In Lehre und Forschung wird gelegentlich nach einer Herleitung der durch fluidmechanische Wirbelspiralen induzierten Geschwindigkeitsbeiträge im Strömungsfeld gefragt. Dies soll in diesem Aufsatz geschehen. In diesem Zusammenhang taucht das aus der Feldtheorie stammende und in der Elektrodynamik geläufige Gesetz von Biot uind Savart auf.
Ist das Geschwindigkeitsfeld bekannt, kann man daraus das Wirbelfeld Berechnen. Die Differentiation des Geschwindigkeitsfeldes (Bildung der Rotation) ist das Wirbelfeld. Gleichsam kann man das Geschwindigkeitsfeld aus dem Wirbelfeld berechnen.
Beitrag zur Phänomenologie der fluidmechanischen Wirbelspirale
Mi. Dienst, Berlin im Winter 2013/14
Nach der Tragflügeltheorie (Satz von Kutta-Joukowski) hängt die Auftriebskraft einer umströmten Tragfläche alleine von der Zirkulation ab [Schl-67]. Überlagern sich an einem Strömungskörper (bei einer zweidimensionalen Modellvorstellung in der Profilebene des Strömungskörpers) ein translatorisches und rotatorisches Strömungsfeld, kommt es infolge der Zirkulation um diesen Körper zu Verzögerung der Strömung auf der einen und zu einer Beschleunigung der Strömung auf der anderen Seite. Nach der Bernoullischen Gleichung führt die Beschleunigung zu einer Druckminderung, die Verzögerung zu einer Druckerhöhung. Im Falle eines Tragflügels wird dies als Auftriebskraft spürbar. Für einen angeströmten, endlichen Tragflügel ist die Auftriebskraft elliptisch über den Auftrieb erzeugenden Körper verteilt. Infolge des Druckgradienten kommt es am materiellen Ende der Tragfläche zu einer Umströmung der Tragflächenkante. Im Nachlauf der Kantenumströmung bildet sich nun ein kompakter Wirbel aus, der in der Literatur als „durch den Druckgradienten induzierter Randwirbel" beschrieben wird. Der induzierte Randwirbel bindet einen erheblichen Anteil der zur Erzeugung der Auftriebkräfte des Systems aufgebrachten Energie. Der Wirbelzopf im Nachlauf einer Auftrieb erzeugenden Tragfläche ist sehr stabil. In Strömungsuntersuchungen am Windkanal aber auch durch numerische Strömungssimulationsrechnungen kann das Um-strömungsgebaren an den Enden Auftrieb erzeugender Strömungskörper sichtbar gemacht werden. Jeder durch das Auftriebsgebaren einer Tragflügelfläche induzierter Wirbelzopf ist idealer weise hinsichtlich seiner Geschwindigkeitsverteilung in seinem Querschnitt kompakt und bildet ein graduelles rotatorisches Fernfeld aus. Existieren zwei oder mehr kompakte Wirbelzöpfe gleicher Drehrichtung und ähnlicher oder (in einem günstigen Fall) gleicher Intensität, beginnen die Wirbelzöpfe im Nachlauf ihres Entstehungsortes um ein gemeinsames Zentrum zu rotieren. Ein schraubenartiges Wirbelspulengebilde entsteht. Während die Wirbelzöpfe auf dem Mantel der Wirbelspule stromabwärts um eine gemeinsame zentrale Achse rotieren bildet sich innerhalb der Wirbelspule entlang des zentralen Stromfadens eine beschleunigte Strömung aus, die nach außen durch den Wirbelmantel begrenzt und geführt wird. Dieses als „Wirbelspuleneffekt" bezeichnete Phänomen wurde in den 70er und 80er Jahren des vergangenen Jahrhunderts durch messtechnische Untersuchungen belegt (Ingo Rechenberg, Technische Universität Berlin) und eine Theorie der Wirbelspule entwickelt. Die Strömung innerhalb der Wirbelspule ist intensiv; die Geschwindigkeiten können gegenüber der den Wirbelspuleneffekt hervorrufenden Flügelumströmung mehr als den dreifachen Wert annehmen. Aus Windkanalmessungen ist bekannt, dass zu einer den Auftrieb generierende Tragflächen der kumulierten Tragflügeltiefe t erzeugte Wirbelspule stromabwärts eine Länge von L > 10 t hinweg stabil existiert und über die gesamte Distanz einen intensiven Strömungsjet produziert. Das Geschwindigkeitsniveau der Innenströmung kann derart ansteigen, dass aufgrund der Druckabnahme im Jet (Bernoulli-Gleichung, Kontinuität) die umhüllende Mantelströmung implodieren kann und die den Effekt tragende Wirbelspule ihre schraubenförmige Struktur verliert.
Landsegelnde Vögel mit ihren kastenförmigen und an den Flügelenden mit Gefiederfinger ausgestatteten Tragflächen nutzen den Wirbelspuleneffekt. Der durch die Wirbelspule erzeugte Strömungsjet spielt zu einem gewissen Maße die zur Generierung von Auftrieb eingesetzte Energie des Landseglers wieder ein. Rechenberg untersuchte das Auftriebsgebaren großer landsegelnder Vögel und postulierte den Wirbelspuleneffekt, bevor er ihn durch Experimente an biologischen Flügeln und an technischen Auftrieb generierenden Tragflächen nachwies. Auch Seevögel mit ihren schlanken Flügeln besitzen aufgefingerte Tragflächenenden, wenn auch weniger ausgeprägt. Ein den induzierten Widerstand mindernder Effekt wird hier dadurch erzielt, dass die Geometrie des Auftrieb bedingten (induzierten) Randwirbels deformiert und in seiner Kompaktheit geschwächt wird. In ihrer technischen Ausführung werden diese den Widerstand mindernden (singulären) Anflügel Winglets genannt und sind Stand der rezenten Technik.
Geschwindigkeitsbeiträge im Strömungsfeld
Die zu einem Wirbelfaden gehörige Strömung ist, bis auf den Wirbelfaden selbst wirbelfrei. Ist der Wirbelfaden gerade, entspricht dies einem Potentialwirbel. Eine Wirbelströmung kann durch das Geschwindigkeitsfeld beschrieben werden und eine Wirbelströmung kann durch das Wirbelfeld beschrieben werden. Geschwindigkeitsfeld und Wirbelfeld hängen zusammen.
In Lehre und Forschung wird gelegentlich nach einer Herleitung der durch fluidmechanische Wirbelspiralen induzierten Geschwindigkeitsbeiträge im Strömungsfeld gefragt. Dies soll in diesem Aufsatz geschehen. In diesem Zusammenhang taucht das aus der Feldtheorie stemmende und in der Elektrodynamik geläufige Gesetz von Biot uind Savart auf.
Ist das Geschwindigkeitsfeld bekannt, kann man daraus das Wirbelfeld Berechnen. Die Differentiation des Geschwindigkeitsfeldes (Bildung der Rotation) ist das Wirbelfeld. Gleichsam kann man das Geschwindigkeitsfeld aus dem Wirbelfeld berechnen. Die Integration des Wirbelfeldes ist das Geschwindigkeitsfeld. Die Integration des Wirbelfeldes entspricht dem Gesetz von Biot und Savart. Zunächst werde ich einige Begriffe und Formeln anführen, die vor dem Hintergrund strömungsmechanischer Wirbelspiralen auftauchen:
Mit Zirkulation Γ bezeichnet man die Stärke eines (beispielsweise um eine Tragfläche kreisenden) Wirbels, bzw. des Ringintegrals der Zirkulationsgeschwindigkeit vr über die Weglänge sr. Bei einem so genannten „starren Wirbel" herrscht eine konstante Winkelgeschwindigkeit ωW und an einem beliebigen Abstand r die Tangentialgeschwindigkeit vTW
Aus der Integration des Linienintegrals folgt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Man unterscheidet weiterhin Potentialwirbel, sie besitzen einen Geschwindigkeitsgradient im ferneren Feld (Peripherie) und Rankine-Wirbel, die als Superposition (Überlagerung) von starrem Wirbel (Kern) und Potentialwirbel (Peripherie) gesehen werden kann. Mit der Zirkulation (Ringintegral der Zirkulationsgeschwindigkeit über die Weglänge s kann die Auftriebskraft FA eines Flügels mit der Spannweite b angegeben werden und es entsteht eine handliche Formulierung der Zirkulation um einen Tragflügel. Nach Kutta- Joukowski folgt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Zur Zirkulation um einen Tragflügel:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Zur Zirkulation auf einer Kreisbahn:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
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