Die vorliegende Arbeit soll einen Beweis des Satzes von Tarski-Seidenberg mittels der Methode der Hermite Matrizen liefern. Außerdem werden Folgerungen wie Quantorenelimination in reell abgeschlossenen Körpern und das Transferprinzip vorgestellt, um abschließend die Lösung zum 17-ten Problem von Hilbert zu geben.
Inhaltsverzeichnis
- Semialgebraische Mengen
- Projektionssatz von Tarski-Seidenberg
- Relle Nullstellen von Polynomen
- Folgerungen aus dem Projetionssatz
- Angeordnete und reell abgeschlossene Körper
- Quantorenelimination
- Transferprinzip
- Hilbert's 17-tes Problem
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die vorliegende Arbeit liefert einen Beweis des Satzes von Tarski-Seidenberg mittels der Methode der Hermite Matrizen. Weiterhin werden Folgerungen wie Quantorenelimination in reell abgeschlossenen Körpern und das Transferprinzip vorgestellt, um schließlich die Lösung zum 17-ten Problem von Hilbert zu geben.
- Der Satz von Tarski-Seidenberg und seine Beweisführung
- Semialgebraische Mengen und ihre Eigenschaften
- Die Methode der Hermite Matrizen
- Folgerungen des Satzes: Quantorenelimination, Transferprinzip
- Lösung des 17-ten Problems von Hilbert
Zusammenfassung der Kapitel
- Semialgebraische Mengen: Dieses Kapitel definiert den Begriff der semialgebraischen Mengen und erläutert grundlegende Eigenschaften. Es werden boolesche Kombinationen und Normalformen von semialgebraischen Mengen behandelt.
- Projektionssatz von Tarski-Seidenberg: Dieses Kapitel führt den Projektionssatz von Tarski-Seidenberg ein und beginnt mit dem Beweis. Die Beweisführung wird auf den nächsten Abschnitt verschoben, der sich mit reellen Nullstellen von Polynomen beschäftigt.
- Relle Nullstellen von Polynomen: Dieses Kapitel stellt Methoden vor, die die Anzahl reeller Nullstellen von Polynomen (unter Nebenbedingungen) bestimmen. Die Beweisidee basiert auf Newtonsummen und deren Eigenschaften.
Schlüsselwörter
Satz von Tarski-Seidenberg, semialgebraische Mengen, Projektionssatz, Quantorenelimination, reell abgeschlossene Körper, Transferprinzip, Hilbert's 17-tes Problem, Hermite Matrizen, Newtonsummen.
Häufig gestellte Fragen
Was besagt der Satz von Tarski-Seidenberg?
Der Satz besagt im Wesentlichen, dass die Projektion einer semialgebraischen Menge wieder eine semialgebraische Menge ist.
Welche Methode wird für den Beweis in dieser Arbeit verwendet?
Die Arbeit nutzt die Methode der Hermite Matrizen sowie Newtonsummen, um den Satz von Tarski-Seidenberg zu beweisen.
Was ist eine semialgebraische Menge?
Semialgebraische Mengen sind Mengen, die durch endliche Systeme von polynomialen Gleichungen und Ungleichungen definiert werden.
Was versteht man unter Quantorenelimination?
Quantorenelimination ist ein Prozess in der mathematischen Logik, bei dem Formeln mit Quantoren (wie "für alle" oder "es existiert") in äquivalente quantorenfreie Formeln umgewandelt werden.
Wie hängt der Satz mit Hilberts 17. Problem zusammen?
Der Satz von Tarski-Seidenberg und das Transferprinzip liefern wichtige Grundlagen für die Lösung von Hilberts 17. Problem, das die Darstellung positiv definiter rationaler Funktionen als Summen von Quadraten betrifft.
- Arbeit zitieren
- Julius Konstantin (Autor:in), 2014, Satz von Tarski-Seidenberg. Folgerungen aus dem Projektionssatz, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/347197
