Dieser Artikel enthält eine Lösung des 3x+1 Problems. Der Beweis wird mittels vollständiger Induktion nach der Länge einer Iterationsfolge geführt.
Abstract
Dieser Artikel enthält eine Lösung des 3x+1 Problems. Der Beweis wird mittels vollständiger Induktion nach der Länge einer Iterationsfolge geführt.
1. Einleitung
Der Artikel verwendet die Notation " notebook language of Mathematica 9.0 " von Wolfram. Dabei wird diese Notation nur zum besseren Verständnis des Beweises verwendet. Sie ist für die Lösung des Problems nicht notwendig. Der Artikel nimmt nur auf die Literatur von [1] und [2] bezug.
Collatz Vermutung
Sei N = {1,2, } die Menge der natürlichen Zahlen.
Sei E die Menge der geraden Zahlen und O die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen .
Sei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] = N U{0} = {01,2,...}.
Für alle x € N werde die Funktion T : N^N wie folgt definiert ,
T(X) =*: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] falls x = 0Mod(2) ,und k ist die größte Potenz von 2 , die x teilt.
T(X) =(3 x + 1): [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] falls x = 1Mod(2) ,und k ist die größte Potenz von 2 , die (3x+1) teilt.
Die 3x+1 Vermutung nimmt an, dass die Folge x, T(x), [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten],.. für jedes x € N, in endlich vielen Schritten 1 erreicht.
Mittels Nutzung der Notation des Fließbildes gilt :
While (x > 1)
Begin
if (x is Odd) Then x=3*x +1;
Else
x = x /2 ;
End
his procedure is finished once x = 1 is reached
In Wolfram Mathematica wird dieser Sachverhalt durch die Collatz Funktion dar gestellt. in Collatz[9](in =Input)
out {9,28,14,7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1} (out =Output).
Gemäß Definition ergibt sich , Mod[9,3]^0,Mod[28,3]^1,Mod[14,3]=2,Mod[7,3]=0,Mod[22,3]=1,
,Mod[4,3]^1,Mod[2,3]^2,Mod[1,3]=2. Da alle x,T(x), [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten],...1.untereinander äquivalent sind[2]
genügt es , nur die ungeraden Zahlen , zu betrachten. Dafür wurde die Funktion Fu1 gebildet : in Ful[9]( in bedeutet Eingabe)
out {9,7,11,17,13,5,1} (out bedeutet Ausgabe)
1. Beweis der Collatz Vermutung
Falls eine Collatz Folge äquivalent einer anderen ist, stimmen sie mindesten in einem Element ,überein.[2]
Die Anzahl der Elemente einer Collatz Folge sei n. Sie wird als Länge n bezeichnet.
Der Beweis wird mittels vollständiger Induktion nach n durch geführt.
Für x=Mod[k,3]^1und x=Mod[k,3]^2 kann man (beliebig viele) Vorgänger u und Nachfolger v erzeugen. Diese Vorgänger und Nachfolger können die Länge x €N={1,2,3, } haben.
Für x=Mod[k,3]^1 wird die Potenz 2*k und x=Mod[k,3]^2 wird die Potenz 2*k + 1 verwendet.
Wir verwenden x=Mod[k,3]^1 und die Potenz 2*k.
Input
x = 1;length01 = Table[1/3[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten],{k,1,10}]
mod10 = Table[mod[length01[[k]],3],{k,1,length[length01]}]
OUTPUT
{1, 5, 21,85, 341,1365, 5461, 21845,87381,349525}
{1,2, 0,1, 2, 0,1,2,0,1}
Die Elemente der Tabelle sind äquivalent ( da gleich lang) und die Modi sind auch äquivalent.
Wir betrachten ein Beispiel:
Mod[l,3]=1
x = 1; y = Table[l/3 [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], {k, 2,10,2}]
{1,5,21,85,341}
Alle Elemente sind gleich lang.Fu1[1]= {1,1}, Ful 5= {5,1} , ,nämlich 2.
Mod[85,3]=1
x = 85;y = Table[l/3 [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], {k, 2,10,2}]
{113,453,1813,7253,29013}
Alle Elemente sind gleich lang. Fu1[113]={113,85,1}, Ful[453]={453,85,1}, ,nämlich 3.
Sei k beliebig und Mod[k,3]=1. Laut Voraussetzung enthält die bezüglich k gebildete Menge Nu:
x = k;y = Table[l/3 (x2^ — 1), {j, 2,10,2}] für alle k€{1,2,3,.., k} (1)
Mit anderen Worten beschriebene Menge Nu enthält alle Folgen der Länge k€{2,3,..k}
Sei x ein Element der Länge n ,so hat
x = n-,y = Table[l/3 (x2^ — 1), {j, 2,10,2}] ,die Länge n+1.
Die getroffenen Aussagen folgen per Defination.
References
1. Some Observations on the 3x+1
Problem Dhananjay P. Mehendale
Sir Parashurambhau College, Tilak Road, Pune-411030,
India
2. Solution to the 3x+1
Problem Charles Cadogan
[...]
- Citation du texte
- Klaus Behmler (Auteur), 2015, Eine Lösung für das 3x+1 Problem, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/305524