Im diesem Referat im Rahmen eines Proseminares über Zahlentheorie geht es um die oberen Schranken für das Intervall zwischen zwei aufeinander folgenden Primzahlen [p (r) , p (r+1) ]. Joseph Bertrand formulierte sein berühmtes Postulat, dass zwischen einer beliebigen natürlichen Zahl und ihrem Doppelten mindestens eine Primzahl liegt, konnte es jedoch nur empirisch verifizieren bis n < 3 000 000. Für alle natürlichen Zahlen wurde der Satz erstmals 1850 von Pafnuty Tschebyschef und eleganter 1919 von Shinivasa Ramanujan bewiesen. Paul Erdös fand 1932 ebenfalls einen schlichten Beweis mit Mitteln der elementaren Zahlentheorie. Der folgende Beweis geht hierauf zurück.
Satz (Bertrands Postulat). Für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1 gibt es eine Primzahl p mit n < p ≤ 2n.
Äquivalent: Sei p (r) eine beliebige Primzahl und p (r+1) ihr direkter Nachfolger. Dann ist 2p (r) > p (r+1) .
Inhaltsverzeichnis
- Bertrands Postulat
- Beweis
- (1) Für n < 4000 gilt der Satz
- (2) Es gilt: Πp≤x p ≤ 4x-1 für alle x ≥ 2, x ∈ ℝ
- (3) Als nächstes überlegt man sich, wie die Primfaktorzerlegung von (2n)!/(n!n!) aussieht
- (4) Nun schätzen wir (2n)/(n) ab.
- (5) Unter Zuhilfenahme der obigen Abschätzungen nehmen wir nun an, es gebe für gewisse n>4000 keine Primzahl, die Bertrands Postulat genügt
- Nachtrag: Abschätzungen
- I. Abschätzung einer harmonischen Zahl Hn = Σnk=1 1/k mittels Integralen
- II. Abschätzung der Fakultät n! und die Stirlingsche Formel
- III. Abschätzung von Binomialkoeffizienten
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Zielsetzung dieses Textes ist es, den Beweis des Bertrandschen Postulats zu präsentieren und zu erläutern. Das Postulat besagt, dass zwischen einer beliebigen natürlichen Zahl und ihrem Doppelten mindestens eine Primzahl liegt. Der Text erklärt den Beweis mittels vollständiger Induktion und analysiert die notwendigen Abschätzungen.
- Beweis des Bertrandschen Postulats mittels vollständiger Induktion
- Abschätzung von Binomialkoeffizienten
- Abschätzung harmonischer Zahlen
- Abschätzung der Fakultät und die Stirlingsche Formel
- Anwendung elementarer zahlentheoretischer Methoden
Zusammenfassung der Kapitel
Bertrands Postulat: Dieser Abschnitt führt in das Bertrandsche Postulat ein, welches besagt, dass für jede natürliche Zahl n ≥ 1 mindestens eine Primzahl p existiert, sodass n < p ≤ 2n gilt. Es wird die historische Entwicklung des Beweises erwähnt, von der empirischen Verifizierung bis hin zu den eleganten Beweisen von Tschebyschef, Ramanujan und Erdös. Die zentrale Bedeutung des Postulats für die Zahlentheorie wird angedeutet, ohne jedoch explizite Folgerungen oder Anwendungen zu nennen.
Beweis: Dieses Kapitel präsentiert einen detaillierten Beweis des Bertrandschen Postulats, basierend auf den Arbeiten von Paul Erdös. Der Beweis verwendet einen indirekten Ansatz mittels vollständiger Induktion und konzentriert sich auf die Abschätzung des Binomialkoeffizienten (2n über n). Es wird gezeigt, dass die Annahme, es gäbe kein solches p, zu einem Widerspruch führt. Der Beweis beinhaltet mehrere Teilschritte, die jeweils sorgfältig erläutert werden, einschließlich der Verwendung von Landau's Trick für kleinere n-Werte und die geschickte Analyse der Primfaktorzerlegung des Binomialkoeffizienten. Die zentrale Rolle der Abschätzungen für die Gültigkeit des Beweises wird hervorgehoben.
Nachtrag: Abschätzungen: Dieser Abschnitt liefert die notwendigen Abschätzungen, die im Beweis des Bertrandschen Postulats verwendet werden. Er beinhaltet drei Teile: die Abschätzung harmonischer Zahlen mittels Integralen, die Abschätzung der Fakultät n! und die Stirlingsche Formel sowie die Abschätzung von Binomialkoeffizienten. Jeder Teil bietet eine detaillierte Herleitung der entsprechenden Abschätzungen, unter Verwendung von graphischen und analytischen Methoden. Die Genauigkeit und die Bedeutung dieser Abschätzungen für den Erfolg des Beweises werden betont. Die Verbindung zwischen den Abschätzungen und den verschiedenen Teilen des Beweises wird klargestellt.
Schlüsselwörter
Bertrands Postulat, Primzahlen, vollständige Induktion, Binomialkoeffizienten, Abschätzungen, harmonische Zahlen, Fakultät, Stirlingsche Formel, elementare Zahlentheorie, Beweismethoden.
Häufig gestellte Fragen zum Text: Beweis des Bertrandschen Postulats
Was ist der Inhalt des Textes?
Der Text präsentiert einen vollständigen Beweis des Bertrandschen Postulats, welches besagt, dass zwischen einer natürlichen Zahl n und ihrem Doppelten 2n immer mindestens eine Primzahl liegt. Der Beweis wird detailliert erläutert und beinhaltet Abschätzungen von Binomialkoeffizienten, harmonischen Zahlen und der Fakultät (unter Verwendung der Stirlingschen Formel).
Welche Themen werden im Text behandelt?
Die wichtigsten Themen sind der Beweis des Bertrandschen Postulats mittels vollständiger Induktion, die Abschätzung von Binomialkoeffizienten, harmonischen Zahlen und der Fakultät, sowie die Anwendung elementarer zahlentheoretischer Methoden. Der Text enthält auch eine Einführung in das Bertrandsche Postulat selbst und seine historische Bedeutung.
Wie ist der Text strukturiert?
Der Text gliedert sich in die Abschnitte "Inhaltsverzeichnis", "Zielsetzung und Themenschwerpunkte", "Zusammenfassung der Kapitel" und "Schlüsselwörter". Das Inhaltsverzeichnis listet die einzelnen Beweis-Schritte auf. Die Zusammenfassung der Kapitel fasst die wesentlichen Inhalte jedes Kapitels prägnant zusammen. Die Zielsetzung beschreibt den Zweck des Textes und die behandelten Schwerpunkte. Die Schlüsselwörter bieten eine schnelle Übersicht über die zentralen Begriffe.
Welche Methoden werden im Beweis verwendet?
Der Beweis des Bertrandschen Postulats nutzt einen indirekten Ansatz mittels vollständiger Induktion. Wesentliche Bestandteile sind die geschickte Abschätzung des Binomialkoeffizienten (2n über n) und die Analyse seiner Primfaktorzerlegung. Landau's Trick wird für kleinere n-Werte eingesetzt. Die Abschätzungen harmonischer Zahlen und der Fakultät (mittels Stirlingscher Formel) spielen eine entscheidende Rolle.
Welche Abschätzungen werden verwendet?
Der Text beinhaltet Abschätzungen für harmonische Zahlen (mittels Integralen), die Fakultät n! (unter Verwendung der Stirlingschen Formel) und Binomialkoeffizienten. Diese Abschätzungen sind essentiell für den Beweis des Bertrandschen Postulats und werden detailliert hergeleitet.
Für wen ist der Text geeignet?
Der Text richtet sich an Leser mit Vorkenntnissen in Mathematik, insbesondere in Zahlentheorie und Analysis. Ein Verständnis von vollständiger Induktion und grundlegenden Abschätzungsmethoden ist erforderlich.
Welche Schlüsselwörter beschreiben den Text?
Schlüsselwörter sind: Bertrands Postulat, Primzahlen, vollständige Induktion, Binomialkoeffizienten, Abschätzungen, harmonische Zahlen, Fakultät, Stirlingsche Formel, elementare Zahlentheorie, Beweismethoden.
- Arbeit zitieren
- Alexander Zanabili (Autor:in), 2001, Bertrands Postulat. Obere Schranken für das Intervall zwischen zwei aufeinander folgenden Primzahlen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/287704
