In den Ingenieurswissenschaften spielt Bauteilversagen durch Rissausbreitung eine wichtige Rolle. In der letzten Zeit bekommen Risssimulationen im Rahmen der linear-elastischen Bruchmechanik mit Hilfe der Phasenfeldmethode zunehmend Aufmerksamkeit. In der vorliegenden Arbeit wird hierzu die Variationsgleichung für spröde, quasi-statische Rissausbreitung nach BOURDIN mittels Finite Elementen Methoden umgesetzt. Die Phasenfeldmethode zeichnet sich durch einen weichen Übergang zwischen zwei Zuständen aus. Im Fall einer Risssimulation können so Grenzflächen zwischen geschädigtem und ungeschädigten Material auf einfache Art und Weise numerisch abgebildet werden. Andere Verfahren zur Repräsentation von Rissgeometrien modifizieren iterativ das zugrundeliegende FE-Netz. Alle diese Methoden bergen einen hohen, numerischen Aufwand in der automatisierten Neuvernetzung (engl. remeshing) des zu untersuchenden Gebietes. Anders verhält es sich dagegen mit der Phasenfeldmethode, die neben dem klassischen 2D- oder 3D-Verschiebungsfeld ein zweites Skalarfeld einführt. Für jeden diskreten Punkt im Raum oder in der Ebene existiert ein Schadensparameter, der getrennt von der Verschiebungsberechnung ermittelt werden kann. Somit ist eine einfache Umsetzung der Risssimulation gewährleistet.
In dieser Arbeit soll untersucht werden, inwiefern und unter welchen Bedingungen sich die Phasenfeldmethode eignet, qualitativ richtige Rissverläufe zu simulieren. Ein besonderes Augenmerk gilt den Simulationsparametern, welche die Austauschbeziehung zwischen Genauigkeit und Geschwindigkeit beeinflussen. Abgerundet wird die Arbeit von einer ausführlichen Evaluation von Benchmark-Simulationen der verschiedenen Rissöffnungsmoden und der Angabe einiger MATLAB Codes.
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Tabellenverzeichnis
Abkürzungen und Notation
1 Einleitung
1.1 Aufbau der Arbeit
1.2 Motivation und Problemstellung
2 Grundlagen
2.1 Grundlegende Aspekte der Technischen Mechanik
2.1.1 Stereo-Statik
2.1.2 Elasto-Statik
2.1.3 Werkstoffmechanik
2.2 Randwertproblem der linearen Elastizitätstheorie
2.2.1 Kinematische Gleichung
2.2.2 Lokale Impulsbilanz
2.2.3 Konstitutive Gleichung
2.2.4 Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen
2.2.5 Starke Formulierung des Randwertproblems nach Lamé-Na- vier
2.3 Technische Bruchmechanik
2.3.1 Konventionen und Definitionen
2.3.2 Linear-elastische Bruchmechanik
3 Finite-Elemente-Methoden
3.1 Variationsgleichung des Lamé-Problems
3.2 Numerische Diskretisierung eines Scheibenproblems
3.2.1 Baryzentrische Koordinaten als Formfunktionen des Dreiecks
3.2.2 Galerkin-Methode zur Approximation der Variationsglei- chung
3.2.3 Koordinatentransformation
3.2.4 Gauß-Legendre-Quadratur
3.3 Technische Umsetzung und Lösung
3.3.1 Assemblierung
3.3.2 Einarbeiten von Randbedingungen
3.3.3 Gleichungslöser
3.3.4 Post Processing
4 Phasenfeldmodell
4.1 Motivation
4.2 Historische Einordnung
4.3 Regularisierte Form der Gesamtenergie von Körpern mit Sprödrissen
4.4 Lösen der Evolutionsgleichung
4.4.1 Schwache Form der Allen-Cahn-Gleichung
4.4.2 Örtliche Diskretisierung mittels FEM
4.4.3 Zeitdiskretisierung mittels Implizit-Euler-Ansatz
5 Umsetzung der Risssimulation
5.1 Initialisierungsphase
5.2 Iteration
5.3 Varianten der Sensitivitätsanalyse
5.4 Post Processing
6 Simulationen
6.1 Benchmark Mode-I Zugversuch
6.1.1 Varianten der Kerbwirkung
6.1.2 Lasteinleitung während der Iteration
6.1.3 Vergleich der Sensitivitätsanalysen
6.1.4 Interpretation von lc
6.1.5 Einfluss der Mobilität
6.1.6 Energetische Wechselwirkung zwischen G c und u.
6.2 Schubversuch - Mode-II
6.2.1 Modellierung als Einflussfaktor
6.2.2 Versionsvergleich für Mode II
6.2.3 Messung und Interpretation des Rissfortschritts
6.3 Dreipunkt-Biegeversuch
6.3.1 Symmetrischer Versuchsaufbau
6.3.2 Asymmetrischer Versuchsaufbau
6.3.3 Variation der Lasteinleitung
6.4 Zugversuch an geschwächten Bauteilen
6.4.1 Allseitig gelagerte Platte mit Löchern .
6.4.2 Real gelagerte Platte mit Löchern
6.5 Diskussion einer Parametrisierung
7 Fazit
A Berechnungen
A.1 Bestimmung von Eigenwerten
B Programmcodes
B.1 MATLAB-Code zur Verschiebungsberechnung
B.1.1 Erstellung eines Ansatzes
B.1.2 Berechnung der Verschiebung
B.2 MATLAB-Code zur Rissanalyse
B.2.1 Masterprogramm für Parameterstudien
B.2.2 lc -Studie
B.2.3 Mobilitätsstudie
B.2.4 Rissfortschritt
B.2.5 Optimierungsproblem: Hertzsche Pressung auf einem Neu- mann-Rand
B.3 MATLAB-Code zur Visualisierung
B.3.1 Plot der Vernetzung inkl. Randbedingungen .
B.3.2 Plot der Feldvariablen
C Modelle
Abbildungsverzeichnis
1.1 Das Zugunglück von Eschede am 3. Juni 1998
1.2 Komplexer Versuchsaufbau für Statiktests am Airbus A380
2.1 Das Moment als Vektorprodukt
2.2 Spannungsvektor im Freischnitt
2.3 Normal- und Schubspannungen am Raumelement
2.4 Gleitungen am Flächenelement
2.5 Visualisierung von ESZ und EVZ nach[19]
2.6 Randwertproblem im Gebiet ? mit infinitesimal kleinem Raumele- ment
2.7 Taylor-Entwicklung am Raumelement der Dicke d x 3
2.8 Oberflächenelement mit Neumann-Rand
2.9 Spröder Bruch eines Schiffes[9]
2.10 Rissöffnungsmoden[22]
2.11 Modellproblem nach Griffith-Irwin
2.12 Visualisierung der kritischen Energiefreisetzungsrate
3.1 Lineares Dreieck
3.2 Baryzentrische Koordinaten
3.3 Visualisierung der Ansatzfunktionen linearer Dreiecke
3.4 Affine Abbildung eines Dreiecks
3.5 Rand mit linearen Ansatzfunktionen
3.6 Diskretisierung eines Gebietes
4.1 Das Phasenfeld als Konzentrationsparameter einer Legierung[1].
4.2 Diffuse Zone eines Phasenfelds
4.3 Vergleich von quartischen und quadratischen Polynomen[20]
5.1 Flussdiagramm der Risssimulation
6.1 Modell mit vorgeschriebenem Phasenfeld . .
6.2 Vergleich verschiedener Load Pattern
6.3 Reversibilität der Risssimulation
6.4 3D-Plot der Zeitreihe xZug-200-4
6.5 Vergleich der Sensitivitäten im Zugversuch .
6.6 Zusammenhang zwischen lc und Rissbreite .
6.7 Einfluss von lc auf Simulationsfehler
6.8 Präzise Approximation der diffusen Zone . .
6.9 Parameterstudie Mobilität
6.10 Parameterstudie Mobilität (Auswahl)
6.11 Wechselwirkung zwischen G c und u
6.12 Rückkehr zu Mode-1-Rissausbreitung
6.13 Version 1 unter Schubbeanspruchung
6.14 Versionsvergleich für Mode-II - Teil 1
6.15 Versionsvergleich für Mode-II - Teil 2
6.16 Versionsvergleich Mode-II für das Modell C.4
6.17 Rissfortschritt eines Schubversuchs mit u = 1 , 0 · 10?3 = const.
6.18 Rissfortschritt bei unzureichender Formänderungsenergiedichte
6.19 Spannung ? yy im Dreipunkt-Biegeversuch
6.20 Versionsvergleich Dreipunkt-Biegeversuch - Schritt 28
6.21 Elementversagen während eines Dreipunkt-Biegeversuchs
6.22 Vergleich der Simulationsergebnisse mit Miehe[28]
6.23 Variierende Risspfade
6.24 Hertzsche Pressung auf einem Neumann-Rand
6.25 Geschwächter Zugversuch - allseitige Lagerung - Schritt 101
6.26 Geschwächter Zugversuch - Vernetzung der Lochkontur
6.27 Anrissbildung - Zeitschritt 2 bis 7
6.28 Brucharten nach[4]
6.29 Realer Zugversuch mit Scherbruch[31]
6.30 Geschwächter Zugversuch - ? yy und ?
6.31 Geschwächter Zugversuch - Zeitstudie
6.32 Geschwächter Zugversuch - Versionsvergleich
7.1 Der Spaltzugversuch nach[23]
7.2 Risswachstum an einer Pore
7.3 Erste Simulationsergebnisse für den Spaltzugversuch
B.1 GUI des Masterprogramms Parameterstudie.m
C.1 Modell: xZug-50-4 (analog xZug-100-4 xZug-200-4)
C.2 Modell xZug-Diag-33k
C.3 Modell xSchub-100-4 oben
C.4 Modell xSchub-100-4 oben und unten
C.5 Modell xSchub-50k 1:2 leichte Lagerung
C.6 Modell xSchub-100k 1:2 Loslagerung
C.7 Modelle Dreipunktbiegeversuch (3PBV)
C.8 Modell xTens Notched all-x 100k
C.9 Modell xTens Notched 100k
Tabellenverzeichnis
2.1 Klassifizierung der Technischen Mechanik nach[24]
2.2 Lagerungsarten
2.3 Materialdaten von Stahl[24] und Beton [25]
2.4 Vereinfachungen des Lamé-Problems
3.1 Ansatzfunktionen und deren partielle Ableitungen
3.2 Koinzidenz
5.1 Variable Simulationsparameter
5.2 Programmversionen der Sensibilitätsanalyse
6.1 Konsistente Einheiten im Vergleich mit dem SI-System
Abkürzungen und Notation
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
1 Einleitung
1.1 Aufbau der Arbeit
Die vorliegende Arbeit ist in sieben Kapitel unterteilt. Nach einer Motivation wird der Leser im zweiten Kapitel in die grundlegenden Prinzipien der Technischen Mechanik eingeführt. Dazu gehören die Teilbereiche der Statik, Elastostatik und der Werkstoffmechanik. Auf diesen Grundlagen aufbauend wird das Problem der linear-elastischen Mechanik vorgestellt: das Randwertproblem (RWP) nach Lamé- Navier. In den durchzuführenden Simulationen wird ein zweidimensionales Gebiet untersucht, dessen mechanisches Verhalten mit Hilfe des RWP beschrieben wird. Eine Einführung in die linear-elastische Bruchmechanik (LEBM) rundet dieses Ka- pitel ab. Das Randwertproblem wird mit einer etablierten Näherungsmethode, der Finiten Elemente Methode, numerisch approximiert. Ihre Vorstellung erfolgt im dritten Kapitel. Dazu wird sowohl die Diskretisierung des zu untersuchenden Ge- bietes mit Hilfe linearer Dreiecke formal hergeleitet, als auch die Umsetzung in der Programmierumgebung Matlab anschaulich durchgeführt. Risse werden mittels der Variationsgleichung für spröde Rissausbreitung nach Bourdin, Francfort und Marigo modelliert. Zur Abbildung der Risse wird die Phasenfeldmethode (PFM) verwendet, die im vierten Kapitel eingeführt wird. Neben einer kurzen Einordnung der Methode wird ebenfalls deren numerische Umsetzung hergeleitet. Als treibende Kraft für Rissausbreitung wird im fünften Kapitel die Formände- rungsenergiedichte ? aufgegriffen. Eine Kernfrage lautet: Welche Anteile eines lokalen Beanspruchungszustands bewirken Rissausbreitung? Daher werden fünf Varianten zur Berechnung von rissauslösender Formänderungsenergiedichte un- terschieden. Dazu gehören überwiegend Konzepte nach Miehe[28] und Wein- berg. Diese Varianten der sogenannten Sensitivitätsanalyse werden anschließend im sechsten Kapitel in ausführlichen Benchmarks auf ihre Leistungsfähigkeit un- tersucht. Zahlreiche Studien evaluieren den Einfluss einzelner Parameter auf das Simulationsergebnis. Ebenso wird ihre Wechselwirkung untersucht. Die Ergebnisse standardisierter Versuche wie Mode-I-Zugversuch, Mode-II-Scherversuch und der Dreipunkt-Biegeversuch werden mit Referenzlösungen verglichen. Zudem wird die Leistungsfähigkeit des Verfahrens in einem Zugversuch an porösen Bauteilen demonstriert werden. Abschließend folgt eine Zusammenfassung und ein Ausblick auf weiterführende Arbeiten. Eine Auswahl von Programmcodes, Simulationsergebnissen und Modellen ist im Anhang zu finden.
1.2 Motivation und Problemstellung
In den Ingenieurswissenschaften spielt Bauteilversagen durch Rissausbreitung ei- ne wichtige Rolle. In der nahen Vergangenheit bleibt z.B. das Zugunglück von Eschede ein Beispiel für die Folgen von Materialversagen. Damals löste ein defek-
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
(a) Unglücksstelle[32]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
(b) Radsatz[10]
Abbildung 1.1: Das Zugunglück von Eschede am 3. Juni 1998
ter Radsatz einer neuartigen Konstruktion aus einer Stahl-Elastomer-Kombination das Unglück aus (vgl. Abb. 1.1b). Durch einen spontanen Riss im Radreifen löste sich der Mantel vom Radsatz. Spätere Untersuchungen der Unfallursache erga- ben, dass sich im Innenbereich der Radreifen feinste Risse gebildet hatten. Diese Stellen konnten jedoch mit konventioneller Messtechnik nicht auf Schädigungen untersucht werden[33].
Die Entwicklung und Konstruktion von technisch sicheren Maschinen und An- lagen ist eine der bedeutenden Herausforderung für das Ingenieurwesen. Zuver- lässigkeit und Lebensdauer werden dabei durch bruchmechanische Versagensarten bestimmt, welche es mit höchster Präzision zu vorhersagen gilt. Dabei nehmen computergestützte Simulationen von realen Versuchen eine immer wichtigere Rol- le ein. Generell gibt es mehrere Gründe für den Einsatz von Simulationen. Das Zugunglück von Eschede zeigt, dass sich manche realen Systeme nicht direkt beob- achten lassen. Rissausbreitung im fertigen Bauteil ist häufig nur schwer von außen zu untersuchen. Außerdem ist es beispielsweise möglich, kritische Versagensszenari- en, wie den Triebwerksausfall eines Flugzeugs oder Crashtests zu simulieren. Diese Art von Versuchen ist unter realen Bedingungen zu aufwändig oder zu gefähr- lich. Manche Untersuchungen sind zudem betriebswirtschaftlich nicht vertretbar, sodass die Anzahl realer Versuche auf ein Minimum reduziert werden muss. Exem- plarisch betrachtet man den Stresstest von Flugzeugflügeln. Diese werden in einem aufwändigen und kostspieligen Versuchsstand einmalig mit 150% der Maximallast beaufschlagt. Allerdings brach Anfang 2006 der Flügel des neuen Airbus A380 bereits bei 145% und verfehlte damit knapp die Vorgaben der Flugaufsicht[26]. Da seitens des Konsortiums EADS die Statiktests trotzdem für beendet erklärt wurden, zog man in Erwägung, mit Simulationen und einfachen Materialtests das Erreichen der Vorgaben nachzuweisen. Besonders mit Blick auf die Auslieferungs- termine und empfindliche Schadensersatzzahlungen bei Verzögerungen, sah man sich zu diesem Schritt gezwungen[26]. Dieses Beispiel zeigt, dass durch Simu- lationen durchaus Entwicklungszeiten und -kosten sowie Qualitätsprüfungs- und Wartungsaufwendungen minimiert werden können. Als Fernziel könnten für nicht sicherheitsrelevante Bauteile aufwändige und teure Versuchsstände vollständig er- setzt werden.
Auch im Detail können computergestützte Berechnungen neue Erkenntnisse über das Verhalten von Rissen beitragen. Eine zentrale Fragestellung zur Rissentstehung lautet, wann und unter welcher Beanspruchung ein Riss überhaupt entsteht. In ei- ner Simulation können unzählige Risshypothesen aufgestellt werden. Anschließend können die berechneten Rissgeometrien mit realen Verläufen verglichen werden.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
(a) Versuchshalle in Dresden[43]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
(b) Arbeiter am Versuchsstand[44]
Abbildung 1.2: Komplexer Versuchsaufbau für Statiktests am Airbus A380
Somit gibt es eine direkte Rückmeldung, ob eine Hypothese plausibel ist. Zudem können vor allem in Studien mit vielen Parameterkonstellationen vereinfacht und günstig Rissverläufe untersucht werden. Mit Blick auf Materialparameter, Bauteilgeometrie und äußere Belastungen können Simulationen einfacher modifiziert werden, als es beispielsweise bei individualisierten Versuchsständen möglich ist. Zudem sind die simulierten Ergebnisse reproduzierbar.
In der letzten Zeit bekommen Risssimulationen im Rahmen der LEBM mit Hilfe der Phasenfeldmethode zunehmend Aufmerksamkeit. In der vorliegenden Arbeit wird hierzu die Variationsgleichung für spröde, quasi-statische Rissausbreitung nach Bourdin mittels Finite Elementen (FE) und PFM umgesetzt. Die PFM zeichnet sich durch einen weichen Übergang zwischen zwei Zuständen aus. Im Fall einer Risssimulation können so Grenzflächen zwischen geschädigtem und ungeschä- digten Material auf einfache Art und Weise numerisch abgebildet werden. Andere Verfahren zur Repräsentation von Rissgeometrien modifizieren iterativ das zugrun- deliegende FE-Netz. Dazu werden beispielsweise in[7] kohäsive Gleitelemente in die Netzstruktur eingearbeitet. Alle diese Methoden bergen einen hohen, nume- rischen Aufwand in der automatisierten Neuvernetzung (engl. remeshing) des zu untersuchenden Gebietes. Anders verhält es sich dagegen mit der Phasenfeldme- thode, die neben dem klassischen 2D- oder 3D-Verschiebungsfeld ein zweites Ska- larfeld einführt. Für jeden diskreten Punkt im Raum oder in der Ebene existiert ein Schadensparameter, der getrennt von der Verschiebungsberechnung ermittelt werden kann. Somit ist eine einfache Umsetzung der Risssimulation gewährleistet.
Alsbald man Versuche der Realität nachbilden möchte, ist zu beachten, dass Simu- lationen eine sinnvolle Modellbildung benötigen. Die Reproduktion von komplexen Zusammenhängen verlangt meistens eine Vereinfachung. Ein hohes Maß an Simpli- fizierung birgt hohe Möglichkeiten der Effizienzsteigerung. Für einen Ingenieur ist hierbei die höhere Simulationsgeschwindigkeit von besonderem Interesse. Dennoch befindet man sich in einer Austauschbeziehung mit der Präzision einer Simulation. Daher soll in dieser Arbeit untersucht werden, inwiefern und unter welchen Be- dingungen sich die PFM eignet, qualitativ richtige Rissverläufe zu simulieren. Ein besonderes Augenmerk gilt den Simulationsparametern, welche die Austauschbe- ziehung zwischen Genauigkeit und Geschwindigkeit beeinflussen.
Fasst man alle oben genannten Aspekte zusammen, zeigt sich, dass die FEM Berechnung der Rissausbreitung mittels Phasenfeldmethode nicht nur wissenschaftlich relevant ist, sondern auch für die Maschinenbauindustrie und die Sicherheit der technischen Hilfsmittel in unserer Gesellschaft von Interesse und daher einer genaueren Betrachtung würdig ist.
2 Grundlagen
2.1 Grundlegende Aspekte der Technischen Mechanik
Die Technische Mechanik gehört zu den Grundlagen der Ingenieurwissenschaften. István Szabó definiert die Mechanik in seinem Grundlagenwerk „Einführung in die Technische Mechanik“ wie folgt[35]:
Die Mechanik hat die Aufgabe, die in der Natur vorkommenden Be- wegungen zu untersuchen, d.h. diese Bewegungen durch physikalisch - direkt oder indirekt - meßbare Gr öß en in der Sprache der Mathematik, zu der wir auch die Geometrie rechnen wollen, zu beschreiben.
Die gesammelten Erkenntnisse der vergangenen Jahrhunderte wurden in Theorien zusammengefasst, die dem Ingenieur von heute als Werkzeuge bei der Beschreibung und Berechnung seiner technischen Umwelt zur Verfügung stehen. Eine Theorie ist als Abbild der Wirklichkeit zu verstehen, wobei sie durch Vereinfachungen und Idealisierungen so gut wie möglich allgemeingültig gemacht wird. Damit ist ein weiterer, wichtiger Aspekt der Technischen Mechanik angesprochen, die Modell- bildung. Nach Hertz sollen Modelle logisch, zulässig, richtig und zugleich einfach und mathematisch erfassbar sein[30].
In der Technischen Mechanik werden häufig fünf Disziplinen klassifiziert. Die Auf- teilung in Tabelle 2.1 ist angelehnt an Magnus[24]. Für die vorliegende Arbeit ist sowohl die Stereo- als auch die Elasto-Statik von vorrangiger Bedeutung, deren fundamentale Erkenntnisse in diesem Kapitel zusammengefasst sind. Es werden demnach Körper betrachtet, welche im Raum eine fixe Position besitzen (als Ab- grenzung zum Teilbereich der Dynamik, wo zusätzlich Bewegungen zulässig sind).
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Tabelle 2.1: Klassifizierung der Technischen Mechanik nach[24]
Außerdem sind ihre Verformungen klein im Verhältnis zu ihren Bauteilabmessun- gen.
2.1.1 Stereo-Statik
Die Stereo-Statik ist die Lehre vom Gleichgewicht der Kräfte und Momente am ruhenden Körper, ohne dass dieser sich durch die Belastung verformt. Dies ist ein Idealzustand, der dennoch durch seine Einfachheit von großem Nutzen ist[35]. Die zentralen Zusammenhänge wurden schon sehr früh in der Geschichte von Galilei, Kepler, Huyghens und Newton festgehalten. Der Letztgenannte fasste sie zu den heute bekannten Newtonschen Axiomen zusammen[29]:
Definition 2.1 (Lex Prima - Inertialgesetz). Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, sofern er nicht durch einwirkende Kräfte zur Ä nderung seines Zustands gezwungen wird.
Das Gesetz sagt aus, dass Körper sich nur einer Bewegungsänderung unterziehen, wenn Kräfte auf sie einwirken. Zudem enthält es den Grundsatz des Gleichgewichts der Kräfte und Momente im Sonderfall des Ruhezustands. Um diesen Zusammenhang besser zu verstehen, müssen aber zunächst die Begriffe der Kräfte und Momente präzisiert und klassifiziert werden.
Die erste, wichtige Größe der Mechanik ist die Kraft. Ihre Wirkung kann man jederzeit im Alltag, zum Beispiel beim Anheben eines Buches erfahren, da es der Erdbeschleunigung (g ? 9 , 81 m s ?[2], vgl. Gl. 2.3) unterliegt. Ein angespannter Muskel im Arm erzeugt eine Haltekraft. Somit stehen Arm und Buch im Gleich- gewicht. Möchte man einen Gegenstand werfen, so Bedarf es eines größeren Kraft- aufwands, um ihn zu beschleunigen. Als Einheit für die Größe einer Kraft wurde im SI-System das Newton eingeführt. 1 N ist die Kraft, die man aufwenden muss, um eine Masse von 1 kg um 1 m s ?[2] zu beschleunigen, d.h. eine Geschwindigkeits- erhöhung um 1 m s ?[1] in einer Sekunde zu erreichen[24]. Mit Hilfe der Mathematik kann eine Kraft als ein Vektor dargestellt werden, der über folgende Merkmale verfügt[5]:
1. Betrag (Skalar)
2. Richtung
3. Angriffspunkt
An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass die Vorstellung der an einem Punkt angreifenden Kraft eine Idealvorstellung ist. Deshalb muss man zwei in der Natur vorkommende Kraftarten präzisieren: die räumlich verteilten Kräfte - auch Volu- menkräfte - (z.B. Gravitation oder Elektromagnetismus) und die flächig einwir- kenden Kräfte - auch Flächenkräfte. Die Volumenkraft basiert auf der Annahme, dass der Vektor der Gravitation für alle infinitesimal kleinen Volumenteilchen in einem Körper als parallel angesehen werden kann. Sie alle unterliegen der Fern- wirkung der Gravitation. Mit Hilfe der Integralrechnung kann folglich schnell die Gewichtskraft G eines Körpers berechnet werden, wobei ? das spezifische Gewicht
des Körpers ist:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Auf der anderen Seite sind die Oberflächenkräfte durch eine Nahwirkung gekenn- zeichnet, wie es zum Beispiel bei der Berührung zweier Körper der Fall ist. Man stelle ein Buch vor, welches flächig und gleichmäßig verteilt auf die flache Hand- fläche drückt.
Die zweite wichtige Größe in der Mechanik ist das Moment. Wenn Kräfte zunächst einmal dafür sorgen, dass Körper sich translatorisch in Richtung des gebundenen Vektors bewegen, so lösen Momente eine Rotation aus. Das Moment M eines gebundenen Vektors bezüglich eines fixen Punktes ist das Vektorprodukt des Kraft- und Ortsvektors:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Das Resultat eines Vektorprodukts ist ebenfalls ein Vektor, welcher senkrecht auf der von Kraft- und Ortsvektor aufgespannten Ebene steht[5]. Um Momente und Kräfte in Skizzen zu unterscheiden, wird der Momentenvektor typischerweise mit einer Doppelspitze gezeichnet (siehe Abb. 2.1).
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2.1: Das Moment als Vektorprodukt
Definition 2.2 (Lex Secunda - Aktionsprinzip). Die Ä nderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.
Hieraus resultiert für konstante Massen die Formel
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
die vorwiegend in der Dynamik zum Einsatz kommt. Aus ihr kann ebenfalls die mathematische Beschreibung des Ruhezustands abgeleitet werden. Dieser herrscht vor, wenn der Körper keine Beschleunigung erfährt, also a = 0. Zusätzlich soll angenommen werden, dass der Körper keine gleichförmige Bewegung ausführt, was bereits in Abschnitt 2.1 ausgeschlossen wurde. Es folgt damit F = 0, was bedeutet, dass auch alle Komponenten des Kraftvektors, also die Summe aller Kräfte in jeder Raumrichtung null ergeben müssen. Die erste Grundgleichung der Statik lautet also
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Zudem können unsere Körper um alle drei Koodinatenachsen rotieren. Soll nun statisches Gleichgewicht im Raum vorliegen, so gilt es diese zusätzlichen drei Freiheitsgrade zu unterbinden:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Somit existieren für einen Körper insgesamt sechs Gleichgewichtsbedingungen, die zu erfüllen sind.
Definition 2.3 (Lex Tertia - Actio est Reactio). Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).
Das dritte Newtonsche Axiom präzisiert die mechanische Grundvorstellung der Oberflächenkräfte. In der technischen Anwendung spricht man häufig von Reaktionskräften. Ein bekanntes Beispiel sind die Auflagerreaktionen. Dies sind Kräfte, die durch die verhinderte Bewegungsfreiheit eines Körper im Lagerpunkt hervorgerufen werden und welche meistens zuvor unbekannt sind. Die Methoden der Stereo-Statik, also vorwiegend die Gleichungen 2.4 und 2.5, helfen dabei, sehr schnell und einfach die unbekannten Kräfte zu bestimmen.
Man unterscheidet in der Ebene drei Lagerungsarten, die auch später in den FEMModellen verwendet werden.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Tabelle 2.2: Lagerungsarten
Eine weitere Unterscheidung der Kräfte ist die Trennung nach äußeren und inne- ren Kräften. Als äußere Kräfte sind die eingeprägten Kräfte zu nennen. Darunter versteht man alle, meist bekannten Kräfte, die durch äußere Einflüsse auf einen Körper einwirken. Innere Kräfte werden erst durch das sogenannte Schnittprin- zip zugänglich gemacht. Man nennt sie daher auch Schnittgrößen. Geschnittene Körper sind für Gleichgewichtsbetrachtungen von essentieller Bedeutung[11].
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Will man Genaueres über den Beanspruchungszustand oder die Verformung des benutzten Materials herausfinden, stoßen die Modelle der Stereo-Statik an ihre Grenzen. Es ist nötig, neue Größen zu definieren, die diese Informationen bereitstellen. Dies ist die Aufgabe der Elasto-Statik.
2.1.2 Elasto-Statik
Das Ziel der Statik ist es, unter der Annahme eines starren Körpers mit Hilfe der eingeprägten Kräfte und der Gleichgewichtsbedingungen die Auflagerreaktionen zu bestimmen. Diese Vorgehensweise scheitert, sobald mehr unbekannte Kräfte als Gleichgewichtsbedingungen im Modell vorliegen. Da im dreidimensionalen Raum nur sechs Gleichungen aufgestellt werden können, ist dieser Zustand schnell er- reicht. Man spricht von einem statisch unbestimmten bzw. präziser einem statisch überbestimmten Zustand. Abhilfe schafft die Theorie der Elasto-Statik. Dafür muss die idealisierte Vorstellung eines starren Körpers aufgegeben werden und man geht davon aus, dass sich ein Körper unter einwirkenden Kräften (Belastungen) verfor- men kann. Angelehnt an[35] ist folgende Definition der Elastizität sinnvoll:
Definition 2.4 (Elastizität). Die Elastizität eines Körpers ist seine Fähigkeit, einen Zustand der Deformation anzunehmen, welcher gegenüber der Körperabmes- sungen klein ist und nach Wegnahme der Belastung wieder verschwindet. Defor- mationen sind Verschiebungen der Punkte des Körpers, welche zu bestimmen sind.
Spannungen
Von Interesse ist folglich ebenso, welche Auswirkungen (Beanspruchungen) auf den Körper zu erwarten sind. Das Maß für die Beanspruchung im Bauteil wird Spannung genannt. Unter der Annahme, dass diese sich gleichmäßig über den Körper verteilt, kann man für jedes infinitesimal kleine Flächenstück einer Schnittebene den Spannungsvektor t berechnen (vgl. Abb. 2.2)[41]:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Betrachtet man nur die Komponente, die normal (N) zur Schnittebene liegt, so
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2.2: Spannungsvektor im Freischnitt
nennt man diesen Skalar Normalspannung ?, die tangential (T) wirkenden Anteile heißen Schubspannungen ?:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Zu untersuchen ist nun ein sehr kleines, viereckiges Raumelement. Man führt ein orthogonales Koordinatensystem ein und stellt die Spannungen in den Schnittebenen als Pfeile dar, die hier folglich keine vektorielle Bedeutung besitzen. Das Resultat ist in Abb. 2.3 zu sehen. Der erste Index entspricht der Orientierung der Flächennormalen, der zweite Index zeigt die Richtung des entsprechenden Vektors an. Einfache Gleichgewichtsbetrachtungen führen zu der Erkenntnis, dass die Schubspannungen paarweise gleich sein müssen[38]:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2.3: Normal- und Schubspannungen am Raumelement
Eine Darstellungsform der Normal- und Schubspannungen ist der Spannungsten- sor, welcher aufgrund der paarweise gleichen Spannungskomponenten symmetrisch
aufgebaut ist: ?
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Verzerrungen
Deformationen unterteilen sich in Längen- und Winkeländerungen. Ihre Bezeichnungen lauten Dehnungen ? und Gleitungen ?. Die nun folgenden Überlegungen sind auch in den Werken von Timoshenko und Szabó in einer ausführlicheren Form zu finden (vgl.[35],[38] ).
Erfährt der betrachtete Punkt P(x, y, z) die Verschiebungen (u, v, w), so erhält man den Verschiebungsvektor
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Dehnungen eines Stabes mit konstantem Querschnitt lassen sich bestimmen, in- dem man die Längenänderung ins Verhältnis zur Ausgangslänge setzt. Um einen allgemeingültigen Zusammenhang zwischen Verschiebung und Dehnung zu erhal- ten, betrachtet man eine infinitesimal kurze Stecke ? x an der Stelle x mit korre- spondierender Verschiebung u (x). Sie erfährt die Längenänderung
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Mit Hilfe des Differenzenquotienten erhält man die Gleichung für die Dehnung in x-Richtung:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Diese Überlegung gilt für alle Raumrichtungen:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Zur Bestimmung der Gleitungen betrachtet man eine Schnittdarstellung des Würfels aus Abb. 2.3, der nur Schubspannungen ausgesetzt ist. Dieser Zustand ist in Abb. 2.4 zu sehen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2.4: Gleitungen am Flächenelement
Gleitungen können mit Hilfe des Tangens ausgedrückt werden. Wenn die Winkel- änderungen sehr klein sind, was durch Definition 2.4 gewährleistet ist, entsprechen
die Winkel ungefähr ihrem Tangens ? i ? tan(? i):
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Auch diese Zusammenhänge lassen sich für räumliche Zustände verallgemeinern:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Verzerrungen lassen sich ebenfalls wie die Spannungen (vgl. Gl. 2.10) in einem
Tensor zweiter Stufe darstellen, wobei hier die gleichen Symmetrie-Eigenschaften
gelten: ?
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Außerdem schreibt man [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
Hookesches Gesetz
Die vorangehenden Herleitungen, wie z.B. die durch Schubspannungen aus Abb.
2.4 abgeleiteten Gleitungen, deuteten schon an, dass es einen Zusammenhang zwischen den Spannungen und den Verzerrungen geben muss. Erstmals wurde im Jahr 1660 von Hooke ein Materialgesetz postuliert, welches die Grundlage der linearen Elatizitätslehre bildet[35]:
Ut tensio sic vis. 1
Es existiert für viele Materialien ein bestimmter Bereich von Dehnungen und Span- nungen, in welchem sich diese proportional zueinander verhalten. Die Proportio- nalitätskonstante wird Elastizitätsmodul (kurz: E-Modul) genannt. Den linearen Zusammenhang erkennt man gut im Spannungs-Dehnungsdiagramm. Im linea- ren Anfangsbereich entspricht die Geradensteigung des Graphen dem Wert des
E-Moduls:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Zudem beobachtet man infolge der Längsdehnung ? x eine Abnahme des Durchmessers der Zugprobe. Die Querdehnungen verhalten sich nach
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
wobei ? Querkontraktionszahl genannt wird.
Werden sowohl die Längs- und Querdehnungen für alle drei Spannungskomponenten ? x , ? y , ? z berechnet und anschließend superponiert, so erhält man das für den dreidimensionalen Raum verallgemeinerte Hookesche Gesetz[38]:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
In manchen Situationen ist es notwendig, die Spannungen in Abhängigkeit von den Dehnungen darzustellen. Daher führt man den Begriff der Volumendehnung
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Eine weitere Schreibweise dieser Gleichung ist die Lamé-Notation. Dazu führt man die beiden Lamé-Konstanten ? und ? ein:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Für Gleichung 2.23-2.25 folgt dann:
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In ähnlicher Art und Weise lässt sich der Schubmodul G herleiten, vgl. beispielsweise[38]:
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Der Schubmodul ist der proportionale Zusammenhang zwischen auftretenden Schubspannungen und den dadurch ausgelösten Gleitungen. Die drei eingeführten Werkstoffkenndaten sind durch
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miteinander verknüpft. In den durchzuführenden Simulationen sollen vorwiegend Stahl und Beton als Materialien angenommen werden. Deshalb werden in Tabelle 2.3 die wichtigsten, empirisch ermittelten Größen zusammengefasst. Der Schubmodul G wurde über Gl. 2.31 berechnet.
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Tabelle 2.3: Materialdaten von Stahl[24] und Beton[25]
2.1.3 Werkstoffmechanik
Die Unterteilung nach Tabelle 2.1 kann in der Realität nur selten erhalten bleiben. Gerade bei komplexen Analysen müssen viele Methoden miteinander kombiniert werden. Eine bekannte Zusammenfassung, in welcher der Kontinuumscharakter des Materials betont werden soll, ist der Teilbereich der Werkstoffmechanik. Hier soll vor allem auf den sogenannten Materialtensor eingegangen werden und wie man diesen vereinfacht. Darüber hinaus werden einige Schreibweisen aus dem Bereich der höheren Festigkeitslehre eingeführt, da sie in Kapitel 2.2 aufgegriffen werden.
Voigt-Schreibweise
Im Abschnitt 2.1.2 wurde das verallgemeinerte Hookesche Gesetz vorgestellt. Es ist die Verknüpfung von Spannungen und Verzerrungen. Sollen die beiden Ten- soren ? und ? und somit auch all ihre Komponenten in einer Gleichung mitein- ander verbunden werden, muss der noch zu bestimmende Verknüpfungstensor E von vierter Stufe sein. Einige Symmetrie-Überlegungen, wie u.a. die Gleichheit der Schubspannungen ? xy = ? yx, reduzieren die Anzahl der Komponenten auf 21[40]. Um diese Komponenten kompakt in einer Matrix darzustellen, wird die Voigt- Notation eingeführt. Dabei werden die unabhängigen Einträge von ? und ? in einer bestimmten Reihenfolge in Vektoren geschrieben. Zudem werden die Koordinaten- richtungen x, y, z von nun an mit 1 , 2 , 3 bezeichnet. Für den Spannungsvektor ? gilt
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Materialtensor
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Bei den Überlegungen zum verallgemeinerten Hookeschen Gesetz wurde voraus- gesetzt, dass die Materialparameter als konstant angesehen werden und nicht z.B. von der Temperatur abhängen (Linearität). Daher fasst man anderes Werkstoff- verhalten wie beispielsweise mikrostrukturelle Schädigung, bleibende plastische Verzerrungen oder zeitabhängige Effekte unter der Kategorie Nichtlinearitäten zu- sammen[19]. Geht man nun des Weiteren von dem gleichen Materialverhalten an jedem Ort aus, spricht man von Homogenität. Ist dieses Verhalten in allen Ko- ordinatenrichtungen gleich ausgeprägt, so ist dies ein Fall von Isotropie. Sind alle Annahmen erfüllt, wie es auch bei den durchzuführenden Simulationen der Fall sein soll, so reduziert sich der Materialtensor auf deutlich weniger Komponenten. Möchte man die Verzerrungen in Abhängigkeit der Spannungen ausdrücken (vgl. Gl. 2.23 und 2.30), so liest sich die tensorielle Schreibweise ? = E?[1] ? wie folgt:
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Andererseits ergibt die Zusammenfassung von Gl. 2.19 und 2.30 die Gleichung ? = E ?, unter Verwendung der Lamé-Konstanten aus Gleichung 2.26 entsteht:
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Ebener Spannungs- und Verzerrungszustand
Zur Simulation von Scheibenproblemen sind zwei Sonderfälle des allgemeinen Zustands von Bedeutung. Hierfür können die Stoffgesetze bzw. der Materialtensor in seinem Umfang weiter reduziert werden. Dies ermöglicht später eine effizientere numerische Umsetzung des Problems.
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Abbildung 2.5: Visualisierung von ESZ und EVZ nach[19]
Der Ebene Spannungszustand (ESZ) kommt vorwiegend in dünnwandigen
Scheiben vor. Deren Dicke ist im Vergleich zu den restlichen Maßen klein. Zudem wird angenommen, dass alle Belastungen nur in der Scheibenebene (hier x-y- Ebene) liegen[14]. Daraus folgt:
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In Gl. 2.36 eingesetzt, ergeben sich die Gleichungen des Materialgesetzes für den
ESZ, die zu erfüllen sind:
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Werden die Zeilen/Spalten vier und fünf gestrichen und ersetzt man ? 33 nach Gl. 2.40, erhält man
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Nun wird diese Gleichung für ? 11 und ? 22 ausgewertet:
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Da die dritte Zeile/Spalte nun keine neuen Informationen bereitstellt, kann auch sie entfernt werden. Man erhält die wichtige Darstellung des Materialtensors für den ESZ:
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Der Ebene Verzerrungszustand (EVZ) bedeutet, dass die Gleitungen und Dehnungen nur in der Scheibenebene vorliegen dürfen bzw. die Verschiebungskomponente in z-Richtung überall null ist[14]. Daraus folgt:
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Analog zu Gl. 2.38-2.42 kann zuerst ? 13 = 0 und ? 23 = 0 gefolgert werden. Die Spannungskomponente ? 33 liefert keinen Beitrag zur Verzerrungsenergie (da für die konjugierte Verzerrung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]) und wird deshalb bei der Bildung des Materialtensors des EVZ weggelassen[19]:
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Auch hier kann der Tensor mit den Parametern E und ? ausgedrückt werden:
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2.2 Randwertproblem der linearen Elastizitätstheorie
In diesem Kapitel sollen alle vorangehenden Erkenntnisse in eine verallgemeinerte Formulierung der Elastizitätslehre zusammengefasst werden. Dazu bedarf es zu- nächst der Einführung einiger Notationskonventionen und neuer Operatoren. Man
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Abbildung 2.6: Randwertproblem im Gebiet ? mit infinitesimal kleinem Raumelement
stelle sich ein kleines Stück Material vor, das aus einem Bauteil freigeschnitten wurde (vgl. Abb. 2.6). Ein Punkt innerhalb des Stücks kann mit einem Richtungsvektor im kartesischen Koordinatensystems beschrieben werden:
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Die Menge aller x nennt man ? ? R[3] Die Punkte erfahren bei äußeren Belastungen Verschiebungen u (vlg. Gl. 2.11), die wiederum ortsabhängig (im Teilbereich der Dynamik zusätzlich noch zeitabhängig) sind:
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Generell sollen die Raumrichtungen x, y, z als Indizes (z.B. x 1 , x 2 , x 3) ausgewie- sen werden. Außerdem können Ableitungen durch Kommata ausgedrückt werden. Beispiel:
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2.2.1 Kinematische Gleichung
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Der Verzerrungstensor ? kann vollständig in Abhängigkeit der partiellen Ableitun- gen von u ausgedrückt werden, wenn man Gl. 2.13 und 2.15 in Gl. 2.16 einsetzt:
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Definition 2.5 (Kinematische Gleichung). Beschreibung der Deformation mit Hilfe der Kinematik, also der Verschiebungen.
Führt man jetzt eine Differenzialmatrix
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ein, kann die kinematische Gleichung des Gebietes ? in Voigt-Schreibweise aufgestellt werden. Sie drückt die Dehnungen als partielle Ableitungen der Ver- schiebungen u aus:
? =Du (2.56)
Die alternative Darstellung erfolgt durch die linearen Anteile des Green-Lagran- ge-Verzerrungstensors:
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2.2.2 Lokale Impulsbilanz
Die lineare Bilanzgleichung des Impulses entspricht dem inneren Gleichgewicht von Volumenkräften (vgl. Gl. 2.1), aus Spannungen resultierenden Kräften und den Trägheitskräften. Die Letztgenannten sind nach den Newtonschen Geset- zen der Beschleunigung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] entgegengesetzt mit ? ? ü. Bedenkt man, dass ein kleiner Würfel wie in Abb. 2.6 sich über seine infinitesimalen Ausmaße d x 1, d x 2 und d x 3 durch die Belastungen verändern kann, so kann man die veränderte Spannung an der gegenüberliegenden Schnittfläche mit einer Taylor-Entwicklung approximieren, wobei man nach dem linearen Glied abbricht (vgl. Abb. 2.7)[19]:
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Exemplarisch wird hier das Kräftegleichgewicht in x 1-Richtung gebildet:
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Abbildung 2.7: Taylor-Entwicklung am Raumelement der Dicke d x 3
Stellt man anschließend die Gleichgewichtsbedingungen (vgl. Gl. 2.4) in alle Raumrichtungen auf und berücksichtigt zusätzlich während der Umformung die Symmetrie des Spannungstensors (? ij = ? ji), so erhält man:
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Die Cauchysche Bewegungsgleichung
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
ist die tensorielle Darstellung der Impulsbilanz[19]. Mit Blick auf die numerische Umsetzung bietet sich auch hier die Schreibweise mittels der Differentialmatrix an:
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In den späteren Simulationen sollen die Verschiebungen nur vom Ort und nicht von der Zeit abhängen. Deshalb gilt ? ü= 0.
Definition 2.6 (Kinetische Gleichung). Beschreibung der Gleichgewichtsbedingun gen für jedes infinitesimal kleine Element des Gebietes.
2.2.3 Konstitutive Gleichung
Das Werkstoffverhalten soll in einem dreidimensionalen, linearen, elastischen und isotropen Materialmodell dargestellt werden. Das verallgemeinerte Hookesche Gesetz, welches im Abschnitt 2.1.3 ausführlich vorgestellt wurde, ist ein solches Materialmodell. Man nennt es auch die konstitutive Gleichung des Gebietes ?:
? =E ? (2.65)
Definition 2.7 (Konstitutive Gleichung). Beschreibung der Materialeigenschaf ten des Gebietes - daher die Verknüpfung von Spannungen und Deformationen in jedem Materialpunkt.
2.2.4 Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen
Das vereinfachte Konzept von Lagerungsarten und eingeprägten Kräften lässt sich für das Gebiet ? verallgemeinern. Generell unterscheidet man zwischen Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen.
Dirichlet-Rand
Da die Spannungen und Verzerrungen nur abgeleitete Größen des Verschiebungsvektors u sind, ist es meist üblich, auf einem Teilrand des Gebietes ? u ? ? ? die Verschiebungen mittels u vorzuschreiben[19]. Der Rand, an welchem die Primärvariable u vorgeschrieben wird, heißt Dirichlet-Rand:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Neumann-Rand
Für den Neumann-Rand gilt analog ? ? ? ? ?. Auf ihm werden Randlasten mittels des Spannungsvektors q vorgeschrieben. Zur Herleitung nach Kuhl[19] wird ex- emplarisch das zweidimensionale Oberflächenelement dS aus Abb. 2.8 untersucht. Stellt man Gleichgewichtsbedingungen in x 1-und x 2-Richtung auf, ergibt sich:
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Abbildung 2.8: Oberflächenelement mit Neumann-Rand
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Anschließend wird durch d S und d x 3 geteilt. Die Ähnlichkeit der Dreiecke besagt unter Berücksichtigung der Einheitsnormalen mit ||n|| = 1
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Der zweidimensionale Fall der Gleichung lautet
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
wenn man zusätzlich die Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen ? ij = ? ji ausnutzt. Wird die Idee auf räumliche Elemente erweitert, ergeben sich folgende Gleichungen:
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Die Tensornotation des Kräftegleichgewichts am Neumann-Rand ist schließlich
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Möchte man die Gleichung in die Voigt-Schreibweise überführen, müssen die
Komponenten des Normalenvektors in einer Matrix angeordnet werden:
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2.2.5 Starke Formulierung des Randwertproblems nach Lamé- Navier
Fasst man die gewonnenen Grundgleichungen zusammen, entsteht die fundamenta- le Differentialgleichung der Elastizitätstheorie. Dazu setzt man die Kinematische Gleichung 2.56 in die Konstitutive Gleichung 2.65 ein. Anschließend wird ? in der lokalen Gleichgewichtsbedingung 2.64 ersetzt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die analytische Lösung für komplexe Probleme ist nur selten möglich. Daher wer- den Methoden benötigt, die die Berechnung von Näherungslösungen ermöglichen. Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist ein solcher Ansatz, der im folgen- den Kapitel vorgestellt werden soll. Doch auch diese Diskretisierungen bergen ein hohes Maß an Komplexität, wenn nicht einige vereinfachende Annahmen für das Lamé-Problem getroffen werden. Sie sind in Tabelle 2.4 aufgezählt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
2.3 Technische Bruchmechanik
In diesem Abschnitt sollen neben den historischen Hintergründen der technischen Bruchmechanik auch verschiedene Rissarten klassifiziert werden und grundlegende Konzepte zur Rissberechnung vorgestellt werden.
Die Auslegung von Bauteilen und Konstruktionen erfolgen klassischerweise mittels konventioneller Festigkeitshypothesen. Kern der Festigkeitslehre ist die Bildung der sogenannten Vergleichsspannung ? v, welche von der Geometrie, der äußeren Belastung und dem verwendetem Material abhängt[22]. Bekannte Festigkeitshy- pothesen sind beispielsweise die Normalspannungshypothese, die Schubspannungs- hypothesen nach Tresca und Mohr, oder die Gestaltänderungshypothese nach Mises et al.[41]. Die gebildete Vergleichsspannung wird anschließend mit einem experimentell ermittelten Materialwert ? c verglichen, um hieraus Schlüsse über die Tragfähigkeit der Konstruktion zu ziehen. Allerdings zeigen viele tragische Kata- strophen in der Geschichte der Technik, dass diese klassischen Versagenskriterien nicht ausreichend sind. Gegen Ende des 2. Weltkriegs sorgten beispielsweise die Sprödbrüche einiger Schiffe (Typ Liberty) der amerikanischen Marine für Auf- merksamkeit[12].
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2.9: Spröder Bruch eines Schiffes[9]
Derartige Schadensfälle waren Auslöser für intensive Forschung auf dem Gebiet der technischen Bruchmechanik, welche sich schließlich als eigenes Fachgebiet etablierte. Der interdisziplinäre Forschungsbereich erstreckt sich von der Modellierung mittels technischer Mechanik bis hin zur Materialforschung und experimentellen Bestimmung von Kennwerten in der Werkstofftechnik.
[...]
1 Lat. für "Wie die Dehnung, so die Kraft"
- Citation du texte
- Maximilian Scheid (Auteur), 2014, Finite-Elemente-Methode (FEM) Berechnung der Rissausbreitung mittels Phasenfeldmethode, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/299943
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