Dieser Artikel enthält eine Lösung des 3x+1 Problems. Der Beweis wird mittels vollständiger Induktion nach der Länge einer Iterationsfolge geführt.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Beweis der Collatz Vermutung
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Dieser Artikel präsentiert einen Beweis für die Collatz-Vermutung (3x+1 Problem). Die Zielsetzung ist es, die Richtigkeit dieser Vermutung mittels vollständiger Induktion zu zeigen.
- Lösung des 3x+1 Problems
- Beweis mittels vollständiger Induktion
- Analyse von Collatz-Folgen
- Äquivalenz von Collatz-Folgen
- Verwendung der Mathematica-Notation zur Veranschaulichung
Zusammenfassung der Kapitel
Einleitung: Die Einleitung erläutert die Notation und den Kontext des 3x+1 Problems (Collatz-Vermutung). Sie definiert die Funktion T, die die Iterationsschritte beschreibt, und führt die Collatz-Funktion in Wolfram Mathematica ein. Es wird betont, dass aufgrund der Äquivalenz von Elementen in Collatz-Folgen die Betrachtung der ungeraden Zahlen genügt, und die Funktion Fu1 wird in diesem Zusammenhang eingeführt. Die Einleitung legt den Grundstein für den anschließenden Beweis.
Beweis der Collatz Vermutung: Dieser Abschnitt beschreibt den Beweis der Collatz-Vermutung mittels vollständiger Induktion nach der Länge der Iterationsfolge. Es wird argumentiert, dass äquivalente Collatz-Folgen mindestens in einem Element übereinstimmen. Der Beweis nutzt die Eigenschaft, dass für x = Mod[k,3] = 1 und x = Mod[k,3] = 2 beliebig viele Vorgänger und Nachfolger erzeugt werden können. Mittels der Potenz 2*k (für x = Mod[k,3] = 1) werden Beispiele konstruiert, die die Äquivalenz und die Länge der Folgen demonstrieren. Der Beweis schlussfolgert, dass wenn ein Element der Länge n existiert, ein Element der Länge n+1 existiert, womit die vollständige Induktion abgeschlossen wird. Die mathematischen Beispiele und die Ausführungen zur Länge der Folgen bilden den Kern dieses Beweises.
Schlüsselwörter
3x+1 Problem, Collatz-Vermutung, vollständige Induktion, Collatz-Folge, Mathematica, Äquivalenz, Iterationsfolge, Fu1 Funktion, Mod-Operation.
Häufig gestellte Fragen zum Dokument "Beweis der Collatz Vermutung"
Was ist der Gegenstand dieses Dokuments?
Das Dokument präsentiert einen Beweis für die Collatz-Vermutung (auch bekannt als 3x+1 Problem) mittels vollständiger Induktion. Es beinhaltet eine Einleitung, die die Notation und den Kontext erklärt, eine detaillierte Beschreibung des Beweises selbst und eine Zusammenfassung der Schlüsselkonzepte.
Welche Themen werden im Dokument behandelt?
Das Dokument behandelt die Lösung des 3x+1 Problems, den Beweis mittels vollständiger Induktion, die Analyse von Collatz-Folgen, die Äquivalenz von Collatz-Folgen und die Verwendung der Mathematica-Notation zur Veranschaulichung. Es wird die Funktion T und die Funktion Fu1 eingeführt und erklärt.
Wie ist das Dokument strukturiert?
Das Dokument ist in Kapitel unterteilt: Eine Einleitung, die den Kontext und die Notation des 3x+1 Problems erklärt, und den Hauptteil, der den Beweis der Collatz-Vermutung mittels vollständiger Induktion beschreibt. Zusätzlich enthält es ein Inhaltsverzeichnis, eine Zusammenfassung der Kapitel, eine Liste der Zielsetzung und Themenschwerpunkte und eine Liste der Schlüsselwörter.
Welche Methode wird zum Beweis der Collatz-Vermutung verwendet?
Der Beweis verwendet die Methode der vollständigen Induktion über die Länge der Iterationsfolge. Es wird argumentiert, dass äquivalente Collatz-Folgen mindestens in einem Element übereinstimmen und die Eigenschaft genutzt, dass für x = Mod[k,3] = 1 und x = Mod[k,3] = 2 beliebig viele Vorgänger und Nachfolger erzeugt werden können. Die Potenz 2*k spielt dabei eine wichtige Rolle.
Welche Rolle spielt die Mathematica-Notation?
Die Mathematica-Notation wird verwendet, um die Collatz-Funktion und die mathematischen Beispiele im Beweis zu veranschaulichen und verständlicher darzustellen. Sie dient als Hilfsmittel zur besseren Visualisierung der mathematischen Konzepte.
Welche Schlüsselwörter sind relevant für das Verständnis des Dokuments?
Die Schlüsselwörter sind: 3x+1 Problem, Collatz-Vermutung, vollständige Induktion, Collatz-Folge, Mathematica, Äquivalenz, Iterationsfolge, Fu1 Funktion, Mod-Operation.
Was ist die Funktion Fu1?
Die Funktion Fu1 wird im Zusammenhang mit der Äquivalenz von Elementen in Collatz-Folgen eingeführt. Da die Betrachtung der ungeraden Zahlen genügt, vereinfacht Fu1 die Analyse der Folgen. Die genaue Definition der Funktion Fu1 ist im Dokument zu finden.
Was ist die Bedeutung der Äquivalenz von Collatz-Folgen im Beweis?
Die Äquivalenz von Collatz-Folgen ist zentral für den Beweis. Die Argumentation basiert darauf, dass äquivalente Folgen mindestens ein Element gemeinsam haben und diese Eigenschaft für den Induktionsschritt genutzt wird. Das Dokument erläutert detailliert, wie die Äquivalenz im Beweis zum Tragen kommt.
Für wen ist dieses Dokument gedacht?
Das Dokument ist für Leser gedacht, die mit den Grundlagen der Mathematik, insbesondere der vollständigen Induktion, vertraut sind. Es richtet sich an ein akademisches Publikum, das sich mit der Collatz-Vermutung auseinandersetzt.
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- Klaus Behmler (Author), 2015, Eine Lösung für das 3x+1 Problem, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/305524
