Kapitalmarktmodelle mit stochastischer Volatilität zur Anwendung unter Solvency II

Am Beispiel des Heston-Modells

Thèse de Master , 2015 , 106 Pages , Note: 1.3

Mathématiques - Stochastique

Solvency II definiert ab dem 01.01.2016 einen europäischen Standard für die Kapitalanforderungen, das Governancesystem und die Offenlegungspfichten von Erst- und Rückversicherungsunternehmen - nachfolgend allgemein als (Rück-)Versicherungsunternehmen [VU] zusammengefasst - unabhängig von ihrer Rechtsform. Durch einen einheitlichen Rechtsrahmen soll Solvency II helfen, den Versicherungsnehmerschutz durch die Einschränkung der Insolvenzwahrscheinlichkeit von VU zu stärken.

Die quantitativen Regelungen zur Bestimmung der Eigenmittel, die ein nach Solvency-II-Anforderungen solventes VU zur Risikobedeckung benötigt, werden in der sog. Säule I unter Solvency II definiert. Dabei beschreibt die Solvenzkapitalanforderung (Solvency Capital Requirement [SCR]), die Eigenmittel, die ein VU stellen muss, um über den Zeitraum eines Jahres mit einerWahrscheinlichkeit von mindestens 99,5% alle Verpichtungen aus der laufenden und der in den folgenden zwölf Monaten erwarteten Geschäftstätigkeit erfüllen zu können.

Das SCR kann unter Verwendung eines aufsichtsrechtlich vorgegebenen Standardmodells sowie durch vom VU entwickelte interne Partial- oder Vollmodelle bestimmt werden. Zur Bestimmung des SCR werden Risiken, denen das VU ausgesetzt ist, im jeweiligen Modellansatz modular gemessen und entsprechend aggregiert. In dieser Masterarbeit wird im Speziellen das sog. Marktrisikomodul betrachtet, welches für VU wesentliche Risiken wie z.B. das Aktien-, das Zins- und das Spreadrisiko zusammenfasst.

Die Zielsetzung dieser Masterarbeit ist die Beantwortung der Frage, wie ein Kapitalmarktmodell mit stochastischer Volatilität im Rahmen eines Partialmodells unter Solvency II zur Bestimmung des SCR für das Aktien-, das Zins- und das Spreadrisiko genutzt werden kann. Als Kapitalmarktmodell wird das sog. "Heston-Modell" gewählt, bei dem die Volatilität als eigenständiger stochastischer Prozess modelliert ist. Das theoretische Modell wird praxisnah mittels der Software R am Beispiel aktueller Finanzmarktdaten quantitativ getestet, welche eine typische Kapitalanlage eines deutschen VU nachbilden sollen. Der entsprechende R-Code findet sich in der Anlage.

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis.. V

Tabellenverzeichnis.. VI

Symbolverzeichnis für Partialmodell.. VIII

Abkürzungsverzeichnis.. IX

1 Einleitung.. 1

1.1 Einführung und Zielsetzung.. 1

1.2 Aufbau.. 2

2 Begriffseingrenzungen und Definitionen.. 3

2.1 Solvency II.. 3

2.1.1 Säule I - Quantitatives Risikomanagement.. 4

2.1.2 Säule II - Qualitatives Risikomanagement.. 11

2.1.3 Säule III - Offenlegungsvorschriften.. 11

2.2 Grundlagen von Kapitalmarktmodellen.. 12

2.2.1 Stochastische Prozesse.. 12

2.2.2 Black-Scholes-Merton-Modell.. 13

2.2.3 Volatilität.. 17

3 Modelle zur Berechnung der Solvenzkapitalanforderung.. 20

3.1 Standardmodell unter Solvency II.. 20

3.1.1 Untermodule Aktien-, Spread- und Zinsrisiko.. 21

3.1.2 Aggregation zur Solvenzkapitalanforderung.. 29

3.1.3 Kritik am Standardmodell.. 32

3.2 Partialmodell unter Solvency II.. 33

3.2.1 Modellumgebung.. 33

3.2.2 Ableitung der Solvenzkapitalanforderung.. 36

3.2.3 Heston-Modell.. 39

4 Quantitative Studie 46

4.1 Nachbildung der Kapitalanlage.. 46

4.1.1 Analyse der Kapitalanlagestruktur.. 46

4.1.2 Auswahl geeigneter Finanzinstrumente.. 47

4.2 Schätzung und Festlegung der Modellparameter.. 51

4.3 Ablauf der Simulation.. 61

4.4 SCR-Bestimmung und Sensitivitätsanalyse.. 63

5 Fazit und Ausblick.. 70

Rechtsquellenverzeichnis.. 73

Literaturverzeichnis.. 74

Anhang.. 77

1 Einleitung

1.1 Einführung und Zielsetzung

Solvency II definiert ab dem 01.01.2016 einen europäischen Standard für die Kapitalanforderungen, das Governancesystem und die Offenlegungspflichten von Erst- und Rück- versicherungsunternehmen - nachfolgend allgemein als (Rück-)Versicherungsunternehmen (VU) zusammengefasst - unabhängig von ihrer Rechtsform. Durch einen einheitlichen Rechtsrahmen soll Solvency II helfen, den Versicherungsnehmerschutz durch die Einschränkung der Insolvenzwahrscheinlichkeit von VU zu stärken.

Die quantitativen Regelungen zur Bestimmung der Eigenmittel, die ein nach Solvency- II-Anforderungen solventes VU zur Risikobedeckung benötigt, werden in der sog. Säule I unter Solvency II definiert. Dabei beschreibt die Solvenzkapitalanforderung (Solvency Capital Requirement (SCR)), die Eigenmittel, die ein VU stellen muss, um über den Zeitraum eines Jahres mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99,5% alle Verpflichtungen aus der laufenden und der in den folgenden zwölf Monaten erwarteten Geschäftstätigkeit erfüllen zu können.

Das SCR kann unter Verwendung eines aufsichtsrechtlich vorgegebenen Standardmodells sowie durch vom VU entwickelte interne Partial- oder Vollmodelle bestimmt werden. Zur Bestimmung des SCR werden Risiken, denen das VU ausgesetzt ist, im jeweiligen Modellansatz modular gemessen und entsprechend aggregiert. In dieser Masterarbeit wird im Speziellen das sog. Marktrisikomodul betrachtet, welches für VU wesentliche Risiken wie z.B. das Aktien-, das Zins- und das Spreadrisiko zusammenfasst.

Die Zielsetzung dieser Masterarbeit ist die Beantwortung der Frage, wie ein Kapitalmarktmodell mit stochastischer Volatilität im Rahmen eines Partialmodells unter Solvency II zur Bestimmung des SCR für das Aktien-, das Zins- und das Spreadrisiko genutzt werden kann. Als Kapitalmarktmodell wird das sog. ” Heston-Modell“ gewählt, bei dem die Volatilität als eigenständiger stochastischer Prozess modelliert ist. Das theoretische Modell wird praxisnah am Beispiel aktueller Finanzmarktdaten getestet, welche eine typische Kapitalanlage eines deutschen VU nachbilden sollen.

1.2 Aufbau

In Kapitel 1 dieser Arbeit wird eine Einleitung in das Thema gegeben.

Um die genannte Zielsetzung zu verfolgen, werden im Kapitel 2 wichtige verwendete Begriffe definiert bzw. eingegrenzt. Ein Schwerpunkt liegt auf der Zusammenfassung der Ziele, der Systematik sowie des rechtlichen Rahmens von Solvency II. Ebenso werden mit dem quantitativen Risikomanagement unter Solvency II zusammenhängende Begriffe wie Solvenzbilanz, Value-at-Risk (VaR), Eigenmittel, Minimum Capital Requirement (MCR) und SCR erläutert. Der weitere Schwerpunkt des zweiten Kapitels liegt in der Definition stochastischer Prozesse und der Darstellung charakteristischer Eigenschaften von Kapitalmarktmodellen am Beispiel des bekannten Black-Scholes-Merton (BSM)-Modells. Abgeschlossen wird Kapitel 2 durch eine Darstellung zu verschiedenen Ansätzen zur Bestimmung der Volatilität sowie einer Beschreibung typischer Charakteristika von (stochastischer) Volatilität.

Im Kapitel 3 wird der theoretische Rahmen zur Bestimmung des SCR mittels des Standardmodells sowie eines Partialmodells gegeben. Hierzu wird der Modellaufbau des Standardmodells mit Schwerpunkt auf dem Aktien-, Zins- und Spreadrisiko dargestellt. Im Anschluss erfolgt eine Beschreibung des mathematischen Rahmens und der Modellumgebung des Partialmodells. Weiterhin wird das Heston-Modell, welches im Rahmen des Partialmodells zur Anwendung kommt, sowie die Ableitung des SCR aus dem Partialmodell erläutert. Die Beschreibung des Heston-Modells baut auf den in Kapitel 2 dargestellten charakteristischen Eigenschaften von Kapitalmarktmodellen auf.

In Kapitel 4 wird das zuvor entwickelte Partialmodell praxisnah in einer quantitativen Studie getestet. Für die Studie wird die typische Kapitalanlagestruktur deutscher VU analysiert, um diese mittels repräsentativer Finanzinstrumente nachzubilden. Aus diesen Finanzinstrumenten werden die Parameter des Heston-Modells abgeleitet. Die Festlegung der weiteren notwendigen Parameter für das Partialmodell wird in Folge erläutert. Anschließend wird das SCR für das Aktien-, Zins- und Spreadrisiko mittels des Partialmodells bestimmt und die Ergebnisse der quantitativen Studie analysiert.

Zum Abschluss der Masterarbeit wird in Kapitel 5 ein Fazit mit den wesentlichen Erkenntnissen gezogen sowie ein Ausblick auf sich ggf. zukünftig zu untersuchende Fragestellungen gegeben.

2 Begriffseingrenzungen und Definitionen

2.1 Solvency II

Solvency II ist das aktuell wichtigste Vorhaben der Europäische Union (EU) im Bereich der Versicherungsaufsicht. [1] Mit Gültigkeit zum 01.01.2016 werden durch Solvency II in allen Mitgliedsstaaten des Europäischen Wirtschaftsraumes [EWR] [2] einheitliche Regeln für die Kapitalausstattung, das Governancesystem und die Offenlegungspflichten von VU geschaffen. Die wesentlichen Ziele von Solvency II sind die Stärkung des Versichertenschutzes, die Stabilisierung der Finanzmärkte sowie die Schaffung eines gemeinsamen europäischen Versicherungsmarktes. [3]

Aus juristischer Perspektive handelt es sich bei Solvency II um ein EU-Vorhaben zur Schaffung von europäischem Sekundärrecht [4], welches hauptsächlich auf EU-Richtlinien und EU-Vorgaben basiert. Der Gesetzgebungsprozess im Rahmen von Solvency II fußt auf dem vierstufigen Lamfalussy-Verfahren [5], welches die Zusammenarbeit zwischen den beteiligten Institutionen vereinfachen und beschleunigen soll. [6]

- Die aufsichtsrechtliche Rahmengesetzgebung auf Stufe 1 bildet die EU-Richtlinie 2009/138/EG (nachfolgend R/2009/138/EG), welche letztmalig durch die EU-Richtlinie 2014/51/EU ( Omnibus II“) (nachfolgend R/2014/51/EU) geändert wurde. [7]”

- Die delegierte EU-Verordnung 2015/35 vom 10.10.2014 (nachfolgend DV/2015/35) sowie technische Durchführungs- und Regulierungsstandards der EIOPA ergänzen die Rahmengesetzgebung auf Stufe 2 bzw. 2.5.

- Auf Stufe 3 werden durch die EIOPA Leitlinien und Empfehlungen zur Auslegung der Durchführungsverordnungen formuliert.

- Auf Stufe 4 wird die Umsetzung der Regelungen durch die EU-Kommission in Zusammenarbeit mit den beteiligten Aufsichtsbehörden und VU überwacht.

Aus regulatorischer Perspektive wird durch Solvency II das quantitative Aufsichtssystem unter Solvency I wesentlich erweitert sowie um eine qualitative Aufsicht und Offenlegungsvorschriften ergänzt. Im Kontext des Risikomanagements von Finanzinstituten kann Solvency II mit der Bankenaufsicht unter Basel II bzw. Basel III und der dort üblichen

konzeptionellen Gliederung in drei Säulen verglichen werden. [8]

Nachfolgend werden die drei Säulen von Solvency II beschrieben. Der Schwerpunkt der Beschreibung liegt auf dem quantitativen Risikomanagement der Säule I.

2.1.1 Säule I - Quantitatives Risikomanagement

In Säule I von Solvency II werden die quantitativen Vorgaben für VU definiert. Zentral ist ein risikobasiertes System zur adäquaten Abbildung der Risiken eines VU. Eine markt-konsistente Bewertung von Vermögenswerten und Verbindlichkeiten soll gewährleisten, dass die Eigenmittel eines VU die Risiken bedecken, um die Versicherten zu schützen.

R/2009/138/EG Art. 100 und Art. 128 legen für die Eigenmittel sowie die aus den Risiken abgeleiteten Kapitalanforderungen fest:

1. VU müssen über anrechnungsfähige Eigenmittel zur Bedeckung der Solvenzkapitalanforderung [SCR] verfügen

2. VU müssen über anrechnungsfähige Basiseigenmittel zur Bedeckung der Mindestkapitalanforderung [MCR] verfügen

SCR und MCR sowie anrechnungsfähige Eigenmittel und Basiseigenmittel als zentrale Begriffe des quantitativen Aufsichtssystems werden in Folge definiert.

Solvenz- und Mindestkapitalanforderung

Das SCR beschreibt gemäß R/2009/138/EG Art. 101 die Kapitalanforderung, über die ein VU verfügen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99,5% alle Verpflichtungen aus der laufenden und der in den folgenden zwölf Monaten erwarteten Geschäftstätigkeit zu erfüllen. [9]

Das SCR entspricht laut Art. 101 dem VaR der Basiseigenmittel eines VU zu einem Konfidenzniveau von mindestens 99,5% über den Zeitraum eines Jahres (vgl. Exkurs VaR).

Bei der Bestimmung des SCR soll allgemein von einer Fortführung der Geschäftstätigkeit ausgegangen werden ("going-concern"-Annahme). Weiterhin ist der sog. ”Look-Through“-Ansatz anzuwenden, d.h bei Finanzprodukten, die Einzeltitel bündeln, wie bspw. Aktienfonds ist das Risiko aus dem jeweiligen Einzeltitel maßgeblich.

[...]

---

[1] Vgl.http://www.bafin.de/DE/Aufsic ht/V ersichererPensionsfonds/AufbauSolvencyII/aufbau_solvency2_node.html, [Stand: 16.04.2015].

[2] Dem EWR gehören alle Mitgliedsländer der EU sowie Island, Liechtenstein und Norwegen an.

[3]Vgl. R/2009/138/EG Erwägungsgrund 2 und 3 sowie Art. 27, R/2013/58/EU Art. 1, Bennemann et al. (2011, S. 4) sowie Gründl et al. (2014, S. 4).

[4] Vgl. Gründl et al. ((2014, S. 5).

[5] Eine ausführliche Übersicht zum Lamfalussy-Verfahren findet sich bei Brinckmann et al. (2014, S. 41 ff), unter http://www.bafin.de/DE/Internationales/Regelungsvorhaben/Solvency2/solvency2_node.html, [Stand: 27.04.2015] sowie unter http://ec.europa.eu/finance/insurance/solvency/solvency2/index de. htm, [Stand: 23.04.2015].

[6] Die beteiligten Institutionen sind namentlich die EU-Kommission, das EU-Parlament, der EU-Rat, das European Insurance and Occupational Pensions Committee (EIOPC) als Fachausschuss sowie die europäische und deutsche Aufsicht: European Insurance and Occupational Pensions Authority (EIOPA) und Bundesanstalt für Finanzdienstleistungsaufsicht (BaFin). Vgl.h ttp://www.bafin.de/ DE/Internationales/Regelungsvorhaben/Solvency2/solvency2 node.html, [Stand: 27.04.2015].

[7] Der Anforderung, dass EU-Richtlinien im Gegensatz zu EU-Verordnungen in nationales Recht umgesetzt werden müssen, soll in der Bundesrepublik Deutschland durch das Gesetz zur Modernisierung der Finanzaufsicht über Versicherungen (VAG) nachgekommen werden (vgl. http://www.bafin.de/DE/Aufsicht/VersichererPensionsfonds/AufbauSolvencyII/Rechtsgrundlagen/ rechtsgrundlagen node.html, [Stand: 16.04.2015]).

[8] Vgl. Heep-Altiner et al. (2010, S. 5 ff) sowie Bennemann et al. (2011, S. 4 ff). Gemäß Bennemann et al. (2011, S. 5) gehen die Vorgaben für VU unter Solvency II weit über die Vorgaben für Banken unter Basel hinaus.

[9] In Bezug auf die laufende Geschäftstätigkeit werden nur unerwartete Verluste abgedeckt.

• Université: University of Applied Sciences Berlin (Fachbereich 4)
• Cours: Versicherungsmathematik
• Note: 1.3
• Auteur: Fabian Richter Nunes (Auteur)
• Année de publication: 2015
• Pages: 106
• N° de catalogue: V373984
• ISBN (ebook): 9783668718821
• ISBN (Livre): 9783668718838
• Langue: allemand
• mots-clé: Solvency II, Kapitalmarktmodelle, Heston, Standardmodell, Partialmodell, Aktienrisiko, Spreadrisiko, Zinsrisiko, SCR, Stochastische Prozesse, Black-Scholes-Merton, internes Modell