Mit der Euler-Formel wird der Abstand der Mittelpunkte von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks berechnet. Das Besondere an dieser Formel ist, dass sie nicht etwa die Koordinaten der Eckpunkte oder die Seitenlängen des Dreiecks verwendet, sondern Größen, mit denen Dreiecke normalerweise nicht beschrieben werden: die Radien von Umkreis und Inkreis.
Die Euler-Formel wird in gängigen Geometriebüchern nicht bewiesen. Nathan Bowler's Artikel "How anyone can prove Euler's Formula” skizziert dagegen gleich vier verschiedene Beweise. Gegenstand dieser Arbeit sind die beiden ersten Beweise hierin: Klassischer und Inversions-Beweis der Euler-Formel. Bowler setzt nicht nur Vieles voraus, sondern verwendet auch eine sehr kondensierte Darstellung. Daher werden hier in der folgenden Vorbereitung die nötigen Sätze hergeleitet bzw. bewiesen, bevor die eigentlichen Beweise der Euler-Formel entwickelt werden.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung...2
2 Vorbereitung...3
2.1 Peripheriewinkelsatz...3
2.2 Umkreis eines Dreiecks...5
2.3 Inkreis eines Dreiecks...6
2.4 Sehnen/Sekanten-Satz und Potenz eines Punktes...7
2.5 Inversion am Kreis...8
2.6 Sinussatz...10
3 Beweise der Euler-Formel...12
3.1 Klassischer Beweis...12
3.2 Inversionsbeweis...12
4 Quellen...16
5 Anhänge...17
5.1 Anhang A-Übersetzung wichtiger Begriffe...17
5.2 Anhang B: Programmlistings...17
1 Einleitung
Mit der Euler-Formel wird der Abstand der Mittelpunkte von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks
berechnet. Das Besondere an dieser Formel ist, dass sie nicht etwa die Koordinaten der Eckpunkte
oder die Seitenlängen des Dreiecks verwendet, sondern Größen, mit denen Dreiecke normalerweise
nicht beschrieben werden: die Radien von Umkreis und Inkreis.
Die Euler-Formel wird in gängigen Geometriebüchern, von denen einige im Quellennachweis ange-
geben sind und im Vorbereitungskapitel referenziert werden, nicht bewiesen. Nathan Bowler's Arti-
kel [1], skizziert dagegen gleich vier verschiedene Beweise. Die Euler-Formel sei zunächst in (1)
nur kurz gezeigt. Bild 1 zeigt das Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C, durch die der Umkreis
geht, sowie seinen Inkreis, der die Dreiecksseiten tangiert. Die Punkte M, L und N sind Mittelpunk-
te der Umkreissegmente, auf die später zurückgekommen wird.
Bild 1 :
O=Umkreismittelpunkt
I =Inkreismittelpunkt
OI=Abstand zwischen O und I
R=Umkreisradius
r =Inkreisradius
L , M , N =Bogenmitten
Euler-Formel :
OI
2
=
R
2
-
2Rr (1)
Gegenstand dieser Arbeit sind die beiden ersten Beweise in [1]: Klassischer und Inversions-Beweis
der Euler-Formel. Bowler setzt nicht nur Vieles voraus, sondern verwendet auch eine sehr konden-
sierte Darstellung. Daher werden hier in der folgenden Vorbereitung die nötigen Sätze hergeleitet
bzw. bewiesen, bevor die eigentlichen Beweise der Euler-Formel entwickelt werden. Beweise wer-
den mit ,,q.e.d." für ,,quod erat demonstrandum" (= was zu zeigen war) abgeschlossen.
Die Bilder wurden teils mit GeoGebra [12] getestet, schließlich aber alle in R [10] programmiert.
2
Zur Berechnung von Punkten, Winkeln, Linien,... an Dreiecken wurden die im Anhang abgedruck-
ten Funktionen in R programmiert. R wurde MatLab bzw. dessen Open Source-Variante GNU-
Octave vorgezogen, da R die bessere Unterprogrammtechnik besitzt.
2 Vorbereitung
2.1 Peripheriewinkelsatz
Wir betrachten in Bild 2 ein Dreieck mit den Ecken A, B, C mit seinem Umkreis um O. Bei den
Sehnen konzentrieren wir uns auf AB. Bei A tragen wir eine Tangente an den Kreis an, die wir mit
t(A) bezeichnen. Um die Verhältnisse auch unter der Sehne AB untersuchen zu können, ergänzen
wir das Dreieck ABC mit dem Punkt D auf dem unteren Kreisbogen zum Viereck und verbinden
den Umkreismittelpunkt O mit den Punkten A, B, C und D.
Bild 2:
Es gibt gleichschenklige Dreiecke AOC,
COB, BOD, DOA, AOB, ... , deren gleich-
lange Schenkel OA, OB, OC und OD den
Umkreisradius als Länge haben. In diesen
Dreiecken sind also jeweils 2 Winkel gleich,
die wir auch mit dem gleichen Namen verse-
hen. Wir tragen die in Bild 2 benannten Win-
kel ein, um sie in der folgenden Definition,
darauf aufbauenden Sätzen und Beweisen
referenzieren zu können.
Die Namen sind willkürlich gewählt.
Gleichgroße Winkel haben aber gleiche
Namen.
Wir definieren Peripherie-, Tangenten- und Mittelpunktswinkel unter Bezugnahme auf Bild 2:
Definition 1:
a ) Der Winkel bei C = = = ACB heißt oberer Peripheriewinkel zur Sehne AB
'oberer' meint hier auf der gleichen Seite von Sehne AB wie Mittelpunkt O
b ) Der Winkel bei D = = = ADB heißt unterer Peripheriewinkel zur Sehne AB
'unterer' meint hier auf der dem Mittelpunkt O gegenüberliegenden Seite der Sehne AB
c ) Der Winkel zwischen Sehne AB und der Tangente in A heißt Tangentenwinkel
d ) Der Winkel beiO = AOB = = heißt Mittelpunktswinkel bezüglich Sehne AB
e ) Der Winkel bei A = = = CAB heißt oberer Peripheriewinkel zur Sehne BC
f ) Der Winkel bei B = = = CBA heißt oberer Peripheriewinkel zur Sehne AC
Mit dieser Definition wurden weitere in Bild 2 nicht dargestellte Winkel eingeführt, die jeweils zwei
direkt benachbarte Winkel zusammenfassen und häufig so in Dreiecksdiagrammen verwendet
3
werden: = , = , = , = , =
Zwischen den in Definition 1 genannten Winkeln bestehen feste Beziehungen. Egal wo C auf dem
oberen bzw. D auf dem unteren Kreisbogen liegt, die zugehörigen Peripheriewinkel bleiben bei
konstanter Sehne AB ebenfalls konstant. Ihre Werte sowie die Tangentenwinkel ergeben sich aus
dem Mittelpunktswinkel, wie dies der Satz 1 beschreibt:
Satz 1: Bezüglich der Sehne AB gilt :
a ) Der obere Peripheriewinkel ist halb so groß wie der Mittelpunktswinkel
= =
ACB =
AOB
2
=
2
=
2
2
b ) Der untere Peripheriewinkel ergänzt den oberen zu180 °
= =
ADB = 180 °- = 180 °-
2
3
c ) Der Tangentenwinkel ist gleich dem oberen Peripheriewinkel
Sehne AB ,Tangente in A = AB , t ( A ) = = =
2
4
Ein Spezialfall dieses Satzes ist der Satz von Thales, nach dem der Peripheriewinkel über dem
Durchmesser eines Kreises ein rechter Winkel ist. In diesem Fall liegt der Umkreismittelpunkt in
der Mitte der Sehne AB. Der Mittelpunktswinkel ist also ein zu 180° gestreckter Winkel und der
obere Peripheriewinkel ist mit 90° halb so groß.
Wir haben in Bild 2 nur die Tangente an A eingezeichnet natürlich gilt Satz 1c) aus Gründen der
Symmetrie auch für die Tangente im Punkt B. Die Tangentenwinkel sind also gleich den oberen
Peripheriewinkeln. Die Behauptungen in Satz 1 sind noch zu beweisen.
Beweis von 2:
Das ABC besitzt eine Innenwinkelsumme von 180 ° : =180 °
2=180 °
2a
Das ABO besitzt eine Innenwinkelsumme von180 ° : AOB2 = 2 =180° 2b
2a = 2b ergibt : 22 =2 2 = =
2
=
2c q.e.d.
Beweis von 3:
DOA ist gleichschenklig DO=OA= R es besitzt 2 gleiche Winkel
OAD= ADO = 3a
DOB ist gleichschenklig DO=OB= R es besitzt 2 gleiche Winkel
OBD= BDO = 3b
unterer Peripheriewinkel = ; mit 3a und 3b ==2 3c
ABD besitzt Innenwinkelsumme180 ° : =180° =180 °- 3d
3d in3c eingesetzt ergibt : = 2 180°- = 2 180 °- = 90 ° 3 e
2b:2=180 ° in 3 e eingesetzt :=90 °-
2
90 °=180-
2
=
180 °- 3f q.e.d
Der Beweis von (4) zu den Tangentenwinkeln nutzt den Umstand, dass Tangente an den Kreis und
und der ,,Radius" einen rechten Winkel bilden:
4
Beweis von 4:
AO t A t A , AB = = 90 °-
4a
mit 2b t A , AB = 90 °-90 °- /2 = / 2 =
4b
q.e.d.
In ähnlicher Weise wird dieser Satz in II.5 Satz 13 in [3], in 2.3 Satz 35 in [4], in 6.3 Satz 14 in [5],
in 1.4 Satz 1.12 in [6], in 7.9 in [7], in 1.1 in [8], in 3.1.6.1 in [9] usw. vorgestellt.
2.2 Umkreis eines Dreiecks
Wir zeichnen in Bild 3 zusätzlich zum Dreieck ABC, seinem Umkreis (ohne seinen Mittelpunkt)
und den Bogenmittelpunkten L, M und N, noch die Tangenten an alle Punkte auf dem Kreis und die
Verbindungslinien zwischen allen Punkten ein.
Bild 3:
Mit Hilfe von Satz 1 können wir
alle Winkel in Form der halben
Winkel in den Dreiecksecken (/2,
/2, /2) angeben.
Alle Winkel über der gleichen
Sehne und die Winkel, die die
Sehne mit den Tangenten (t(A),
t(B), t(C), ...) in ihren Endpunkten
(A,B,C,...) bildet, sind gleich
Jede Zeile der folgenden Tabelle 1 enthält eine äußere, kreisbogennahe farbig codierte Sehne (glei-
che Farbe = gleiche Länge). Da L, N und M Bogenmittelpunkte sind, sind aufgrund der Symmetrie
ihre Abstände von den benachbarten Dreiecks-Eckpunkten gleich (LC=LB, NA=NB, MA=MC):
Ecke Peripheriewin-
kel in der Ecke
Sehne
Gleiche Peripherie- und
-Sehnen-Tangenten-Winkel
A
CAL=/ 2
CL
CNL ,CBL ,CML
(
t(C) ,CL),(t (L), CL)
A
LAB=/2
LB=CL
LNB ,LCB , LMB
(
t( L), LB),(t (B), BL)
B
MBC=/2 MC
MAC ,MNC ,MLC
(
t(M ) , MC ) ,(t (C ), MC )
B
MBA=/2 MA=MC
MCA ,MLA ,MNA
(
t(M ) , MA),(t (A), MA)
C
NCB= /2 NB
NLB , NAB , NMB
(
t( N ) , NB) ,(t(B) , NB)
C
ACN = /2 NA=NB
NLA , NBA , NMA
(
t( N ) , NA),(t (A), NA)
Tabelle 1
Bild 3 zeigt mit den Symbolen für rechte Winkel an den Punkten D, E und F Fakten, die noch be-
wiesen werden müssen: Jeweils eine Winkelhalbierende (CN, AL, BM) des Dreiecks ABC und eine
Verbindungslinie von Bogenmittelpunkten (ML, MN, NL) stehen senkrecht aufeinander, wie der
5
folgende Satz 2 beschreibt:
Satz 2 :
in dem Umkreisdiagramm im Bild 3 stehen folgende Strecken senkrecht aufeinander :
ML CN , MN AL , NL BM
(
5)
Beim folgenden Beweis ist mit dem Winkelsymbol jeweils der Winkel gemeint, für den nach-
zuweisen ist, dass er ein rechter Winkel ist:
Beweis von 4:
Winkelsumme im MDC von M entgegen Uhrzeigersinn :
2
2
2
=
180 ° 5a
=
180 °- / 2=180 °-180° /2=90° ML CN
Winkelsumme im NFA von N entgegen Uhrzeigersinn :
2
2
2
=
180 ° 5b
=
180 °- / 2=180 °-180° /2=90° MN AL
Winkelsumme im NEB von N im Uhrzeigersinn:
2
2
2
=
180 °
5c
=
180 °- / 2=180 °-180° /2=90° NL BM
q.e.d.
Satz 2 bedeutet auch, dass I der Schnittpunkt der Höhen im Dreieck LMN ist:
h
L
=
FLAL ; h
N
=
DN CN ; h
M
=
EM BM ;
6
Dreiecke können z.B. durch eine Seite und die beiden Winkel in den Endpunkten dieser Seite ein-
deutig bestimmt sein. Zwei Dreiecke sind daher u.a. dann zueinander kongruent, wenn sie in diesen
Merkmalen übereinstimmen. Die Verbindungen der Bogenmittelpunkte untereinander, MN, NL und
ML sowie zugehörige Winkel, sind jeweils zwei kongruenten Dreiecken gemeinsam. Tabelle 2 be-
schreibt diese Dreiecke:
(/2, MN, /2) definiert die kongruenten MNA und MNI mit:
MA=MI, AN=IN
(/2,
LN
, /2)
definiert die kongruenten
LN
B und
LN
I mit:
LB=LI, NB=NI
(/2, ML, /2) definiert die kongruenten MLC und MLI mit:
MC=MI, CL=IL
Tabelle 2
Damit gilt für die Länge von Sehnen(abschnitten) der für den ersten (klassischen) Beweis der Euler-
Formel wichtige Satz 3:
Satz 3:
In Bild 3 sind aufgrund der vorausgegangenen Erklärungen folgende Strecken gleich lang:
MA = MC = MI; NA = NB = NI; LB = LC = LI (7)
2.3 Inkreis eines Dreiecks
Definition 2:
Der Inkreis ist ein Kreis maximaler Größe, der gerade noch komplett in das Dreieck hineinpaßt.
Die Dreiecksseiten tangieren ihn. Den Inkreisradius nennen wir 'r', seinen Mittelpunkt I (Bild4).
Satz 4:
a) Die Innen-Winkel-Halbierenden des Dreiecks schneiden sich in einem Punkt
b) dieser Punkt ist der Mittelpunkt (I) des Inkreises.
c) und hat von den Seiten AB, BC und CA den jeweils gleichen Abstand r
6
Für den Beweis fällen wir die Lote von I auf die Dreiecksseiten und nennen deren Fußpunkte P, Q
und T. Dann betrachten wir die kleinen Dreiecke mit den Eckpunkten I, Lotfußpunkt und einer Ori-
ginal-Dreiecksecke. Die beiden an A ,,hängenden" Dreiecke AIT und AIQ sind kongruent, da sie in
1 Seite (AI) und 2 Winkeln (rechter Winkel und /2) übereinstimmen. Damit sind in den Dreiecken
AIT und AIQ alle korrespondierenden Seiten gleich lang: AT = AQ, TI = QI = r. Analog sind die
Ecken B und C zu behandeln. Die beiden an C ,,hängenden" Dreiecke CIT und CIP sind kongruent
womit CT = CP und TI = PI = r gilt.
Dadurch, dass die beiden kongruenten Dreiecke, die an A ,,hängen" mit den beiden, die an C ,,hän-
gen" eine Seite mit der Länge r teilen, ergibt sich aus der Tatsache, dass I auf der Winkelhalbieren-
den durch A liegt, dass I auch noch auf der Winkelhalbierenden durch C liegt. Entsprechendes gilt
für die Winkelhalbierende durch B, denn die an B ,,hängenden" kongruenten Dreiecke BQI und BPI
teilen sich ebenfalls mit den an A ,,hängenden" eine Seite der Länge r. Es gilt also: PI = QI = TI = r
mit I als Inkreis-Mittelpunkt und r als sein Radius.
q.e.d.
Bild 4:
TI = QI = PI = r
8
AQ=AT =r /tan /2
BQ=BP=r / tan /2
CT =CP=r /tan /2
}
8a , b , c
2.4 Sehnen/Sekanten-Satz und Potenz eines Punktes
Definition 3:
Eine Sekante ist eine Gerade, die einen Kreis K in 2 Punkten A und B schneidet. Das Geradenstück
zwischen A und B ist eine Sehne. Die Sekante wird zur Tangente, wenn sie den Kreis nur noch in 1
Punkt berührt, die 2 Schnittpunkte sich also gewissermaßen am gleichen Ort befinden.
Die Sehne gehe durch einen Punkt P, der nicht auf dem Kreis K liege, so, dass seine Abstände von
den Schnittpunkten der Sehne mit dem Kreis beide ungleich Null sind (Bild 5).
Definition 4:
Das Produkt der durch einen Punkt P auf einer beliebigen Sehne AB eines Kreises K gebildeten
Abschnitte PA und PB nennt man die Potenz des Punktes P bezüglich des Kreises und schreibt
p(P, Kreis) = PA*PB.
Satz 5:
Das Produkt der durch einen Punkt P auf einer Sehne AB gebildeten gerichteten Abschnitte PA und
PB ist für einen gegebenen Kreis K und einen festen Punkt P konstant. D.h. das Produkt der Ab-
schnitte ist unabhängig von der Richtung der Sehne/Sekante: PA * PB = konstant.
Wenn eine andere Sehne CD durch Punkt P geht, gilt: PC * PD = PA * PB = konstant (9)
7
Bild 5:
p (P , Kreis)=PAPB=PCPD=konstant
(
9)
Für den Beweis wird ausgenutzt, dass die am
Punkt P gegenüberliegende Zentri-Winkel 1
gleich sind. Mit dem Peripheriewinkelsatz er-
geben sich zusätzlich gleiche Winkel 2 bzw. 3
über den Sehnen AC bzw. BD, so dass die bei-
den Dreiecke APD und CPB drei gleiche Win-
kel besitzen, damit ähnlich sind und Quotien-
ten der Längen korrespondierender Seiten
gleich sind:
Beweis von 9:
P : APD=CPB=1 ; AC : ADC= ABC=2 ; BD : BCD= BAD=3 ; 9a
3 gleiche bedeutet Ähnlichkeit : APD ~ CPB
9b
AD korrespondiert mit BC , PAmit PC und PD mit PB
PA / PD = PC / PB
9c
9c mit allen Nennern multiplizieren PAPB = PCPD
9d
q.e.d.
Die Abstände vom Punkt P zu den Schnittpunkten A, B mit dem Kreis K sind gerichtet (mit Vorzei-
chen zu versehen), so dass das Produkt negativ wird, wenn der Punkt P im Kreis K liegt. In diesem
Fall heißt Satz 5 Formel (9) auch Sehnensatz. Wenn P außerhalb des Kreises liegt, befinden sich
beide Kreisschnittpunkte in der gleichen Richtung (gleiches Vorzeichen), so dass das Produkt posi-
tiv ist. Dann wird Satz 5 Formel (9) Sekantensatz genannt (oder Tangentensatz, wenn die Gerade
den Kreis nur in 1 Punkt berührt).
In ähnlicher Weise wird dieser Satz in II.5 Satz 14 in [3], in 2.3 Satz 32 und Satz 33 in [4], in 7.9 in
[7], in 3.1.6.1 in [9] usw. vorgestellt.
2.5 Inversion am Kreis
Spiegelung am Kreis oder Inversion am Kreis wendet den vorangegangenen Sekantensatz an, indem
die Potenz mit dem Wert r
2
fest vorgegeben wird. "r" ist dabei der Radius des Kreises, an dem ge-
spiegelt wird. Für die Distanzen vom Kreismittelpunkt P zum Original A und zum Bild A' (PA und
PA') gilt also (9) und wir definieren eine Abbildung (die Inversion oder Spiegelung), die A auf A'
(A' ist der Spiegel oder das Inverse von A) abbildet und die sich aus der Umstellung von (9) ergibt.
Definition 5:
Die Abbildung f
P , r
(
A) ,,Inversion am Kreis" mit einem Inversionskreis um Punkt P mit Radius
r bildet den Punkt A auf Punkt A' ab, der auf der Geraden durch A und P liegt und für den die Ab-
standsbedingung PA * PA' = r
2
gilt. A' wird auch mit inv(A) bezeichnet: A '=inv( A)= f
P , r
(
A)
Die Definition 5 nennt nur Bedingungen bezüglich der Punkte A, P und A', gibt aber keine explizite
Formel zur Bestimmung von A' an. Das holt der folgende Satz nach.
Satz 6:
Spiegel/Inverses (bezüglich eines Kreises um P mit Radius r) von Punkt A berechnet sich mit:
A '= inv( A)= P+ ( A-P ) r
2
/
AP
2
(
10)
Der Beweis von (10) nutzt die Angaben aus Definition 5: A' liegt auf der Geraden durch A und P.
8
Diese Gerade kann als P + (A-P)* k mit reellem k beschrieben werden. A' muss außer dieser Gera-
dengleichung auch noch die Abstandsformel PA*PA' = r
2
erfüllen:
Beweis von 10 :
PAPA' =r
2
PA'=r
2
/
PA 10a ;
A '= P A- Pk 10b
PA'=P- A' =
P-[ P A-P k ]
=
P- Ak
=
PA k
10c
Vergleich 10a mit 10c ergibt : r
2
/
PA = PA k
k =r
2
/
PA
2
10d
k aus10d in 10b einsetzen: A' = P A-P r
2
/
AP
2
10 e
q.e.d.
Satz 7
Die Inversion/Spiegelung am Kreis ist ,,self inverse", d.h. jede weitere hebt die vorhergehende auf.
A ' ' =( A' )' = f
P , r
(
f
P ,r
(
A) )= f
P , r
(
A' )= A (11)
Beweis von 11 :
10a PA'
2
=
r
4
/
PA
2
11a
10 e A ' '= P A'- P r
2
/
PA'
2
11b
A' aus 10 e in11b einsetzen: A' '=P
[
P A-P r
2
/
AP
2
] -
P
r
2
/
PA'
2
A' '=P
[
A-P r
2
/
AP
2
]
r
2
/
PA'
2
=
P A-P
r
4
AP
2
PA '
2
11c
11a in11c einsetzen: A' '=P A-P
r
4
AP
2
r
4
/
PA
2
=
P A-P 1= A 11d q.e.d.
Ist A fern von P, dann ist sein Spiegel A' nah an P (auf der gleichen Halbgeraden) und umgekehrt. B
ist näher an P als A, also ist sein Spiegel B' weiter von P als der Spiegel A' von A (Bild 6). Der fol-
gende Satz fasst einige schon gezeigte aber auch neue Fakten zusammen:
Satz 8 ,,Abbilder von Geraden und Kreisen"
1. Geraden, die durch P gehen, werden in sich selbst invertiert (Bild 6).
2. Geraden, die nicht durch P gehen, werden invertiert in Kreise durch P und umgekehrt
(Bild7). Die Umkehrung gilt aufgrund von Satz 7 (11). Stücke solcher Geraden werden in-
vertiert in Kreisbögen (Bild 7). Tangieren diese Geraden den Inversionskreis, so tangieren
ihn auch ihre Abbildungen (Bild 7b).
3. Kreise, die nicht durch P gehen, werden invertiert in Kreise, die auch nicht durch P gehen.
(Bild 8)
4. Ein Punkt auf dem Invertierungskreis und ein Kreis, der den Inversionskreis rechtwinklig
schneidet, werden jeweils auf sich selbst abgebildet sie sind Fixpunkte (z.B. B=B' in Bild
7b) bzw. Fixkreise
Satz 8.3 wird im zweiten Eulerbeweis gebraucht und dort in Satz 11 und (38) indirekt über ein
festes Bild- zu Original-Radienverhältnis r
2
/p(P,K) bewiesen. Dort wird P=I und K=S=1 gesetzt.
Die restlichen Beweise zu Satz 8 würden hier zu viel Platz benötigen in den Literaturhinweisen
am Ende dieses Kapitels wird auf verschiedene Beweisverfahren hingewiesen. Der Bildpunkt A'
kann nicht nur nach Satz 6 mit (10) berechnet, sondern auch graphisch mittels Thaleskreis über der
Strecke Invertierungskreis-Mittelpunkt P Originalpunkt A (PA) konstruiert werden. Die Tangente
von A an den Invertierungskreis bildet mit dessen Radius r zum Berührungspunkt C einen rechten
Winkel (= Peripheriewinkel über dem Thaleskreis-Durchmesser PA). Das Lot vom Berührungs-
punkt C auf den Thaleskreis-Durchmesser PA hat A', das Bild von A, als Fußpunkt. Dann gilt der
Euklid'sche (Katheten-)Satz: Kathetenquadrat = Hypothenuse * Kathetenabschnitt => r
2
= PA * PA'
(Bild 6b):
9
Bild 6
Bild 6b
Bild 7
Bild 7b
Bild 8
Dieses Thema wird ausführlicher in IV.8 in [3] und in 2.3.6 in [4] vorgestellt. In [4] auch als konfor-
me Abbildung komplexer Zahlen und mit gebrochen linearen Abbildungen. Letztere werden auch in
2.5.4 in [2] behandelt.
2.6 Sinussatz
Der folgende Satz setzt die Winkel , , in den Ecken und die Seitenlängen a, b, c eines Dreiecks
zueinander ins Verhältnis (Bild 9) und stellt eine Beziehung zum Umkreisradius her.
Satz 9
a) Die Sinuswerte der Eckwinkel eines Dreiecks verhalten sich wie die Längen der gegenüber-
liegenden Seiten: sin /sin =a /b ; sin /sin =a/c ; sin /sin =b/c 12
b) Der Quotient aus der Länge einer Dreiecksseite und dem Sinus des gegenüberliegenden
Eckwinkels ist konstant: a /sin = b /sin = c/sin = konstant 13
c) und beträgt 2 Umkreisradien a /sin = b /sin = c/sin = 2R 14
d) Die Dreiecksfläche A ist gleich dem Produkt der drei Seitenlängen geteilt durch den 4-
fachen Umkreisradius R: A=(abc) / (4 R) (15)
Bild 9:
sin
sin
=
a
b
;
sin
sin
=
a
c
;
sin
sin
=
b
c
12
a
sin
=
b
sin
=
c
sin
=
2 R 14
Dreiecksfläche : A=
abc
4 R
15
Die Beweise nutzen die Flächenformel des Dreiecks: Fläche A = Länge der Grundseite * Höhe/2.
10
Fin de l'extrait de 34 pages
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- Citation du texte
- Dipl.-Ing., MSc, Rainer Stickdorn (Auteur), 2012, Schriftlich/graphische Beweise des Euler Satzes, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/433455
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