Der Begriff des Hecke-Operators wurde zuerst 1935 von Erich Hecke, zur Untersuchung sogenannter Modulformen eingeführt. Mit Hilfe dieser Operatoren lassen sich beispielsweise, für bestimmte Modulformen, welche als Eigenformen aller Hecke-Operatoren bezeichnet werden, Aussagen über deren Fourier-Koeffizienten treffen.
In dieser Arbeit sollen grundlegende Eigenschaften der Hecke-Operatoren erarbeiten, und mit deren Hilfe, Aussagen über die Arithmetik der Fourier-Koeffizienten von Eigenformen getroffen werden. Dies wird unter anderem genutzt, um die Produktdarstellung einiger Dirichlet-Reihen zu folgern.
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
3
2
Modulformen
3
3
Hecke-Operatoren
5
4
Anwendungen
9
4.1
Anwendungen auf Eisenstein-Reihen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.2
Anwendungen auf Dirichlet-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
14
15
5
Ausblick
6
Literaturverzeichnis
1 Einleitung
1 Einleitung
Der Begriff des Hecke-Operators wurde zuerst 1935 von Erich Hecke, zur Untersuchung
von Modulformen eingeführt. Mit Hilfe dieser Operatoren lassen sich beispielsweise, für
bestimmte Modulformen, welche wir als Eigenformen aller Hecke-Operatoren bezeich-
nen werden, Aussagen über deren Fourier-Koeffizienten treffen. Ziel dieser Arbeit ist
es, grundlegende Eigenschaften der Hecke-Operatoren zu erarbeiten, um mit deren Hil-
fe, Aussagen über die Arithmetik der Fourier-Koeffizienten von Eigenformen zu treffen.
Diese werden wir unter anderem nutzen, um die Produktdarstellung einiger Dirichlet-
Reihen zu folgern.
2 Modulformen
Definition 1:
Es sei
= SL(2, Z) := {M =
a b
c d |
a, b, c, d
Z, ad - bc = 1}.
Wir nennen
die elliptische Modulgruppe.
Bemerkung 2:
bildet, zusammen mit der üblichen Matrixmultiplikation, eine Gruppe. Dies folgt,
mittels Untergruppenkriterium, aus der Gruppenstruktur von GL
(2, R) und, da für
M
=
a b
c d
die Inverse durch M
-1
=
d
-b
-c a
gegeben ist.
wird von
S
= 0 -1
1 0
und T
= 1 1
0 1
erzeugt (siehe [1, S. 312 bzw. 329]).
Lemma 3:
Es sei p eine Primzahl und
Z, 1 < p. Dann existiert ein eindeutiges Z, 1
< p, sodass
1
0 p
0 1
-1 0
1
0 p
-1
.
Die Abbildung
definiert dabei eine Permutation auf {1, . . . , p - 1}.
Beweis:
Zunächst liefert einfaches Nachrechnen
1
0 p
0 1
-1 0
1
0 p
-1
=
-
+ 1
p
-p
.
3
2 Modulformen
Hieraus können wir bereits ablesen, dass die Determinante dieser Matrix Eins ist. Es
bleibt also
+ 1
p
Z bzw. -1 mod p
für genau ein
1 < p zu zeigen. Dies sehen wir ein, indem wir die Elemente aus
{1, . . . , p - 1} als Repräsentanten von Äquivalenzklassen aus Z
p
verstehen. Da
Z
p
ein
Körper ist, besitzt jedes von Null verschiedene Element eindeutige Inverse bezüglich der
Multiplikation und Addition in
Z
p
. D.h. zu
[] Z
p
, mit
1 < p, existiert eine
eindeutige Äquivalenzklasse
-[]
-1
, mit
[] · (-[]
-1
) = [-1]. Diese besitzt nun einen
eindeutigen Repräsentanten
1 < p, womit -1 mod p folgt.
Bemerkung 4:
operiert auf der oberen Halbebene H := {z C|Imz > 0}, d.h. für z H und
M
=
a b
c d
, ist Mz :=
az
+ b
cz
+ d
H. Es ist M(Nz) = (MN)z. ([1, S. 307])
Definition 5:
Es sei f
: H C eine analytische Funktion und k N. Wir nennen f eine ganze
Modulform vom Gewicht k, wenn:
a) f
(Mz) = (cz + d)
k
f
(z) für alle M =
a b
c d
.
b) f ist für alle C >
0 auf {z C|Im z C} beschränkt.
Wir bezeichnen den
C-Vektorraum der ganzen Modulformen vom Gewicht k mit [, k]
und den Unterraum der Spitzenformen mit
[, k]
0
, wobei Spitzenformen diejenigen Mo-
dulformen f sind, für die
f
(i) := lim
Im z
f
(z) = 0
gilt.
Bemerkung 6:
[, k] und [, k]
0
definieren in der Tat Vektorräume (siehe dazu etwa [3, S. 14]). Ist
g
[, k] keine Spitzenform, so gilt
[, k] = [, k]
0
Cg.
Um dies einzusehen betrachtet man für ein beliebiges f
[, k] die Spitzenform
h
:= f -
f
(i)
g
(i)
g.
Damit ist f
= h + Cg für C =
f
(i)
g
(i)
C.
4
3 Hecke-Operatoren
Bemerkung 7:
Da T
(vgl. Bemerkung 2), gilt für ganze Modulformen f [, k] stets f(z+1) = f(z),
wodurch f sich in eine Fourier-Reihe der Form
f
(z) =
n=-
a
(n)q
n
,
mit q
= e
2iz
, entwickeln lässt. Für die Koeffizienten a
(n) gelten die Abschätzungen
|a(n)| Cn
k-1
bzw.
|a(n)| Cn
k/2
, falls f
[, k]
0
,
für ein C >
0 (siehe [2]).
Beispiel 8:
Beispiele ganzer Modulformen vom Gewicht k
3 sind die sogenannten Eisenstein-
Reihen
G
k
(z) =
(c,d)Z
2
\{(0,0)}
(cz + d)
-k
.
Ihre Fourier-Reihen sind gegeben durch
G
k
(z) = 2(k) +
2 · (2i)
k
(k - 1)!
n=1
k-1
(n)q
n
([1, S.336, 389]), wobei die Riemannsche -Funktion ist und
k-1
(n) :=
d|n,1dn
d
k-1
.
Ist k gerade, so ist G
k
insbesondere keine Spitzenform.
3 Hecke-Operatoren
Satz 9:
Ist p eine Primzahl und f
[, k], dann ist auch T (p)f [, k], wobei
T
(p)f(z) := p
k-1
f
(pz) +
1
p
p-1
=0
f
z
+
p
.
Beweis:
Es ist klar, dass T
(p)f analytisch ist, da selbiges für f gilt. Ebenso ist klar, dass für
jedes C >
0 auch T (p)f auf {z C|Imz > C} beschränkt ist, da dies für f gilt. Es
5
3 Hecke-Operatoren
bleibt also Teil a) aus Definition 5 zu zeigen. Da
von S und T wie in Bemerkung 2
erzeugt wird, reicht es nach Bemerkung 4, die Aussage für diese zu zeigen. Es ist also
a) T
(p)f(T z) = T (p)f
1 1
0 1
z
= T (p)f(z + 1) = T (p)f(z)
und
b) T
(p)f(Sz) = T (p)f
0 -1
1 0
z
= T (p)f -
1
z
= z
k
T
(p)f(z)
zu zeigen. Da a) bereits für f gilt, ist
f
(p(z + 1)) = f(pz + p) = f(pz)
und
p-1
=0
f
z
+ 1 +
p
=
p
=1
f
z
+
p
=
p-1
=1
f
z
+
p
+ f
z
+ p
p
=
p-1
=1
f
z
+
p
+ f
z
p
=
p-1
=0
f
z
+
p
,
womit a) für T
(p)f folgt. Da b) für f gilt, folgt
f
(pSz) = f
-p
z
= p
-k
z
k
f
z
p
und
f
Sz
p
= f
-1
pz
= p
k
z
k
f
(pz).
Genauso ist für
1 < p, zusammen mit wie in Lemma 3
f
Sz
+
p
= f
1
0 p
0 -1
1 0
z
= f
1
0 p
0 -1
1 0
1
0 p
-1
1
0 p
z
= f
-
+ 1
p
p
-
1
0 p
z
= p
1
0 p
z
-
k
f
1
0 p
z
= z
k
f
z
+
p
.
6
Ende der Leseprobe aus 15 Seiten
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- Arbeit zitieren
- Philipp Bartmann (Autor:in), 2016, Einführung in die Theorie der Hecke-Operatoren, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/342239
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