Die Mathematik der Sekundarstufe II zusammengefasst

Resumen , 2013 , 37 Páginas , Calificación: 2,0

Aprendiendo materiales - Matemáticas

In diesem Buch werden abiturrelevante Themen der Mathematik aufgegriffen und es wird versucht, sie so einfach wie möglich zu erklären. Außerdem werden Verfahren und Algorithmen zur Lösung von Formeln dargestellt. Dieses Buch kann zur Abiturvorbereitung oder auch zur Vorbereitung auf ein etwaiges Studium verwendet werden.
Da das Abitur des Weiteren heutzutage größtenteils darauf ausgelegt ist, mit einem Taschenrechner gelöst zu werden, werden in diesem Buch parallel zur Erklärung der mathematischen Themen auch die grundlegenden Funktionen eines graphischen Taschenrechners erklärt, sodass dieser anschließend zur Lösung von Problemen verwendet werden kann.

Inhaltsverzeichnis

1 Vorwort

2 Rückblick auf die Sekundarstufe I
2.1 Funktionen
2.2 Polynomdivision
2.3 Grenzwertberechnung
2.4 Arithmetische Zusammenhänge

3 Analysis
3.1 Wachstums- und Zerfallsprozesse
3.2 Trigonometrie
3.3 Regression
3.4 Differentialrechnung
3.5 Funktionsuntersuchung
3.6 Funktionsscharen
3.7 Integralrechnung
3.8 Extremwertprobleme

4 Lineare Algebra
4.1 Lineare Gleichungssysteme
4.2 Vektoren
4.3 Ebenen
4.4 Abstandsbestimmung
4.5 Kreise und Kugeln
4.6 Matrizen
4.7 Vektorräume

5 Stochastik
5.1 Statistik
5.2 Kombinatorik
5.3 Mehrstufige Zufallsexperimente
5.4 Bernoulli-Verteilung
5.5 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
5.6 Satz von Bayes
5.7 Konfidenzintervalle
5.8 Hypothesentests

Vorwort

Zuerst ist zu sagen: Dieses Buch richtet sich an Personen, die ein grundsätzliches Verständnis für die Themen mitbringen, die im Abitur drankommen, aber vielleicht noch eine kleine Auffrischung brauchen. Ziel dieses Buches ist es nun, abiturrelevante Themen aufzugreifen und sie so einfach wie nur möglich zu erklären und ist als Vorbereitung für das Abitur und auch als Auffrischung für ein etwaiges Studium in dieser Richtung gedacht. Da ich nun nur begrenzte Materialien zur Verfügung habe und selbst die Qualifikationsphase der Oberstufe besuche, kann ich nicht für die Vollständigkeit dieses Buches garantieren, ich habe mich jedoch am Lehrplan des hessischen Kultusministeriums für das Jahr 2013 orientiert und alle Themen abgedeckt, die dort vorkamen.

Weiterhin ist wohl gerade der Fakt, dass ich noch ein Schüler bin, von Vorteil, weil ich so in der Lage bin, die Komplexität der Themen so niedrig wie möglich zu halten, sodass das Niveau verständlich bleibt und nicht, wie in einer Doktorarbeit für den Durchschnittsbürger so unverständlich wie eine fremde Sprache ist. In diesem Sinne werde ich zu Beginn dieses Buches auch noch einmal ein paar Themen aus der Sekundarstufe I Revue passieren lassen, die einigen vielleicht nicht mehr ganz so präsent sind. Schließlich werde ich dieses Buch auch selbst zur Abiturvorbereitung benutzen und so denke ich, dass der Inhalt dieses Buches so vertrauenswürdig, wie ich selbst in dem Fach Mathematik bin, ist. Es bleibt jedoch natürlich die Entscheidung des Lesers, inwiefern das der Fall ist.

Das Abitur ist in den heutigen Zeiten größtenteils darauf ausgelegt, dass man es mit dem grafischen Taschenrechner lösen kann. Ich werde deshalb ein besonderes Augenmerk auf die Erklärung der verschiedenen Funktionen des GTR legen. Was ist aber nun noch wichtig im Abitur, wenn der Taschenrechner alles für uns erledigt? Es wird darauf geachtet, dass der Rechenweg stimmig aufgeschrieben ist, oder, wenn der Taschenrechner (wie z.B. bei einem Integral alles rechnet), wieso dieser Ansatz gewählt wurde und was dahinter steckt. Ich werde im weiteren Verlauf des Buches versuchen, diese Fragen zu klären, warum einige Formeln da sind, was ihre Bedeutungen sind und wie man sie anwendet.

Was sich nun noch sagen lässt, ist, dass ich den Lesern dieser Lektüre viel Glück bei ihrer Abiturvorbereitung und beim Abitur selbst wünsche, aber Achtung: das Lesen dieses Buches garantiert nicht das Bestehen des Abiturs! Deshalb stehe ich für etwaige Fragen bezüglich dem Buch selbstverständlich zur Verfügung.

Analog zum Buch habe ich folgende Materialien verwendet:

- Grafischer Taschenrechner: „CASIO fx-9860G Slim“
- Formelsammlung: „Das große Tafelwerk interaktiv. Formelsammlung für die Sekundarstufe I und II“
- Lehrbuch: „Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien. Gesamtband Oberstufe“
- Grafisches Programm: „Graph“ zum Zeichnen von Funktionen
- Grafisches Programm: „Paint.Net“ zum Bearbeiten von den Funktionen und Bildern
- Formelwerkzeug: „OpenOffice.org Formeleditor“

Rückblick auf die Sekundarstufe I

1 Funktionen

Eine Funktion ist sozusagen eine Rechenvorschrift, die jedem Wert, den man in sie einsetzt („x“), genau einen Wert der Zielmenge zuordnet ( „f(x)“ ). Diese beiden Werte nennt man Variablen, da sie, je nachdem welchen Wert man für eine von ihnen einsetzt, unterschiedliche Werte für den jeweils anderen ausgeben, also in ihrem Ergebnis variabel sind. In diesem Zusammenhang heißt die Menge aller Zahlen, die eingesetzt werden dürfen, Definitionsbereich und die Menge aller Zahlen die dadurch entstehen können Wertemenge.

Bei einer Funktion wird nun einem x-Wert genau ein y-Wert zugewiesen und eine Rechenvorschrift dazu formuliert. Eine solche Rechenvorschrift könnte y = 2x + 1 oder auch y = 0,5x² heißen. Diese Funktionen lassen sich dann grafisch darstellen und bilden beispielsweise eine Gerade, da bei einer Geraden jedem nur möglichen x-Wert, der eingesetzt werden könnte, ein Funktionswert y zugeordnet wird. Wie zeichnen wir diesen Zusammenhang aber nun ein? Bei einer Geraden brauchen wir zum Beispiel nur 2 Punkte (da wir 2 zu berechnende Werte [m und c] haben), damit sie eindeutig bestimmt ist, also nur eine Gerade in dieser Form existiert, die die beiden Punkte (Punkt: Eine Zuordnung von einem bestimmtem x zu y in der Form (x|y) ) enthält. Die folgende Grafik zeigt das:

Anmerkung: Jede Funktion wird in ein sogenanntes Koordinatensystem eingetragen, das aus einer x- und einer y-Achse besteht. Dadurch kann man einen bestimmten Punkt der Funktion besser ablesen und auch eintragen. Die Skalierung Koordinatensystem sollte so gewählt sein, dass man die wichtigen Teile der Funktion erkennen kann, also die Teile, auf die man aufmerksam machen will.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wir wissen nun, dass jede Gerade eine Funktionsvorschrift

(Rechenvorschrift; wenn man x einsetzt, kommt y raus) der Form f(x) = y = mx + c besitzt. „m“ beschreibt hier, wie stark die Funktion steigt (ist m=2, so verdoppelt sich der y-Wert mit einem x, das um 1 größer wird), während c beschreibt, in welchem Punkt die Funktion die y-Achse schneidet (y-Achsenabschnitt). Haben wir nun zwei Punkte gegeben, so können wir die Funktion ausrechnen, die zu ihnen gehört. Dazu benutzen wir zuerst die Punktsteigungsform (für die Berechnung der Steigung einer Geraden) und setzen in einem letzten Schritt noch einmal den Punkt ein, um den y-Achsenabschnitt zu erhalten. Merke: Der 1. Wert in der Klammer ist gleich dem x, das man einsetzt, und der zweite Wert ist das y, das am Ende rauskommt. Ein Beispiel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Länge eines Teilstücks einer Geraden (eine Strecke) bestimmt man mit dem Satz des Pythagoras, indem man den Anfang der Strecke auf den Ursprung (0|0) verschiebt (durch yp1 - yp0 und xp1 - xp0; man rechnet praktisch Punkt1-Punkt2 und erhält so den neuen Endpunkt der Strecke) und dann die Wurzel aus der Summe der Quadrate von x- bzw. y-Wert des Endpunktes zieht. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine weitere Art der Funktionen ist die sogenannte quadratische Funktion. Sie ordnet einem y-Wert einen x-Wert zu, der mit sich selbst multipliziert (also quadriert; x²) wird. Sie tritt als Funktionsvorschrift in der Form Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (b und c können hierbei gleich null sein, sodass das Element wegfällt) auf. Eine solche Funktion sähe beispielsweise wie rechts unten dargestellt aus.

Um die Funktionsvorschrift dieses Graphen eindeutig zu bestimmen, braucht man nun 3 Punkte, da es 3 zu berechnende Werte (a, b und c) gibt. Durch geschicktes Einsetzen der drei Punkte erhält man die Funktion. Der folgende Ansatz ist ein Beispiel dafür:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Jetzt ist es so, dass man in manchen Aufgaben bestimmen, muss, wo die sogenannten Nullstellen einer Funktion liegen, also die Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse. Dafür sollte man wissen, dass der Wert von „y“ auf der x-Achse gleich 0 ist. Wir müssen dementsprechend nur für y 0 einsetzen. Dazu ein Beispiel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mittels der sogenannten abc-Formel lässt sich so eine Nullstelle einer quadratischen Funktion der Form Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten berechnen. Sie ist rechts dargestellt. Für höhere Funktionsgrade (Wert der höchsten Potenz) existiert so eine Formel leider entweder nicht oder ist zu kompliziert.

Bis zum Grad 6 haben wir jedoch die Möglichkeit, den GTR dafür zu benutzen (Grad 3, falls er nicht geupdated ist). Dazu gehen wir ins „EQUA“ Menü und wählen anschließend „Polynomgleichung“ (F2) aus. Nun können wir den gewünschten Grad auswählen und daraufhin die Gleichung eingeben, für die die Nullstellen berechnet werden sollen.

2 Polynomdivision

Nun kann es aber passieren, dass wir es mit Gleichungen zu tun bekommen, die für unseren Taschenrechner einen zu großen Grad haben, oder es einfach zu lange dauern würde, sie in den GTR einzutragen. In diesem Fall kommt das Wissen um sogenannte ganzrationale Funktionen (Funktionen des Grades n der Form Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ins Spiel, nämlich dass jede Einzelne von Ihnen - sofern sie Nullstellen besitzt - in der Form Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Nullstelle})*(Rest) geschrieben werden können und so die Nullstellen deutlich werden.

Dazu muss man am Anfang die erste Nullstelle jedoch „raten“. Häufig wird dazu die 0, 1 oder 2 genommen. Ein Beispiel dazu:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die nun entstandene Funktion heißt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten . Die restlichen Nullstellen können wir dann mit der gerade gelernten abc-Formel bestimmen, sodass wir auf die Funktion Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten kommen. In dieser Form lassen sich die Nullstellen der Funktion einfach ablesen und sie ist einfacher zu handhaben.

3 Grenzwertberechnung

Der Grenzwert (Limes) einer Funktion bezeichnet den Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Existiert dieser Grenzwert, so bezeichnet man die Funktion als konvergent, existiert er jedoch nicht (Zum Beispiel, weil es sich um eine Polstelle handelt), heißt die Funktion divergent. Zumeist wird nun betrachtet, wie sich die Funktion verhält, je näher sie dem Wert kommt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ein Beispiel für die Notation: würde bedeuten, dass, je näher x Unendlich kommt, desto mehr nähert sich der Funktionswert 0 an.

Man kann aber auch zum Beispiel den Grenzwert für ein x bilden, das zum Beispiel gegen 5, gegen 0 oder gegen irgendeine reelle Zahl strebt. Dazu ein Beispiel der Berechnung:

Wir sehen: praktisch setzen wir nur den Wert, gegen den x strebt, in die Funktion ein. Der große Vorteil, den uns das ganze bietet ist jedoch, dass wir eigentlich unmögliche Funktionswerte wie zum Beispiel Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bestimmen können.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

4 Arithmetische Zusammenhänge

Summen

Oftmals versuchen wir, Zahlenfolgen (Hier eine Summe) als vereinfachte und verkürzte Formel darzustellen. So hat sich das sogenannte Summenzeichen entwickelt, welches, wie es schon sagt, eine Summe, die eine bestimmte Regel befolgt, darstellt. Im Beispiel rechts ist die Zählvariable (die alle Werte der Summe nacheinander annimmt) „i“, der Startwert 1 (muss eine natürliche Zahl sein) und der Endwert n (wobei n eine natürliche Zahl und kein Platzhalter sein muss).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit dem Taschenrechner kann man auf dieses Summensymbol über das „RUN-MAT“ Menü zugreifen, indem man „OPTN“ „CALC“ (F4) F6 „E(“ (F3) drückt. Unten kann man die Variable und den Startwert eingeben und oben den Endwert. Danach gibt man ein, für welchen Term man eine Summe bilden will (der Startwert muss enthalten sein.

Produkte

Genauso wie bei Summen kann man auch ein Produkt verkürzen. Dies wird analog zur Summe aufgeschrieben und zwar so:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Potenzen

Hierfür gibt es zwar keine Kurzfassung, es gibt aber sehr wohl Regeln zum Rechnen mit Hochzahlen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Analysis

1 Exponentielle Funktionen

Wachstums- oder Zerfallsprozesse können durch sogenannte exponentielle Funktionen dargestellt werden und sehen als Funktion wie folgt aus:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hierbei ist G0 der Startwert der Funktion, also der Wert bei f(0). Der Wachstumsfaktor a beschreibt, in welchem Maß sich die Funktion vergrößert - beziehungsweise verkleinert - und wird in der Form (1+p) dargestellt, wobei p der prozentuale Wachstum pro Zeiteinheit t ist. Verdoppelt sich die Funktion also in einer Zeiteinheit, so wäre a gleich 2. Halbiert sich die Funktion in einer Zeiteinheit ist a gleich 0,5 und so weiter. Graphisch sähe das ganze so aus:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es wird deutlich, welche Folgen eine Änderung hat. G0 ändert so zum Beispiel nicht nur den Startwert, sondern lässt die Funktion allgemein stärker steigen (Vergleich f(x) und g(x)). Die Funktion h(x) deutet einen Zerfallsprozess an, sie steigt also überhaupt nicht, sondern wird immer kleiner.

Will man nun die Funktion eine exponentiell steigenden Graphen bestimmen, setzt man einen gegebenen Punkt zunächst in die allgemeine Funktion ein (s.o.) und stellt so einen Parameter in Abhängigkeit von dem anderen dar. Anschließend setzt man diese Abhängigkeit und den anderen Punkt wieder in die allgemeine Funktion ein und schon hat man die Parameter - und so die Funktionsvorschrift - bestimmt.

Wenn wir nun aber zum Beispiel die Zeit ausrechnen möchten, nach der die Funktion einen bestimmten Wert erreicht, stehen wir vor einem Problem: Wie holen wir das x in der Potenz nach unten? Die x-te Wurzel zu ziehen würde hier kaum Sinn machen, also müssen wir die Umkehrfunktion nehmen, den Logarithmus. Die Umrechnungsgesetze dafür lauten wie folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

So können wir zum Beispiel die Verdopplungszeit einer Exponentialfunktion berechnen: Sie ist gegeben durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Analog dazu lässt sich die Halbwertszeit (Die Zeit, in der sich die Funktion halbiert) berechnen, indem man anstatt der 2 eine 0,5 einsetzt.

Weitere Gesetze zum Rechnen mit Logarithmen finden sich auf Seite 20 der Formelsammlung „ Das große Tafelwerk für die Sekundarstufe I und II “. Diese Gesetze finden jedoch im Analysisteil im Abitur kaum Anwendung.

Eine weitere Form der Exponentialfunktion ist die sogenannte logistische Funktion. Eine typische logistische Funktion könnte so aussehen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Funktion wird oftmals in Abiturvorschlägen zur Beschreibung von realen Sachverhalten (wie dem Wachstum der Energie-Nennleistung) verwendet. Da sie sich, anstatt bis ins Unendliche weiter zu steigen, an einen bestimmten Wert, den sogenannten Sättigungswert, annähert, scheint sie dafür in einem besonderen Maße geeignet.

2 Trigonometrie

Sogenannte trigonometrische Funktionen beschreiben die rechnerischen Zusammenhänge zwischen Winkel- und Seitenverhältnissen eines Dreiecks.

Der Einheitskreis an der rechten Seite beschreibt diesen Zusammenhang gut. Der Einfachheit halber ist hier ein rechtwinkliges Dreieck gegeben (90° Winkel über x). Die Dreiecks- seite, die an den Winkel anliegt, heißt Ankathete „ A“, die Dreiecksseite gegenüber dem Winkel heißt Gegenkathete „G“ und die längste Seite des Dreiecks Hypothenuse „H“. Daraus ergeben sich die folgenden Beziehungen zwischen den Seiten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit dem Satz des Pythagoras [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] lässt sich im Falle eines Einheitskreises die Beziehung cos² + sin² = 1 herstellen. Merke: All diese Regeln gelten nur, wenn das Dreieck einen rechten Winkel hat.

Im GTR rechnet man mit diesen Funktionen in Radianten (Zum Einstellen im GTR: Im „Run-Math“ Menü auf Shift+Menu drücken, danach bei dem Unterpunkt „Angle“ auf „Rad“ stellen; zum Rechnen mit Gradzahlen einfach zurück auf „Deg“ stellen). Hierbei ist zum Beispiel 2 gleich 360°, 0,5 sind 90° und so weiter. Es gilt zum Beispiel: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

3 Regression

Beim Betrachten von Messwerten möchte man manchmal eine Annäherungskurve erstellen, die die Messreihe möglichst genau widerspiegelt. Eine Möglichkeit dazu ist, die Punkte, die man zuvor in ein Koordinatensystem eingetragen hat, durch eine Kurve frei Hand zu verbinden. Hier sollte jedem bewusst sein, dass diese Möglichkeit sehr ungenau ist.

Wir haben aber noch eine andere Möglichkeit, Regressionen (Kurvenannäherungen) durchzuführen: Im GTR kann man im STAT-Menü in „List 1“ die gegebenen x-Werte eintragen und in „List 2“ die dazu gehörenden y-Werte. Mit einem Klick auf „GRPH“ (F1) und dann auf „GPH1“ (F1) kann man sich die so erstellte Wertetabelle in einem Koordinatensystem anzeigen lassen, um schon einmal zu schauen, welche Funktionen für die Punkte aussagekräftig sein könnten. Hat man sich nun entschieden, kann man mit „CALC“ (F2) „REG“ (F3) diverse Funktionsarten aussuchen, die auf die Punkte gelegt werden sollen. Wir wählen hier die Funktion aus, die wir uns gerade ausgesucht haben, zum Beispiel eine lineare Funktion („x“). Mit F6 EXE können wir diese Funktion in den Grafikmodus des GTR kopieren. Um zu bewerten, wie gut die eben erstellte Funktion die Punkte widerspiegelt, muss man sich im vorigen Menü den Unterpunkt „r² “ anschauen, welcher ein Maß für die Güte der Näherung ist. Je näher dieser Wert an die 1 kommt, umso besser ist die Näherung!

Natürlich könnte man auch die Funktion an sich über die Punkte legen (Man lässt sich die Punkte in ein Koordinatensystem zeichnen (s.o.) und drückt dann auf „CALC“ (F1) und auf die gewünschte Regressionsform) und dann schauen, wie gut die Funktion zu den vorhandenen Punkten passt und inwiefern sie als eine Voraussage über die Zukunft geeignet ist.

Aufgabenstellung, die die Beurteilung der Passgenauigkeit einer Funktion beinhalten sind abiturtypisch.

4 Differentialrechnung

Das Differenzieren (oder einfach Ableiten) stellt einen Hauptaspekt der Analysis dar. Die erste Ableitung f '(x) stellt hierbei die Steigung der Funktion f(x) in jedem Punkt x0 dar, zieht theoretisch also eine Gerade, die die gleiche Steigung hat, wie die Funktion in einem bestimmten Punkt (Tangente) und berechnet dann ihre Steigung. So kann man beispielsweise lokale Maxima finden (Ein Punkt, in welchem die Funktion ihren zunächst größten Wert erreicht und unmittelbar rechts und links von diesem Wert die Werte, die f(x) annimmt kleiner als der Hochpunkt - bzw. größer als ein Tiefpunkt - sind), indem man guckt, wo die Steigung der Funktion gleich 0 ist. In diesem Punkt wären die Werte, die f(x) unmittelbar neben diesem Punkt einnimmt, nämlich entweder beide größer, oder beide kleiner als die Funktion in der Extremstelle (Hoch- oder Tiefpunkt).

Die Bedingung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] nennt man notwendige Bedingung, da ohne sie eine Extremstelle gar nicht erst in Betracht käme. Um zu beweisen, dass es sich bei dem untersuchten Punkt wirklich um eine Extremstelle handelt, muss man gucken, ob die zweite Ableitung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist, um beispielsweise auszuschließen, dass die erste Ableitung durchgängig gleich null ist. Diese Prämisse nennt man hinreichende Bedingung. Man kann durch sie aber noch mehr sagen: ist f ''(x0) größer 0, so handelt es sich um einen Tiefpunkt, ist f ''(x0) kleiner 0, so ist die Stelle ein Hochpunkt.

Nochmal in kurz: notwendig für eine Extremstelle ist es, dass [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], hinreichend ist es, dass [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Grafisch würde die erste Ableitung einer Funktion f(x) womöglich so aussehen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der schwarze Graph ist hierbei die eigentliche Funktion f(x) und die graue Kurve ist die erste Ableitung der Funktion, nämlich f '(x).

An den Punkten, wo die Funktion f(x) eine Extremstelle hat, kreuzt f '(x) die x-Achse, ist also gleich 0.

Mittels dieser Ableitung kann man auch sogenannte Wendepunkte einer Funktion bestimmen, also die Punkte in denen die Steigung der Funktion ihren Extremwert erreicht. An dieser Stelle ändert die Funktion sozusagen ihre Richtung. Für einen Wendepunkt ist notwendig, dass die erste Ableitung der Funktion eine Extremstelle hat, also die zweite Ableitung gleich null ist. Dementsprechend ist für Wendepunkte hinreichend, dass die dritte Ableitung der Funktion ungleich null ist.

Nun stellt sich aber zunächst die Frage: Wie leitet man eine Funktion überhaupt ab?

Haben wir es mit einer Summe aus x-Potenzen (ganzrationale Funktion) zu tun, so ist das ganze relativ einfach mit der Potenzregel zu lösen. Für f(x) = a xn + c ist die Ableitung f '(x) = n a xn-¹. Der Exponent wird also sozusagen „runtergezogen“ und vor das Produkt gestellt. Ein konstanter Faktor (hier a) wird dabei nicht berücksichtigt. Ist ein Summand eine Konstante, so fällt sie weg.

Daraufhin wird der Exponent an sich um eins vermindert (Leitet man eine Konstante ab, so erhält man 0). Dieses Prinzip funktioniert genauso bei Funktionen, die aus Brüchen bestehen, wie [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], da man 1/x wie x -¹ betrachten kann. Die Regel behält so ihre Gültigkeit. Die Ableitung von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Generell folgen nun alle Funktionen f(x) dieser Regel, aber es gibt einige Ausnahmen: die Ableitung von sin(x) ist cos(x), wenn man e² x ableitet, erhält man 2e² x und die Ableitung von ln(x) ist 1/x. All diese Ausnahmen sind auf der Seite 55 des Tafelwerks nachzulesen.

Was machen wir nun aber, wenn wir auf eine komplexere Funktion treffen, als die eben angesprochenen, wie zum Beispiel (2x+1)¹⁷, fällt es uns schwerer, eine Ableitung nach den uns gegebenen Regeln zu finden. Dafür gibt es aber noch weitere Regeln: Die Summenregel, die Produktregel und die Quotientenregel

- Summenregel: wenn f(x) = a + b, dann ist die erste Ableitung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und b werden also, sofern sie eine Summe sind, separat abgeleitet und haben keinerlei Einfluss aufeinander.
- Produktregel: wenn wir ein Produkt f(x) = a b haben und beide Teile ein „x“ enthalten, dann ist die erste Ableitung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Man addiert also das Produkt aus der Ableitung des ersten Teils und dem zweiten Teil der Funktion mit dem Produkt aus der Ableitung des Zweiten Teils und dem ersten Teil der Funktion.
- Quotientenregel: Diese Regel baut auf der Produkt- und der Kettenregel auf, ist sozusagen eine Mischung aus beiden und ist schließlich aus ihnen herleitbar. Haben wir einen Bruch als Funktion, in welchem sowohl der Zähler als auch der Nenner „x“ enthalten, so kommt diese Regel zum Tragen: Ist [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Jetzt, wo wir wissen, wir man händisch ableitet, wäre es doch praktisch zu wissen, wie und ob das auch mit dem GTR geht. Generell haben wir dazu zwei Möglichkeiten.

Die eine lässt uns den Graph zeichnen, die andere lässt uns einen Wert an einer bestimmten Stelle abfragen, womit ich auch beginnen möchte. Wollen wir einen ganz bestimmten Wert der 2. oder 1. Ableitung herausfinden, so gehen wir im „RUN-MAT“-Menü auf den Button „OPTN“ und dann auf „CALC“ (F4). Wollen wir die erste Ableitung einer Funktion bestimmen, wählen wir [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], suchen wir die zweite Ableitung, nehmen wir [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. In das erste quadratische, leere Kästchen können wir nun unsere Ur-Funktion f(x) eingeben, die abgeleitet werden soll und hinter dem Querstrich, nach dem „x = “ können wir den Wert eingeben, an dem f(x) abgeleitet werden soll. Wir erhalten den Wert der Ableitung bei x.

Möchten wir sehen, wie die Ableitung einer Funktion aussieht, so können wir ins Graphik-Menü des Taschenrechners wechseln. Als Y1 tragen wir nun die Funktion f(x) ein. Auch in diesem Menü können wir nun wieder über „OPTN“ „CALC“ auf die beiden Ableitungsarten zugreifen. Wenn wir eine ausgewählt haben, müssen wir nur noch „Y1“ in die Klammern eintragen, da dort unsere Funktion hinterlegt ist. Nun müssen wir das ganze nur noch zeichnen lassen und wir sehen die Funktion und ihre Ableitung (Wenn man einen Graph gezeichnet hat, kann man nebenbei auch über „SHIFT“ „GSLV“ (F5) die Extremstellen der Kurve über „MAX“ bzw. „MIN“ bestimmen).

Da wir nun wissen, dass die Ableitung die Steigung im Punkt x0 angibt, können wir mittels der Ableitung nun auch die Tangente und Normale im Punkt x0 bestimmen. Dazu wenden wir die gegebene Tangentengleichung an:

Hierbei wird eine Gerade erstellt, die so verschoben wird, dass sie durch den Punkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] geht. Diese Verschiebung geschieht in der Gleichung durch Addition von x0 und y0 . Die Ableitung im Punkt x0 gibt hier die Steigung im Punkt x0 an.

Wollen wir nun eine Normale bilden (Steht senkrecht zur Tangente im Punkt x0), so müssen wir f '(x0) in der Tangentengleichung durch [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ersetzen.

[...]

• Calificación: 2,0
• Autor: Matthias Himmelmann (Autor)
• Año de publicación: 2013
• Páginas: 37
• No. de catálogo: V301639
• ISBN (Ebook): 9783956872051
• ISBN (Libro): 9783668003453
• Idioma: Alemán
• Etiqueta: Mathematik, Sekundarstufe, Oberstufe, Qualifikationsphase, Zusammenfassung, zusammengefasst