Im diesem Referat im Rahmen eines Proseminares über Zahlentheorie geht es um die oberen Schranken für das Intervall zwischen zwei aufeinander folgenden Primzahlen [p (r) , p (r+1) ]. Joseph Bertrand formulierte sein berühmtes Postulat, dass zwischen einer beliebigen natürlichen Zahl und ihrem Doppelten mindestens eine Primzahl liegt, konnte es jedoch nur empirisch verifizieren bis n < 3 000 000. Für alle natürlichen Zahlen wurde der Satz erstmals 1850 von Pafnuty Tschebyschef und eleganter 1919 von Shinivasa Ramanujan bewiesen. Paul Erdös fand 1932 ebenfalls einen schlichten Beweis mit Mitteln der elementaren Zahlentheorie. Der folgende Beweis geht hierauf zurück.
Satz (Bertrands Postulat). Für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1 gibt es eine Primzahl p mit n < p ≤ 2n.
Äquivalent: Sei p (r) eine beliebige Primzahl und p (r+1) ihr direkter Nachfolger. Dann ist 2p (r) > p (r+1) .
Inhaltsverzeichnis
- Bertrands Postulat
- Beweis
- (1) Für n < 4000 gilt der Satz.
- (2) Es gilt:
- (3) Als nächstes überlegt man sich, wie die Primfaktorzerlegung von (2n)!/n!n! aussieht.
- (4) Nun schätzen wir (2n)/n ab.
- (5) Unter Zuhilfenahme der obigen Abschätzungen nehmen wir nun an, es gebe für gewisse n>4000 keine Primzahl, die Bertrands Postulat genügt.
- (4) Nachtrag: Abschätzungen
- I. Abschätzung einer harmonischen Zahl Hn= Σ(n, k=1) 1/k mittels Integralen:
- II. Abschätzung der Fakultät n! und die Stirlingsche Formel
- III. Abschätzung von Binomialkoeffizienten:
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Der Text behandelt Bertrands Postulat, das besagt, dass für jede natürliche Zahl n ≥ 1 eine Primzahl p existiert, die zwischen n und 2n liegt. Der Beweis des Postulats erfolgt mithilfe vollständiger Induktion und beinhaltet Abschätzungen von Binomialkoeffizienten und anderen mathematischen Größen.
- Beweis von Bertrands Postulat
- Abschätzung von Binomialkoeffizienten
- Abschätzung der Fakultät n!
- Harmonische Zahlen und ihre Abschätzung
- Stirlingsche Formel
Zusammenfassung der Kapitel
Der Text beginnt mit der Formulierung von Bertrands Postulat und seiner Geschichte. Es wird erläutert, dass das Postulat von Joseph Bertrand empirisch verifiziert wurde, bevor es von Pafnuty Tschebyschef und später von Shinivasa Ramanujan bewiesen wurde. Der Beweis, der im Text vorgestellt wird, basiert auf einem Beweis von Paul Erdös und verwendet vollständige Induktion.
Der Beweis beginnt mit der Überprüfung des Postulats für n < 4000. Anschließend wird die Idee des Beweises erläutert, die darin besteht, den Binomialkoeffizienten (2n)/n abzuschätzen. Es wird gezeigt, dass dieser Koeffizient keine Primfaktoren enthalten kann, wenn das Postulat nicht gilt, was zu einem Widerspruch führt.
Der Beweis beinhaltet verschiedene Abschätzungen, darunter die Abschätzung von (2n)/n, die Abschätzung der Fakultät n! und die Abschätzung von Binomialkoeffizienten. Die Abschätzungen werden mithilfe von Integralen und anderen mathematischen Methoden durchgeführt.
Der Text endet mit einem Nachtrag, der verschiedene Abschätzungen von mathematischen Größen behandelt, darunter harmonische Zahlen, die Fakultät n! und Binomialkoeffizienten. Es werden verschiedene Methoden zur Abschätzung dieser Größen vorgestellt, einschließlich der Stirlingschen Formel.
Schlüsselwörter
Die Schlüsselwörter und Schwerpunktthemen des Textes umfassen Bertrands Postulat, Primzahlen, Binomialkoeffizienten, vollständige Induktion, Abschätzungen, Fakultät, harmonische Zahlen, Stirlingsche Formel und elementare Zahlentheorie.
- Arbeit zitieren
- Alexander Zanabili (Autor:in), 2001, Bertrands Postulat. Obere Schranken für das Intervall zwischen zwei aufeinander folgenden Primzahlen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/287704
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