Schon relativ jung wird der Mensch mit der Mathematik konfrontiert. Wer kennt nicht das kleine Kind von Nebenan, das auf sein zartes Alter von 5 Jahren stolz ist und es mit seiner rechten Hand und natürlich seinen fünf Fingern abzählt. Den Erstklässer, der auf Anhieb die Summe aus 2 + 2 ausrechnet und klar und deutlich das Ergebnis 4 auswendig herausgrölt. Den interessierten Gymnasialschüler, der sich über die richtigen Lösungen in der Matheklausur – und natürlich über die damit erreichte Leistung – ganz „cool“ freut. Doch spätestens im Mathestudium werden sie alle feststellen müssen, dass nicht das Ergebnis die besondere Leistung der Mathematik, genauer der Algebra ist, sondern der Vorgang des Rechnens, um die jeweilige Lösung zu erhalten.
Städtisches Jakob-Fugger-Gymnasium
Kollegstufenjahrgang 2006/2008
FACHARBEIT
aus dem Fach
Mathematik
Thema:
Einführung in die algebraische Struktur der Gruppe
Kurztitel
1
:
...
Verfasser der Facharbeit:
Leistungskursbezeichnung:
Kursleiter:
Bilal Özkan Lafci
3M1 r
Abgabetermin:
25.01.2008
Abgegeben am
...
Mündliche Prüfung abgelegt am ...
Erzielte Punkte der schriftlichen Arbeit:
15
Erzielte Punkte der mündlichen Prüfung:
15
Gesamtpunktzahl
(3-fach schriftlich + mündlich = 4-fache Wertung)
:
60
Doppelte Wertung
(= 4-fache Wertung geteilt durch 2, gerundet)
2
:
30
Aus der einfachen Wertung
(= 4-fache Wertung geteilt durch 4, gerundet)
:
15
ergibt sich für die Gesamtleistung die Note
15
, in Worten:
fünfzehn
Unterschrift des Kursleiters:
...
1
Falls das Thema mehr als 90 Zeichen lang ist, wird hier ein Kurztitel für das Abiturzeugnis angegeben.
2
Die doppelte Wertung (maximal 30 Punkte) geht in die Gesamtqualifikation ein.
Inhaltsverzeichnis
1. Einige einleitende Worte ...
4
2. Mathematische Definition des Gruppenbegriffs ...
5
3. Unterscheidung zwischen additiven und multiplikativen Gruppen ...
6
4. Eigenschaften von Gruppen ...
8
4.1. Satz 1: Analogie des links- und rechtseitigen neutralen Elements ... 8
4.2. Satz 2: Übereinstimmung des rechts- und linksinversen Elements ... 8
4.3. Satz 3: Eindeutigkeit des inversen Elements ... 8
4.4. Satz 4: Eindeutigkeit des neutralen Elements ... 9
4.5. Satz 5: Eindeutige Lösungen von Gleichungen auf Gruppen ... 9
4.6. Satz 6: Division auf Gruppen die ,,Kürzungsregel" ... 10
4.7. Satz 7: Das Inverse einer gesamten Verknüpfung ...
10
5. Gruppentheoretische Strukturaussagen ...
11
5.1. Die Kardinalität oder auch Ordnung einer Gruppe ... 11
5.2. Die Periode oder Ordnung eines Elements ...
12
5.3. Die zyklische Gruppe ... 14
6. Der Aufbau einer Gruppe G ...
15
6.1. Die Untergruppe U der Gruppe G ... 15
6.2. Die Nebenklassen einer Untergruppe U ...
16
6.3. Der Satz von Lagrange ...
18
7. Der Homomorphismus als Abbildung zwischen Gruppen ... 20
8. Darstellung von Gruppen durch Cayley-Graphen ... 25
9. Anwendung der gruppentheoretischen Kenntnisse am Mini Cube ...
26
9.1. Die Elemente von R und die Bedeutung des Operators
... 26
9.2. Gültigkeit der Gruppenaxiome auf R ... 27
9.3. Die Element- und Gruppenordnung von R ... 28
9.4. Die Untergruppe
1
V ...
28
10. Schlusswort ...
29
11. Anhang ... 30
11.1. Literaturverzeichnis ... 31
11.1.1. Bücher ... 31
11.1.2. Vorlesungsskripte als pdf - Dateien ...
31
11.1.3. Internetbeiträge ...
.
32
11.2. Bilderverzeichnis ... 33
4
1.
Einige einleitende Worte
Schon relativ jung wird der Mensch mit der Mathematik konfrontiert. Wer kennt nicht
das kleine Kind von Nebenan, das auf sein zartes Alter von 5 Jahren stolz ist und es mit
seiner rechten Hand und natürlich seinen fünf Fingern abzählt. Den Erstklässer, der auf
Anhieb die Summe aus 2 + 2 ausrechnet und klar und deutlich das Ergebnis 4 auswen-
dig herausgrölt. Den interessierten Gymnasialschüler, der sich über die richtigen
Lösungen in der Matheklausur und natürlich über die damit erreichte Leistung ganz
,,cool" freut.
Doch spätestens im Mathestudium werden sie alle feststellen müssen, dass nicht das
Ergebnis die besondere Leistung der Mathematik genauer der Algebra ist, sondern der
Vorgang des Rechnens um die jeweilige Lösung zu erhalten.
In der Mathematik bezeichnet man den Teilbereich der Algebra als Gruppentheorie, der
sich mit der Verallgemeinerung der Rechengesetze auf algebraische Objekte genannt
Gruppen beschäftigt. So bildet für den Mathematikstudenten die Addition auf den
kleinen Händen des Nachbarsjungen eine Gruppe G und die Summe aus 2 + 2 kann für
ihn auch mal 0 ergeben, nämlich dann wenn die Addition modulo(4) gerechnet wird.
Die Entwicklung der Gruppentheorie fand ihren Ursprung bei dem Mathematiker
Camille Jordan, der den Begriff der Gruppe durch eine unzureichende Definition erst
im Jahre 1868 eingeführt hatte. Durch die Erkenntnisse der Mathematiker Artur Cayley
und William Rowan Hamilton konnte man eine erste mathematische Definition der
Gruppe erstellen, welche schon zu Beginn dieser Facharbeit vorgestellt wird.
An diese Definition knüpft eine Unterscheidung von additiven und multiplikativen
Gruppen an, wonach die allgemeinen Charakteristika von Gruppen noch erläutert
werden. Nachdem der Aufbau von Gruppen und die möglichen Abbildungen von diesen
erklärt wurden, werden die erworbenen Kenntnisse der Gruppentheorie auf den Mini
Cube aus der rubikschen Zauberwürfelreihe angewandt, um die übergeordnete Rolle
und die Bedeutung der Gruppentheorie zu präsentieren.
5
2. Mathematische Definition des Gruppenbegriffs
Die Definition des Gruppenbegriffs wird erst durch das Verständnis von allgemeinen
mathematischen Verknüpfungen möglich, wobei die Verknüpfung der Oberbegriff für
die gängigen schulischen Rechenoperationen ist.
Man unterscheidet je nach Anzahl der Elemente zwischen ein-, zwei- und mehrstelligen
Verknüpfungen und je nach Mengenzugehörigkeit zwischen inneren (
b
a
!
mit
M
b
a
,
) und äußeren (
b
a
! mit
A
a und
B
b ) Verknüpfungen.
Definition:
Eine Verknüpfung (Operator)
! auf einer nicht leeren Trägermenge G mit
G
e ist
eine Gruppe
( )
!
,
G
, wenn folgende Axiome erfüllt sind:
(1) Axiom der Abgeschlossenheit
G
G
G
×
:
!
mit
( )
b
a
b
a
!
"
,
, das jedem geordneten Paar
( )
b
a,
mit
G
b
a
,
als
Ergebnis der Verknüpfung ein weiteres Element
G
b
a
)
(
!
zuordnet. Da das Ergeb-
nis in der Trägermenge G liegt, nennt man die Verknüpfung abgeschlossen auf G .
(2) Axiom der Assoziativität
Die Verknüpfung von mehreren Elementen muss assoziativ sein:
)
(
)
(
c
b
a
c
b
a
!
!
!
!
=
G
c
b
a
,
,
Dieses Gesetz besagt, dass Klammern bei gleich bleibender Gruppenoperation
!
beliebig gesetzt werden können.
(3) Axiom des (linksseitigen) neutralen Elements
Es existiert ein
G
e , so dass für alle Verknüpfungen von a mit dem neutralen
Element e auf G das Ergebnis identisch zum Ursprungselement a ist:
a
a
e
=
!
G
a
(4) Axiom des (linksseitigen) inversen Elements
Zu jedem
G
a existiert ein (linksseitiges) Inverses
G
a
-1
, so dass die
Verknüpfung des Inversen mit dem Element a das neutrale Element e ergibt:
e
a
a
=
-
!
1
G
a
Das inverse Element
1
-
a ist das eindeutige Gegenelement zu a mit
.
,
1
G
a
a
-
Diese Axiome reichen aus, damit die innere binäre Verknüpfung
G
G
G
×
:
!
eine
Gruppe
( )
!
,
G
mit der Gruppenoperation
! darstellt. Ist aus dem Zusammenhang klar,
dass es sich um eine Gruppe handelt, schreibt man vereinfachend G anstatt
( )
!
,
G
.
6
Eine spezielle Erweiterung des Gruppenbegriffs ist die ABEL'sche oder kommutative
Gruppe, die zusätzlich zu den grundlegenden Gruppenaxiomen das Kommutativgesetz
erfüllt, wodurch die Reihenfolge der Verknüpfungen der einzelnen Elemente der Trä-
germenge G vertauschbar und somit beliebig ist. Es gilt:
a
b
b
a
!
! =
Beschränkt man sich nur auf einzelne Axiome wird die mathematische Gruppenstruktur
aufgelöst und man erhält spezielle algebraische Strukturen wie:
· das Gruppoid oder auch Magma genannt, das nur das Axiom der Abgeschlossenheit
erfüllt (z.B. die binäre innere Verknüpfung ( ,-))
· die Halbgruppe, die dem Axiom der Abgeschlossenheit und dem Assoziativgesetz
genügt ein assoziatives Magma also. (z.B. die Halbgruppe ( ,+))
· das Monoid, das eine Halbgruppe mit neutralem Element ist. So erfüllt es die ersten
drei Axiome der Gruppe (z.B. die Monoide ( ,·) und (
0
,+))
An den konkreten Beispielen der algebraischen Strukturen erkennt man, dass der Ope-
rator
! ein theoretisches allgemeines Verknüpfungssymbol ist und je nach Art der Ver-
knüpfung der Elemente unter anderem zu den gängigen Rechenoperation der Addition
+ und Multiplikation · werden kann.
3. Unterscheidung zwischen additiven und multiplikativen Gruppen
Der abstrakte allgemeine Gruppenbegriff wird bei der Anwendung auf additive und
multiplikative Gruppen spezifiziert und lässt sich an diesen Beispielen in der Praxis
veranschaulichen.
Die additiven Gruppen sind auf der Trägermenge der ganzen Zahlen bis zu der Men-
ge der komplexen Zahlen und sogar auf dem Vektorraum V definiert, wobei die
Addition + die Verknüpfung unter den einzelnen Elementen darstellt.
Als Beispiel für additive Gruppen, auch Modul genannt, dient die Verknüpfung ( ,+):
(1) Es gilt das Axiom der Abgeschlossenheit: Die Summe
b
a + ist Element der ganzen
Zahlen, d.h. die Addition ist abgeschlossen auf B:
3
8
)
5
(
=
+
-
mit {3}
(2) Die Addition von mehreren Elementen ist auf assoziativ:
)
(
)
(
c
b
a
c
b
a
+
+
=
+
+
c
b
a ,
,
B:
)
4
8
(
3
4
)
8
3
(
+
+
=
+
+
15
15 =
(3) Existenz des (linksseitigen) neutralen Elements e , das bei der additiven Gruppe das
Nullelement 0 ist:
a
a =
+
0
a
B:
3
)
3
(
0
-
=
-
+
7
(4) Das (linksseitige) inverse Element
1
-
a zu a ist in der additiven Gruppe das Ele-
ment a
- . Bei einer Addition mit diesem erhält man das Nullelement 0. Die allge-
meine Notation des inversen Elements darf nicht mit dem Kehrwert verwechselt
werden:
0
)
(
=
+
-
a
a
-
)
(
, a
a
B:
0
3
)
3
(
=
+
-
Die Anwendung des Kommutativgesetzes auf das Modul ( ,+) zeigt, dass es sich hier
um eine abelsche Gruppe handelt:
a
b
b
a
+
=
+
b
a,
B:
3
4
4
3
+
=
+
7
7 =
Während die Addition schon auf der Trägermenge eine Gruppe bildet, braucht man
für die Multiplikation aufgrund der Gruppenaxiome mindestens die Trägermenge
, in
der das Element 0 ausgeschlossen wird. Die Verknüpfung (
\{0},·) mit dem Operator ·
bildet nach den Gruppenaxiomen eine abelsche Gruppe:
(1) Das Produkt ab mit
b
a,
\{0} liegt in der Menge der rationalen Zahlen
, d.h.
die multiplikative Verknüpfung erfüllt das Axiom der Abgeschlossenheit
(2) Die Multiplikation ist auf
\{0} assoziativ:
)
(
)
(
bc
a
c
ab =
c
b
a ,
,
\{0}
B:
5
)
4
3
(
)
5
4
(
3
=
60
60 =
(wahre Aussage als Beweis der Gültigkeit)
(3) Das neutrale (linksseitige) Einselement 1 erfüllt die Bedingung des neutralen
Elements e in der Gruppe (
\{0},·) :
a
a =
1
a
\{0} B:
3
3
1
=
(4) Das (linksseitige) inverse Element
1
-
a ist bei der Multiplikation der Kehrwert zum
Element a, so dass eine Verknüpfung mit diesem das Einselement 1 ergibt.
1
1
=
-
a
a
-1
, a
a
\{0} B:
1
3
3
1
=
-
Damit die algebraische Struktur eine Gruppe ist, muss es für jedes Element der Trä-
germenge ein Inverses geben, das jedoch für
0
=
a
nicht gegeben ist und so zum
Ausschluss der 0 aus der Trägermenge für multiplikative Gruppen führt. Der Aus-
druck
1
0
-
ist nicht definiert! Bei den inversen Elementen der Multiplikation treten
Brüche auf, die nur ab der Menge der rationalen Zahlen definiert sind.
Für die Multiplikation auf
\{0} gilt zusätzlich noch das Kommutativgesetz, wodurch
man eine abelsche multiplikative Gruppe (
\{0},·) erhält:
a
b
b
a
=
b
a,
\{0}
B:
3
4
4
3
=
12
12 =
(wahre Aussage als Beweis der Gültigkeit)
Während die Multiplikation und die Addition Gruppen erzeugen, können algebraische
Strukturen mit der Division und der Subtraktion als Operatoren aufgrund der fehlenden
Assoziativität keine Gruppen bilden:
· für das Magma ( ,-) gilt:
)
3
2
(
1
3
)
2
1
(
-
-
-
-
2
4
-
keine Assoziativität
· für das Magma (
\{0}, ÷ ) gilt:
)
3
:
2
(
:
1
3
:
)
2
:
1
(
2
3
6
1
keine Assoziativität
8
4. Eigenschaften von Gruppen
Bei der Definition des Gruppenbegriffs durch Axiome wurden Einschränkungen hin-
sichtlich der Stellung des neutralen und inversen Elements vorgenommen, da Axiome
als Grundansätze dienen, woraus alles Nötige deduktiv hergeleitet werden kann.
Außerdem muss noch die Eindeutigkeit des neutralen und inversen Elements, die ein-
deutige Lösbarkeit von Gleichungen und die Kürzungsregel auf der Trägermenge G
gezeigt werden, damit man in gewohnter Manier in Gruppen ,,schulisch rechnen" kann.
4.1.
Satz 1
: Analogie des links- und rechtseitigen neutralen Elements
Beweis:
e
a
a
a
a
a
a
a
a
e
!
!
!
!
!
!
=
=
=
-
-
)
(
)
(
1
)
2
(
1
)
4
(
G
a
Durch Anwendung des inversen Elements (4) und der Assoziativität (2) zeigt man die
Gültigkeit von
e
a
a
e
!
! =
für jedes
G
a .
Dieselbe bewiesene Eigenschaft trifft auch auf das inverse Element
1
-
a zu.
4.2.
Satz 2
: Übereinstimmung des links- und rechtsinversen Elements
Beweis:
)
2
(
1
1
1
1
)
2
(
1
1
1
1
)
4
(
1
)
3
(
1
))
(
(
)
(
)
(
)
)
((
)
(
=
=
=
=
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
e
a
a
!
!
!
!
!
!
!
!
!
e
a
a
a
e
a
a
a
a
a
)
4
(
1
1
1
)
3
(
1
1
1
)
4
(
1
1
1
1
)
2
(
)
(
)
(
)
(
)
)
((
)
(
=
=
=
=
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
!
!
!
!
!
!
G
a
Der Beweis beruht auf der Annahme, dass eine Verknüpfung von a mit seinem rechts-
inversen Element
1
-
a auch das neutrale Element e ergeben muss. So formt man an-
hand der Gruppenaxiome ((2);(3);(4)) um, bis man die Verknüpfung auf das axiomati-
sche linksinverse Element zurückgeführt hat, woraus das neutrale Element e wie ge-
wohnt resultiert. Darum reicht es aus, nur linksinverse Elemente axiomatisch als
Grundlage vorauszusetzen.
Nebenbei stellt man bei den Ausführungen als weitere Eigenschaft fest, dass das
Inverse von
1
-
a wieder a ist:
a
a
=
-
-
1
1
)
(
G
a
Aus dieser Eigenschaft lässt sich schon die Behauptung erschließen, dass das inverse
Element
1
-
a zu a eindeutig bestimmt ist.
4.3.
Satz 3
: Eindeutigkeit des inversen Elements
Beweis: Seien
G
v
u
,
Inverse von
G
a . Daraus folgt:
v
e
v
u
a
v
u
a
v
u
e
u
Satz 1
.
)
4
(
)
2
(
)
4
(
)
3
(
)
(
)
(
=
=
=
=
=
!
!
!
!
!
!
1
-
=
=
a
v
u
Hiermit wurde die Eindeutigkeit des inversen Elements
1
-
a für alle
G
a gezeigt.
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- Bilal Özkan Lafci (Autor:in), 2008, Die algebraische Struktur der Gruppe. Eine Einführung anhand des Rubik's Cube, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/277616
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