In der Unternehmensbewertung spielt die Ermittlung von Eigenkapitalkosten auf der Grundlage des Capital Asset Pricing Models (CAPM) eine entscheidende Rolle. Der Beta-Faktor bildet eine relevante Determinante innerhalb dieses Konzepts ab. Bei der Ermittlung dieses Parameters kann eine Vielzahl an Ermessensspielräumen zu Verzerrungen des wahren Wertes führen, die sich maßgeblich auf die Höhe des Unternehmenswertes auswirken können. Daher werden die Belastbarkeit und die Güte der empirisch bestimmten Werte in der Praxis
regelmäßig mit Hilfe von statistischen Verfahren überprüft. Da diese Verfahren über die Verwendung oder den Ausschluss der ermittelten Beta-Faktoren entscheiden, kommt ihnen eine folgenreiche Bedeutung für die Bestimmung von Unternehmenswerten zu.
In der vorliegenden Arbeit werden die in der Praxis regelmäßig angewendeten statistischen Verfahren zur Überprüfung der Güte des Beta-Faktors vorgestellt und analysiert. Die Eignung der Konzepte als Filterkriterien für Beta-Faktoren wird kritisch hinterfragt. Neben den häufig angewendeten Maßen Bestimmtheitsmaß und T-Test wird die Liquidität als Gütekriterium näher betrachtet. Dieses Merkmal gibt Aufschluss über die Effizienz und Informationsverarbeitung des Marktes. In einer empirischen Fallstudie werden verschiedene Liquiditätsmaße und deren Zusammenhang mit der Ausprägung des Beta-Faktors und dem T-Test analysiert. Ziel der Analyse ist die Beurteilung der regelmäßig in der Praxis angewendeten statistischen Verfahren und der Liquidität als zusätzliches Entscheidungskriterium zur Bewertung der Güte von Beta-Faktoren.
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Tabellenverzeichnis
Abkürzungsverzeichnis
1. Einleitung
2. Das Capital Asset Pricing Model
3. Der Beta-Faktor
3.1. Definition des Beta-Faktors
3.2. Verfahren zur Bestimmung von Beta-Faktoren
3.3. Determinanten des Beta-Faktors
4. Statistische Verfahren zur Beurteilung der Güte des Beta-Faktors
4.1. Das Bestimmtheitsmaß R²
4.1.1. Das statistische Modell des Bestimmtheitsmaßes
4.1.2. Das Bestimmtheitsmaß als Gütekriterium für den Beta-Faktor
4.2. Der T-Test
4.2.1. Das statistische Modell des T-Tests
4.2.2. Der T-Test als Gütekriterium für den Beta-Faktor
4.3. Der Zusammenhang zwischen T-Test und Bestimmtheitsmaß
4.4. Eignung statistischer Maße zur Bewertung der Güte des Beta-Faktors
5. Der Einfluss der Liquidität auf die Güte des Beta-Faktors
5.1. Zusammenhang zwischen Liquidität und Beta-Faktor
5.2. Definition der Liquidität einer Aktie
5.3. Liquiditätsmaße
5.3.1. Transaktionsfrequenz und Transaktionslatenz
5.3.2. Handelsvolumen
5.3.3. Liquiditätsraten
5.3.4. Free Float
5.3.5. Geld-Brief-Spanne
5.4. Eignung der Liquiditätsmaße als Gütekriterium für den Beta-Faktor
6. Empirische Fallstudie
6.1. Aufbau der Studie
6.2. Datengrundlage
6.3. Kennzahlen
6.4. Auswertung der Studie
6.4.1. Ergebnisvergleich zwischen T-Test und Bestimmtheitsmaß
6.4.2. Korrelation der Liquiditätsmaße
6.4.3. Zusammenhang zwischen der Liquidität einer Aktie und dem T-Test
6.4.3.1. Isolierte Betrachtung der Liquiditätsmaße
6.4.3.2. Kollektive Betrachtung der Liquiditätsmaße
6.4.4. Ansatz zur Bestimmung eines Grenzwertes für die Liquidität einer Aktie als Filterkriterium für den Beta-Faktor
6.4.5. Zusammenfassung der Ergebnisse der Studie
7. Thesenförmige Zusammenfassung
Anhang
Quellenverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1: Beispiel einer Normalverteilung
Abbildung 2: Vergleich einer T-Verteilung mit der Standardnormalverteilung
Tabellenverzeichnis
Tabelle 1: Korrelation der Liquiditätsmaße
Tabelle 2: Liquditätsmaß Handelsvolumen - Unternehmensindividueller T-Test
Tabelle 3: Liquiditätsmaß Handelsvolumen - Gruppen-T-Test
Tabelle 4: Liquditätsmaße Free Float, Geld-Brief-Spanne und Liquiditätsrate. - Unternehmensindividueller T-Test
Tabelle 5: Liquditätsmaße Free Float, Geld-Brief-Spanne und Liquiditätsrate.Unternehmensindividueller T-Test.
Tabelle 6: Kollektive Liquditätsbetrachtung - Unternehmensindividueller T-Test
Tabelle 7: Kollektive Liquditätsbetrachtung - Gruppen-T-Test
Tabelle 8: Signifikanzschranken der t-Verteilung
Abkürzungsverzeichnis
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Symbolverzeichnis
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
1. Einleitung
In der Unternehmensbewertung spielt die Ermittlung von Eigenkapitalkosten auf der Grundlage des Capital Asset Pricing Models (CAPM) eine entscheidende Rolle. Der Beta- Faktor bildet eine relevante Determinante innerhalb dieses Konzepts ab. Bei der Ermittlung dieses Parameters kann eine Vielzahl an Ermessensspielräumen zu Verzerrungen des wahren Wertes führen, die sich maßgeblich auf die Höhe des Unternehmenswertes auswirken können. Daher werden die Belastbarkeit und die Güte der empirisch bestimmten Werte in der Praxis regelmäßig mit Hilfe von statistischen Verfahren überprüft. Da diese Verfahren über die Verwendung oder den Ausschluss der ermittelten Beta-Faktoren entscheiden, kommt ihnen eine folgenreiche Bedeutung für die Bestimmung von Unternehmenswerten zu. In der vorliegenden Arbeit werden die in der Praxis regelmäßig angewendeten statistischen Verfahren zur Überprüfung der Güte des Beta-Faktors vorgestellt und analysiert. Die Eignung der Konzepte als Filterkriterien für Beta-Faktoren wird kritisch hinterfragt. Neben den häufig angewendeten Maßen Bestimmtheitsmaß und T-Test wird die Liquidität als Gütekriterium näher betrachtet. Dieses Merkmal gibt Aufschluss über die Effizienz und Informationsverarbeitung des Marktes. In einer empirischen Fallstudie werden verschiedene Liquiditätsmaße und deren Zusammenhang mit der Ausprägung des Beta-Faktors und dem T- Test analysiert. Ziel der Analyse ist die Beurteilung der regelmäßig in der Praxis angewendeten statistischen Verfahren und der Liquidität als zusätzliches Entscheidungskriterium zur Bewertung der Güte von Beta-Faktoren.
2. Das Capital Asset Pricing Model
Ein in der Praxis weit verbreiteter Ansatz zur Ermittlung von Beta-Faktoren basiert auf dem Capital Asset Pricing Model (CAPM). Das aus der Portfoliotheorie stammende Gleichgewichtsmodell zeigt den Zusammenhang der erwarteten Rendite einer (risikobehafteten) Anlage i und der Rendite des Marktportfolios m auf:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Renditeforderung eines Investors setzt sich aus dem Zinssatz einer risikofreien Anlage und einem Risikozuschlag für das übernommene systematische Risiko zusammen. Gleichung
(1) wird auch als Wertpapiermarktlinie bezeichnet. Der Term ,# $) * $&- stellt dabei die Marktrisikoprämie dar.2
Die Gültigkeit dieser Gleichung setzt diverse Annahmen voraus. Das CAPM unterliegt der Prämisse eines vollkommenen Kapitalmarkts. Transaktionskosten und Steuern werden vernachlässigt, Wertpapiere sind beliebig teilbar und die Erwartungen aller Investoren werden als homogen vorausgesetzt.3 Die Entscheidungsträger handeln rational und bewerten eine Anlage nach dem µ - -Prinzip, d.h. ausschließlich nach dem Erwartungswert der Rendite und dem Risiko (Volatilität) der Anlage. Den Investoren wird Risikoaversion unterstellt. Leerverkäufe und Leerkäufe sind ebenso möglich wie die uneingeschränkte Aufnahme und Anlage risikoloser Geldanlagen zu einem konstanten Zinssatz $& (exogene Variable). Die Möglichkeit zur Arbitrage4 besteht nicht. Das CAPM ist für einen einperiodigen Planungshorizont konzipiert.5
Das Modell geht außerdem von einer vollständigen Diversifikation6 der Anlagen aus. Durch ein diversifiziertes Portfolio werden unsystematische Risiken (unternehmens- bzw. anlagenindividuelle Risiken) reduziert. Durch die vollständige Diversifikation erfolgt eine
Eliminierung des unsystematischen Risikos. Daher wird in dem CAPM nur das verbleibende systematische Risiko (allgemeines Marktrisiko) betrachtet und vergütet.7 Unter dem systematischen Risiko werden Risiken verstanden, die auf Einflüssen basieren, von denen alle Investitionen - jedoch in unterschiedlichem Ausmaß - betroffen sind (zum Beispiel die allgemeine Inflation, Konjunkturschwankungen oder technologische Entwicklungen). Der Beta-Faktor bildet diese nicht durch Diversifikation eliminierbare Risiken im CAPM ab.8
3. Der Beta-Faktor
3.1. Definition des Beta-Faktors
Der Beta-Faktor ist eine Maßzahl für das systematische Risiko einer betrachteten Investition. Mathematisch betrachtet lässt sich der Beta-Faktor als Kovarianz der Rendite der Anlage und der Marktrendite relativ zu der Varianz der Marktrendite darstellen: 9
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Er beschreibt in welchem Verhältnis die Rendite der betrachteten Anlage zu der Rendite des Marktportfolios schwankt. Diese Schwankungen bilden die Risiken einer Anlage ab und werden als Volatilität bezeichnet. Unterliegt die betrachtete Anlage einem höheren systematischen Risiko als dem des Marktportfolios ergibt sich ein Beta-Faktor größer eins (überproportionale Schwankung der Anlage im Vergleich zum Markt). Ist es geringer nimmt der Beta-Faktor Werte kleiner eins an (unterproportionale Schwankung). Entspricht das systematische Risiko der Anlage dem des Marktportfolios gilt: % 2. Ist die Anlage unabhängig von systematischen Risiken (z.B. risikolose Anlagen) und somit unabhängig von den Renditeschwankungen des Marktes, wird dies mit einem Beta-Faktor in Höhe von null beschrieben.10 Auch negative Beta-Werte sind konstruktionsbedingt möglich. Sie zeigen eine gegenläufige Entwicklung der Anlage gegenüber dem Markt an, bspw. sinkt die Rendite der Anlage, wenn die die Marktrendite steigt.11
3.2. Verfahren zur Bestimmung von Beta-Faktoren
Zur Ermittlung von Beta-Faktoren wird auf das Marktmodell nach Sharpe12 zurückgegriffen. Es stellt eine Umformulierung des CAPM dar und substituiert die nicht beobachtbaren erwarteten Renditen durch historische Kapitalmarktdaten. In Form einer statistischen univariaten Regressionsanalyse wird hierbei ein linearer Zusammenhang zwischen der Rendite der Anlage i und der Kapitalmarktrendite angenommen:13 14
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der Beta-Faktor bildet den Regressionskoeffizienten der Regressionsgleichung ab. Das Marktportfolio wird durch einen geeigneten Aktienindex und die risikofreie Anlage durch eine quasi-risikofreie Staatsanleihe approximiert. Als Basis zur Ermittlung der gesuchten Regressionsgerade (die zu ermittelnden und als konstant angenommenen Parameter sind i und i) dienen historische Renditen der Anlage i und des verwendeten Aktienindexes m in jeder Periode t. Zur Kalkulation der gesuchten Parameter wird die Ordinary Least Squares Methode (OLS-Methode) angewendet, d.h. es wird die Regressionsgerade gesucht, die die Summe der quadrierten Abweichungen minimiert und somit den Zusammenhang der Variablen ri,t und rm,t am besten approximiert.15 Der wahre Wert ri,t unterscheidet sich von dem durch die Regressionsgleichung ermittelten Schätzwert $3in Höhe des statistischen Fehlers i,t. Gesucht werden somit die Alpha- und Beta-Werte die den folgenden Ausdruck minimieren:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Durch Bilden16 und null Setzen der ersten partiellen Ableitung der Gleichung (4) nach ergibt sich ein Gleichungssystem dessen Auflösung zu folgendem Ergebnis führt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Formel des Beta-Faktors17 entspricht der Kovarianz der Renditewerte der Anlage i und der Renditewerte des Marktportfolios im Verhältnis zu der Varianz der Renditewerte des Marktportfolios (entsprechend Formel (2), basierend auf historischen Kapitalmarktdaten). Der ermittelte Beta-Faktor wird als über den Zeitablauf konstant angenommen.18 Für nicht börsennotierte Unternehmen liegen folglich keine Renditewerte einer zugehörigen Anlage vor. Die Erhebung des Beta-Faktors basiert hier auf einer Peer-Group-Analyse. Dazu werden die Beta-Faktoren von vergleichbaren börsennotierten Unternehmen ermittelt und unter Berücksichtigung von Anpassungsmaßnahmen ein Durchschnitts-Beta-Faktor gebildet.19
3.3. Determinanten des Beta-Faktors
Um den Beta-Faktor auf Basis des Regressionsmodells zu ermitteln, müssen die notwendigen Parameter bewertungsindividuell festgelegt werden. Die Rechnungslegungsstandards bieten für die Praxis nur eine Orientierungshilfe und lassen Freiräume des eigenen Ermessens bestehen.20 Diese Handlungsspielräume können zu Verzerrungen des wahren Wertes des Beta-Faktors führen. Einen Einfluss auf den zu ermittelnden Wert haben insbesondere die Wahl des Vergleichsindexes, des Erhebungszeitraums und des Beobachtungsintervalls.21
Das theoretisch umfassende Marktportfolio kann in der Praxis nur annähernd durch einen Referenzindex dargestellt werden. Für eine möglichst akkurate Approximation des Marktportfolios eignen sich breite Aktienindizes, die die Beschaffenheit des Gesamtmarktes annähernd wiederspiegeln können.22 Im Rahmen dieser Entscheidung muss festgelegt werden, ob ein nationaler oder internationaler Index verwendet wird.23 Aus Gründen der statistischen Relevanz sollte bei dieser Entscheidung die Investorenperspektive beachtet werden.24 Bei der Wahl des Referenzindexes wird dann das Investment-Opportunity-Set25 (IOS) der relevanten Investoren des Bewertungsobjekts mit einbezogen.26 Ein Argument für einen nationalen Index kann das sogenannte „home bias“, die Neigung der Investoren vorwiegend in nationale Anlagemöglichkeiten zu investieren, sein.27 Problematisch für dieses Vorgehen sind Bewertungsobjekte, dessen Investoren sehr unterschiedliche IOS zuzuordnen sind. Wird dann auf einen breiten Aktienindex ausgewichen, kann das tatsächliche Anlageverhalten der einzelnen Investoren nicht adäquat repräsentiert werden.28 Die Wahl des Referenzindexes ist daher abhängig vom Bewertungsobjekt und dessen Investorenstruktur.
Neben der Wahl des Referenzindexes spielen der Erhebungszeitraum der Renditeentwicklungen sowie die Periodizität, d.h. die Erhebungsintervalle der Renditen innerhalb des Beobachtungszeitraums, eine entscheidende Rolle. Aus statistischer Sicht ist ein hoher Stichprobenumfang, also lange Erhebungszeiträume und kurze Erhebungsintervalle, zu befürworten. So können Konjunktur- und kurzfristige Kurseffekte sowie auf Sonderereignissen beruhende Wertveränderungen relativiert werden. Dagegen spricht, dass Strukturbrüche (z. B. Marktkrisen oder Überhitzungsphasen) in langen Zeitreihen in die Zukunftsprognose mit einbezogen werden und dies zu Verzerrungen führen kann.29 In der Praxis werden häufig tägliche Renditen in einem Ein-Jahres-Zeitraum erhoben. Dies entspricht dem akademischen Standarddesign und dem Vorgehen der Deutschen Börse. Üblich sind auch Zeiträume von fünf Jahren in Verbindung mit einer monatlichen Erhebung der Renditen und zwei Jahre auf Basis wöchentlicher Renditeerhebungen.30 In der Literatur werden daher mehrere Beta-Schätzungen basierend auf verschiedenen Zeiträumen und Zeitintervallen sowie die Berücksichtigung qualitativer Faktoren empfohlen.31
Zusätzlich zu den Prognoseschiefen, die durch die genannten Gestaltungsmöglichkeiten bedingt sind, können Beta-Werte durch andere Effekte verzerrt werden, z.B. durch:
- Währungseffekte bei Wechselkursschwankungen32,
- Kursadjustierungen,
- Verwendung verschiedener Korrekturfaktoren bei der Anpassung der auf Basis
historischer Kapitalmarktdaten ermittelter Beta-Faktoren an künftige Gegebenheiten (z.B. Adjusted Beta nach Blume),
- Unterschiedliche Behandlung von Ausreißern bei der Mittelwertbildung mehrerer Beta-Faktoren oder bei Peer-Group-Analysen.33
Aus der unterschiedlichen Wahl der Parameter resultieren verschiedene Beta-Werte, die zum Teil zu erheblichen Differenzen in der Bestimmung des Unternehmenswertes führen können.34 Daher empfiehlt sich die Überprüfung der Güte eines ermittelten Beta-Faktors. Der qualitativen Beurteilung der Beta-Faktoren werden quantitative Methoden als Filter- oder Ausschlusskriterien vorgeschaltet.35 Im folgenden Kapitel werden die geläufigsten statistischen Verfahren zur Beurteilung der Güte des Beta-Faktors erläutert und bewertet.
4. Statistische Verfahren zur Beurteilung der Güte des Beta-Faktors
4.1. Das Bestimmtheitsmaß R²
4.1.1. Das statistische Modell des Bestimmtheitsmaßes
In der statistischen Methodenlehre kann das Bestimmtheitsmaß R² für die globale Prüfung der Regressionsfunktion auf ihre Güte verwendet werden. Mit diesem Verfahren wird das Ausmaß der Fähigkeit des betrachteten Regressionsmodells getestet, die abhängige Variable zu erklären. Diese Messung zeigt rein statistische Zusammenhänge auf Basis der verwendeten Datenstichprobe an, eine inhaltliche Interpretation des Zusammenhangs der betrachteten Variablen bietet das Modell nicht.36 37
Das Bestimmtheitsmaß ist mathematisch durch den folgenden Ausdruck definiert:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Im Zähler werden die durch das Regressionsmodell ermittelten Werte für die abhängige Variable (Schätzwerte) betrachtet. Der Dividend zeigt die Summe der quadrierten Abweichungen des Schätzwertes zu dem Mittelwert der wahren Werte (Stichprobenwerte). Im Nenner ist die Varianz der Stichprobenwerte angegeben. Das Bestimmtheitsmaß gibt also an, wie viel Prozent der Streuung der tatsächlichen Gesamtstreuung von dem verwendeten Regressionsmodell erklärt wird.38
Für das Bestimmtheitsmaß gilt: E F ,AG 2-. Nimmt R² den Wert eins an, deutet dies auf eine perfekte statistische Erklärung hin. Bei dem Wert null, kann das geprüfte Regressionsmodell die abhängige Variable statistisch nicht erklären.39 Beispielsweise erklärt das Modell bei einem Bestimmtheitsmaß von E % A H, 60% der Gesamtstreuung der Stichprobe. Die verbleibenden 40% (2 *E % A I) der Gesamtstreuung in der Stichprobe werden durch andere, in der angesetzten Regressionsgleichung unberücksichtigte, Faktoren determiniert.40 Geringe R²-Werte beziehen sich jedoch nicht immer auf den Erklärungsgehalt der gewählten Faktoren, sondern können auch eine falsche Struktur der Regressionsgleichung anzeigen (z.B. ist der Zusammenhang der betrachteten Variablen nicht linear sondern exponentiell bestimmt). Diese Problematik wird dadurch verursacht, dass die Güte der gesamten (globalen) Regressionsgleichung betrachtet wird, nicht nur die einzelner Faktoren.41
4.1.2. Das Bestimmtheitsmaß als Gütekriterium für den Beta-Faktor
In dem Marktmodell nach Sharpe ist die abhängige Variable des Regressionsmodells die Rendite der Anlage i und die erklärende Variable der Referenzindex, der das Marktportfolio widerspiegelt.42 Bei der Berechnung des Bestimmtheitsmaßes wird die Streuung der über die Regressionsfunktion ermittelten Renditen der Anlage i (Schätzwerte) ins Verhältnis zu der Streuung der wahren Renditewerte, die aus den historischen Kapitalmarktdaten (Stichprobe) vorliegen, gesetzt (Formel (8)).43
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Hohe R²-Werte deuten daraufhin, dass die Regressionsfunktion die konkret beobachtbaren Daten aus der Stichprobe approximieren kann.44 Ist das Bestimmtheitsmaß zu gering, wird daraus geschlossen, dass der Beta-Faktor den Zusammenhang zwischen der Entwicklung der Marktrendite und der Aktienrendite der Anlage i nicht hinreichend genau abbilden kann.45 In der Praxis der Unternehmensbewertung werden Beta-Faktoren mit niedrigen R²-Werten ausgeschlossen, da daraus gefolgert wird, dass der ermittelte Beta-Faktor keine ausreichende Aussagekraft hat.46
Diese Schlussfolgerung gilt aber nur, da die Linearität des Zusammenhangs als Grundannahme des CAPM als gegeben gilt. Da die Form des Zusammenhangs der Marktrendite und der Rendite einer Anlage als bekannt vorausgesetzt wird, können geringe R²-Werte nicht als Fehlspezifikation des Modells47 interpretiert werden.48 Die Ausprägung des Bestimmtheitsmaßes ist jedoch nicht ausschließlich von der Güte des Beta-Faktors abhängig, sondern kann durch andere Ursachen beeinflusst werden. Da das Bestimmtheitsmaß nicht einzelne Parameter sondern die Regressionsfunktion in ihrer Gesamtheit prüft, können niedrige Werte des Bestimmtheitsmaßes ein Hinweis dafür sein, dass nicht der Beta-Faktor fehlerhaft ist, sondern die erklärende Variable.49 Entweder kann der Referenzindex das Marktportfolio nicht genau genug approximieren oder die Renditeentwicklung der betrachteten Anlage i ist weitgehend unabhängig von der Entwicklung des Marktes.50 Beispielsweise zeigt ein R² von 10% auf, dass 90% der Streuung nicht durch das angesetzte Modell erklärt werden können. Das heißt, 90% der Variation der Renditeentwicklung der Anlage i werden durch unsystematische, vom Markt unabhängige Ereignisse hervorgerufen.51 Der geringe R²-Wert gibt vor diesem Hintergrund somit keinen Hinweis darauf, dass der Beta-Faktor fehlerhaft ist. Anlagen dessen Renditen sich weitgehend unabhängig vom Markt entwickeln und somit geringen relativen systematischen Risiken unterliegen, sind aus betriebswirtschaftlicher Sicht möglich.52 Ein Mindestwert für das Bestimmtheitsmaß bzw. eine Festlegung des R²-Wertes, ab wann ein Beta-Faktor verworfen werden sollte, ist aus der Logik des CAPM nicht begründbar.53
Diese Argumentation wird dadurch gestützt, dass das Bestimmtheitsmaß nicht unabhängig von der Größe des Beta-Faktors ist (gilt für den Fall univariater linearer Regressionen):
54
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der Beta-Faktor wird in der Praxis der Unternehmensbewertung abgelehnt, wenn der Wert des Bestimmtheitsmaßes als zu klein erachtet wird.55
Die Gleichung (9) zeigt aber: Je kleiner der Beta-Faktor ist, desto kleiner ist das Bestimmtheitsmaß. Die Varianz der Renditen des Marktportfolios ist für alle Anlagen konstant. Wenn die Renditen der Anlage i bei Bewertungsobjekten mit geringen Beta- Faktoren nicht nur geringfügig streuen, zeigt das Bestimmtheitsmaß im Ergebnis geringe Werte an.56
Beta-Faktoren aufgrund geringer R²-Werte zu verwerfen, erscheint vor diesem Hintergrund nicht sachgerecht. Das Bestimmtheitsmaß ist als Güte- und Ausschlusskriterium für Betafaktoren somit kritisch zu betrachten.57
4.2. Der T-Test
4.2.1. Das statistische Modell des T-Tests
Mit Hilfe des T-Tests wird eine Hypothese über die Grundgesamtheit auf der Grundlage einer Stichprobe überprüft. Die zu testende Hypothese wird als Gegenhypothese (Alternativhypothese H1) formuliert. Sie wird angenommen, wenn ihre konträre Hypothese (Nullhypothese H0) verworfen werden kann.58 Der T-Test zeigt an, ob unter der Annahme, dass die Nullhypothese wahr ist, die aus der Stichprobe ermittelten Werte gegen die Richtigkeit der Nullhypothese sprechen.59
Die Logik des T-Tests basiert auf Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Zufallsvariablen. Werden unendlich viele Stichproben gezogen, aus denen jeweils der unbekannte Parameter der Grundgesamtheit geschätzt wird, variieren diese Werte aus Zufallsgründen. Die geschätzten Parameterwerte können als Zufallsvariablen interpretiert werden, die mit einem hinreichend großen Stichprobenumfang annähernd um den wahren Wert der Grundgesamtheit normal verteilt sind.60 Die Fläche unter der Kurve einer Normalverteilung repräsentiert die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Schätzwerte.61 Wird ein symmetrisches Intervall um den Mittelwert gelegt, kann interpretiert werden, dass in 2 * N der Fälle einer Stichprobenziehung Werte ermittelt werden, die innerhalb der zugehörigen Grenzen liegen (Abbildung 1.).62
Abbildung 1: Beispiel einer Normalverteilung
Quelle: Eigene Darstellung, vgl. KOHN, W. (2005), S. 273.
Je höher die Abweichung eines Schätzwertes zum erwarteten Wert ist, desto geringer ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auf Basis einer Stichprobe ermittelt wird (z.B. werden nur in N der Fälle Werte außerhalb der Intervallgrenzen geschätzt). Ist der auf Basis einer Stichprobe ermittelte Wert ein seltener Schätzwert (bzw. liegt er außerhalb der Intervallgrenzen), kann interpretiert werden, dass es unwahrscheinlich wäre ihn zu erhalten, wenn er annähernd dem wahren Wert aus der Grundgesamtheit entsprechen würde.63 Der T-Test prüft nun, ob der ermittelte Wert außerhalb des Intervalls zu einem Signifikanzniveau liegt. Ist das der Fall, wird die Nullhypothese verworfen und die Alternativhypothese angenommen.64 Die Berechnung der Intervallgrenzen zu einem festgelegten Signifikanzniveau ist mathematisch nur mit Näherungsverfahren der numerischen Mathematik möglich, da für die Normalverteilung keine Stammfunktion existiert.65 Daher werden die Intervallgrenzen zu einem festgelegten Signifikanzniveau für die Standardnormalverteilung bestimmt. Die Prüfgröße (der geschätzte Parameterwert) wird entsprechend in eine standardnormalverteilte Zufallsvariable z-transformiert (Standardisierung):
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
66
Ist die Varianz bekannt, folgt die z-transformierte Variable wieder einer Normalverteilung, ist sie es nicht, muss die Varianz auf Basis der Stichprobe geschätzt werden.67 Da die geschätzte Varianz einen weiteren Verzerrungsfaktor darstellt, ist das Auftreten von Extremwerten wahrscheinlicher als bei bekannter Varianz. Der z-transformierten Zufallsvariable wird daher anstatt der Standardnormalverteilung eine t-Verteilung unterstellt.68 Da die Flächen unter der Kurve für große und kleine Werte (Extremwerte) größer sind als bei der Standardnormalverteilung, repräsentieren sie eine höhere Wahrscheinlichkeit Extremwerte zu erhalten (Abbildung_2).
[...]
1 Vgl. Zimmermann, P. (1997), S. 17.
2 Vgl. DÖRSCHELL, A/FRANKEN, L./SCHULTE, J./BRÜTTING, C. (2008), S. 1153.
3 Vgl. LAUX, H./GILLENKIRCH, R. M./SCHENK-MATHES, H. Y. (2012), S. 371.
4 Arbitrage bezeichnet das Profitieren von Preisdifferenzen für identische Waren auf unterschiedlichen Märkten.
5 Vgl. KERN, C./MÖLLS, S. H. (2010), S. 440.
6 In der Finanzwissenschaft wird unter Diversifikation die Streuung der Anlagen bzw. der Bestandteile eines Portfolios verstanden.
7 Vgl. KERN, C./MÖLLS, S. H. (2010), S. 441.
8 Vgl. HEINZE, W./RADINGER, G. (2011), S. 49.
9 Vgl. Dörschell, A/Franken, L./Schulte, J./Brütting, C. (2008), S. 1153.
10 Vgl. HEINZE, W./RADINGER, G. (2011), S. 49 und 50.
11 Vgl. PANKOKE, T./PETERSMEIER, K. (2009), S. 119.
12 Vgl. SHARPE, W. F. (1963), S. 281.
13 Ökonomisch wird dieser Term auch als „Durchschnitt der beobachteten unsystematischen Periodenrenditen“ (Knoll, L. (2010), S. 1107) interpretiert.
14 Vgl. FRANKEN L./JÖRN, S. (2010), S. 1111.
15 Vgl. KERN, C./MÖLLS, S. H. (2010), S. 441.
16 Vgl. GROTTKE, M. (1998), S. 2.
17 Vgl. ZIMMERMANN, P. (1997), S. 65-66.
18 Vgl. WÜSTEMANN, J., (2012), S. 1721.
19 Vgl. GROßFELD, B./STÖVER, R. (2004), S. 2808.
20 Vgl. DÖRSCHELL, A/FRANKEN, L./SCHULTE, J./BRÜTTING, C. (2008), S. 1152-1153.
21 Vgl. STELLBRINK, J./BRÜCKNER, C. (2011), S. 2.
22 Vgl. KLEEBERG, J. M. (1991), S. 60 und S. 68 und Knoll, L. (2005), S. 177.
23 Vgl. WATRIN, C./STAHLBERG, G./KAPPENBERG, C. (2011), S.177;
24 Vgl. HEINZE, W./RADINGER, G. (2011), S. 51.
25 Das IOS umfasst die von einem Anleger betrachteten Investitionsmöglichkeiten.
26 Vgl. SPREMANN, K. (2006), S. 246.
27 Vgl. DÖRSCHELL, A/FRANKEN, L./SCHULTE, J./BRÜTTING, C. (2008), S. 1158.
28 Vgl. DÖRSCHELL, A/FRANKEN, L./SCHULTE, J./BRÜTTING, C. (2008), S. 1157.
29 Vgl. KRUSCHWITZ, L./LÖFFLER, A. (2008), S. 807.
30 Vgl. HEINZE, W./RADINGER, G. (2011), S. 50, DÖRSCHELL, A/FRANKEN, L./SCHULTE, J./BRÜTTING, C. (2008), S. 1156, KRUSCHWITZ, L./LÖFFLER, A. (2008), S. 808.
31 Vgl. DÖRSCHELL, A/FRANKEN, L./SCHULTE, J./BRÜTTING, C. (2008), S. 1156.
32 Vgl. DÖRSCHELL, A/FRANKEN, L./SCHULTE, J./BRÜTTING, C. (2008), S. 1162.
33 Vgl. KERN, C./MÖLLS, S. H. (2010), S. 444-446.
34 Vgl. ZIMMERMANN, P. (1997), S. 81.
35 Vgl. DÖRSCHELL, A/FRANKEN, L./SCHULTE, J./BRÜTTING, C. (2008), S. 1159.
36 Vgl. FRANKEN, L/SCHULTE, J. (2010), S. 1112.
37 Vgl. FAHRMEIR, L./KNEIB, T./LANG, S. (2009), S. 98.
38 Vgl. KURZ-KIM, J./LORETAN, M. (2007), S. 8.
39 Vgl. DÖRSCHELL, A/FRANKEN, L./SCHULTE, J./BRÜTTING, C. (2008), S. 1159.
40 Vgl. FRANKEN, L/SCHULTE, J. (2010), S. 1112.
41 Vgl. FAHRMEIR, L./KNEIB, T./LANG, S. (2009), S. 98.
42 Vgl. SHARPE, W. F. (1963), S. 281.
43 Vgl. DÖRSCHELL, A/FRANKEN, L./SCHULTE, J./BRÜTTING, C. (2008), S. 1159.
44 Vgl. FAHRMEIR, L./KNEIB, T./LANG, S. (2009), S. 98.
45 Vgl. DÖRSCHELL, A/FRANKEN, L./SCHULTE, J./BRÜTTING, C. (2008), S. 1159.
46 Vgl. KNOLL, L./EHRHARDT, J./BOHNET, F. (2007), S. 210.
47 Wäre die Linearität nicht vorausgesetzt, könnten niedrige R²-Werte auch daraus resultieren, dass ein Zusammenhang in anderer Form (z.B. exponentiell) besteht.
48 Vgl. FAHRMEIR, L./KNEIB, T./LANG, S. (2009), S. 98.
49 Vgl. FAHRMEIR, L./KÜNSTLER, R./PIGEOT, I./TUTZ, G. (2007), S. 498.
50 Vgl. DÖRSCHELL, A/FRANKEN, L./SCHULTE, J./BRÜTTING, C. (2008), S. 1160.
51 Vgl. FRANKEN, L/SCHULTE, J. (2010), S. 1112.
52 Vgl. KNOLL, L./EHRHARDT, J./BOHNET, F. (2007), S. 213 (Fußnote 17) und KNOLL, L. (2005), S. 177.
53 Vgl. FRANKEN, L/SCHULTE, J. (2010), S. 1112.
54 Vgl. KNOLL, L./EHRHARDT, J./BOHNET, F. (2007), S. 211.
55 Vgl. KNOLL, L. (2010), S. 1107.
56 Vgl. KNOLL, L./EHRHARDT, J./BOHNET, F. (2007), S. 211.
57 Vgl. FRANKEN, L/SCHULTE, J. (2010), S. 1112.
58 Vgl. KERN, C./MÖLLS, S. H. (2010), S. 446.
59 Vgl. KOHN, W. (2005), S. 379.
60 Vgl. SCHNEEWEIß, H. (1990), S. 59 und S. 62, BACKHAUS, K./ERICHSON, B./PLINKE, W./WEIBER, R. (2008), S. 72, KOHN, W. (2005), S. 318 und FAHRMEIR, L./KÜNSTLER, R./PIGEOT, I./TUTZ, G. (2007), S. 293-294.
61 Vgl. URBAN, D./MAYERL, J. (2011), S. 135.
62 Vgl. SACHS, L./HEDDERICH, J. (2006), S. 148.
63 Vgl. URBAN, D./MAYERL, J. (2011), S. 134.
64 Vgl. FAHRMEIR, L./KÜNSTLER, R./PIGEOT, I./TUTZ, G. (2007), S. 413.
65 Vgl. AUER, B./ROTTMANN, H. (2010), S. 272.
66 Vgl. SACHS, L./HEDDERICH, J. (2006), S. 276-277.
67 Vgl. AUER, B./ROTTMANN, H. (2010), S. 361.
68 Vgl. URBAN, D./MAYERL, J. (2011), S. 147.
- Citar trabajo
- Julia Seyer (Autor), 2013, Der Einsatz statistischer Gütekriterien bei der Ermittlung des Beta-Faktors für Zwecke der Unternehmensbewertung, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/212717
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