Schon relativ jung wird der Mensch mit der Mathematik konfrontiert. Wer kennt nicht das kleine Kind von Nebenan, das auf sein zartes Alter von 5 Jahren stolz ist und es mit seiner rechten Hand und natürlich seinen fünf Fingern abzählt. Den Erstklässer, der auf Anhieb die Summe aus 2 + 2 ausrechnet und klar und deutlich das Ergebnis 4 auswendig herausgrölt. Den interessierten Gymnasialschüler, der sich über die richtigen Lösungen in der Matheklausur – und natürlich über die damit erreichte Leistung – ganz „cool“ freut. Doch spätestens im Mathestudium werden sie alle feststellen müssen, dass nicht das Ergebnis die besondere Leistung der Mathematik, genauer der Algebra ist, sondern der Vorgang des Rechnens, um die jeweilige Lösung zu erhalten.
Inhaltsverzeichnis
- Einige einleitende Worte
- Mathematische Definition des Gruppenbegriffs
- Unterscheidung zwischen additiven und multiplikativen Gruppen
- Eigenschaften von Gruppen
- Satz 1: Analogie des links- und rechtseitigen neutralen Elements
- Satz 2: Übereinstimmung des rechts- und linksinversen Elements
- Satz 3: Eindeutigkeit des inversen Elements
- Satz 4: Eindeutigkeit des neutralen Elements
- Satz 5: Eindeutige Lösungen von Gleichungen auf Gruppen
- Satz 6: Division auf Gruppen – die „Kürzungsregel“
- Satz 7: Das Inverse einer gesamten Verknüpfung
- Gruppentheoretische Strukturaussagen
- Die Kardinalität oder auch Ordnung einer Gruppe
- Die Periode oder Ordnung eines Elements
- Die zyklische Gruppe
- Der Aufbau einer Gruppe G
- Die Untergruppe U der Gruppe G
- Die Nebenklassen einer Untergruppe U
- Der Satz von Lagrange
- Der Homomorphismus als Abbildung zwischen Gruppen
- Darstellung von Gruppen durch Cayley-Graphen
- Anwendung der gruppentheoretischen Kenntnisse am Mini Cube
- Die Elemente von R und die Bedeutung des Operators o
- Gültigkeit der Gruppenaxiome auf R
- Die Element- und Gruppenordnung von R
- Die Untergruppe (V')
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Facharbeit zielt darauf ab, eine Einführung in die algebraische Struktur der Gruppe zu geben. Sie verfolgt dabei das Ziel, die Grundprinzipien der Gruppentheorie verständlich darzustellen und ihre Anwendung in einem konkreten Beispiel, dem Mini Cube, zu demonstrieren.
- Mathematische Definition des Gruppenbegriffs
- Eigenschaften von Gruppen
- Gruppentheoretische Strukturaussagen
- Der Aufbau einer Gruppe
- Anwendungen der Gruppentheorie
Zusammenfassung der Kapitel
Die Arbeit beginnt mit einer Einführung in die grundlegende Definition des Gruppenbegriffs. Anschließend werden die Unterschiede zwischen additiven und multiplikativen Gruppen erläutert, bevor die wichtigen Eigenschaften von Gruppen näher beleuchtet werden. Die Kapitel behandeln dabei Sätze, die sich mit der Eindeutigkeit des neutralen und inversen Elements sowie mit der eindeutigen Lösung von Gleichungen auf Gruppen befassen. Die Arbeit geht dann auf die Strukturaussagen von Gruppen ein, wie die Kardinalität, die Ordnung eines Elements und die zyklische Gruppe. Abschließend wird der Aufbau von Gruppen untersucht, wobei die Untergruppe, die Nebenklassen einer Untergruppe und der Satz von Lagrange behandelt werden.
Schlüsselwörter
Die Arbeit beschäftigt sich mit dem mathematischen Konzept der Gruppe, ihren Eigenschaften und ihrer Struktur. Dabei werden wichtige Themen wie die Gruppenaxiome, die Unterscheidung zwischen additiven und multiplikativen Gruppen, die Ordnung von Gruppen und Elementen sowie die Anwendung der Gruppentheorie in der Praxis, insbesondere am Beispiel des Mini Cubes, behandelt.
- Quote paper
- Bilal Özkan Lafci (Author), 2008, Die algebraische Struktur der Gruppe. Eine Einführung anhand des Rubik's Cube, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/277616
