Mathematisches Vorspiel zu physikalischer Unbestimmtheit

Travail de Recherche , 2012 , 74 Pages

Mathématiques - Généralités, Fondements

Die Begriffe „Unbestimmtheit“ wie auch „Komplementarität“ wurden durch die Quantenphysik zu philosophischen Schlagworten schlechthin.
Dass aber „Unbestimmtheit“ in einem vielleicht mehr allgemeinen Sinne auch in der Mathematik ihr Unwesen treibt, ist weniger bekannt, obwohl wir alle in unserer Schulzeit, ohne dass uns dies vielleicht aufgefallen wäre, mit mathematischer Unbestimmtheit bereits Bekanntschaft machten.
So betrachten wir es als völlig selbstverständlich, dass sich geometrische Sätze auf unendlich viele, unterschiedliche, bestimmte geometrische Figuren beziehen. Sie gelten also gleichermassen für die eine als auch für die andere ihnen entsprechende geometrische Figur, sie müssen also im Vergleich zum Konkretisierungsgrad einer bestimmten geometrischen Figur noch unbestimmt sein.
In diesem sehr allgemeinen Sinne findet sich allg. mathematische Unbestimmtheit eigentlich in jeder algebraischen Gleichung, insofern derselbe Zahlenwert der linken als auch der rechten Seite einer Gleichung zugeordnet ist, also sowohl der linken als auch der rechten Seite entspricht. Zudem sind allgemeine algebraische Gleichungen natürlich auch numerisch noch unbestimmt, da für die nicht variablen Grössen jeder beliebige Zahlenwert eingesetzt werden kann.
Dies gilt nicht für die Variable „x“ einer algebraischen Gleichung (=Lösung), dennoch können wir anhand dieser Variablen „x“ unserem bis jetzt zugegeben noch etwas schwammigen Begriff mathematischer Unbestimmtheit, bezieht sich dieser bislang doch einfach auf die Allgemeinheit algebraischer Terme, etwas schärfere Konturen verleihen:
Eine lineare Gleichung „a + x = b“ hat für „x“ die bestimmte Lösung: „x=b-a“.
Für quadratische Gleichungen „ax2 + bx + c=0“ gibt es für „x“ jedoch keine bestimmte Lösung, da quadratische Gleichungen zwei Lösungen, „x1“ und „x2“, haben.
D.h. doch aber eigentlich: Die Lösung einer quadratischen Gleichung ist numerisch unbestimmt hinsichtlich „x1“ und „x2“, da sowohl „x1“ als auch „x2“ Lösung sein kann.

Inhaltsübersicht

Einleitung

1. Unbestimmtheit in der Geometrie
1.1. Neuinterpretation der Satzgruppe des Pythagoras
1.2. Operative Unbestimmtheit hinsichtlich der Grundoperationen
1.3. Darstellung der Satzgruppe des Pythagoras
1.3.1. Geometrische Interpretation von Satz A,B und C
1.3.2. Systematische Gesamtdarstellung
1.3.2.1. Grundlagen
1.3.2.2. Die drei Formen subjektiv-operativer Unbestimmtheit
1.3.2.3. Zusammenhang der zentralen Streckenrelationen
1.3.3. Das allgemeine rechtwinklige Dreieck
1.4. Der Goldene Schnitt
1.4.1. Das fundamentale Entwicklungsprinzip
1.4.2. Kepler Dreieck
1.5. Zusammenschau mathematisch-operativer Unbestimmtheit in der Geometrie

2. Unbestimmtheit in der Algebra
2.1. Allgemeine algebraische Unbestimmtheit
2.2. Bestimmte Unbestimmtheit in der Algebra

3. Unbestimmtheit in der Arithmetik
3.1. Objektiv-Arithmetische Unbestimmtheit

4. Bestimmte Synthese von geometrischer, algebraischer und arithmetischer Unbestimmtheit
4.1. Definition der Fibonacci- und Lucaszahlen als bestimmte Unbestimmtheiten
4.2. Die Gesetze der Fibonacci- und Lucaszahlen
4.2.1. Multiplikative Komplementarität
4.2.2. Additive Komplementarität
4.2.3. Zusammenhang multiplikative und additive Komplementariät
4.2.4. Gesetze betreffend Zusammenhang der Potenzen von „ “ und der Fibonaccizahlen.
4.2.5. Gesetz über den Zusammenhang der Potenzen von „ “
4.2.6. Entwicklung des G.S. aus den Ur-Zahlen
4.3. Konstruktion der Natürlichen-Zahlen
4.3.1. Die Komplementaritätsstruktur des G.S.
4.3.1.1. Bestimmte Streckenteilungen von Potenzen von „ “
4.3.1.1.1. Ungerade Exponenten
4.3.1.1.2. Gerade Exponenten
4.3.1.1.3. Unendlich grosse Exponenten
4.3.2. Bestimmte Streckenteilung der Natürlichen Zahlen
4.3.3. Die Wertigkeit der Zahlen
4.4. Zahlentheoretische Basisstruktur

Anhang I : Schemas 1-4

Anhang II: Allgemeine physikalische Unbestimmtheit
1. Die drei naturphilosophischen Ur-Gesetze
2. Physikalischer Apparat

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Deckblatt:

Die gleich schraffierten Teil-Figuren haben gleiche Flächen.

Zudem haben die beiden grossen, umfassenden Rechtecke, welche man sich als formveränderlich (durch Verschieben des Kathetenschnittpunktes auf dem Thaleskreis) vorstellen kann, unabhängig ihrer variablen Formen, immer denselben, der Fläche des statischen Quadrates entsprechenden, Flächeninhalt.

Philosophischer Horizont:

Die zwei Richtungen.- Versuchen wir den Spiegel an sich zu betrachten, so entdecken wir endlich nichts als die Dinge auf ihm. Wollen wir die Dinge fassen, so kommen wir zuletzt auf nichts als den Spiegel.-

Dies ist die allgemeinste Geschichte der Erkenntnis.

Friedrich Nietzsche

Aphorismen

Arbeitsmotto:

Das Zählen, eine Tätigkeit des Verstandes, macht sich an alles, an Göttliches und Menschliches.

Keine Unterscheidung, auch nicht die geringste, sei sie real oder intentional, gibt es, die nicht eine gewisseähnlichkeit mit der Zerlegung einer Geraden in Teile besässe.

Johannes Kepler,

Anm., 2. Aufl., Mysterium Cosmographicum

Einleitung

Die Begriffe „ Unbestimmtheit “ wie auch „ Komplementarität “ wurden durch die Quantenphysik zu philosophischen Schlagworten schlechthin.

Dass aber „ Unbestimmtheit “ in einem vielleicht mehr allgemeinen Sinne auch in der Mathematik ihr Unwesen treibt, ist weniger bekannt, obwohl wir alle in unserer Schulzeit, ohne dass uns dies vielleicht aufgefallen wäre, mit mathematischer Unbestimmtheit bereits Bekanntschaft machten.

So betrachten wir es als völlig selbstverständlich, dass sich geometrische Sätze auf unendlich viele, unterschiedliche, bestimmte geometrische Figuren beziehen. Sie gelten also gleichermassen für die eine als auch für die andere ihnen entsprechende geometrische Figur, sie müssen also im Vergleich zum Konkretisierungsgrad einer bestimmten geometrischen Figur noch unbestimmt sein.

In diesem sehr allgemeinen Sinne findet sich allg. mathematische Unbestimmtheit eigentlich in jeder algebraischen Gleichung, insofern derselbe Zahlenwert der linken als auch der rechten Seite einer Gleichung zugeordnet ist, also sowohl der linken als auch der rechten Seite entspricht. Zudem sind allgemeine algebraische Gleichungen natürlich auch numerisch noch unbestimmt, da für die nicht variablen Grössen jeder beliebige Zahlenwert eingesetzt werden kann.

Dies gilt nicht für die Variable „ x “ einer algebraischen Gleichung (=Lösung), dennoch können wir anhand dieser Variablen „ x “ unserem bis jetzt zugegeben noch etwas schwammigen Begriff mathematischer Unbestimmtheit, bezieht sich dieser bislang doch einfach auf die Allgemeinheit algebraischer Terme, etwas schärfere Konturen verleihen:

Eine lineare Gleichung „ a + x = b “ hat für „ x “ die bestimmte Lösung: „ x=b-a “ .

Für quadratische Gleichungen „ ax² + bx + c=0 “ gibt es für „ x “ jedoch keine bestimmte Lösung, da quadratische Gleichungen zwei Lösungen, „ x1 “ und „ x2 “ , haben. D.h. doch aber eigentlich: Die Lösung einer quadratischen Gleichung ist numerisch unbestimmt hinsichtlich „ x1 “ und „ x2 “ , da sowohl „ x1 “ als auch „ x2 “ Lösung sein kann.

Weiter gilt, „ [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]“ , was aber auch wieder heisst, sowohl „ +a “ als auch „ -a “ sind Lösungen. D.h. die Lösung ist operativ unbestimmt hinsichtlich „ + “ und „ - “ .

Man könnte jetzt vielleicht vermuten, dass die oben erwähnten konkreten Beispiele numerischer resp. operativer Unbestimmtheit Spezialfälle darstellten, ebenso wie das folgende bekannte Beispiel:

So ist etwa sowohl „ 2 + 2 “ als auch „ 2 x 2 “ gleich „ 4 “ .

Die Operationszeichen „ + “ und „ x “ sind austauschbar, d.h. die beiden hier identischen Operanden sind hinsichtlich Addition und Multiplikation operativ unbestimmt, d.h. sie ergeben sowohl addiert als auch multipliziert dasselbe Resultat.

Üblicher scheint doch schon derjenige Fall vom Typ „ 2 + 3 = 5 “ und „ 2 x 3 = 6 “ zu sein. Die beiden Operanden „ 2 “ und „ 3 “ sind hier operativ bestimmt, d.h. sie ergeben addiert oder multipliziert unterschiedliche Resultate, was man doch wie gesagt als Normalfall zu sehen geneigt wäre.

Dem ist jedoch nicht so!

Tatsächlich existieren genau so viele operativ-unbestimmte wie operativ-bestimmte Paare von Operanden.

Es lässt sich nämlich, hinsichtlich Addition und Multiplikation, jedem operativ bestimmten Operanden-Paar (A;B) ein weiteres, operativ unbestimmtes OperandenPaar (C/A;C/B) zuordnen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Operanden (C/A) und (C/B) sind operativ unbestimmt hinsichtlich Addition und Multiplikation, d.h. sie ergeben sowohl addiert wie auch multipliziert dasselbe Resultat.

Verwenden wir mathematische Unbestimmtheit als Schlüssel zur Mathematik, wird es uns möglich, elementare, mathematische Grundgesetze in einem vertieften Zusammenhang zu sehen. Es eröffnet sich uns eine völlig neue Sicht auf Mathematik.

Dies soll im Folgenden zuerst an der „ Satzgruppe des Pythagoras “ und davon ausgehend, am „ Goldenen Schnitt “ und an den Fibonacci- und Lucaszahlen aufgezeigt werden.

Aufgrund der Entwicklung der Fibonacci- und Lucaszahlen aus den hier postulierten unbestimmten Ur-Zahlen, wird schliesslich die formal-logische Entsprechung von mathematisch-operativer Unbestimmtheit, insbesondere objektiv-arithmetischer Unbestimmtheit, zu quantenphysikalischer Unbestimmtheit deutlich.

So zeigt sich, dass „ Unbestimmtheit “ für ein vertieftes Verständnis von Mathematik von essentieller Bedeutung ist.

Im „ Anhang II “ zeigen wir, wie unser gesamtes mathematisches Konstrukt, welches, wie andeutungsweise sichtbar werden sollte, wesentliche mathematische Grundgesetze in sich synthetisiert, auf drei unmittelbar aus der Physik ableitbaren naturphilosophischen Ur-Gesetzen fusst und darin seine „ reale “ Basis findet.

1.Unbestimmtheit in der Geometrie

1.1. Neuinterpretation der Satzgruppe des Pythagoras

Wir unterscheiden rein mathematisch zwei variable Grössen, (Lm) und (Mm), und eine konstante Grösse (C0), und setzen folgende quantitativen Bezüge:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

im Hinblick auf die geometrische Interpretation:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

im Hinblic k auf die geometrische Interpretation:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

im Hinblick auf die geometrische Interpreta tion :

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus Satz A) und B) ergibt sich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Weiter ergibt sich aus Satz A), B) und C):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1.2. Operative Unbestimmtheit hinsichtlich der Grundoperationen

(=algebraische Unbestimmtheit)

Im folgenden synthetisieren resp. multiplizieren wir die Gleichungen 1.1; 1.2 und 1.3:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Operative Unbestimmt heit hinsichtli

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1.3. Darstellung der Satzgruppe des Pythagoras

1.3.1. Geometrische Interpretation von Satz A, B und C:

Satz A: Lm∙Y (= R. AC’EF) = Mm∙Z (= R. BGHC‘‘) = c0² (= Q. ABPQ)

Satz:B: Lm∙x (= R. CC’EL) = Mm² (= Q. BGKC) resp. Mm∙w (= R. CKHC‘ ‘ ) = Lm² (= Q. ACLF)

Satz C: Lm+x=Y→Lm(Lm+x)=Lm² +Lm∙x=Lm∙Y; Mm+w=Z→Mm(Mm+w)=Mm² +Mm∙w=Mm∙Z →Satz A), B) und C): Lm² (=Q. ACLF) + Mm² (= Q. BGKC) = c0² (=Q.ABPQ)

Figur 1

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Satz A → Kathetensatz: Dreieck ABC‘: Fläche (=F.). co² (=Kathetenquadrat) = F. Rechteck AC’EF „ ABC‘‘ „ „ = „ BGHC‘‘

Satz B → Höhensatz: Dreieck ABC‘‘: F. Lm² (=Höhenquadrat) = F. Rechteck CKHC‘‘ „ ABC‘ F. Mm² „ = „ CC‘EL

S. A),B),C)→“Pythagoras“: ((Lm+Mm)² (=F. OGMF)= Lm² (=F.ACLF)+Mm² (=F. BGKC)+2LmMm(=F. AOBC+CKML)) - (4 x LmMm/2(=F. AOB+BGP+QPM+AQF)) = co² (=F. ABPQ)= Lm² +Mm² +2LmMm -2LmMm = Lm² +Mm²

weiter ergibt sich aus Satz A,B und C:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Weiter ergibt sich aus 1.) und 2.):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus Satz A,B und C lässtsichim weiteren

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Figur 4

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es ergibt sich aus der unmittelbaren Anschauung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1.3.2. Systematische Gesamtdarstellung aufbauend auf Satz A), B) und C):

1.3.2.1. Grundlagen

Gem. Satz A) ergibt sich im weiteren:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gem. Satz B) gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

hieraus ergibt sich im weiteren:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gem. Satz A) und B) ergibt sich also, (A und B)ff:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gemäss Satz C) gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Unter zusätzlicher Berücksichtigung von Satz Bff) ergibt sich hieraus:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Weiter ergibt sich aus Satz A), B) und C):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Weiterführend ergibt sich hieraus für die Relationen von Flächen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hieraus ergibt sich für die Relationen von Strecken:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Schliesslich ergibt sich als basaler Zusammenhang für Rechtecke und Quadrate:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1.3.2.2. Die drei Formen subjektiv-operativer Unbestimmtheit

Ausgehend von Satz 2 ergibt sich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hieraus ergibt sich :

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ausgehend von den bis jetzt erarbeiteten Grundlagen, lassen sich nun grundsätzlich drei Formen mathematisch-operativer Unbestimmtheit definieren:

Geometrische Unbestimmtheit:

(=operative Unbestimmtheit hinsichtlich der Relation von Strecken und der Relation von Quadraten= Flächenidentität von Rechtecken und Quadraten, d.h. die Grösse einer Fläche kann sich sowohl auf ein Rechteck wie auch auf ein Quadrat beziehen.)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Algebraische Unbestimmtheit:

(=operative Unbestimmtheit zweier Grössen hinsichtlich Multiplikation und Addition, d.h. zwei Grössen ergeben sowohl multipliziert als auch addiert denselben Wert.)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Arithmetische Unbestimmtheit:

(=operative Unbestimmtheit hinsichtlich Addition und Subtraktion, d.h. „+“ und „-“ sind in einem Term einer Gleichung austauschbar, ohne dass die Identitätsbeziehung der Gleichung tangiert würde.)

Es gilt (vgl. Figur 3):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hieraus ergibt sich u.a. arithmetische Unbestimmtheit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

• Auteur: Urs Böhringer (Auteur)
• Année de publication: 2012
• Pages: 74
• N° de catalogue: V204792
• ISBN (ebook): 9783656308607
• ISBN (Livre): 9783656311539
• Langue: allemand
• mots-clé: Unbestimmtheit, Komplementaritäten, Fibonaccizahlen, Goldener Schnitt, Zahlentheorie, Metatheorie