnis zugrunde liegt, zeichnet sich vor allem durch eine starke Lehrerzentrierung zu Gunsten der Schüleraktivität aus. Die inneren kognitiven Prozesse des Lernenden werden ausgeklammert und der Organismus wird als eine Blackbox betrachtet. Ausgangspunkt ist lediglich das nach außen sichtbare und von anderen beobachtbare Verhalten bspw. die Meldungen eines Schülers sowie seine schriftlichen und mündlichen Beiträge.
Der Unterrichtsverlauf wird besonders von der Lehrkraft vorgegeben, was sich durch einen hohen Instruktionsanteil demonstriert, sodass der Schüler oft in die Rolle des passiven Rezipienten verfällt.23
Im Hinblick auf Fehler herrscht eine abwertende Haltung.
Sie werden als eine unangenehme, defizitäre Leistung betrachtet, die es absolut zu vermeiden gilt, mit der Begründung, sie zeigen ein Misslingen an und stellen Hindernisse für das Lernen dar. Der Unterricht ist darauf ausgelegt, schon beim ersten Anzeichen einzugreifen, damit sich der Fehler nicht durchzieht oder am besten gar nicht erst entstehen kann. Ziel ist es, dafür zu sorgen, dass sich dieser in Zukunft nicht wiederholt. Die Lehrkraft gibt das Richtige vor, damit die Schüler es sich so einprägen können. Fehler werden, anhand von außen vorgegebenen Regelkatalogen diagnostiziert, die keinen individuellen Interpretationsspielraum zulässt.24
Der konstruktivistische Ansatz hingegen geht von einem schülerzentrierten, eigenaktiven Lernprozess aus. „Die aktive Auseinandersetzung mit Aufgaben und Problemen muss den Aufbau mentaler Modelle und eines eigenständigen Wissens und Könnens ermöglichen. Lernen ist als Aufbauleistung des Individuums zu sehen. Die Lehrerin/Der Lehrer entwickelt herausfordernde Situationen, in denen Gelegenheiten zur Kommunikation aufgebaut und erhalten werden, die für das Lernen der Kinder förderlich sind. Lernen geschieht unter Mitwirkung des Umfeldes.“25 Die Wissensstruktur des Lernenden entsteht durch unterschiedliche Vernetzungen der geistigen Repräsentationen. Bei der Erweiterung der Strukturen ist es von großer Bedeutung, dass die Verbindung eines neuen Wissensinhalts mit dem bereits vorhandenen Wissen zu einem vertieften Verständnis beiträgt, im Sinne des kumulativen Lernens: „Der Unterricht muss so aufgebaut und durchgeführt werden, dass fortschreitendes Lernen ermöglicht wird und von den Lernenden erreicht werden kann.“26. Dabei stellen Fehler notwendige Schritte für den Lernprozess dar. Sie gelten als ein Produkt kreativer und konstruktivistischer Denkprozesse und dienen als Ausgangspunkte für fruchtbare Erkenntnisse. Den Zusammenhang zwischen einer veränderten Ansicht von Fehlern mit dem konstruktivistischen Lernverständnis erklären Spiess und Werner (2001) wie folgt: „Die konstruktivistische entwicklungsorientierte Auffassung von Lehr- und Lernprozessen beinhaltet eine bestimmte Einstellung gegenüber Fehlern.
Was wir üblicherweise als Fehler werten, ist die Abweichung der individuellen Ergebnisse des Kindes von normativen Erwartungen bzgl. des Mathematikunterrichts. Aus einem konstruktivistisch entwicklungsorientierten Verständnis heraus lassen Fehler, die ein Kind macht, den aktuellen Stand seiner Konstruktion mathematischer Sachverhalte erkennen.“27 Fehler stellen demnach eine Chance für die Lehrkraft dar, Aufschlüsse über die Sichtweise des Kindes zu erhalten. Die Aufgabe des Pädagogen ist es, einen auf die Bedürfnisse des Schülers angepassten Unterricht zu entwerfen. Hierfür ist es von Nöten, die kognitiven Prozesse des Schülers, also dessen Konstruktion der Wirklichkeit, nachzuvollziehen. Im Gegensatz zur behavioristisch geprägten Sichtweise interessiert nicht nur das nach außen beobachtbare Verhalten eines Kindes, sondern vielmehr die inneren Prozesse, die das Kind überhaupt dazu veranlassen, diese Verhaltensweisen zu äußern. Auch wird der Fehler als eine Chance für die Förderung der Sozialkompetenz betrachtet. Das Lernen soll nach diesem Verständnis ko- konstruktiv erfolgen, d.h., dass die Schüler sich gegenseitig über ihre Lernerfahrungen austauschen und gemeinsam zu einer neuen Erkenntnis zu gelangen. Das Lernen innerhalb der Peer Group ermöglicht neben der Schulung sprachlicher Kompetenzen, die durch das Verbalisieren der Denkprozesse gefördert werden, die gemeinsame Herstellung eines kognitiven Gleichgewichts. Nach Piaget sind diese Äquilibrationsprozesse notwendig, um kognitive Dissonanzen zu kompensieren.28
Eine weitere lerntheoretische Position, die ausgehend von einem konstruktivistischen Lernverständnis die Erfordernis von Fehlern für das Lernen des Menschen unterstreicht, stellt die Theorie des negativen Wissens nach Oser (2009) dar. Diese besagt, dass Fehler essentiell für den Aufbau negativen Wissens sind, wobei die Bezeichnung negativ keine Wertung innehat. „Negatives Wissen ist Wissen darüber, wie etwas nicht ist (deklaratives negatives Wissen), wie etwas nicht funktioniert (prozedurales negatives Wissen), welche Strategien nicht zu einer Lösung führen (negatives strategisches Wissen), welche Konzepte bzw. Theorien falsch sind, weil sie zu falschen Ergebnissen führen (konzeptuelles negatives Wissen).“29 Es ergänzt die aus verschiedensten Lernsituationen gewonnenen positiven Kenntnisse. Durch die Speicherung im episodischen Gedächtnis trägt es dazu bei, dass sich der Mensch an die Fehlersituation erinnert und den gleichen Fehler in Zukunft nicht wiederholt. Um negatives Wissen aufzubauen, ist es wichtig, dass der Fehler erkannt, analysiert und schließlich korrigiert wird.30 Oser (2009) weist daraufhin, dass negatives Wissen nicht nur das den vom Individuum selbst gemachten Fehlererfahrungen gewonnen werden kann, sondern ebenso durch das Beobachten von Fehlern anderer, was er als „advokatorisches negatives Wissen“31 bezeichnet. Dabei müssen es keine realen Vorbilder sein, denn auch Medien, wie Bücher, Bilder, Filme usw. können als Quelle dienen, insbesondere dann, wenn sie den Schüler emotional ansprechen.32
3.3. Gründe und Fehlerarten im Mathematikunterricht
Bei der Fehlerklassifikation wählen viele Autoren aus der Mathematikdidaktik „einen kognitionspsychologischen Ansatz“33, um zwischen Fehlern konzeptueller bzw. systematischer Art und Flüchtigkeits- bzw. Leichtsinnsfehlern zu unterscheiden. Bei ersteren handelt es sich um solche Fehler, die auf einem fehlenden mathematischen Verständnis beruhen, während Leichtsinnsfehler nicht systematischer Art sind, sondern auf Gründen, wie mangelnde Achtsamkeit, Konzentrationsprobleme, Müdigkeit, Lustlosigkeit, geringe Anstrengungsbereitschaft, Versprecher oder Ähnliches zurückzuführen sind.
„Flüchtigkeitsfehler werden dadurch charakterisiert, das die Schülerin oder der Schüler diese unmittelbar selbst korrigieren kann. Systematische Fehler sind Fehler, bei denen das Verständnis noch nicht hinreichend beschaffen ist. Daher treten diese Fehler bei Aufgaben eines bestimmten Typs wiederholt auf.34
Untersuchungen belegen jedoch, dass die Ursachen für Schülerfehler nur in den seltensten Fällen Leichtsinnsfehler darstellen. So stellt Radatz (1980) fest, dass „Fehllösungen […] durchweg auf individuelle und für die Schüler sinnerfüllende Regeln und Lösungsstrategien mit jeweils sehr sensiblen Ursprüngen beruhen.“35
Weiß und Büscher (1993) schätzen bspw. für den Bereich der Arithmetik den Anteil an Fehlern systematischer Art auf rund 80%.36
Es lassen sich Klassifikationen finden, die eine differenzierte Einteilung der Fehler vornehmen wie bspw. die von Schaffrath (1957), die speziell für die Arithmetik zwischen elf verschiedenen Fehlertypen unterscheidet: (1) Rechenfehler durch falsche Auffassung, (2) Rechenfehler durch falsche Assoziierung, (3) Rechenfehler durch Perseveration (d.h. das Verharren und Festhalten an Vorstellungen in einem unpassenden Zusammenhang), (4) Rechenfehler durch die Enge des Bewusstseins, (5) psychophysisch bedingte Rechenfehler, (6) emotional bedingte Rechenfehler, (7) Rechenfehler durch Aufmerksamkeitsmängel, (8) noetisch bedingte Rechenfehler (Denkfehler, bei denen nur eine oberflächliche Aneignung der Rechentechnik erfolgte), (9) durch Überforderung bedingte Fehler, (10) durch die Lehrerpersönlichkeit verursachte Fehler und (11) sonstige Rechenfehler.37 Neben den individuellen Faktoren, die auf den Schüler selbst zurückzuführen sind, wird hier auch der externe Faktor Lehrerpersönlichkeit genannt.
Eine weitere Klassifizierung, die für das Bearbeiten mathematischer Prozesse im Allgemeinen gilt, lässt sich bei Geering (1996) finden, der eine Einteilung dreier verschiedener Fehlertypen vornimmt.38 Als erstes werden von diesem Fertigkeitsfehler unterschieden, die vorliegen, wenn der Lernende mathematische Fertigkeiten, die bereits bekannt und automatisiert sind, nicht richtig anwendet. Ein Beispiel hierfür wäre die fehlerhafte Umformung einer Gleichung, „wie etwa den Ausdruck a · b (a + b) in a + ab39.
Als ein weiteres Beispiel für einen Fertigkeitsfehler kann das fehlerhafte Rechnen im großen Einmaleins angeführt werden, sofern die Fertigkeit dem Lernenden bereits bekannt ist und er dennoch zu einem fehlerhaften Ergebnis gelangt, z.B. zu 11 ·18 = 186 statt 11 · 18 = 198. Darüber hinaus unterscheidet er Wissensfehler, die vorliegen, „wenn der Problembearbeiter bekannte Wissenselemente nicht oder nicht korrekt einsetzt, zum Beispiel […] die Nichtanwendung des Satzes des Pythagoras in einem rechtwinkligen Dreieck bei Kenntnis dessen“40. Der Strategiefehler stellt den letzten Fehlertyp in Geerings Klassifikation dar. Davon spricht er, wenn eine Strategie nicht vorhanden ist oder nicht sachgemäß angewandt wird und somit eine Lösungsfindung verhindert, d.h., dass hierzu auch das fehlende Wissen zählt.41
Bei Radatz (1980) lässt sich ebenfalls wie bei Schaffrath eine differenziertere Einteilung der Fehler vornehmen, die im Folgenden genauer betrachtet und jeweils mit Beispielsaufgaben veranschaulicht werden soll. Er unterscheidet dabei zwischen „Fehlerursachen in Aspekten der Informationsaufnahme und Informationsverarbeitung“42.
Die erste Ursache sieht er im mangelnden Verständnis der mathematischen Fachsprache, wodurch eine exakte Informationsaufnahme erschwert wird. Die Schüler stehen vor einer doppelten Herausforderung: Sie müssen sich einerseits mit dem neuen fachspezifischen Vokabular der Mathematik vertraut machen und andererseits die Begriffe, die sie teilweise in ähnlicher Form bereits aus der Umgangssprache kennen, die aber in der Bildungssprache eine andere Bedeutung tragen, voneinander unterscheiden lernen.43 Der Autor führt als Beispiele für die im Mathematikunterricht gebräuchlichen , aber mehrdeutigen Ausdrücke folgender Begrifflichkeiten an: „Ebene, Bruch, Gerade, Menge, Punkt, Rest, Operator, Winkel, Ecke, Höhe, Gruppe, Ähnlichkeit“44.
Diesen Fehlertyp illustriert er unter anderem an der folgenden Aufgabenstellung:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung (Radatz 1980, S.38)
In dieser Aufgabenstellung sind gleich mehrere Fachtermini („Konstruktion“, „Parallele“ und „Senkrechte“) enthalten, doch Radatz stellt fest, dass die Schwierigkeit besonders im Wort „zu“ liegt: „Bei vielen Kindern erdrückt das umgangssprachliche Verständnis von 'zu' als Orientierungshinweis alle anderen Informationen der Aufgabe, '...zu' wird hier nicht im Sinne einer mathematischen Relation benutzt.“45 Als Lehrkraft gilt es daher, mit den Schülern die mathematische Fachsprache und ihre Besonderheiten ausdrücklich einzuüben, dabei Unterschiede sowie Gemeinsamkeiten zur Alltagssprache herauszuarbeiten und gemeinsam Merkhilfen für schwierige Bezeichnungen zu erarbeiten. Auch hier wird die Bedeutung der Entwicklung der Sprachkompetenz im Mathematikunterricht betont.
Eine weitere Fehlerquelle wird in der „Analyse von Veranschaulichungen durch Darstellungen und Diagramme“46 gesehen.
Hier wird Bezug auf Bruners Theorie der mathematischen Darstellungsebenen genommen, nach der drei Formen der Repräsentation von Wissen unterschieden werden: (1) enaktive Repräsentation (Handlungen), (2) ikonische Repräsentation (Bilder, Visualisierungen) und (3) symbolische Repräsentation (Zeichen, Sprache). Hauptsächlich in der Sekundarstufe I zeigt sich vermehrt die Tendenz, dass mathematische Sachverhalte auf der ikonischen Ebene präsentiert werden. „Sehr viele bildhafte Repräsentationen mathematischer Probleme und Begrifflichkeiten werden in den Curricula im Vertrauen auf die anschauungsmäßigen Fähigkeiten der Schüler angeboten (z.B. der Zahlenstrahl, die Operatordarstellungen, die Pfeildiagramme, Veranschaulichungen zu Gesetzmäßigkeiten arithmetischer Operationen, Mengendiagramme, graphische Bündelungen, Netze usw.).“47
Dies gehe jedoch mit einem erhöhten Anspruch an das räumliche Vorstellungs- und Denkvermögen sowie an die Fähigkeiten des Schülers, visuelle Informationen zu analysieren, einher. Die Informationsaufnahme wird dann erschwert, wenn die Schüler diesen Anforderungen nicht gerecht werden können und auch die Ausprägung der Raumanschauung und des räumlichen Denkens innerhalb einer Klasse unterschiedlich weit entwickelt ist.48 Die Schwierigkeit wird noch größer, wenn die dargebotene Erklärung unübersichtlich ist, was an den folgenden zwei Aufgabenbeispielen verdeutlicht werden soll:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung (Radatz 1980, S.43)
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung (Radatz 1980, S.43)
Die Lehrkraft sollte daher einen Unterricht ausarbeiten, der nicht zu stark auf der ikonischen Repräsentationsebene lastet, sondern vor allem die Handlungsebene mit einbezieht. Insbesondere für die Schulung des räumlichen Vorstellungsvermögens sind Anschauungsmaterialien und Realmodelle, die auch die anderen Sinne, besonders den Tastsinn des Schülers, ansprechen, unabdingbar. Dies erleichtert das Entstehen geistiger Repräsentationen, die dann wiederum zu Werkzeugen geistiger Operationen werden.
Des weiteren führt Radatz Fehler an, die auf „falsche Assoziationen und Einstellungen“49 zurückzuführen sind. Dabei handelt es sich um negative Transferleistungen. Sie entstehen durch das Übertragen des Vorwissens, welches durch vorausgegangene Lernerfahrungen gewonnen wurde, auf eine neue Lernsituation, die jedoch in ihrer Aufgabenstellung von den bisher bekannten Phänomenen abweicht. „Aufgrund einer mangelnden Flexibilität in der Informationsaufnahme bleiben häufig gewohnheitsbedingte, im neuen Kontext nicht anwendbare Einstellungen erhalten, die aus zurückliegenden Erfahrungen mit nur ähnlichen Problemen stammen. Schüler bilden und benutzen dann sogenannte Makrooperationen, obwohl sich grundlegende Teilaspekte der Aufgabe verändert haben. Ein im Bewusstsein befindlicher Inhalt setzt sich dann hartnäckig gegen neue Informationen durch.“50
[...]
1 Lüddecke, Julia (2015): Fehler beim Problemlösen. Empirische Erkundungen zu Fehlern beim Bearbeiten mathematischer Probleme. Hamburg, S.0 (Vorwort).
2 Im Folgenden wird die maskuline Form als allgemeine Form verwendet. Dabei sind Personen weiblichen und männlichen Geschlechts gleichermaßen gemeint.
3 Steuer, Gabriele (2014): Fehlerklima in der Klasse. Zum Umgang mit Fehlern im Mathematikunterricht. Wiesbaden, S.11.
4 vgl. ebd., S. 12.
5 Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus, Wissenschaft und Kunst (2017): LehrplanPlus Mittelschule.
URL: http://www.lehrplanplus.bayern.de/fachprofil/mittelschule/mathematik , Stand: 14.01.2017.
6 ebd.
7 Weinert, Franz E. (2001): Vegleichende Leistungmessung in Schulen – eine umstrittene Selbstverständlichkeit. In: Weinert, Franz E. (Hrsg.): Leistungsmessungen in Schulen. Weinheim und Basel, S. 27f.
8 Sekretariat der ständigen Konferenz der Kultusminister der Länder in der Bundesrepublik Deutschland (2005): Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Hauptschulabschluss. Beschluss vom 15.10.2004. URL: http://www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/2004/2004_10_15-Bildungsstandards-Mathe-Haupt.pdf (Stand: 15.01.2017).
9 ebd.
10 ebd.
11 ebd.
12 vgl. LehrplanPlus Mittelschule 2017
13 vgl. ebd.
14 Steuer 2014, S. 15.
15 Rollett, Brigitte (1999): Auf dem Weg zu einer Fehlerkultur. Anmerkungen zur Fehlertheorie von Fritz Oser. In: Althof, Wolfgang (Hrsg.): Fehlerwelten. Vom Fehler machen und Lernen aus Fehlern. Opladen, S. 72.
16 Oser, Fritz; Hascher, Tina (1996): Lernen aus Fehlern. Projektantrag. Freiburg/Schweiz, S.4.
17 Steuer 2014, S. 15.
18 ebd.
19 Lüddecke 2015, S.29f.
20 Steuer 2014, S.19.
21 vgl. Waasmeier, Sieglinde (2009): Aktiv entdeckendes, metakognitives Lernen im Mathematikunterricht der Hauptschule. Entwicklung und Förderung fachbezogener und fachübergreifender Kompetenzen im Rahmen eines Unterrichtprojektes in der 7. und 8. Jahrgangsstufe. Hildesheim u. Berlin, S.73.
22 Leuchter, Miriam (2009): Die Rolle der Lehrperson bei der Aufgabenbearbeitung. Unterrichtsbezogene Kognitionen von Lehrpersonen, Bd. 13.Münster, S.93.
23 vgl. Schoy – Lutz, Monika (2005): Fehlerkultur im Mathematikunterricht. Hildesheim u. Berlin, S.2f.
24 vgl. Schoy- Lutz 2005, S.51 & Waasmeier 2009, S.73.
25 Fast, Maria (2005): Mathematische Leistung und intellektuelle Fähigkeiten. Integrative Begabungsförderung bei Sechs- bis Zehnjährigen, Bd. 5. Wien, S.73.
26 Harms, Ute; Bünder, Wolfgang (1999): Zuwachs von Kompetenz erfahrbar machen: Kumulatives Lernen. URL: http://sinus-bayern.de/userfiles/4_Kum_Lernen/Kum_Lernen.pdf , (Stand: 18.01.2017)
27 Spiess, Walter; Werner, Birgit (2001): Mathematikförderung mittels konstruktivistisch lösungs- und entwicklungsorientierter Gespräche: Modellbeschreibung und Explorationsstudie, S. 18. URL: http://www.editionz.de/download/uni/Mathefoerderung_ZfH.pdf, (Stand: 19.01.2017)
28 vgl. Piaget, Jean (1984): Theorien und Methoden der modernen Erziehung. Frankfurt am Main, S. 229 ff.
29 Oser, Fritz (2009): Aus Fehlern lernen. Wie «negatives Wissen» hilft , es besser zu machen. In: Richtig falsch! Von Fehlern und ihrer Richtigkeit. Heft 1, S.4.
30 vgl. Steuer 2014, S. 11-12.
31 Oser 2009, S.5.
32 vgl. ebd.
33 Schoy-Lutz 2005, S.35.
34 Steuer 2014, S.30
35 Schoy-Lutz 2005, S. 35.
36 Steuer 2014, S.30.
37 vgl. Schaffrath, Johannes F. (1957): Gedanken zur Psychologie der Rechenfehler. In: Der Mathematikunterricht, Heft 3, S. 5.
38 Vgl Geering, Peter (1996): Aus Fehlern lernen im Mathematikunterricht. In: Beck, Erwin; Guldimann, Titus; Zutayern, Michael (Hrsg.): Eigenständig lernen. St. Gallen, S.63.
39 Lüddecke 2015, S.31.
40 ebd.
41 vgl. Schoy – Lutz 2005, S.36.
42 Radatz 1980, S.37.
43 vgl. ebd.
44 ebd.
45 ebd. , S.38.
46 ebd. , S.40.
47 ebd., S.41.
48 vgl. ebd.
49 ebd., S. 44.
50 ebd.
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