Diese Ausarbeitung beschäftigt sich mit dem Thema Taylorpolynom. Dabei wird es eine kurze Hinführung zum Thema geben und das Verfahren anhand von Beispielen erläutert.
Ich habe mir das Thema Taylor in Mathe für meine GFS ausgesucht, da mich Mathe im Allgemeinen sehr fasziniert und ich mich mit Taylor auseinander setzen wollte. Er hat es geschafft, Funktionen zu approximieren und ich wollte wissen, wie dies funktioniert. In meiner Ausarbeitung habe ich den Schwerpunkt gelegt, eine Hinführung zu diesem spannenden Thema zu machen, danach Taylors Leben vorzustellen und schließlich seine Arbeit zu präsentieren. Zunächst ist es wichtig, verschiedene Begriffe zu definieren. Anschließend werde ich durch eine Beispielrechnung sein Verfahren erläutern und als nächstes die Formeln darstellen. Zu diesem Thema war es sehr schwer verständliche Materialen zu finden, doch ich wurde fündig.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Hinführung zum Thema
- Taylor's Leben
- Definition
- Die Potenzreihe
- Die Idee des Verfahrens
- Approximieren
- Fakultät
- Taylorreihe von Hand berechnen am Beispiel von sin(x)
- Formel
- Allgemeine Formel
- Formel für die Taylorreihe an der Entwicklungsstelle x=xe
- Bedingungen für die Taylorreihe
- Das Pascalsche Dreieck
- Formel für das Restglied
- Fazit
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Arbeit verfolgt das Ziel, das Konzept der Taylorreihen und Taylorpolynome verständlich zu erklären und Taylors Lebensleistung im Kontext seiner mathematischen Arbeiten zu präsentieren. Der Schwerpunkt liegt auf der Einführung des Themas, der Erläuterung der Funktionsweise und der Anwendung anhand eines Beispiels.
- Einführung in das Konzept der Taylorreihen und -polynome
- Erklärung des Lebens und der Leistungen von Brook Taylor
- Definition wichtiger Begriffe wie Potenzreihe, Approximation und Fakultät
- Anwendungsbeispiel der Taylorreihenberechnung an der Funktion sin(x)
- Darstellung der zentralen Formeln der Taylorreihenentwicklung
Zusammenfassung der Kapitel
Einleitung: Die Einleitung beschreibt die Motivation des Autors, sich mit dem Thema Taylorreihen auseinanderzusetzen, und gibt einen Überblick über den Aufbau der Arbeit. Der Fokus liegt auf der Approximation von Funktionen und der Erläuterung des Verfahrens von Brook Taylor.
Hinführung zum Thema: Dieses Kapitel nutzt das Beispiel von TKKG, um die Idee der Approximation zu veranschaulichen. Die detailliertere Darstellung von TKKG wird mit der genaueren Approximation einer Sinusfunktion durch mehr Terme verglichen. Es wird die Verbindung zur Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen hergestellt.
Taylor's Leben: Dieses Kapitel bietet einen kurzen biografischen Abriss über Brook Taylor, seinen sozialen Hintergrund, seine Ausbildung in Cambridge und seine Mitgliedschaft in der Royal Society. Es hebt seine Beiträge zur Mathematik hervor, insbesondere die nach ihm benannte Taylorreihe und Taylorsche Formel, und nennt sein Sterbedatum.
Definition: In diesem Kapitel werden die grundlegenden Begriffe, die für das Verständnis von Taylorreihen notwendig sind, definiert. Dazu gehören die Potenzreihe als unendliche Reihe, die Idee des Verfahrens, die Approximation als Annäherung einer Funktion durch ein Polynom und die Fakultät als mathematische Operation.
Taylorreihe von Hand berechnen am Beispiel von sin(x): Dieses Kapitel demonstriert die Berechnung der Taylorreihe für die Sinusfunktion Schritt für Schritt. Es zeigt, wie die Ableitungen der Funktion an einem bestimmten Punkt verwendet werden, um die Koeffizienten der Potenzreihe zu bestimmen. Das Beispiel dient als konkrete Anwendung der zuvor erklärten Prinzipien.
Schlüsselwörter
Taylorreihe, Taylorpolynom, Brook Taylor, Potenzreihe, Approximation, Fakultät, Sinusfunktion, Ableitung, Entwicklungsstelle, Polynomfunktion.
Häufig gestellte Fragen (FAQs) zu "Taylorreihen"
Was ist der Inhalt dieses Dokuments?
Das Dokument bietet eine umfassende Einführung in das Thema Taylorreihen und Taylorpolynome. Es beinhaltet ein Inhaltsverzeichnis, Zielsetzung und Themenschwerpunkte, Zusammenfassungen der einzelnen Kapitel und Schlüsselwörter. Der Fokus liegt auf der verständlichen Erklärung des Konzepts, der Funktionsweise und der Anwendung anhand eines Beispiels (sin(x)). Zusätzlich wird das Leben und die Leistungen von Brook Taylor beleuchtet.
Welche Kapitel umfasst das Dokument?
Das Dokument gliedert sich in die Kapitel: Einleitung, Hinführung zum Thema (mit dem Beispiel TKKG), Taylor's Leben, Definition (Potenzreihe, Approximation, Fakultät), Taylorreihe von Hand berechnen am Beispiel von sin(x) und Fazit.
Was ist die Zielsetzung des Dokuments?
Das Dokument zielt darauf ab, das Konzept der Taylorreihen und Taylorpolynome verständlich zu erklären und Taylors Lebensleistung im Kontext seiner mathematischen Arbeiten zu präsentieren. Der Schwerpunkt liegt auf der Einführung des Themas, der Erläuterung der Funktionsweise und der Anwendung anhand eines Beispiels.
Welche Themen werden im Detail behandelt?
Die wichtigsten Themen sind: die Einführung in Taylorreihen und -polynome, das Leben und die Leistungen von Brook Taylor, die Definition wichtiger Begriffe wie Potenzreihe, Approximation und Fakultät, die Anwendung der Taylorreihenberechnung an der Funktion sin(x) und die Darstellung der zentralen Formeln der Taylorreihenentwicklung.
Wie wird die Taylorreihe am Beispiel von sin(x) berechnet?
Das Dokument demonstriert Schritt für Schritt die Berechnung der Taylorreihe für die Sinusfunktion. Es zeigt, wie die Ableitungen der Funktion an einem bestimmten Punkt verwendet werden, um die Koeffizienten der Potenzreihe zu bestimmen.
Welche Schlüsselbegriffe werden im Dokument behandelt?
Die wichtigsten Schlüsselbegriffe sind: Taylorreihe, Taylorpolynom, Brook Taylor, Potenzreihe, Approximation, Fakultät, Sinusfunktion, Ableitung, Entwicklungsstelle, Polynomfunktion.
Wie wird das Thema "Approximation" eingeführt?
Die Idee der Approximation wird zunächst anhand des Beispiels von TKKG veranschaulicht, wobei der Vergleich zur genaueren Approximation einer Sinusfunktion durch mehr Terme gezogen wird. Es wird die Verbindung zur Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen hergestellt.
Was wird über Brook Taylor berichtet?
Das Dokument enthält einen kurzen biografischen Abriss über Brook Taylor, einschließlich seines sozialen Hintergrunds, seiner Ausbildung in Cambridge, seiner Mitgliedschaft in der Royal Society und seiner Beiträge zur Mathematik, insbesondere die nach ihm benannte Taylorreihe und Taylorsche Formel. Auch sein Sterbedatum wird genannt.
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- Jonas Gleiser (Autor), 2014, Die Taylorreihe und das Taylorpolynom. Erläuterung des Verfahrens, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/334692
