In dieser Arbeit wird eine Beweismethode behandelt, die 1991 durch Weinstein veröffentlicht wurde. Diese setzt die Milin-Vermutung voraus, die die Bieberbachsche Vermutung impliziert. Wichtige Hilfsmittel zum Beweis hierzu sind einparametrige Familien schlichter Funktionen und die Löwner Differentialgleichung. Dabei führt der Beweis der Milin-Vermutung auf einige Sonderfälle der Jacobi-Polynome und deren erzeugende Funktion zurück.
Ludwig Bieberbach (1896-1982) wurde 1921 Nachfolger von C. Carathéodory an der Berliner Universität. Er studierte in Heidelberg und Göttingen. Zur komplexen Funktionentheorie leistete er bedeutende Beiträge. Er war Verfasser der berühmten Bieberbachschen Vermutung, welche besagt, dass die Koeffizienten an einer biholomorphen Funktion die in der Einheitskreisscheibe definiert ist, der Ungleichung genügen. Bieberbach konnte dies für n = 2 beweisen. Erst 1985 wurde die Vermutung von L. De Branges Bourcia für alle n bewiesen.
Inhaltsverzeichnis
- Mathematische Voraussetzungen
- Definitionen und Sätze
- Die Koebe-Funktion
- Historisches zu den Koeffizienten |an|
- Die Bieberbachsche Vermutung
- Herleitung der Milin-Vermutung
- Die Löwner-Theorie
- Beweis durch Weinstein
- Beweis A (t) ≥0
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Bachelorarbeit befasst sich mit der Bieberbachschen Vermutung, einem wichtigen Problem in der komplexen Funktionentheorie. Die Arbeit verfolgt das Ziel, eine Beweismethode zu präsentieren, die 1991 von Weinstein veröffentlicht wurde. Die Methode setzt die Milin-Vermutung voraus, die die Bieberbachsche Vermutung impliziert.
- Die Bieberbachsche Vermutung und ihre Bedeutung für die komplexe Funktionentheorie
- Die Milin-Vermutung und ihre Rolle im Beweis der Bieberbachschen Vermutung
- Die Löwner-Theorie als wichtiges Hilfsmittel im Beweis
- Einparametrige Familien schlichter Funktionen und ihre Anwendung im Beweis
- Die Rolle der Jacobi-Polynome und ihrer erzeugenden Funktion im Beweis der Milin-Vermutung
Zusammenfassung der Kapitel
Das erste Kapitel behandelt die mathematischen Grundlagen, die für das Verständnis der Bieberbachschen Vermutung und ihres Beweises notwendig sind. Es werden Definitionen, Sätze und Lemmata aus der komplexen Funktionentheorie zusammengestellt, die im weiteren Verlauf der Arbeit Anwendung finden.
Kapitel zwei befasst sich mit der historischen Entwicklung der Bieberbachschen Vermutung. Es wird die Entstehung der Vermutung durch Ludwig Bieberbach beleuchtet und die wichtigsten Schritte ihrer Beweisführung bis zu ihrer endgültigen Lösung durch Louis de Branges de Bourcia im Jahr 1985 dargestellt.
Das dritte Kapitel widmet sich der Beweisstrategie von Weinstein, die auf der Milin-Vermutung basiert. Es werden die wichtigen Elemente dieser Methode, wie die Löwner-Theorie und einparametrige Familien schlichter Funktionen, erläutert. Darüber hinaus wird die Anwendung von Jacobi-Polynomen und ihrer erzeugenden Funktion im Beweis der Milin-Vermutung beleuchtet.
Schlüsselwörter
Bieberbachsche Vermutung, Milin-Vermutung, Löwner-Theorie, einparametrige Familien schlichter Funktionen, Jacobi-Polynome, komplexe Funktionentheorie, schlichte Funktionen, biholomorphe Abbildungen, Einheitskreisscheibe, Koeffizientenabschätzungen.
Häufig gestellte Fragen
Was besagt die Bieberbachsche Vermutung?
Sie besagt, dass die Koeffizienten einer schlichten (biholomorphen) Funktion in der Einheitskreisscheibe einer bestimmten Ungleichung (|an| ≤ n) genügen.
Wann und von wem wurde die Vermutung bewiesen?
Ludwig Bieberbach stellte sie 1916 auf. Den vollständigen Beweis lieferte Louis de Branges de Bourcia erst im Jahr 1985.
Was ist die Milin-Vermutung?
Die Milin-Vermutung ist eine stärkere Aussage über die Koeffizienten schlichter Funktionen, deren Beweis die Bieberbachsche Vermutung direkt impliziert.
Welche Rolle spielt die Löwner-Theorie im Beweis?
Die Löwner-Differentialgleichung und einparametrige Familien schlichter Funktionen sind zentrale Hilfsmittel, um die Koeffizientenabschätzungen mathematisch herzuleiten.
Was ist eine Koebe-Funktion?
Die Koebe-Funktion ist eine spezielle schlichte Funktion, die zeigt, dass die Schranke |an| = n tatsächlich erreicht werden kann, und somit den Extremfall der Vermutung darstellt.
- Arbeit zitieren
- Andre Herrmann (Autor:in), 2014, Die Bieberbach'sche Vermutung. Beweis und Erläuterung, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/444417
