El uso didáctico y metodológico del Geoplano Rectangular

Examination Thesis , 2009 , 149 Pages

Didactics - Mathematics

Existen diversas herramientas didácticas para la enseñanza de la geometría euclideana, entre ellas esta el Geoplano rectangular, el cual ayuda a desarrollar la creatividad y motricidad fina en los estudiantes, además de ayudar a ver de manera mas clara las características relevantes de las figuras geométricas planas.

Se trabaja con mayor facilidad cuando cada alumno posee su geoplano rectangular, porque pueden a través de la observación lanzar la hipótesis acera de un tema y por medio de la experimentación verificarla, logrando así que el aprendiz tenga un aprendizaje significativo y constructivo; vital en la enseñanza de la geometría euclideana plana, debido a ser está una ciencia que se va construyendo o definiendo por medio de conceptos previos, es así que para definir un cuadrilátero debemos recurrir a conceptos previos como vértices, lados y ángulos.

El geoplano es un recurso didáctico para fomentar el desarrollo cognitivo en los alumnos; porque a través de él, el alumno logra interpretar, analizar, argumentar y proponer soluciones acerca de las problemas de los problemas planteados.

INTRODUCCIÓN

Cada día construimos el templo de las matemáticas en cada niño que instruimos, pero este más que tener sus bases en un esfuerzo cotidiano tiene el corazón de cada uno de ellos, debido a que no solo la disciplina y la voluntad hace iluminar esta edificación, es el hecho de saber que con cada actividad aseguramos la confianza que cada ser humano debe tener en esta ciencia, “Es tan importante dar vida al conocimiento y mantenerlo vivo como resolver problemas concretos” ¹.

Es así que la consigna de Lorent “No dominar, servir”, debería ser la máxima de todo docente al entregar con la mayor claridad sus conocimientos al estudiante y no dejarse vencer por el facilitarismos que nos brinda un marcador y un tablero, dándose así cimiento entre conocimiento y destreza.

El primer esfuerzo por establecer esta confianza en el alumno, es motivar al estudiante, por tal razón pensamos que una forma de lograr nuestro cometido es introducir materiales didácticos que serán “un instrumento para aprender cosas o para aprender a hacerlas” ², pero sabemos de sobra que este por si solo no enseña, es necesario diseñar estrategias para efectuar un aprendizaje conciente.

Todo esto lo queremos incorporar a la geometría, pues es una ciencia evidente en la que todas sus leyes descansan básicamente en la inducción a partir de la experiencia, la cuestión es que llegamos a la misma conclusión del pensador Henry Poincare “la geometría euclideana se distingue por otras geometría axiomáticas concebibles gracias a su simplicidad” ³, con lo cual podemos concluir que para aprender geometría necesitaríamos un recurso didáctico que se pueda manipular fácilmente y a su vez llame la atención en los alumnos.

El recurso didáctico apropiado que reúne estas características es el

Geoplano. “El geoplano es un recurso didáctico para la introducción de gran parte de los conceptos geométricos; el carácter manipulativo de este permite a los niños una mejor comprensión de toda una serie de términos abstractos, que muchas veces o no entienden o generan ideas erróneas en torno a ellos” ⁴.

JUSTIFICACIÓN

Este tipo de investigación educativa se hace necesaria para enriquecer el trabajo pedagógico debido a los constante cambios a los que son sujetos nuestros alumnos, dándonos la posibilidad como docentes de entrar a su mundo de una amena para ellos. Este acceso se realiza de una forma más fácil al encontrar un recurso didáctico que llene en su totalidad o parcialmente los objetivos propuestos al inicio de cada periodo académico.

Se eligió trabajar con los Geoplanos por ser una ayuda educativa que compete diversos temas geométricos e interesa tanto alumno como a docentes a la elaboración de diversas actividades que originaran dentro del aprendiz diversos teoremas y formulas dadas tan rutinariamente en clase.

Observando la importancia del correcto uso de un recurso didáctico, nos motivamos a indagar acerca de una ayuda didáctica bastante atrayente en este momento para nosotras como lo es el geoplano, por tal razón decidimos indagar y plasmar ante la comunidad educativa las actividades que se pueden desarrollar en este instrumento, que será un excelente apoyo para aprender cosas o para descubrirlas, pues se estudiaran algunos conceptos de la geometría de manera activa, divertida y sobre todo participativa.

Se escogió este material debido a su variedad de clases, su fácil elaboración y su fácil manipulación tanto para maestros como para alumnos, una ayuda vital a la hora de desarrollar la temática dada en el transcurso de la básica primaria y la secundaria, dándonos oportunidades de “Proporcionar la posibilidad de explorar un amplio número de figuras a nivel concreto, ejercitando a su vez la motricidad y coordinación muscular finas; permite la formación y anulación de figuras con gran rapidez …; las figuras resultantes son fácilmente reconocibles; si le giramos se pueden reconocer las figuras geométricas o cualquier tipo de representación en diferentes posiciones;…; fomenta la creatividad al facilitar la investigación personal del alumno” ⁵

Se pretende por medio de esta investigación optimizar el aprendizaje del alumno y orientar en su utilización al docente.

FORMULACIÒN DEL PROBLEMA

¿Como incursionar desde la media básica a través del Geoplano Rectangular la curiosidad innata de las matemáticas en el aprendizaje de los niños?

DESCRIPCIÒN DEL PROBLEMA

Desafortunadamente la educación Colombiana sigue regida por la enseñanza tradicional, dándonos un panorama desfavorable para la enseñanza de la geometría euclideana, pues en la actualidad los únicos recursos empleados son la regla, el compás, el transportador y la escuadra; siendo éstos poco interesantes para los niños por lo convencionales que son, olvidándonos que “Las matemáticas, históricamente, comenzaron con la Geometría. Es razonable que fuese así: la Geometría se necesitaba para medir las tierras (de ahí viene su nombre), y en general para las obras (puentes, acueductos, edificios, etc.) que se realizaban” ⁶, siguiendo este orden de ideas se necesita oxigenar la geometría de una manera ordenada usando recursos didácticos que ayuden a sintetizar estas ideas.

Los medio didáctico “Auxilian la labor de instrucción y sirven para facilitar la comprensión de conceptos durante el proceso de enseñanza- aprendizaje” ⁷., por tal razón se debe tener una metodología definida acerca de temas concretos que faciliten en el menor tiempo posible el aprendizaje. Por medio del geoplano podemos incorporar conceptos geométricos de forma manipulativas, por medio de lluvia de ideas, discusión en pequeños grupos, métodos de casos que involucren teoremas, entre otras estrategias. Además, el Geoplano nos da la oportunidad de divertidos sanamente, recordando a su vez que el juego “Es una experiencia a través de la cual se conoce la realidad. Lo utilizamos como instrumento pedagógico, lúdico, participativo y creativo .Contribuye a la creación de un ambiente positivo. Los juegos no competitivos se convierten en una experiencia de grupo” ⁸.

“El Geoplano, inventado por el matemático italiano Caleb Gattegno , es una plancha de madera o de otro material, en la que se disponen regularmente una serie de clavos o puntillas” ⁹, existen 3 tipos: Geoplano Rectangular o Isométrico, Geoplano triangular y Geoplano circular. En el primero y el segundo se puede realizar todo lo concerniente a figuras con bordes rectos, en el tercero se ejecuta todo lo relativo a la circunferencia y figuras con bordes curvos.

Por tal motivo planteamos que este es un recurso utilizable en varios temas matemáticos que facilitaran el aprendizaje y nos ahorraran tiempo.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Conseguir una mayor autonomía intelectual de los niños, para que descubran por si mismo algunos conocimientos geométricos básicos; mediante actividades libres y dirigidas en el Geoplano.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

- Reconocer algunas formas geométricas planas.
- Desarrollar la creatividad a través de la composición y descomposición de figuras geométricas por medio del Geoplano.
- Llegar a reconocer y adquirir la noción de algunas figuras geométricas.
- Introducir la clasificación de los polígonos a partir de actividades de recuento de lados.
- Desarrollar la simetría y la noción de rotación.
- Compara diferentes longitudes y superficies dirigidas en el Geoplano.

MARCO TEORICO

“La didáctica moderna no concibe ya la clase como una sala de conferencias sino como un taller de trabajo; ya la palabra maestro se va pareciendo cada vez más a la de maestro de taller y cada vez menos a la de conferencista”, no podría haberlo dicho mejor P. Puig Adam en el año 1956, y respetando este orden de ideas, debemos implementar o al menos tratar de innovar dentro del aula de clase y más si se trata de la geometría que implica “la formación de una disciplina mental esencialmente basada en el silogismo. De aquí procede la insistencia sobre el valor de la demostración y del esquema que esta sigue. Este es el motivo por el cual proponemos un desarrollo del programa que este basado en la experiencia geométrica en vez de hacerlo sobre el ideal formal que ha inspirado la enseñanza tradicional” ¹⁰ así “la enseñanza de la geometría en organizar un tipo de experiencia particular de tal modo que se pueda convertir en una rama de la actividad intelectual del alumno” ¹¹, es así que se hace conveniente implementar alguna ayuda didáctica para el desarrollo de las cátedra de geometría dentro de la primaria y bachillerato.

Los materiales didácticos son necesarios en cualquier tipo de aprendizaje sin importar su edad, o condición económica, y aun más en temprana edad en las matemáticas por ser tan abstracta y no poseer un pensamiento abstracto todavía el niño, y es aquí donde la “la geometría juega un papel didáctico muy importante como medio de enseñanza las matemáticas y el razonamiento y como modelo frecuente, actualmente irremplazable.

Al permitirle al estudiantado materiales manipulables se convierte la clase en un taller de trabajo, fomentando la observación, la experimentación y la reflexión necesarias para formar ideas matemáticas, facilitamos una pedagogía de enseñanza aprendizaje donde además se estimula la investigación e imaginación, comparten ideas con sus compañeros, se divierten y aprenden a trabajar en equipo.

La educación es bastante amplia pero dentro de las materias que causan más escozor dentro de los alumnos es la geometría por ser bastante visual y metodológica, es por eso que el juego nos ayuda a entrar dentro del mundo del niño que nos facilitara el aprendizaje.

Los recursos empleados dentro de la geometría son usualmente el compás, la regla, la escuadra, el papel milimetrado, el papel cuadriculado, pero podemos introducir otro recurso didáctico llamado geoplano rectangular que puede ser considerado una novedad o ser una oportunidad para introducir al alumno dentro del mundo de la geometría.

El primer texto que trabajo el geoplano fue la enseñanza de las matemáticas en el año 1961, el cual era una recopilación de escritos elaborados por psicólogos y matemáticos, entre ellos tenemos a: Jean Piaget en el primer campo, y a Ewar W. Beth, Jean Dieudonne, Andre Lichnerowicz, Gustave Choquet y Caleb Gattegno, todos estos matemáticos.

Pero, dedicaremos nuestra atención al último que nombramos debido ser el promotor del instrumento geométrico que trataremos, Caleb Gattegno, el pedagogo de las matemáticas y además llamado “el gran maestro del mundo”, es el creador en el campo de las matemáticas de los geoplanos y contribuyo con las regletas de cuissenaire; y en ámbito de la enseñanza de idiomas colaboro con el método “manera silenciosa”. Aunque parecen estos dos temas polos opuestos, el aprendizaje de todo en esta vida tiene dos cosas en común, la primera es que debe sernos útil para la vida (contribuyendo al aprendizaje) y la segunda es ponerle sabor a esta (disminuyendo las jornadas de estudio), logrando convertirnos en unos generadores de ideas que son y serán el futuro de nuestra existencia. Explicando esto a manera más puntual, seria que Gattegno encontró que el juego, los colores y una mente abierta, son bastantes llamativos para los aprendices, los combino, los empleo para algo útil como la geometría y los idiomas, adaptándolos de una manera divertida; algo parecido a lo que alguna vez hizo Newton cuando junto las mareas con la caída de una manzana formulando la Teoría de la Gravedad , ó, cuando Hutching junto un timbre con un reloj y obtuvo un despertador, estos genios pueden encontrar parecidos donde muchos encontramos diferencias.

Este pedagogo “Nació en Alejandría (Egipto), estudio en la Universidad de Marsella, se doctoró en Matemáticas en Basilea (1937). Ejercito como profesor en la universidad de Liverpool (1945-1946) y Londres (1946 – 1957)” ¹³ Como muy bien lo diría John Pint en su artículo “Caleb Gattegno y el mundo silencioso” este maestro, dedico su vida a la “subordinación de la enseñanza del aprendizaje”, se explica, argumentando que este matemático sostuvo que la buena enseñanza siempre debe ajustarse a las demandas del aprendizaje, llegando de esa forma a desechar la manera memorística de la educación formal o tradicional avalando por consiguiente la enseñanza constructivista, logrando crear situaciones que siempre le dan la posibilidad al estudiante de explorar el empleo frecuente “si por ejemplo fuera …” .

Siguiendo con nuestro personaje, “En 1953 conoció a Cuissenaire y en 1954 fundó la Cuissenaire company en la que fue director hasta 1986. Realizo varias publicaciones sobre el uso de las regletas” ¹⁴ es aquí donde fácilmente deslumbramos que este genial doctor en matemáticas desplego todo su potencial didáctico llegando a ocupar el cargo de Secretario de la Comisión Internacional para el estudio y mejora de la enseñanza matemática, logrando en 1961 presentar el Geoplano como un instrumento didáctico y fundar CIAEM en Madrid, elaborando distintos escritos, entre los cuales tenemos “Introducción al método Cuissenaire – Gattegno de los números en el color de la enseñanza de la matemática” , “Los números y sus propiedades”, “Al fin puede pepito aprender matemáticas”, tornándose las matemáticas coloridas y dinámicas, despertando de tal forma la curiosidad innata de cada persona, tornándose un aprendizaje inexorable.

El profesor Gattegno, presenta quizás por primera vez, el Geoplano como instrumento pedagógico: “Con harta frecuencia se ha querido ver el estudio de la geometría la formación de una disciplina mental esencialmente basada en el silogismo. De aquí procede la insistencia sobre el valor de la demostración y el esquema que esta sigue. Pero es evidente que debe estimularse la invención del alumno, aunque nos mantengamos en el marco tradicional de la enseñanza, y que la solución de un problema permite caminos distintos del de la demostración. Este es el motivo por el cual proponemos un desarrollo del programa que este basado en la experiencia geométrica en vez de hacerlo sobre el ideal formal que ha inspirado la enseñanza tradicional.

Mientras que la aprehensión algebraica ha sido independizada de todo material y se ha concebido su dinamismo como algo que descansa solamente en las relaciones abstractas de las situaciones aritméticas, la aprehensión geométrica lo es de relaciones asociadas a la dinámica perceptiva y activa.

Tener conciencia de las relaciones geométricas es percibir en una situación dada lo que es invariante bajo un grupo de transformaciones (según la idea de Klein) o bien la organización de los conjuntos de puntos en conjuntos que se pueden caracterizar por una relación. El niño, en los primeros años de vida, ya se da cuenta de que la organización de su experiencia sensible se hacen según distintos esquemas: aprende a nadar, a subir escaleras, etc., lo cual lo obliga a mezclar percepciones y acciones. Pero en tanto que el objeto de estas actividades es liberarle del medio, la aprehensión de su contenido relacional no puede tener lugar, normalmente, hasta la adolescencia, cuando queda en suspenso la actividad propiamente dicha y el espíritu verifica la experiencia pasada para juzgarla y comprenderla.

La base del conocimiento espacial se va formando desde el nacimiento hasta la adolescencia, pero no es posible su estudio mientras no exista la experiencia suficiente y el espíritu no se dedique con exclusividad a la extensión de esta experiencia. Esta es una de las razones que explican que el sentido de la geometría se desarrolle tan tarde en la vida que el interés por su estudio sea tan poco común.

No obstante, si el adolescente esta bien conducido y orientado puede adelantar notablemente y con rapidez…. La enseñanza geométrica consiste en conseguir organizar un tipo de experiencia particular de tal modo que se pueda convertir en una rama de la actividad intelectual del alumno.

Así, por ejemplo, usar un compás para trazar “redondeles” en el tablero o en el papel no es todavía una actividad intelectual, pero si lo es el saber que cabe hacer con un compás en el plano. El método consiste en crear situaciones y en observar los procesos de los alumnos…Hemos experimentado un material geométrico multivalente al que designamos con el nombre de Geoplano… Nos parece que solo merece nuestra atención un material multivalente, y por ello hemos construido unas series de planchas sobre las cuales colocamos pequeños planos formando diversas redes: cuadrado, pentágono, hexágono, etc. Entre unos y otros puntos pueden extenderse gomas de colores y es posible obtener muy variadas situaciones matemáticas, según la elección que se haga de los subconjuntos de puntos reunidos por las gomas.

Todos estos Geoplanos tienen indudable atractivo estético y han sido adoptados por cuantos los han visto utilizar. Pueden proporcionar experiencia geométrica a los niños desde cinco años proponiendo problemas de forma, de dimensión, de simetría, de semejanza, de teoría de grupo, de geometría proyectiva, y métrica que sirven como fecundos instrumentos de trabajo, cualquiera que sea el nivel de enseñanza” ¹⁵.

“Se considera el geoplano como una herramienta de interés didáctico en la enseñanza – aprendizaje de las matemáticas y en el desarrollo de la reflexión creativa, puesto que, este recurso le permite tanto al estudiante como al docente experimentar con patrones numéricos, dar paso al pensamiento intuitivo y apertura el pensamiento hacia la innovación, lo cual es la base creatividad. Esta premisa es hoy pertinente ya que actualmente la creatividad es altamente valorada en diversos contextos académicos debido a su relación con el éxito escolar y con la capacidad para producir conocimiento independiente y significativo.”

CAPITULO 1: CONSTRUCCIONES, RECOMENDACIONES Y ACTIVIDADES DEL GEOPLANO RECTANGULAR

1.1 EL GEOPLANO

Desde la época de los griegos con Tales de Mileto, Pitágoras y Euclides, se ha definido la enseñanza de la geometría como el arte de razonar lógicamente por medio de definiciones, axiomas y teoremas; por tal razón se hace necesario el estudio de la geometría porque ayuda al estudiante a ser cuidadoso y exacto en sus actividades.

Uno de los instrumentos pedagógicos sugeridos para el estudio de la geometría es el geoplano. El geoplano fue inventado por el pedagogo Galeb Gattegno para enseñar las nociones de la geometría plana a los niños. Así durante los primeros años de la primaria este instrumento pedagógico, ayudara a desarrollar la creatividad y la motricidad fina del alumno; logrando así que a medida que transcurre los años académicos se reconozcan las formas de las figuras geométricas recalcando siempre sus características relevantes, hallando áreas y perímetros de diversos polígonos y a su vez afianzar el concepto de traslación y simetría, ayudando a establecer conexiones entre la aritmética y la geometría.

“El geoplano de Gattegno consiste en una tabla sobre la cual se clavan puntillas simétricamente distribuidas. Se utiliza para construir en el una gran variedad de figuras en la que se pueden trabajar distintos elementos geométricos con lanas, pitas o cauchos de diferentes colores.” ¹

Como el campo de acción es bastante amplio, surgen tres tipos de presentaciones, el geoplano rectangular u Ortometrico (figura #1), el geoplano triangular (figura #2) o isométrico y el geoplano circular (figura #3). El primero es de trama cuadrada, el segundo es de trama circular y el tercero esta formado por una circunferencia que es su centro y un cuadrado exterior.

En este trabajo solo trabajaremos con geoplano rectangular.

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figura #1

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figura #2

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figura #3

A la hora de elaborar un geoplano solo debemos tener clavos de cabeza plana y una madera plana a nuestra disposición, para esto es conveniente que la tabla a escoger este totalmente lisa además de tener un grosor mucho mayor al alto de los clavos; los clavos escogidos para elaborar el geoplano deben estar en perfecto estado para no alterar futuros resultados

1.2. ELABORACIÓN DEL GEOPLANO RECTANGULAR

Teniendo en cuenta todo lo dicho anteriormente procedemos a elaborar una cuadricula en la tabla y clavaremos en los vértices de los cuadrados los clavos de tal forma que estos se encuentran alineados, es decir, que sean perpendiculares a la tabla, no sobra acotar que no debemos perforar totalmente la tabla para otorgarle al clavo estabilidad.

“Sobre esta base se colocan gomas elásticas de colores que se sujetan en los clavos formando las formas geométricas que se deseen” ²

A manera puntual citaremos los materiales y las instrucciones para construir un geoplano rectangular.

Materiales que se requieren para la construcción del geoplano:

- Una tabla gruesa en forma cuadrada.
- Lápiz.
- Puntillas.
- Regla.
- Gomas elásticas.

Instrucciones

1. Construya un marco de 3 cm por cada lado de la tabla.

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2. Sobre la tabla y dentro del espacio del marco, construya una cuadricula de 10 por 10, midiendo cada lado 2 cm, en total tendrá 100 cuadritos.

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3. Nótese que el trabajo es semejante a un tablero de ajedrez.

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4. Dibuje un punto en cada vértice de cada cuadrado, de esta forma:

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5. En el anterior inciso, se observan unos pequeños puntos (los vértices de los cuadrados), en los que se clavan puntillas, de las cuales la mitad de su longitud debe quedar por fuera.

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En la figura anterior se observa el geoplano rectangular terminado.

Antes de trabajar dentro del geoplano, debemos aclarar algunos términos que facilitaran la labor a desarrollar dentro de este instrumento, para empezar “se llama geoplano de 3 x 3 al formado por una malla cuadrada con 3 puntillas por cada lado (9 puntillas en total) análogamente, el geoplano, el geoplano 5 x 5 esta formado por una malla cuadrada de 5 puntillas en cada lado (25 puntillas en total)” ³.

Es necesario también para formar las figuras, utilizar hilos de plástico o bandas, hilos de coser, lana, en distintos tamaños y colores para visualizar mejor las figuras; la elección de este material debe ser dada en convenio con todos los usuarios del geoplano, es decir, entre maestro y alumnos.

1.3. RECOMENDACIONES PARA TRABAJAR EN EL GEOPLANO

Para facilitar el trabajo se toman a consideración algunas recomendaciones dadas en la página 158 del texto Iniciación a la matemática de María Teresa Cascañeda, que a continuación citaremos:

- Conviene tener en clase varios geoplanos de diferentes tamaños. La situación ideal seria que cada niño tuviese uno; para ello se puede recurrir a los padres o a los alumnos de los cursos superiores, que los pueden construir con facilidad.
- La construcción del geoplanos conviene que sea sólida, ya que de esta forma es un material que puede servir para muchos años.
- Las gomas elásticas pueden producir un cierto temor en algunos niños por miedo a que se rompan al estirarlas y se hagan daño; es conveniente que jueguen con ellas y con los dedos hasta que familiaricen con el material y aprendan a su vez a conocer la resistencia de la goma y distinguir su límite de tensión. Este es un buen ejercicio de control psicomotor.

- Las realizaciones en el geoplanos pueden ser individuales o en equipos. La fase de los comentarios verbales se debe hacer en parejas o grupos de niños.
- El geoplanos deberá guardarse en clase, ya que el transporte continuo de mismo de casa al colegio, en situaciones de mayor descontrol, como pueden ser las salidas, podrían dar lugar a lesiones, al caerse, o a hacerse daño con él.

3. ACTIVIDADES DE RECONOCIMIENTO DEL GEOPLANO

(JUEGOS)

Para concientizar al alumno de este medio didáctico se presentan a continuación los siguientes juegos:

- EL VENDEDOR

“El material que ustedes tienen sobre las mesas hay que venderlo disponen de 5 minutos para organizarlo. Pueden incluir precio, nombre, múltiples usos, descuentos, ¿a quien lo venden?... el vendedor puede ser de cualquier lugar del país” ⁴.

- FORMAR CUADRITOS:

Participantes: 2 personas.

Recursos: Geoplano Rectangular, 20 cauchos blancos y 20 cauchos negros.

Instrucciones:

Determinar sobre el geoplano una región cuadrangular 4 x 4.

1. cada participante escoge un color diferente de caucho
2. cada banda debe formar un lado del cuadrado.
3. por turnos, harán líneas que forman los lados de los cuadrados.
4. se dará el punto a quien termine o cierre el cuadrado.
5. cada vez que forme un cuadrado tendrá derecho a realizar una línea.
6. una línea se hará al sujetar la banda con los extremos de las puntillas con no mas de 3 puntillas, es decir al sujetar 2 puntillas con una banda.
7. gana el juego el participante que tenga mas cuadrados.

- CANICAS:

Participantes: 2 personas.

Recursos: 2 Geoplano Rectangular, 2 canicas pequeñas.

Instrucciones:

Cada jugador tomara un Geoplano Rectangular de igual tamaño y le introducirá una canica en la esquina superior de Geoplano. A la cuenta de tres, los participantes tendrán que sacar la canica del Geoplano por la parte inferior de este, haciéndole movimientos suaves.

Si la canica sale por los lados del Geoplano el jugador será automáticamente descalificado. Gana el participante que saque primero la canica del Geoplano.

- RECORRIDO O CAMINOS:

Participantes: solitarios.

Recursos: Geoplano Rectangular, lana y 2 chaquiras de distinto color.

Instrucciones:

- Determinar sobre el geoplano una región cuadrangular 5 x 5.
- En la esquina superior izquierda del Geoplano coloque una de las chaquiras dentro del material didáctico, las cuales se utilizaran para señalar un punto y la otra chaquira de diferente color en la esquina superior izquierda.

Objetivo: Encontrar el camino más cortó para ir de una chaquira hasta la otra utilizando las siguientes reglas:

1. Los avances permitidos son hacia abajo y hacia la derecha.
2. Por cada puntilla se debe pasar una y solo una vez.
3. Puede hacer varios caminos con distintos colores de lana.
4. Puede variar el juego y escoger el camino mas largo.
5. Con un solo pedazo de lana, puede realizar el camino al enredar en cada moviendo la lana.

- BUSCANDO CUADRADOS:

Participantes: 2 personas.

Recursos: Geoplano Rectangular, 18 chaquiras de color blanco y 18 chaquiras de color negro, lana.

Instrucciones:

Determinar sobre el geoplano una región cuadrangular 6 x 6, por medio de la lana.

1. Cada jugador toma sus 18 chaquiras.
2. Los jugadores irán colocando las chaquiras por turnos.
3. Gana el jugador(a) que consiga que 4 de sus chaquiras ocupen los vértices de un cuadrado y a su vez quien forme mas cuadrados.

- FUTBOLIN:

Participantes: 2 personas

Recursos: Geoplano Rectangular, una canica, piola o cinta y 2 puntillas.

Instrucciones:

- Se demarcara en el Geoplano el terreno de juego, el cual será similar a un campo de futbol.
- Dicha demarcación se trazara con lana sujeta a las puntillas de Geoplano.
- Seguidamente, se introducirá una canica en uno de los arcos o portería de la cancha.
- El objetivo de cada jugador es lograr meter la canica en la portería contraria con la ayuda de una barita de madera.
- Ganara el jugador que haya introducido mayor número de goles en un tiempo determinado por ellos mismos.

- JUEGO LIBRE:

Materiales: Geoplano Rectangular, gomas elásticas de colores.

Objetivo: Familiarización con el geoplano a través de la manipulación.

Desarrollo:

Como con cualquier otro recurso, es necesario que los niños se familiaricen con él y tengan un tiempo de utilización libre para que puedan explorar sus posibilidades de uso e inventen nuevas aplicaciones, aun cuando no sean aquellas para las que fue diseñado.

- Repartir geoplanos y gomas elásticas a los niños para que jueguen e inventen formas de figuras planas.
- Al principio no es preciso que se pongan nombres a las actividades que hacen los alumnos. El objetivo primero es que adquieran las habilidades motrices suficientes para que puedan poner las gomas en el geoplano de la forma más rápida y precisa.
- Cuando el niño haya hecho un numero suficiente de composiciones de figuras se les pregunta ¿Qué has hecho?, o ¿A que se parece tu construcción? etc., con el fin de tratar de despertarle el interés por buscar una significación en sus realizaciones.
- Cada niño tiene un ritmo de aprendizaje diferente que es necesario respetar; por ello, cuando un niño este familiarizado con el geoplano, haya experimentado y se consiga despertar su interés, se comenzará con actividades sugeridas.

- CAMINOS EN ZIGZAG ⁵:

Participantes: 2 personas

Recursos: Geoplano de 9 x 9, cauchos

Objetivo: Gana el que consiga llevar al contrincante a su propia casa.

Instrucciones:

1. Comienza en el punto central S del tablero.
2. El primer jugador une el punto S con cualquiera de los cuatro puntos inmediatos a él, nunca en diagonal.
3. El segundo jugador prolonga un paso más el camino con otro segmento de longitud uno con las mismas condiciones restrictivas, de manera que se vaya formando un camino continuo en zigzag.
4. Los dos jugadores van moviéndose alternadamente, y el objetivo de cada uno de ellos es el de formar un camino continuo desde S a su casa base que es A, para el primer jugador y B para el segundo jugador, con la condición de que no se podrá pasar más de una vez por cada punto.

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- LABERINTOS ⁶:

Participantes: 1 persona.

Recursos: geoplano rectangular, cauchos, papel de trama cuadrada.

Objetivo:

- Orientar espacialmente al alumno en el plano.
- Familiarización con todo el espacio del geoplano y orientación sobre el mismo.

Instrucciones:

1. se trata de construir laberintos, caminos o carreteras por los que habrá que buscar el camino para salir.
2. Indicar a los niños que han de comenzar por el extremo del geoplano, por ejemplo, por el borde superior izquierdo, y terminar en el lado opuesto, en el borde inferior derecho.
3. Se les pide que vayan pasando una goma por todos los clavos que quieran, pero que al final tienen que salir por abajo.
4. Cuando hayan realizado el trazado, pedirles que sigan el camino con el dedo hasta la salida.

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- COPIA DE MODELOS ⁷:

Participantes: 1 persona.

Recursos: Geoplano rectangular, cauchos, trama cuadrada de papel.

Objetivo: Desarrollar la creatividad a partir de la composición de figuras. Orientación espacial en el geoplano.

Instrucciones:

1. Se trata de reproducir modelos de figuras, de objetos o de animales en el geoplano.
2. Los modelos deberán ir en papel cuadriculado, con cuadricula grade. Las figuras serán sencillas y familiares para los niños; en realidad se trata de composiciones con formas geometrías básicas y que dan como resultado un objeto conocido, como una casa, un árbol, un perro, etc.
3. Se puede comenzar la actividad facilitándoles la descomposición en figuras simples, utilizando distintos colores para cada parte de la figura, de tal manera que resultará una figura multicolor y de más fácil reproducción.
4. A la vez que los niños se van familiarizando con las actividades de copia, podrán ir creando sus propias figuras.
5. La complejidad de la figura modelo podrá ir aumentando según lo aconseje la capacidad de los niños.

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- HACEMOS NUMEROS ⁸:

Participantes: 1 persona.

Recursos: Geoplano rectangular, cauchos, trama cuadrada de papel.

Objetivo: Reconocer los dígitos, orientación del trazo en el espacio grafico.

Instrucciones:

1. Debido a la gran utilización de los relojes digitales y otros aparatos electrónicos, los niños están familiarizado hoy día con los dígitos construidos a partir de líneas rectas. En esta actividad se trata de que sean capaces los 10 dígitos a partir de la cuadriculad del geoplano.

2. Se pueden utilizar modelos en papel cuadriculado o bien dibujar los dígitos en la pizarra, aclarando que cada raya representa (vale) una cuadricula.

3. los niños trataran de reproducir todos los dígitos en sus geoplanos, primero copiando directamente del modelo y después sin tenerlo delante.

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CAPITULO 2: SEGMENTOS

“Siendo la geometría el estudio de un conjunto llamado espacio, cuyos elementos son los puntos” ¹, podemos fácilmente pensar que en esté instrumento nuestros puntos son los clavos distribuidos en la tabla de madera, es decir, para construir cualquier figura geométrica siempre partimos de un punto a otro punto, ejemplo: para construir un segmento debemos partir de un punto a otro punto, para realizar un triangulo necesitamos unir tres puntos no colineales ². Además, el geoplano es nuestro espacio ( donde trabajamos la Geometría) porque el es el conjunto de todos los puntos, ahora solo faltaría sustituir la palabra punto por clavo para conceptualizar el texto.

Para centrarnos un poco más en el termino de punto, debemos en primera instancia hacer contar las puntillas de distintos geoplano a los aprendices para concientizarlos de que cada puntilla es un punto, con estas premisas: ¿pueden los estudiantes formular una definición de punto?, para tal fin proponemos elaborara una lluvia de ideas entre ellos y concluir que un punto es “espacio al que se puede asignar una posición pero no posee dimensiones” ^3, ó ,“Objeto geométrico que no tiene dimensión y que se utiliza para indicar una ubicación.” ^4.

“Los orígenes de la geometría nos cuentan que fue en Grecia donde se origina la necesidad de definir los términos que se empleaban al resolver algunos problemas de la vida real, que se relacionaban con la geometría” ^{5, “} los cuales eran usados con bastante naturalidad por egipcios y babilonios, como lo son las nociones de punto, línea y el concepto de ángulo dada por el griego Tales de Mileto” ^6.

Sabemos que hemos propuesto una lluvia de ideas para llevar a la definición de punto dada en los diccionarios, pero por medio de este taller buscamos que los aprendices tomen la geometría como “un conjunto llamado espacio, cuyos elementos se llaman puntos” ^7.

2.1. DEFINICIÓN DE SEGMENTO:

Los conceptos de recta y rayo no son favorables para tratar dentro de este instrumento geométrico, porque incluye conceptos muy delicados con respecto al punto que dicho material no puede suplir, por poseer un número finito de puntillas esté.

Sabemos que construir una línea al sujetar dos puntillas por medio de un caucho (lana, hilo), pero como ya expresamos anteriormente no podemos decir que esta línea es una recta porque el Geoplano tiene un numero finito de puntillas y esta tiene infinitas puntillas a ambos lados; no podemos decir que esta línea es un rayo porque solo posee un extremo es decir empieza en una puntilla pero no puede concluir en ninguna porque por ser infinita en una dirección, es decir hacia un lado de la línea tendría que infinitas puntillas.

Por tal razón, una línea dentro del Geoplano Rectangular es un segmento, por ser la única línea que posee puntos extremos lo cual conlleva a poder escoger dentro del instrumento dos puntillas, unirlas y designarle a esta construcción el nombre de segmento.

Se sugiere pedirle a cada estudiante determinar sobre el geoplano un tablero de 5 x 5, dentro de esta marcación situar todos los segmentos posibles que no tengan igual medida; es decir que si hicimos un segmento empleando 2 puntillas, el siguiente segmento emplearas 3 puntillas y así sucesivamente hasta ocupar el geoplano asignado. En la figura 1 podemos apreciar la construcción de segmentos bajo esta condición y en el geoplano 4 x 4 en la figura 2.

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Figura 1

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Figura 2

Para ubicar los puntos extremos de un segmento emplearemos chaquiras (plastilina), las cuales colocaremos en la puntilla del principio y la puntilla del final, o, mejor las dos puntillas donde esta sujeto el caucho.

En una trama cuadrada (como la indicada en la figura 2), hecha en un papel, representa los segmentos y desígnales a las chaquiras o los extremos del segmento, una letra mayúscula.

Dentro del Geoplano Rectangular, delimita sectores de 6 x 6, 7 x 7, 8 x 8, 9 x 9, 10 x 10, 11 x 11; implanta la misma condición sugerida en la figura (no congruentes dos a dos) 2 y estudia un método que sistematice la obtención de todos los segmentos posibles dentro de un geoplano de 20 x 20, 50x 50, y n x n puntillas. Como podrás descubrir a manera general se cumple la regla (n – 1) para un geoplano de n puntillas, es decir, si el Geoplano tiene 20 puntillas por un lado, el número de segmentos posibles son 19.

Retome el trabajo realizado en la trama cuadrangular y ordene los segmentos de menor a mayor longitud, esta es la distancia entre las chaquiras incrustadas en las puntillas, o, la distancia que hay entre los dos extremos del segmento. Para trabajar mejor esto, daremos el siguiente ejemplo: Delimite en el geoplano un cuadrado de 4 x 4 y realice la figura 3, al construir el segmento AD se emplearon 4 puntillas en cambio al construir el segmento EG emplearon 3 puntillas, quien tiene mas cantidad de puntillas es la longitud mayor y quien tiene menos cantidad y quien tiene menos cantidad de puntillas es la longitud menor; en este orden de ideas, el segmento AD tiene mayor longitud que el segmento EG, o, el segmento EG tiene menor longitud que el segmento AD.

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Figura 3

Dentro de un segmento podemos además de señalar sus extremos también tenemos la oportunidad de señalar los puntos que están dentro de estos. Sea el segmento AD conformado por los puntos internos B, C, con una longitud de 4 puntillas. Ahora tratemos de dividir este segmento en partes iguales (figura 4), aquí pasa algo extraño: es un numero par de puntillas 2 x (n) pues 2 x (2)=4 pero no se puede encontrar la mitad del segmento o punto medio aunque sea tan fácil encontrarle la mitad de 4.

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Figura 4

Ahora si tomamos un segmento cuya longitud sea de 3 puntillas y realizamos el anterior ejercicio de dividir en dos partes iguales el segmento y siendo un numero impar de puntillas (2 x (n)) + 1 se puede obtener un punto medio que es la mitad del segmento y se logra dividir el segmento en 2 partes iguales. (Figura 5).

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Figura 5

Cuando se efectúa la división de un segmento en 2 partes iguales, es decir, cuando la longitud del segmento es de un numero impar de puntillas, obteniéndose un punto medio, podemos concluir que este origina dos segmentos de igual longitud, cuando esto ocurre se llama segmentos congruentes.

2.2. COMPARACIÓN DE SEGMENTOS

Para comparar segmentos se hace necesario hablar de la longitud de un segmento, la cual como dijimos anteriormente es la distancia que hay entre los dos extremos de un segmento, los cuales sugerimos señalar por medio de bolitas de plastilina y una ficha de cartulina con alguna letra en mayúscula del alfabeto inscrita.

Aclarando esto procedemos a medir la longitud de un segmento dentro del Geoplano Rectangular, de tal forma que se hacen evidentes dos formas:

1. Contar el numero de puntillas que conforman el segmento, como lo podremos ilustrar a continuación :

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Figura 1

Dentro del geoplano hay tres segmentos de distintos colores, el segmento amarillo consta de 5 puntillas, el segmento rojo posee 2 puntillas, el segmento azul tiene 3 puntillas.

2. Contar los espacios que hay dentro de las puntillas, que pasarían a ser las unidades del geoplano, o al menos el numero más cercano a la unidad de geoplano.

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Figura 2

Dentro del geoplano en la figura 2 hay un segmento oblicuo o inclinado conformado por 4 puntillas y también formado por 3 unidades del geoplano, si retomamos la figura 1 podemos visualizar que el segmento amarillo está constituido por 4 unidades del geoplano, que el segmento rojo está formado aparentemente por una unidad del geoplano, que el segmento azul está conformado aparentemente por 2 unidades del geoplano, aclararemos mas adelante por que decimos que aparentemente.

Si realizamos el ejercicio de copiar la distancia que entre dos puntillas por medio de calcar los segmentos es decir colocar una hoja y señalar las puntillas exteriores y medir esta distancia nos damos cuenta qué los segmentos verticales y horizontales guardan la misma información de unidad con la cual está diseñada el geoplano, en cambio al medir un segmento inclinado u oblicuo se presenta que alcanza a medir un poco más de la unidad presentada en el geoplano, justificamos este hecho porque si formamos un triangulo rectángulo dentro del geoplano con un número igual de puntillas dentro de sus catetos o lados, la hipotenusa de esté triangulo siempre excede a uno de sus catetos.

Para comparar segmentos como mínimo necesitamos dos segmentos, dándose esto puede ocurrir dos situaciones:

1. Tengan igual número de clavos
2. Tenga distinto numero de clavos

Supongamos que tiene igual número de clavos, si esto es así pueden pasar 4 casos según la posición relativa del segmento es decir si es horizontal, vertical, inclinado; los cuales son:

1.1 Se compara un segmento horizontal con un segmento vertical, tendrá igual longitud, como vemos en el siguiente ejemplo:

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El segmento horizontal y el vertical está conformado por 4 puntillas y midiendo sus unidades ambos tienen tres unidades.

1.2 Se compara un segmento horizontal con un segmento inclinado, teniendo la misma cantidad de puntillas tiene mayor longitud el segmento inclinado, como lo vemos a continuación:

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1.3 Se compara un segmento vertical con un segmento inclinado, la misma situación anterior, es decir tiene mayor longitud el segmento inclinado, debido a que al girar el segmento vertical nos origina un segmento horizontal y esta situación ya la explicamos. Observamos más claro esto en el siguiente ejemplo:

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Tanto el segmento vertical como inclinado tiene dos puntillas, por tal razón se hace necesario medir la unidad del geoplano para poder comparar los segmento, realizando dicha actividad nos damos cuenta que el segmento vertical tiene una unidad del geoplano y el segmento inclinado tiene dos unidades y media del geoplano

1.4 Se compara dos segmentos inclinados de igual cantidad de puntillas es conveniente no contar la cantidad de puntillas si no mirar el espacio de unidad más cercano. Analicemos esto un poco mejor mediante un ejemplo:

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El segmento morado tiene 2 puntillas y una sola unidad del geoplano, en cambio el segmento rojo tiene dos puntillas pero aproximadamente dos unidades.

Ahora supongamos que los segmentos a comparar tienen distinto número de puntillas, si esto sucede podrían pasar cuatro casos:

2.1 Se compara un segmento horizontal y un segmento vertical, será mayor quien este conformado por el mayor numero de puntillas dentro del geoplano, como lo veremos en este ejemplo:

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El segmento horizontal tiene dos unidades y el segmento vertical tiene tres unidades, por tal razón es mayor el segmento vertical. Ahora, si miramos las puntillas de cada segmento tenemos que el segmento horizontal posee tres puntillas y el segmento vertical se obtiene de cuatro puntillas por tal razón es menor el segmento horizontal.

2.2 Si se comparan dos segmentos con igual posición relativa exceptuando los inclinados, es decir al comparar dos segmentos verticales o dos segmentos verticales, será mayor el segmento que este conformado por el mayor numero de puntillas dentro del geoplano. Ejemplo:

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Podemos apreciar que es mayor el segmento negro por poseer 5 puntillas (cuatro unidades del geoplano) y es menor el segmento rojo por tener 4 puntillas (tres puntillas )

2.3 Se compara un segmento horizontal con un segmento inclinado con un segmento vertical u horizontal se comparara la unidad de medida del geoplano.

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Si comparamos es segmento vertical con el inclinado tenemos que tiene mayor longitud el segmento vertical; pero si comparamos el segmento inclinado con el horizontal nos arroja el mismo resultado.

2.4 Se comparan dos segmentos inclinados miraremos las unidades del geoplano.

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El segmento negro es mayor al segmento verde por poseer diferentes unidades de longitud.

2.3. SEGMENTOS CONSECUTIVOS

“Se define como segmentos consecutivos a aquellos segmentos que cumplen las siguientes propiedades:

1. Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en común.
2. Varios segmentos son consecutivos cuando cada uno es consecutivo solamente con el anterior y con el siguiente.

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3. Si los segmentos consecutivos pertenecen a una misma recta son consecutivos alineados: tienen un extremo en común y los puntos restantes pertenecen a semirrectas opuestas.” ¹

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Veamos los siguientes ejemplos, por medio del Geoplano Rectangular:

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FIGURA #1

En la figura 1 se han trazado segmentos consecutivos alineados, ya que pertenecen a una misma recta y tienen un extremo en común.

Además podemos observa en la figura 1 que existen varios segmentos:

- EF
- FG
- GH
- EG
- GH
- FH

Lo cual nos lleva a indagar lo siguiente: Tomemos por parejas segmentos para saber si estos son segmentos consecutivos:

- Sea la primera pareja el segmento EF y el segmento FG ¿cumplen con las propiedades para ser segmentos consecutivos? la respuesta es si por pertenecer a una misma línea y tener un punto común que es F.
- Sea la segunda pareja el segmento EF y el segmento GH, como podemos ver ambos pertenecen a una misma línea recta pero no posee ningún extremo común, por lo cual no son segmentos consecutivos.
- Sea la tercera pareja el segmento EG y el segmento FG, como no es fácil su visualización tomémoslos por separado:

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Por tal razón los segmentos son consecutivos por estar en una misma línea y compartir un punto.

Esta misma tarea la podemos realizar con todos los segmentos mencionados anteriormente.

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FIGURA 2

En la figura 2 se han trazado segmentos consecutivos no alineados, ya que cada uno de los segmentos es consecutivo solamente con el anterior y con el siguiente.

Observamos en la figura 2 los siguientes segmentos:

- AB
- BC
- CE
- AC
- AE
- BE

Formando de nuevo parejas podemos prestar atención que:

- Sea la primera pareja el segmento AB y el segmento BC ¿cumplen con las propiedades para ser segmentos consecutivos? la respuesta es si por pertenecer a una misma línea y tener un punto común que es B.
- Sea la segunda pareja el segmento BC y el segmento CE, como podemos ver ambos no pertenecen a una misma línea recta pero posee un extremo común C, por lo cual son segmentos consecutivos.
- Sea la tercera pareja el segmento AB y el segmento CE, para obtener una mejor visualización de los segmentos los dibujaremos en el caso del geoplano eliminaremos la banda que no corresponde al segmento.

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Aquí apreciamos que los segmentos no comparten absolutamente nada, porque no tienen ningún extremo común, por tal razón no son segmentos consecutivos.

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FIGURA 3

La figura 3 se han trazado el segmento AB y el segmento CD, de los cuales podemos decir que no son segmentos consecutivos, ya que no comparten un extremo.

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FIGURA 4

Como podemos apreciar el segmento AB y el segmento QP no comparten ningún punto o en este caso ninguna puntilla, por lo cual no son segmentos consecutivos.

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FIGURA 5

Podemos apreciar que en la figura 5 se trazan el segmento NM y el segmento PQ, no son segmentos consecutivos por no compartir ninguna puntilla.

2.4. OPERACIONES CON SEGMENTOS

2.4.1 SUMA DE SEGMENTOS

Lo que hacemos básicamente es trasladarlos para tornarlos consecutivos, como lo haremos a continuación en la figura 7

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FIGURA 7

Trasladamos el segmento DE, con magnitud uno, dirección horizontal y sentido hacia arriba logrando que este coincida el punto C con el punto D, como lo vemos en la figura 8

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A E

FIGURA 8

El segmento AE (el segmento representado de azul) es el total de la suma del segmento AC y DE.

Tenemos ahora un segmento de 4 puntillas de longitud y otro segmento de 2 puntillas de longitud en distinta posición, el primero en sentido horizontal y el segundo en sentido inclinado, como lo vemos en la figura 9, y se desea adicionar estos dos segmentos.

[...]

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¹ Sobre la teoría de la relatividad, Pág. 257, Vol. 3

² http: / www.educarchile.cl/medios/articles-80079_documentoAdjunto_3.doc

³ Sobre la teoría de la relatividad, Pág. 123, Vol. 3

⁴ Iniciación a la matemática, pag 144, María Teresa Cascallane

⁵ http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/medellin/uv00004/lecciones/unidades/generalidades/recta

⁶ http://personal.redestb.es/javfuetub/geointro.htm

⁷ http://www.aulafacil.com/Ense%F1anza/Lecc-7.htm

⁸ http://www.sodepaz.org/construyendolapaz/Construyendo%20la%20paz/Recursos%20Did%E1cticos.html#juego

⁹ http://www.matesymas.es/index.php?option=com_content&task=category&sectionid=30&id=93&Itemid=189

¹⁰ www.matesymas.es

¹¹ misma fuente

¹³ http://jomyanez.galeon.com/grz28glos.htm

¹⁴ Misma fuente

¹⁵ universidad nacional de Colombia sede Medellín proyecto matemáticas y física básica en Antioquia , geoplano lectura para monitores.

¹⁶ www.matesymas.es

¹ juegos matemáticos activos 4, Pág. 67, editorial reí andes Ltda., Esperanza Casas Alfonso

² iniciación a las matemáticas. Maria Teresa Cascallana. Pág. 14

³ Articulo Colegio Jorge de Inglaterra, uso creativo del geoplano, autor Carlos Guerra Gómez, Pág. 2

⁴ Articulo Colegio Jorge de Inglaterra, uso creativo del geoplano, autor Carlos Guerra Gómez, Pág 4.

⁵ http://www.juntadeandalucia.es/averroes/centrostic/29010870/archivos/repositorio/html/549/Geoplano/paginas/actividades.html

⁶ Fuente: Iniciación a la Matemática, María Teresa Cascallana, unidad 10, el geoplano, pagina 154.

⁷ Iniciación a la Matemática, María Teresa Cascallana, unidad 10, el geoplano, página 156

⁸ Iniciación a la Matemática, María Teresa Cascallana, unidad 10, el geoplano, página 156, 157

¹ Gran Larouse Universal. tomo 18, pag 5599.

² Estén formando una misma recta o puntos alineados.

³ http://www.wordreference.com/definicion/punto 4..http://www.elko.k12.nv.us/webapps/vmd/mathdictionary/htmldict/spanish/vmd/full/p/point.htm

⁵ Ancho de un río, la altura de un árbol, geodesia (partición de superficies)

⁶ Considerado uno de los siete sabios de su época, fue el primer matemático.

⁷ Gran Larouse Universal. tomo 18, pag 5599.

¹ http://cbigeometriaanaliticanm.blogspot.com/2007/08/unidad-1-segmentossemana1.html

• Authors: Leidy Karel Villalba Villalba (Author), Mayerlly Zabala Laverde (Author)
• Publication Year: 2009
• Pages: 149
• Catalog Number: V370309
• ISBN (eBook): 9783668483774
• ISBN (Book): 9783668483781
• Language: Spanish; Castilian
• Tags: geoplano, rectangular