Diese Arbeit befasst sich mit der Programmierung einer 3D- Schallfeldsimulation in MathWorks MATLAB.
Die Simulation bildet die akustischen Übertragungseigenschaften eines Quaderraumes nach.
Das aus der geometrischen Raumakustik stammende Spiegelquellenverfahren (image source method) ist die Basis diese Simulation.
Mit beliebig vielen Mikrofonen und Schallquellen lassen sich diverse Szenarien einstellen und simulieren.
Desweiteren besteht die Möglichkeit den Schallquellen eine Richtcharakteristik oder auch eine Bewegung zuzuweisen, um z.B. die Bewegung einer sprechenden Person zu simulieren. Frequenzabhängige Absorptionseigenschaften der Wände ermöglichen die Nachbildung verschiedener Wandeigenschaften, z.B. Wände aus Beton oder Tapete. Ein abschließender Vergleich des simulierten Schallfeldes mit einem Schallfeld, welches in einem realen Raum gemessen wurde, stellt Übereinstimmungen bzw. Abweichungen dar.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Grundlagen der Akustik
2.1 Schall
2.2 Schallintensität
2.3 Schallfeld
2.4 Streuung und Reflexion
2.5 Beugung
3 Grundbegriffe der Raumakustik
3.1 Raumimpulsantwort
3.2 Nachhall
3.3 Direktschall
3.4 Hallradius
3.5 Schallabsorption
3.6 Raumakustik
3.6.1 Geometrische Raumakustik
4 Computer-Schallfeldsimulation
4.1 Spiegelquellenverfahren
4.2 Schallteilchenverfahren
4.3 Vergleich hinsichtlich der Simulation in MATLAB®
5 3D-Simulationsmodell
5.1 Berechnung der Spiegelquellen
5.2 Grundsätzlicher Programmablauf
5.3 Sichtbarkeitstest
5.4 Berechnung des frequenzabhängigen Reflexionsgrades
5.5 Schalldruckabnahme und Faltung mit Wand
5.6 Richtcharakter Sprachquelle
5.7 Mehrere Schallquellen und mehrere Sensoren
5.8 Bewegung der Quelle
5.9 Bewegte und ruhende Quellen und mehrere Sensoren
5.10 SNR
5.11 Reflexionsordnung
6 GUI (Graphical User Interfaces)
6.1 Guide Control Panel
6.2 Zuordnung der graphischen Objekte im Programm
7 Vergleich und Test mit Realität
7.1 Einfache Beispiele
7.1.1 Laufzeit
7.1.2 Test des Richtcharakters
7.1.3 Test der Bewegung
7.2 Reale Messung in einem Raum
7.2.1 Versuchsbeschreibung
7.2.2 Reale Messung 1
7.2.3 Reale Messung 2
8 Zusammenfassung
9 Literatur
10 Anhang
A1 Prozedurbaum
A2 Liste mit Programmvariablen
A3 Absorptionstabellen
A4 Bedienungsanleitung
A5 Simulationsprogramm CD
1 Einleitung
Eine 3D-Simulation eines Schallfeldes in einem Quaderraum ermöglicht, unter Benutzung mehrerer Mikrofone und entsprechender Auswertung der Mikrofonsignale, die exakte Richtungsbestimmung bzw. Ortung einer Schallquelle. Das Ziel ist es, eine reale 3D-Nachbildung des in einem Quaderraum stattfindenden Schallfeldes zu programmieren.
In dieser Diplomarbeit wird neben akustischen und raumakustischen Grundlagen ein Verfahren zur Berechnung des Schallfeldes in einem Quaderraum dargestellt. Es handelt sich dabei um das sogenannte „Spiegelquellenverfahren“, mit dem durch virtuelle Quellen eine Berechnung des Schallfeldes möglich wird. Es folgt eine Erläuterung der Programmierung der Schallfeldsimulation in MATLAB®, d. h. mit allen zu beachtenden Faktoren, wie z. B. eine Richtcharakteristik einer Quelle.
Ein anschließender Vergleich des simulierten Schallfeldes mit einem Schallfeld, das in einem realen Raum gemessen wurde, stellt Übereinstimmungen bzw. Abweichungen dar.
2 Grundlagen der Akustik
2.1 Schall
Unter Schall versteht man mechanische Schwingungen, die Frequenzanteile im Hörbereich, also etwa von 16 Hz–16 kHz enthalten. Solche Schwingungen entstehen, wenn die kleinsten Teilchen eines elastischen Stoffes, seine Moleküle, durch äußere Kräfte aus ihrer Gleichgewichtslage herausbewegt und anschließend sich selbst überlassen werden. Falls die Schwingungen in Luft oder einem anderen Gas erfolgen, spricht man von Luftschall, bei Flüssigkeitsschwingungen von Flüssigkeitsschall und bei Festkörperschwingungen von Körperschall. Im Rahmen der Raumakustik spricht man hauptsächlich von Luftschall, worauf im Folgenden näher eingegangen werden soll.
Der Luftschall ist die uns im Leben am häufigsten begegnende Form des Schalls. Er entsteht durch Anregung von Schwankungen der Luftdichte, wobei Über- und Unterdruck entsteht, der sich örtlich und zeitlich auszugleichen versucht. Schall, der durch periodische Schwingungen entsteht, z. B. durch ein Musikinstrument, wird als Ton oder Klang empfunden [3].
Luftteilchen, die zum Schwingen angeregt worden sind, regen ihrerseits die benachbarten Luftteilchen zum Schwingen an usw. Es tritt dabei eine Folge von Luftteilchenverdichtung und –verdünnung auf, die sich wellenartig ausbreitet [3].
Bei der Schallwelle in Luft findet aber die Hin- und Herbewegung der Teilchen nur in der Richtung der Ausbreitung statt, was man allgemein als Längs- oder Longitudinalwelle bezeichnet. Um die auftretenden Geschwindigkeiten der einzelnen Luftteilchen nicht mit der üblicherweise als „Schallgeschwindigkeit“ bezeichneten Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Schallwellenbewegung zu verwechseln, hat man dafür die Bezeichnung „Schallschnelle“ eingeführt.
Die Schallgeschwindigkeit ist von den Eigenschaften des Mediums, in dem sich der Schall ausbreitet, abhängig. In Luft kann die Schallgeschwindigkeit berechnet werden durch [4]:
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (2.1)
T...Temperatur in °C
Also bei Raumtemperatur (20°C) etwa 343m/s.
2.2 Schallintensität
Die Schallintensität oder auch Schallstärke beschreibt die pro Zeiteinheit durch ein Flächenelement hindurchtretende Schallenergie.
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (2.2)
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ...Effektivwert des Schalldrucks
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ...Effektivwert der Schallschnelle
Somit charakterisiert die Schallintensität im Wesentlichen den Energieinhalt eines Schallfeldes.
2.3 Schallfeld
Als Schallfeld bezeichnet man einen mit Materie (z. B. mit Luft) erfüllten Raum, in dem sich Schall ausbreitet. Man benutzt zur quantitativen Beschreibung eines Schallfeldes i. Allg. die örtliche und zeitliche Verteilung des Schalldrucks p oder der Schallschnelle v [3].
Um dem menschlichen Lautstärkeempfinden besser nachzukommen, wird in der Akustik üblicherweise mit dem absoluten Schalldruckpegel gearbeitet. Dieser entspricht dem 20-fachen logarithmierten Verhältnis des Schalldrucks.
Der Bezugsschalldruck für die Definition des Schalldruckpegels beträgt 20uN/m². Dabei handelt es sich um [3]:
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (2.3)
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ...Effektivwert des Schalldrucks
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ...Effektivwert Bezugsschalldruck
2.4 Streuung und Reflexion
Treffen Schallwellen auf ein großes, ebenes oder beinahe ebenes Hindernis (also ein Hindernis, dessen Krümmungsradius wesentlich größer als die Wellenlänge ist), dann werden die Schallwellen ähnlich wie bei der Reflexion eines Lichtstrahls, der auf einen Spiegel fällt, so reflektiert, dass der Einfallswinkel gleich dem Ausfallswinkel ist (siehe Bild 2-1).
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 2-1 Reflexion von Schallwellen an einer Reflexionsfläche
Wenn das Hindernis klein ist, d. h., wenn die Wellenlänge ungefähr gleich oder größer ist als die Reflexionsfläche, so kommt es zu einer Streuung der Reflexion (diffuse Reflexion, siehe Bild 2-2) [3].
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 2-2 Diffuse Reflexion
2.5 Beugung
Trifft eine Schallwelle auf ein Hindernis, welches relativ groß ist, so kann eine Schattenwirkung beobachtet werden. Das Gleiche gilt für eine Wand, die eine Öffnung besitzt, durch die der Schall hindurchtreten kann.
Wie aus der Optik bekannt, wirft jeder lichtundurchlässige Gegenstand, der im Strahlengang einer Lichtquelle steht, einen seinen Umrissen entsprechenden Schatten. Schattenwirkungen gibt es bei Schallwellen nicht immer. Hindernisse, die man dem Licht entgegenstellt, sind im Gegensatz zur Akustik sehr viel größer als die Lichtwellenlänge. Einem Frequenzbereich von 100 Hz bis 10 kHz entspricht beim Luftschall ein Wellenlängenbereich von etwa 3 m bis 3 cm.
Das ist aber genau der Größenordungsbereich, in dem auch die Abmessungen der meisten Gegenstände unserer Umgebung liegen. In diesem Falle wird die Wellenausbreitung durch die Gesetze der Beugung bestimmt[3].
3 Grundbegriffe der Raumakustik
3.1 Raumimpulsantwort
Werden in einem geschlossenen Raum Schallwellen von einer Schallquelle ausgesendet, so treffen diese bald auf Wände, Decke und Boden. Dort werden sie als Schallreflexion zurückgeworfen. Die Rückwürfe treffen wieder und wieder auf die Raumbegrenzungen. Dabei erhöht sich die zeitliche Dichte der Rückwürfe, die an einem Ort im Raum, z. B. Mikrofon, eintreffen, immer mehr (siehe Bild 3-1).
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 3-1 Raumimpulsantwort, Zeitfolge der Rückwürfe in einem Rechteckraum
Die ersten Reflexionen werden als Echo wahrgenommen. Nach den ersten Reflexionen folgt der Nachhall, der die zeitlich sehr dichten Reflexionen beschreibt (siehe Bild 3-1).
3.2 Nachhall
Hall setzt sich aus einer großen Anzahl von Reflexionen zusammen, die um so schwächer werden und um so dichter aufeinander folgen, je später nach dem Direktschall sie beim Mikrofon eintreffen.
Die Nachhallzeit ist das wichtigste Merkmal des Nachhalls. Sie ist definiert als diejenige Zeit, innerhalb derer nach Ende der Schallaussendung der Schallpegel um 60 dB abfällt. Die Nachhallzeit lässt sich aus der Geometrie des Raumes und den absorbierenden Teilflächen des Raumes angeben [3], [1]:
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (3.1)
T...Nachhallzeit in s
V...Volumen in m3
Ak...Teilflächen in m2
A...Gesamtfläche in m2
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ...Schallabsorptionsgrad der Teilfläche Ak
3.3 Direktschall
Der Direktschall wird auf dem Weg von einer Schallquelle zu einem Mikrofon in seinem Pegel gedämpft. Den größten Einfluss hat dabei die geometrische Ausbreitungsdämpfung. Also mit zunehmender Entfernung von der Schallquelle nimmt der Pegel ab. Es kommt aber auch zu einer Dämpfung durch die Luft, abhängig von ihrer Feuchtigkeit und Temperatur.
Bei Schallquellen, die klein gegenüber der Wellenlänge des abgestrahlten Schalls sind, verteilt sich die Schallenergie auf Kugelschalen, deren Oberfläche mit Entfernung von der Quelle sehr groß wird. Damit muss sich die Schallenergie großflächig verteilen und es kommt zu einer Abschwächung des Schalldrucks. Auf jede Verdopplung der Entfernung halbiert sich der Schalldruck. Also nimmt der Schalldruck mit 1/r von der Quelle ab (Bild 3-2).
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 3-2 Geometrische Ausbreitungsdämpfung
Allgemein steigt die Ausbreitungsdämpfung durch Luft, die zur geometrischen Ausbreitungsdämpfung hinzukommt, mit der Frequenz an. Im mittleren Bereich nimmt die Dämpfung mit zunehmender relativer Luftfeuchtigkeit ab, ebenso mit steigender Temperatur. Kalte, trockene Luft hat bei hohen Frequenzen eine höhere Absorption als warme, feuchte Luft. Die Änderungen sind aber im Allgemeinen gering. Bei der heute üblichen Klimatisierung von Räumen sind die Einflüsse ohne praktische Bedeutung [4].
3.4 Hallradius
Der Hallradius ist ein wichtiges Kriterium für den Mikrofonabstand, da im Allgemeinen der Direktschall der Schallquelle von Bedeutung ist.
Schall erreicht einerseits von der Schallquelle aus als Direktschall einen Hörer bzw. ein Mikrofon, andererseits treten in einem Raum nach dem Direktschall die Reflexionen auf. Die Reflexionen kommen dabei aus allen Richtungen und werden somit als Diffusschall bezeichnet. Der Direktschall nimmt mit Entfernung von der Schallquelle mit 1/r ab. Hingegen ist der Diffusschall über den ganzen Raum verteilt. Somit verändert sich das Verhältnis von Direkt- zu Diffusschall mit dem Abstand von der Schallquelle.
Der Hallradius (Bild 3-3) gibt an, an welchen Orten im Raum der Direktschall und der Diffusschall genau gleich groß sind.
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (3.2)
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ...Hallradius in m
T60...Nachhallzeit in s
V...Volumen in m3
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 3-3 Hallradius
Im Allgemeinen sollten also Mikrofone innerhalb des Hallradius aufgestellt werden.
In der Praxis lässt sich der Hallradius jedoch nur schwer abschätzen [5].
3.5 Schallabsorption
Unter Schallabsorption wird die Umwandlung von Schallenergie in Wärmeenergie (Schallschluckung) beim Auftreffen des Schalls auf Raumbegrenzungen verstanden. Schallabsorption wird in der Praxis oft verwechselt mit der Schalldämmung. Die Schalldämmung beschreibt die Behinderung der Schallausbreitung durch schallreflektierende Hindernisse, also durch Reflexion.
Zur Charakterisierung der Schallabsorption dient meistens der Absorptionsgrad:
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (3.3)
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ...Schallabsorptionsgrad
Je...einfallende Schallintensität
Jr...reflektierte Schallintensität
Absorptionsgrad 1 bedeutet also, dass kein Schall reflektiert wird. Hingegen bedeutet Absorptionsgrad 0 totale Reflexion [3].
Die Wirkungsweise von Absorbern ist stark frequenzabhängig. Es gibt keinen Universalabsorber, der in allen Frequenzbereichen in gleicher Weise wirksam ist. Dieses wird durch die Unterschiede zwischen den Wellenlängen tiefer Töne und hoher Töne hervorgerufen. In der Praxis unterscheidet man so genannte Höhen-, Tiefen- und Mittenabsorber.
Höhenabsorber wirken im höheren Frequenzbereich von ca. 500 bis 1000 Hz an aufwärts (Bild 3-4).
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Bild 3-4 Höhenabsorber
Höhenabsorber sind immer poröse Materialien, wie z. B. Filze- und Mineralfaser.
Die Absorption geschieht dadurch, dass die schwingenden Luftteilchen in ihrer Bewegungsgeschwindigkeit (Schnelle) gebremst werden.
Tiefenabsorber sind im Frequenzbereich unter 300 bis 500 Hz wirksam (Bild 3-5).
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Bild 3-5 Tiefenabsorber
Diese Absorber bestehen meist aus Helmholz-Resonatoren oder aus mitschwingenden Platten, z. B. Holzverkleidungen.
Die so genannten Mittenabsorber wirken vor allem zwischen 300 und 1000Hz (Bild 3-6).
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Bild 3-6 Mittenabsorber
Mittenabsorber bestehen aus einer Kombination aus porösen Absorbern mit Tiefenabsorber, z. B. aus einer porösen Schicht mit perforierter Abdeckung.
3.6 Raumakustik
Die Raumakustik lässt sich im Prinzip in 3 Teilbereiche gliedern: in die Wellentheoretische Raumakustik, die Geometrische Raumakustik und die Statistische Raumakustik. Es soll hier nur auf die Geometrische Raumakustik eingegangen werden, weil das 3D-Simulationsprogramm in MATLAB® auf diesem Prinzip beruht.
3.6.1 Geometrische Raumakustik
Die Geometrische Raumakustik geht von einer strahlenförmigen Schallausbreitung aus. Dabei werden die Gesetze der Optik angewandt. Die Gesetze der Optik sind dann anwendbar, wenn es sich um große und glatte Reflexionsflächen handelt, d. h., ihre Gesamtabmessungen müssen groß, die Rauigkeiten müssen klein im Verhältnis zur Wellenlänge sein. Da mit jeder Reflexion das Beobachten der Schallstrahlen komplexer wird, beschränkt man sich auf die Zeit unmittelbar nach der Schallabstrahlung, d.h. Direktschall und erste Reflexionen.
Die Strahlverfolgung und die Positionsbestimmung der Spiegelquellen passiert in einfachster Weise auf dem Papier. Denkt man sich eine Schallquelle, die einen Impuls aussendet, und in einem bestimmten Abstand dazu eine Wand, so gehen zunächst die Schallstrahlen von der Schallquelle geradlinig ab. Die Wellenfront bildet dabei in der zweidimensionalen Darstellung einen Kreis (Bild 3-7), dessen Radius sich mit fortschreitender Zeit vergrößert. Trifft die Welle auf die Wand, so gilt: Einfallswinkel ist gleich Ausfallswinkel. Die rückwärtigen Verlängerungen der Strahlen müssen sich alle in einem Punkt schneiden, dessen Abstand von der Wand gleich dem des ursprünglichen Sendepunktes ist. Dieser Punkt wird als Spiegelquelle, genauer gesagt in diesem Fall als Spiegelquelle 1.Ordung bezeichnet. Er wirkt nun als neue Schallquelle, sendet also Schallstrahlen ab, die gesamte Wellenfront besteht nun aus der Überlagerung von zwei Kreisbögen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 3-7: Spiegelung an einer ebenen Wand[1]
Geht man davon aus, dass es noch eine zweite Spiegelwand gibt (z. B. zwei
parallele Wände), so entstehen Spiegelquellen höherer Ordnung. Die Quelle erzeugt in diesem Fall zwei Spiegelquellen 1. Ordnung, eine an der linken Wand und eine an der rechten Wand (siehe Bild 3-8).
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 3-8 Spiegelung an zwei parallelen Wänden[1]
Die linke Spiegelquelle 1. Ordnung wird in weiterer Folge an der rechten Wand gespiegelt, die rechte Spiegelquelle 1. Ordnung an der linken Wand. Diese erzeugt also Spiegelquellen 2. Ordnung. Fährt man analog fort, so erhält man die Spiegelquellen dritter und höherer Ordnung. Es sind quasi unendlich viele solcher scheinbarer Sender möglich. Im praktischen Fall wird jedoch jeder Strahl bei der Reflexion durch den der Wand eigenen Absorptionsgrad gedämpft und nimmt daher in der Amplitude ab. Nach einer gewissen Anzahl an Reflexionen wird der Schallstrahl in seiner Amplitude so gedämpft, dass er nicht mehr von Bedeutung ist [1].
4 Computer-Schallfeldsimulation
Auf Basis eines dreidimensionalen Raummodells haben sich bis heute zwei Verfahren zur Schallfeldsimulation durchgesetzt: zum einen das Spiegelquellenverfahren und zum anderen das Schallteilchenverfahren [2].
4.1 Spiegelquellenverfahren
Das Spiegelquellenverfahren (cone tracing) basiert auf der in Abschnitt 3.6.1 beschriebenen Geometrischen Raumakustik. Mit dem Spiegelschallquellenverfahren entstehen virtuelle Schallquellen, indem man durch Spiegelung der Schallquelle an den Wänden alle möglichen Reflexionen nachempfindet.
Die Anzahl der Spiegelquellen NSSQ, die zur Berechnung der Raumimpulsantwort eines Raumes mit x Reflexionsflächen benötigt werden, berechnet sich folgendermaßen [7]:
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (4.1)
Beispiel: Somit folgt für einfache Reflexion (n=1) und 6 Wände eine Anzahl von 6 Spiegelquellen. Bei n=2 folgt eine Anzahl von 36, bei n=6 folgt eine Anzahl von 23436 Spiegelquellen usw.
Es ist aus der Gl. (4.1) zu erkennen, dass die Anzahl der erzeugten Spiegelquellen mit großem n sehr stark steigt.
4.2 Schallteilchenverfahren
Eine weitere Methode ist das Schallteilchenverfahren (particle tracing), was als eine rein statistische Methode einige 100.000 Schallpartikel mit einem bestimmten räumlichen Impuls von der Schallquelle aussendet. Während die Partikel an den Wänden reflektiert werden, wird der Energieverlust der einzelnen Partikel anhand von zurückgelegter Strecke und Absorptionsgrad der Wände berechnet. Unterschreitet ein Partikel ein vorher bestimmtes Energieniveau, wird der weitere Weg nicht mehr verfolgt. In einem Raum werden über so genannte kubische Detektoren an allen möglichen Hörerstandpunkten die Einfallswinkel und das Energieniveau der einzelnen Partikel erfasst, die dann jeweils einer Statistik zugeordnet werden.
Weiterhin kann man jedem Teilchen ein bestimmtes Frequenzband zuordnen, sodass auch die spektrale Absorptionscharakteristik des Raumes nachgebildet werden kann.
Beim Schallteilchenverfahren hängt der Rechenaufwand von der Anzahl der Partikel und der Detektoren ab, wobei die Leistung dieses Verfahrens zusätzlich durch Kollisionserkennungsalgorithmen begrenzt wird, die sehr rechenintensiv sind. Diese unterscheiden, ob ein Teilchen an einer Wand reflektiert wird oder ob es auf einen Detektor trifft [2].
4.3 Vergleich hinsichtlich der Simulation in MATLAB®
Ein Vergleich der beiden Verfahren zeigt auf, dass beim Schallteilchenverfahren der Rechenaufwand nicht durch die Reflexionstiefe, sondern im Wesentlichen durch die Anzahl der Schallpartikel und die Anzahl der Detektoren bestimmt wird. Mit zunehmender Partikel- und Detektorzahl wird das Verfahren zwar genauer, es wächst aber im gleichen Maße der Rechenaufwand. Somit bietet es den Vorteil, dass es im Vergleich zum Spiegelquellenverfahren eine effizientere Berechnung höherer Reflexionsordnungen ermöglicht.
Ebenso ist es möglich im Schallteilchenverfahren zusätzlich diffuse Reflexionen, d. h., wenn eine Schallwelle auf eine Wand trifft und von dort in verschiedene Richtungen gestreut wird, mit einzubeziehen.
Der Einsatz des Spiegelquellenverfahrens hingegen ist besonders geeignet für quaderförmige Räume mit einer niedrigen Ordnung der Reflexionstiefe. Der Rechenaufwand steigt zwar exponentiell an, mit
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
,da aber beim Schallteilchenverfahren mit einigen 100.000 Partikeln gearbeitet wird, ist der Aufwand somit für niedrige Reflexionsordnungen geringer. Ein weiterer Vorteil des Spiegelquellenverfahrens ist die Berechnung in Quaderräumen, weil dort ein relativ einfaches Bildungsgesetz für die Spiegelquellen (siehe Abschnitt 5.2) existiert. Ebenso fällt ein so genannter „Sichtbarkeitstest“ (siehe Abschnitt 5.3) , mit dem überprüft wird, ob eine Spiegelquelle im Raum sichtbar ist, nicht zu aufwendig aus.
Ein Vergleich hinsichtlich der Programmierung in MATLAB® führt somit zum Spiegelquellenverfahren, da es sich bei der Simulation um einen quaderförmigen Raum handelt.
5 3D-Simulationsmodell
Das Simulationsmodell sollte, zwecks eventueller Veränderungen, eine hohe Flexibilität aufweisen. Dieses wurde durch einen modularen Aufbau erreicht. Nach dem Modell der geometrischen Raumakustik, also nach dem Spiegelquellenprinzip, werden Reflexionen bis zur 6. Ordnung berücksichtigt. Wie das Simulationsprogramm im Detail funktioniert, soll in den folgenden Kapiteln erläutert werden.
5.1 Berechnung der Spiegelquellen
Als Erstes müssen die Spiegelquellen für den gegebenen Raum konstruiert werden, indem die Originalquelle an allen Wandebenen gespiegelt wird. Die so entstandenen Spiegelquellen müssen ebenfalls an allen Wandebenen gespiegelt werden (siehe Bild 5-1). Die dadurch entstehenden Quellen repräsentieren Strahlen, die mehrere Wände getroffen haben, unter Berücksichtigung aller möglichen Permutationen der Reihenfolge der Wände. Eine aufeinander folgende Spiegelung an ein und derselben Wand ist von vornherein auszuschließen (siehe Bild 5-2) [7], d. h. die blaue Spiegelquelle in Bild 5-2 erzeugt mit jeder Wand die rosa Spiegelquellen 2. Ordnung außer mit der Wand, aus welcher sie selber erzeugt wurde.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 5-1 Spiegelquellen bis 2. Ordnung im 2D-Raum
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Bild 5-2 Ausschluss von Spiegelung an ein und derselben Wand
Diese Erzeugung der Spiegelquellen ist bis zu einer vorher definierten höchsten Ordnung fortzuführen. Somit repräsentiert z. B. eine Spiegelquelle 4. Ordnung einen Schallstrahl, der vier Wandreflexionen erfahren hat.
Wie schon erläutert, gestaltet sich die Berechnung der Spiegelschallquellen in rechteckigen Räumen (Quader) relativ einfach, weil dort die Spiegelquellen gleichmäßig angeordnet sind. Bild 5-3 und Bild 5-4 zeigen die Anordnung der Spiegelschallquellen bis 2. Ordnung in zweidimensionaler und dreidimensionaler Ansicht.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 5-3 Spiegelquellen bis 2. Ordnung in 2D-Darstellung
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 5-4 Spiegelquellen bis 2. Ordnung im 3D-Raum
In Räumen, deren Form nicht rechteckig ist, ist die Berechnung sehr viel komplizierter und mit viel größerem Aufwand verbunden.
Die Berechnung der Spiegelschallquellen innerhalb des 3D- Simulationsprogramms kann nach den aus der Analytischen Vektorrechnung bekannten Rechenformeln gelöst werden.
Beispiel: Gegeben sei eine reflektierende Wand und eine Schallquelle (Bild 5-5).
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Bild 5-5 Spiegelung eines Punktes mit einer Ebene
Wie bereits erläutert, befindet sich die Spiegelschallquelle im selben Abstand von der Wand entfernt wie die Schallquelle, jedoch auf der gegenüberliegenden Seite.
Als Erstes kann der Abstand von der Schallquelle (Punkt) zur Wand (Ebene) bestimmt werden. Mit Hilfe einer Formel aus der Vektorrechnung:
„ Abstand eines Punktes von einer Ebene“ [6]:
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (5.1)
dAbstand Quelle zur Wand
nNormalenvektor[1]
rQ , r1, rS Ortsvektoren[2]
Ist der Abstand d berechnet, so ist durch Bestimmung des Ortvektors von S (Bild 5-5) die Spiegelquellenposition leicht zu berechnen:
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (5.2)
Lösung im Quelltext (spiegelquellen3d.m/main3d.m):
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 5-6 Programmausschnitt / Berechung der Spiegelquellen
Das Ergebnis beinhaltet auch ungültige nicht sichtbare Spiegelschallquellen (siehe Abschnitt 5.3). Die Menge der zur Berechnung tatsächlich benötigten Spiegelschallquellen stellt im Allgemeinen nur einen kleinen Teil der Gesamtmenge dar. In Bild 5-7 und Bild 5-8 sind als Beispiel Spiegelquellen bis zur 5. Ordnung zu erkennen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 5-7 Spiegelquellen bis 5. Ordnung in 2D-Darstellung
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 5-8 Spiegelquellen bis 5. Ordnung in 3D-Darstellung
blau... Spiegelquellen 1.Ordung, rosa Spiegelquellen 2.Ordnung, grün... Spiegelquellen 3.Ordnung, cyanSpiegelquellen 4.Ordnung, schwarz...Spiegelquellen 5.Ordnung.
5.2 Grundsätzlicher Programmablauf
Das Ziel der Spiegelquellenberechnung ist letztendlich das Finden der Impulsantwort. Dazu wird angenommen, dass eine Schallquelle einen Impuls aussendet und dessen weiterer „Spiegelweg“ im Raum verfolgt wird (siehe Bild 5-9).
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Bild 5-9 Spiegelweg
Der Schalldruck in einer bestimmten Entfernung zur Schallquelle berechnet sich aus dem Modell eines Kugelstrahlers (siehe Abschnitt 5.5), d.h., der Schalldruck nimmt mit der Entfernung zur Schallquelle mit 1/Radius ab.
Der Zeitpunkt, zu dem ein Impuls am Sensor eintrifft, berechnet sich aus der Wellenausbreitungsgeschwindigkeit/Schallgeschwindigkeit c und dem Radius r von der jeweiligen Quelle bzw. Spiegelquelle zur Sensorposition:
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (5.3)
Zusätzlich wird der Impuls aber noch durch die Wandeigenschaften beeinflusst, es findet eine Absorption statt (siehe Abschnitt 5.4).
Sind die Impulse für alle Spiegelquellen berechnet, können sie zu den passenden Zeitpunkten platziert werden.
Die Platzierung wird im Simulationsprogramm durch Addition aller Impulse der Spiegelquellen durchgeführt (siehe Bild 5-10). Da die Signale in MATLAB® die gleiche Länge aufweisen müssen, um diese addieren zu können, werden sie mit Nullen erweitert. Also besteht das jeweilige zu addierende Signal (in diesem Beispiel ein Impuls) aus einer Laufzeit, aus dem Signal selbst und zum Schluss eventuell aus zusätzlichen Nullen (Bild 5-10).
Lösung im Quelltext (bewschritte.m)
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 5-10 Programmbeispiel / Addition zum Gesamtsignal
Beispiel: Addition der Impulse von den Spiegelquellen 1.Ordung
In Bild 5-11 ist ein Quaderraum zu erkennen, mit einer Quelle und 6 erzeugten Spiegelquellen (blaue Kreise) und einem Sensor.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 5-11 Beispiel
Sendet die Originalquelle nun einen Impuls aus, so wird der Impuls an jeder Wand gespiegelt und man erhält ein Sensorsignal, wie in Bild 5-12 gezeigt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 5-12 Addition der Schallreflexionen
Der erste Impuls stellt den Direktschall dar, die weiteren Impulse entsprechen den Reflexionen an den jeweiligen Wänden.
5.3 Sichtbarkeitstest
Sind nun die Spiegelquellen alle erzeugt, ist für jeden Empfangspunkt (Sensorposition) zu überprüfen, ob eine formal existierende Spiegelquelle „hörbar“ ist, d. h., ob ihr ein sinnvoller Strahlengang überhaupt zugeordnet werden kann [7].
Einige Spiegelquellen sind schon bei der Bestimmung von dem Abstand der Schallquelle (Punkt) zur Wand (Ebene), anhand der Gl. (5.1), als ungültig anzusehen, wenn das Ergebnis negativ ist. Ein negatives Ergebnis führt zu falschen Ergebnissen (siehe Bild 5-13).
Beispiel: Spiegelquelle 3. Ordnung, bezogen auf die linke Wand, ist nicht sichtbar.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 5-13 Spiegelquelle 3.Ordnung nicht sichtbar
Die orangefarbenen Pfeile zeigen die Reflexionsrichtung an. Vom roten Punkt (Quelle) wird der Schall an der linken Wand, vorderen Wand usw. reflektiert. Es lässt sich anhand des Bildes 5-13 erkennen, dass eine 3. Reflexion (roter Pfeil) hier zu einer falschen Reflexion und somit zu einem falschen Ergebnis führen würde.
Lösung im Quelltext (spiegelquellen3d.m):
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 5-14 Programmausschnitt / Ist Abstand d kleiner als 0
Zu Beginn des Sichtbarkeitstests werden die Spiegelquellen durch eine gerade Linie mit dem Empfangspunkt (Sensor) verbunden. Dabei entsteht ein Schnittpunkt der Geraden mit der jeweiligen reflektierenden Seite (Wand). Befindet sich der Schnittpunkt innerhalb der Grenzen der Wandebene, so ist die Spiegelquelle sichtbar. Liegt diese außerhalb, ist sie nicht sichtbar und somit ungültig (siehe Bild 5-15) [7].
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 5-15 Sichtbarkeitstest Schnittpunkt liegt außerhalb der Wandbegrenzung
S12 in Bild 5-15 ist die Spiegelquelle, erzeugt aus S1, die aus der Spiegelung mit der linken Wand entsteht. Es lässt sich erkennen, dass der Schnittpunkt außerhalb der Wandbegrenzung der vorderen Wand liegt. Somit ist diese Quelle ungültig.
In Bild 5-16 hingegen ist der Schnittpunkt innerhalb der Wandbegrenzung und es zeigt sich eine logische Reflexion (orangefarbene Pfeile).
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Bild 5-16 Sichtbarkeitstest Schnittpunkt liegt innerhalb der Wandbegrenzung
Im 3D-Simulationsprogramm lässt sich dieses Problem mit einer weiteren Formel aus der Vektorrechnung lösen. Eine Möglichkeit bietet die Formel
„Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene“.
Der Ortsvektor2 des Schnittpunktes lautet: [6]
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (5.4)
[...]
[1] Normalenvektor : Ein auf einer Ebene senkrecht stehender Vektor n (Gibt hier die Richtung vor, in der sich die Wand zum Ursprung befindet).
[2] Ortsvektor : Er führt vom Koordinatenursprung 0 zum jeweiligen Punkt
[3] Ortsvektor : Er führt vom Koordinatenursprung 0 zum jeweiligen Punkt
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