Es gibt zwei verschiedene Arten von Milchtüten. Die erste hat einen quadratischen Boden und
ist relativ hoch. Die zweite hat einen rechteckigen Boden und eine etwas größere Grundfläche.
Trennt man die Tüte mit quadratischem Boden an den Kleberändern auf, entsteht ein
Rechteck mit Kleberändern an dreien der vier Außenseiten. Die Kleberänder sind jeweils
0,6cm breit. Die Höhe der Tüte beträgt 19,7cm und die Breite 7,1cm. Ober- und unterhalb der
rechteckigen Seite der Tüte und an zwei halben Seiten rechts und links liegen Streifen der
Höhe 1/2·a über die volle Breite.
Eine Tüte mit den genannten Maßen hätte ein Volumen von
V=a²·h=(7,1cm)²·19.7cm=993,077cm³.
Da die gefüllte Tüte leicht bauchig ist, passen auf jeden Fall 1l = 1000cm³ hinein. Es bleibt
sogar noch etwas Luft, damit die Flüssigkeit, in dem Fall die Milch nicht gleich beim Öffnen
herausschwappt. heißt mit minimalem Papierverbrauch produziert. Minima und Maxima einer Funktion kann
man mit der Nullstelle der ersten Ableitung berechnen.
Daraus ergibt sich folgende Rechnung:
Man stellt eine Funktion für den Materialverbrauch in Abhängigkeit von a und h auf.
M(a,h)=“Höhe“·”Breite”= (h+2·a/2+2·0,6)·(4a+0,6)
Das Volumen (1Liter = 1000cm³) steht fest, das heißt man kann a²·h = 1000 als
Nebenbedingung aufstellen und diese in die Funktion einsetzen.
Dadurch erhält man eine Funktion, die nur noch von a abhängig ist. [...]
Inhalt:
I) Die Milchtüte
1. Die Milchtüte
1.1 Der Aufbau
1.2 Ist der Papierverbrauch minimal?
1.3 Die Abweichung
2. Prozess des Modellbildens
2.1 Was ist der Prozess der Modellbildung / der Modellbildungskreislauf?
II) Tetra Pak
1. Wer ist Tetra Pak?
2. Entstehung eines Getränkekartons
2. 1 Abfüllvorgang
2. 2 Abfüllmaschinen
3. Verschiedene Verpackungen
4. Vorteile des Getränkekartons
III) Die Konservendose
1. Aufbau
2. Bei welchen Abmessungen (Durchmesser, Höhe) ist der Materialverbrauch eines Zylinders mit dem Volumen 1 l minimal?
3. Verfeinerte Betrachtung der Konservendose
4. Konfrontation mit der Realität
Literaturnachweis
I) Die Milchtüte
1. Die Milchtüte
1.1 Der Aufbau
Es gibt zwei verschiedene Arten von Milchtüten. Die erste hat einen quadratischen Boden und
ist relativ hoch. Die zweite hat einen rechteckigen Boden und eine etwas größere Grund- fläche.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Trennt man die Tüte mit quadratischem Boden an den Kleberändern auf, entsteht ein Rechteck mit Kleberändern an dreien der vier Außenseiten. Die Kleberänder sind jeweils 0,6cm breit. Die Höhe der Tüte beträgt 19,7cm und die Breite 7,1cm. Ober- und unterhalb der rechteckigen Seite der Tüte und an zwei halben Seiten rechts und links liegen Streifen der Höhe 1/2·a über die volle Breite.
Eine Tüte mit den genannten Maßen hätte ein Volumen von
V=a²·h=(7,1cm)²·19.7cm=993,077cm³.
Da die gefüllte Tüte leicht bauchig ist, passen auf jeden Fall 1l = 1000cm³ hinein. Es bleibt sogar noch etwas Luft, damit die Flüssigkeit, in dem Fall die Milch nicht gleich beim Öffnen herausschwappt.
1.2 Ist der Papierverbrauch minimal?
Die Frage die wir uns stellen ist, ob eine Firma wie Tetra Pak eine Milchtüte optimal, das heißt mit minimalem Papierverbrauch produziert. Minima und Maxima einer Funktion kann man mit der Nullstelle der ersten Ableitung berechnen.
Daraus ergibt sich folgende Rechnung:
Man stellt eine Funktion für den Materialverbrauch in Abhängigkeit von a und h auf.
M(a,h)=“Höhe“·”Breite”= (h+2·a/2+2·0,6)·(4a+0,6)
Das Volumen (1Liter = 1000cm³) steht fest, das heißt man kann a²·h = 1000 als Nebenbedingung aufstellen und diese in die Funktion einsetzen.
Dadurch erhält man eine Funktion, die nur noch von a abhängig ist.
M(a) = (1000/a²+a+1,2)·(4a+0,6)
= 4a²+5,4a+0,72+4000/a+600/a² , mit a>0
Die Ableitung dieser Funktion lautet:
M'(a) = 8a + 5,4 – 4000/a² - 1200/a³
Setzt man diese Funktion gleich Null, erhält man eine Nullstelle bei ca. 7,8cm.
1.3 Die Abweichung
Das Ergebnis überrascht uns, da der reale Wert bei 7,1cm liegt. Bevor man aber versucht die Gründe zu suchen, sollte man die prozentuale Abweichung berechnen.
M(areal)-M(aoptimal)/M(aoptimal) = M(7,1) – M(7,8)/M(7,8) ≈ 8,1 %
Der Hersteller gewinnt Entscheidungsspielraum, weil er sich lediglich in hinreichender Nähe der optimalen Abmessung bewegen muss. So kann er neben der Materialminimierung weiter Gesichtspunkte ins Spiel bringen, wie z.B. die Handlichkeit der Tüte, die Ästhetik der Form oder die bequeme Lagerung im Kühlschrank. Offenbar haben derartige Gründe die Dimensionierung der Tetra-Pak-Milchtüte beeinflusst.
Hinzu kommt, dass Tetra Pak verschiedenste Vorgaben (der Fertigungstechniker, der Umweltingenieure, der Marketingabteilung und natürlich der Kunden zu einem gemeinsamen Nenner vereinen muss. Vermutlich geht Tetra Pak dabei nicht von einem vorgegebenen Faltnetz aus, aber die Mathematik wird eine große Rolle bei der Optimierung spielen.
2. Prozess des Modellbildens
2.1 Was ist der Prozess der Modellbildung / der Modellbildungskreislauf?
Der Prozess der Modellbildung ist oft ein Kreislauf. Man hat ein Problem in einer außermathematischen Situation. Dieses Problem wird mathematisch so modelliert, dass es zu einem innermathematischen Problem wird. Es ist somit durch mathematische Mittel lösbar.
Die Lösung kann dann wieder auf die Ausgangssituation übertragen werden. Entweder hilf sie bei der Klärung des Problems oder der Kreislauf muss noch einmal durchlaufen und an den entsprechenden Stellen verbessert werden.
1) Das Problem wird formuliert.
2) Das Problem wird mathematisch modelliert.
3) Das Problem wird innermathematisch gelöst.
4) Die mathematische Lösung wird interpretiert und auf ihren Wert für die Lösung des Ausgangsproblems befragt.
Es gibt eine waagerechte Trennlinie zwischen der Welt und der Mathematik und eine senkrechte zwischen dem Problem und der Lösung. Durch modellieren, deduzieren, interpretieren und validieren kann man der Mathematik mehr Realitätsbezüge geben. Allerdings ist es relativ schwierig die Schüler über einen so langen Prozess zu interessieren.
Trotzdem ist die Sinnfrage in der Mathematik wichtig und gerade über solche Beispiele in den Raum zu stellen.
Gerade die Milchtüte ist ein häufiges Beispiel für realitätsbezogene Extremwertaufgaben. An diesem und ähnlichen Aufgaben kann man den Schülern das Wechselspiel zwischen Mathematik und Alltag verdeutlichen. vor der Berechnung denken die Schüler, dass die Mathematik die „richtige“ Lösung berechnet. Die Frage ist jetzt, ob die Mathematik hier versagt, oder ob es gar nicht darum geht. In diesem Fall ermöglicht der kognitive Konflikt die Erkenntnis, dass Mathematik hier einen Entscheidungsspielraum eröffnet. Man erhält die Möglichkeiten des rationalen Handelns. Die Milchtüte, ein industrielles Massenprodukt, ist auch ein gutes Beispiel für eine technische Optimierung.[1]
II) Tetra Pak
Eng mit der Milchtüte und auch mit dem minimalen Papierverbrauch ist Tetra Pak verbunden. Wichtige Fakten und Anliegen von Tetra Pak werden im folgenden geschildert.
1. Wer ist Tetra Pak?
Mit über 98 Milliarden verkauften Verpackungen pro Jahr ist Tetra Pak der weltweit führende Anbieter von Verpackungssystemen für flüssige Lebensmittel - insbesondere von Getränkekartons für Milch- und Safterzeugnisse.
Aber Tetra Pak ist mehr als die Packung. Als weltweit einziges Unternehmen bietet es maßgeschneiderte integrierte Verarbeitungs-, Verpackungs- und Distributionsanlagen für Lebensmittel.
Tetra Pak verpflichtet sich, überall Lebensmittel sicher und verfügbar zu machen. Dies erreichet Tetra Pak gemeinsam mit seinen Kunden und Lieferanten - zum Nutzen der Verbraucher.
Einige Daten und Fakten - Tetra Pak in Deutschland
Im Jahr 2002 erzielte Tetra Pak in Deutschland mit rund 1.060 Mitarbeitern einen Umsatz von etwa 692 Millionen Euro. Damit konnte das Unternehmen seine führende Stellung als Systemanbieter von Kartonverpackungen für Milch, Saft und stille Getränke weiterhin behaupten. Im gleichen Jahr wurden ca. 7,58 Milliarden Verpackungen verkauft, was einem Volumen von 6,22 Milliarden Litern entspricht.
Der Getränkekarton von Tetra Pak hat sich als universal einsetzbare Verpackung für alle Alters- und Zielgruppen durchgesetzt. Das Unternehmen verfügt über ein breites Sortiment an Verpackungsformen und -größen. Der Marktanteil bei Fruchtsäften, Nektaren und Fruchsaftgetränken beträgt 25 Prozent, bei haltbarer Milch 85 Prozent und bei pasteurisierter Milch 56 Prozent. Milch, insbesondere haltbare Milch, ist also eine der wichtigsten Säulen dieses Geschäfts und somit von großer Bedeutung.
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[1] Vergl. Dankwerts, R. u.a.: Milchtüte und Konservendose, in: Der Mathematikunterricht, Heft 4, S. 22-31, 2001
- Arbeit zitieren
- Simone Effenberk (Autor:in), 2003, Milchtüte und Konservendose, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/18812
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