Dempster-Shafer-Theorie

Term Paper (Advanced seminar) , 2005 , 24 Pages , Grade: 1,7

Economics - Statistics and Methods

Die Entscheidungstheorie beschäftigt sich mit Entscheidungen aller Art. Dabei
sind zwei Richtungen zu unterscheiden: die deskriptive und die präskriptive
Entscheidungstheorie. Die deskriptive versucht durch Beobachtungen, Befragungen
und Experimente das Entscheidungsverhalten zu erklären. Die präskriptive will
durch mathematische Modelle und Operationen Hilfestellungen für eine optimale
Entscheidung zu geben. Die im Folgenden ausführlich vorgestellte Arbeit heißt
„Dempster-Shafer Theorie“ (DS-Theorie) und stammt aus der Entscheidungstheorie.
Sie wird auch Evidenztheorie genannt und ist die Verallgemeinerung und
Ergänzung der Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Dempster-Shafer Theorie wird
sowohl zur deskriptiven als auch zur präskriptiven Entscheidungstheorie
zugeordnet. Die Theorie ist nämlich Bestandteil von Expertenmeinungen,
Messungen, Berechnungen einerseits und mathematischen Herleitungen
andererseits, zu denen in dieser Arbeit hauptsächlich eingegangen wird. Sie geht
zurück auf die Arbeiten von Dempster und Shafer zurück: der Ursprung liegt dabei
in den Veröffentlichungen von Dempster über obere- und untere Wahrscheinlichkeitsgrenzen aus dem Jahre 1967.1 Shafer hat im Jahr 1976 die Arbeiten von Dempster und seine eigenen aus „A mathematical Theory“ zusammengetragen.2 Im ersten Abschnitt wird die Dempster-Shafer Theorie und ihre Komponenten vorgestellt. Das Herzstück dieser Theorie ist die Kombinationsregel von Dempster, welche im Abschnitt 3 erklärt wird. Das im 2.2 vorgeführte Zahlenbeispiel wird im Abschnitt 4 ausführlich fortgesetzt und interpretiert. In der Praxis spiegelt sich die DS-Theorie u.a. in den Bereichen der Informationsverarbeitung wider. Hierfür wird ein Praxisbeispiel vorgestellt, und die einzelnen Komponenten hervorgehoben. Im letzten Abschnitt wird die Bewertung gemacht, in der Vor- und Nachteile sowie Probleme der DS-Theorie beschrieben werden. 1 Dempster, A. (1967), S. 325-339 2 Shafer, G. (1976)

Gliederung

II. Abbildungen

III. Formeln

IV. Abkürzungen

1 Einleitung

2 Dempster-Shafer Theorie
2.1 Grundmenge (frame of discernment)
2.2 Masse Funktion (mass function)
2.3 Glaubwürdigkeitsfunktion (belief function)
2.4 Plausibilitätsfunktion (plausibility function)
2.5 Zusammenwirken der Bestandteile

3 Kombinationsregel von Dempster

4 Anwendung der Dempster-Shafer Theorie (Beispiel)

5 Praxisbeispiel der Dempster-Shafer Theorie

6 Bewertung und Ausblick

7 Zusammenfassung

8 Anhang

9 Literatur

II. Abbildungen

Abbildung 1 Zusammenwirken der Bestandteile

Abbildung 2 Übersicht

Abbildung 3 Probleme der Dempster-Shafer Theorie

Abbildung 4 Dempster’s Kombinationsregel

Abbildung 5 Belief- and Plausibility Function; Uncertainty

Abbildung 6 Weitere Formeln der Interdependenzen der Funktionen zueinander

Abbildung 7 Illustrierung der mengentheoretischen Zusammenhänge zwischen mass function (oben), belief function (mitte) und plausibility function (unten) mit berechneten Zahlen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

III. Formeln

Formel 1 Glaubensfunktion:„Summe der Ereignisse, die für X sprechen“

Formel 2 Plausibilitätsfunktion:„Summe der Ereignisse, die nicht gegen X sprechen“

IV. Abkürzungen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einleitung

Die Entscheidungstheorie beschäftigt sich mit Entscheidungen aller Art. Dabei sind zwei Richtungen zu unterscheiden: die deskriptive und die präskriptive Entscheidungstheorie. Die deskriptive versucht durch Beobachtungen, Befragungen und Experimente das Entscheidungsverhalten zu erklären. Die präskriptive will durch mathematische Modelle und Operationen Hilfestellungen für eine optimale Entscheidung zu geben. Die im Folgenden ausführlich vorgestellte Arbeit heißt „Dempster-Shafer Theorie“ (DS-Theorie) und stammt aus der Entscheidungstheorie. Sie wird auch Evidenztheorie genannt und ist die Verallgemeinerung und Ergänzung der Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Dempster-Shafer Theorie wird sowohl zur deskriptiven als auch zur präskriptiven Entscheidungstheorie zugeordnet. Die Theorie ist nämlich Bestandteil von Expertenmeinungen, Messungen, Berechnungen einerseits und mathematischen Herleitungen andererseits, zu denen in dieser Arbeit hauptsächlich eingegangen wird. Sie geht zurück auf die Arbeiten von Dempster und Shafer zurück: der Ursprung liegt dabei in den Veröffentlichungen von Dempster über obere- und untere Wahrscheinlichkeitsgrenzen aus dem Jahre 1967.^[1] Shafer hat im Jahr 1976 die Arbeiten von Dempster und seine eigenen aus „ A mathematical Theory “ zusammengetragen.^[2]

Im ersten Abschnitt wird die Dempster-Shafer Theorie und ihre Komponenten vorgestellt. Das Herzstück dieser Theorie ist die Kombinationsregel von Dempster, welche im Abschnitt 3 erklärt wird. Das im 2.2 vorgeführte Zahlenbeispiel wird im Abschnitt 4 ausführlich fortgesetzt und interpretiert. In der Praxis spiegelt sich die DS-Theorie u.a. in den Bereichen der Informationsverarbeitung wider. Hierfür wird ein Praxisbeispiel vorgestellt, und die einzelnen Komponenten hervorgehoben. Im letzten Abschnitt wird die Bewertung gemacht, in der Vor- und Nachteile sowie Probleme der DS-Theorie beschrieben werden.

2 Dempster-Shafer Theorie

Die Dempster-Shafer Evidenztheorie ist ein numerisches Verfahren das zur Verarbeitung von unsicherem Wissen und Entscheidungsfindungen genutzt wird. Die Theorie entstand als Ergänzung zur Klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie, welche nicht die Möglichkeit hat, die fehlende Information auszudrücken. In der Evidenztheorie wird die Additivität des Wahrscheinlichkeitsmaßes ignoriert. Das Ergebnis ist statt eines einzelnen Wertes für die Wahrscheinlichkeit, ein Vertrauensintervall.^[3]

Die Dempster-Shafer Theorie wird als die mathematische Theorie der Evidenz bezeichnet und geht zurück auf die Arbeiten von Shafer. Sie kann als die Verallgemeinerung der Wahrscheinlichkeitstheorie gedeutet werden. Im Gegensatz zur Wahrscheinlichkeitstheorie wird in der DS-Theorie nicht mit einelementigen sich gegenseitig ausschließenden Mengen gearbeitet.^{[4] [5]}

Die für die Dempster-Shafer Theorie wichtigen drei Funktionen sind die Massefunktion (basic probability assignment function (bpa) oder mass function (m)), Glaubwürdigkeitsfunktion (belief function (bel)) und die Plausibilitätsfunktion (plausibility function (pl)). Die Massefunktion ist der Grundbaustein in der DS-Theorie.

2.1 Grundmenge (frame of discernment)

Der frame of discernment ist eine Menge sich gegenseitig ausschließender Elemente. Je nach Situation werden sie als Hypothesen. Aussagen, Diagnosen oder Label interpretiert. Ein Beispiel für ein frame of discernment ist

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die dazugehörige Potenzmenge ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenumfasst alle möglichen Kombinationen der Elemente von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, also für ein gegebenes n sind 2n-1 Elemente in Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten enthalten.

Die Interpretation der Definitionsmengen der DS-Theorie unterscheidet sich grundsätzlich nicht von der der Wahrscheinlichkeitstheorie. Allerdings gibt es eine eher objektive Betrachtung der Aussagen bei den Wahrscheinlichkeiten, unabhängig davon, ob das Eintreffen objektiv oder subjektiv ist. Im Ergebnis unterscheidet sich die DS-Theorie dadurch, dass einem Element der Definitionsmenge bei der DS-Theorie viel Subjektives anhaftet.^[6] Bei der Interpretation der DS-Theorie steht die Definitionsmenge in einem engen Zusammenhang mit Wissen von Subjekten. Elemente der Definitionsmenge können auch als potentielle Antworten auf eine Frage verstanden werden, z.B. „Wer ist der Mörder?“. Die Aussagenmenge muss hierbei vollständig sein.

Autoren interpretieren den Wahrnehmungsraum unterschiedlich. Die ursprüngliche Arbeit von Shafer geht von der closed-world Annahme aus: Es muss nach Shafer genau eine Aussage aus dem Wahrnehmungsraum (frame of discernment) wahr sein. Die leere Menge zeigt einen Widerspruch an.^[7] Smets dagegen weist auch einer leeren Menge einen Wert zu, so dass nicht unbedingt eine Aussage aus dem Wahrnehmungsraum stimmen muss, sondern auch außerhalb sein kann. Diese Annahme wird auch als die open-world assumption bezeichnet.^[8]

2.2 Masse Funktion (mass function)

Eine positive Evidenz von X in m(X) bedeutet m (X) > 0 und m(X) wird als fokales Element bezeichnet. Sie misst die Unterstützung für X. Eine mass function erfüllt die folgenden drei Bedingungen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Massefunktion legt zugrunde, dass es eine Menge an Glauben gibt, welches über eine Menge von Aussagen verteilt wird. Sie hat die Aufgabe, den Glauben so genau wie möglich zu verteilen. Je grösser der glauben an X in m(X) ist, umso höher ist der Anteil am Gesamtglauben, der an die Aussage X vergeben wurde. Der Wert von m(X) liegt zwischen 0 und 1 (Gleichung 1.1). Der m-Wert bezüglich des 1. Axiom lässt zwei Interpretation zu: Die erste Interpretation ist die, dass alle m-Werte nur als ein Bruchteil vom Gesamtglauben gesehen werden können, diese also keinen Absolutcharakter haben, sondern nur in Relation gesehen werden können. Die zweite Interpretation besagt, dass der Gesamtglauben immer Eins entspricht, somit handelt es sich bei den m-Werten um Absolutwerte. Ein Vergleich untereinander ist zulässig. Insgesamt ergeben sich die summierten m-Werte zu Eins (Gleichung 1.3).

Zwei Beispiele für mögliche Belegung einer Massefunktion sind^{[9] [10]}

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.3 Glaubwürdigkeitsfunktion (belief function)

Die Massefunktion zeigt nur an, wie der Glaube verteilt wurde. Erst die Glaubensfunktion (belief function) erlaubt erste Interpretationsmöglichkeiten. Sie zeigt den Glauben an, den man in eine Aussage hat. Sie misst die gesamte Unterstützung für X durch Addition der m-Werte aller Teilmengen von X. Es können verschiedene Glaubensfunktionen gebildet werden, welche sich auf demselben Wahrnehmungsraum (frame of discernment) beziehen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Eigenschaften lassen sich intuitiv nachvollziehen: Da die wahre Hypothese sich nicht in der leeren Menge befinden kann, muss die Überzeugung Null sein (Gleichung 2.1). Im Betrachtungsrahmen hingegen ist sie nach Definition stets enthalten, was zu einer Überzeugung von Eins führt (Gleichung 2.2). Die dritte Eigenschaft besagt, dass die Überzeugung in die Vereinigung zweier Mengen mindestens so groß sein muss, wie die Summe der beiden Mengen. Allerdings muss von diesem Wert noch die Überzeugung in dem Schnitt der beiden Mengen abgezogen werden, da diese ansonsten doppelt berücksichtigt werden würde (Gleichung 2.3).^{[11] [12]}

[...]

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^[1] Dempster, A. (1967), S. 325-339

^[2] Shafer, G. (1976)

^[3] vgl. Abbildung 1

^[4] Shafer, G. (1976)

^[5] Dempster, A. (1967)

^[6] Umkehrer, E. (2000), S. 90

^[7] Umkehrer, E. (2000), S. 91

^[8] Smets, Ph. (1988), S. 253-256

^[9] Beispiel wird im Folgenden weiter ausgeführt.

^[10] In diesem Diagnose-Beispiel könnte die Frage der Wahrscheinlichkeit nach der Krankheit sein.

^[11] Fahrmeier, L. (2004), S.186

^[12] Shafer, G. (1976), S. 3-5

• College: University of Hannover (Finanzmarkt)
• Course: Vericherungs- und Finanzmärkte
• Grade: 1,7
• Author: Kabayoglu Ulas (Author)
• Publication Year: 2005
• Pages: 24
• Catalog Number: V39003
• ISBN (eBook): 9783638379106
• Language: German
• Tags: Dempster-Shafer-Theorie, Vericherungs-, Finanzmärkte