Das erste Modell , welches die strategischen Aspekte von privaten Informationen in einem Aktienmarkt untersuchte war das Modell von Kyle (1984, 1985):
Wie ein risikoneutraler Investor (Insider) mit monopolistischer Information seine Ordergröße und Handelsintensität wählt, um seinen Gewinn zu maximieren und wie schnell die Information in den Marktpreis eingeht sind nur ein Teil der Untersuchungen in Kyle's Modell (1985). Mit Hilfe einer Modellierung der Handelsstrategien des Insiders in einem dynamischen Modell mit effizienter Preisbildung wird analysiert, wie wertvoll private Information für einen Insider ist und wie die uninformierten Händler (Noise-Trader) die Volatilität der Preise beeinflussen.
Ein wichtiger Aspekt in diesem Modell ist die Klärung der Bestimmungsfaktoren der Liquidität eines Marktes :
Im Modell wird gezeigt, dass die Modellierung von Preisveränderungen als Funktion von gehandelten Mengen nicht inkonsistent ist mit der Preisveränderung als Konsequenz neuer Informationen. Dies bedeutet auch dass die strategische Ausübung von Monopolmacht durch den Insider mit mittelstreng effizienten Preisen vereinbar ist. Es zeigt sich, wie ein diskretes Modell bei zunehmend häufigen Handel in ein kontinuierliches Modell übergeht. Eine konstante Volatilität der Preise erfordert nicht, dass die Informationen in verstetigender Weise produziert werden: Die Liquiditätscharakteristika eines effizienten Marktes können trotz assymetrischer Informationen erreicht werden.
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1. Einleitung
Das erste Modell , welches die strategischen Aspekte von privaten Informationen in
einem Aktienmarkt untersuchte war das Modell von Kyle (1984, 1985). Wie ein
risikoneutraler Investor (Insider) mit monopolistischer Information seine
Ordergröße und Handelsintensität wählt, um seinen Gewinn zu maximieren und wie
schnell die Information in den Marktpreis eingeht sind nur ein Teil der
Untersuchungen in Keyle’s Modell (1985). Durch die Modellierung der
Handelsstrategien des Insiders in einem dynamischen Modell mit effizienter
Preisbildung wird analysiert, wie wertvoll private Information für einen Insider ist
und wie die uninformierten Händler (Noise-Trader) die Volatilität der Preise
beeinflussen. Ein wichtiger Aspekt in diesem Modell ist es zu klären was die
Liquidität eines Marktes bestimmt.
Ein Wertpapier wird zwischen drei Arten von Händler gehandelt: Einem einzigen
Insider, der exklusiven Zugriff auf die Information des ex Post- Liquidationswertes
des Wertpapiers hat, dem Market-Maker, der die Preise in mittelstrengen Sinn
effizient setzt und den Noise-Tradern, die zufällig handeln. Bei jeder Auktion findet
der Handel in zwei Schritten statt. Im ersten Schritt erteilen der Insider und die
Noise-Trader simultan ihre Aufträge. Der Insider wählt sein Auftragsgröße
basierend auf seiner Beobachtung des Liquidationswertes und -im Fall von
mehreren Handelsrunden- der vergangenen Preise . Da er risikolos handelt, könnte
er bei gegebenem Preis eine beliebig große Menge wählen. Im Gleichgewicht hängt
der Preis stochastisch von seiner Auftragsgröße ab. So ist seine Ordergröße
begrenzt. Die von den Noise-Tradern in Auftrag gegebene Menge ist zufällig. Im
zweiten Schritt setzt der Market-Maker den Preis aufgrund von Beobachtungen der
aktuellen und der vergangenen aggregierten Mengen, welche durch den Insider und
die Noise-Trader gehandelt wurden. Der Market-Maker kann nicht zwischen den
Aufträgen der Noise-Trader und dem Auftrag des Insiders unterscheiden. Der
Insider will seinen Profit maximieren und er weiß, dass sein Handeln Einfluß auf
die Preise dieser Auktion und auf die Preise zukünftiger Handelsrunden hat. Der
Market-Maker agiert unter einer exogenen Wettbewerbsbedingung und setzt den
Preis so, dass er dem bedingten Erwartungswert des Liquidationswertes entspricht.
Daher wird der Market-Maker einen Profit von Null erzielen.
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Kyle untersucht zunächst den Fall, dass nur einmal gehandelt wird (Single auction
equilibrium) und dann eine Abfolge mehrerer Handelsrunden (Sequential auction
equilibrium). Schließlich untersucht er das Continuous auction equilibrium und
zeigt, daß dieses die Grenze des Sequential auction equilibrium darstellt.
Markt-Liquidität wird definiert als folgende Eigenschaften des Marktes:
• Enge (Kosten des Umschwungs einer Position in einer Zeitspanne),
• Tiefe (die Änderung der Ordergröße benötigt um die Preis um einen gegebenen
Betrag zu ändern, im Modell 1 λ ), und
• Elastizität (resiliency- die Geschwindigkeit mit der sich die Preise von einem
zufälligen, uninformierten Schock erholen).
Ein liquider Markt ist ein kontinuierlicher Markt, in dem jede Menge von Aktien
sofort gekauft oder verkauft werden können und ein effizienter Markt in dem Sinne,
dass kleine Mengen zu aktuellem Marktpreisen gehandelt werden und große
Mengen werden über einen längeren Zeitraum zu Preisen durchschnittlich nahe dem
aktuellem Marktpreis gehandelt. Das Continuous auction equilibrium verfügt über
diese Eigenschaften.
2. Single auction equilibrium
Der ex post Liquidationswert v % eines Wertpapiers ist normalverteilt mit
Σ . Das aggregierte Ordervolumen der Noise-Erwartungswert 0 p und Varianz 0
σ . Die Trader u % ist normalverteilt mit Erwartungswert Null und Varianz 2
u
Zufallvariablen v % und u % sind unabhängig voneinander. Der Insider erteilt die
Auftragsgröße x % und der Preis ist bezeichnet als p % .
Die Werte von v % und u % sind realisiert und der Insider beobachtet als einziger die
Realisation von v % aber nicht u % . Im Schritt eins wählt er dementsprechend die
Menge x % , die seinen Gewinn maximiert. Der Market-Maker beobachtet nur die
aggregierten Ordergrößen x % + u % und bestimmt im Schritt zwei den Preis, der den
Markt räumt. Die aggregierte Ordergröße ist ein „verrauschtes“ Signal der
Realisation v % , da der Market-Maker bei einem größeren Nettoeinkauf nicht genau
weiß, ob der Grund hierfür eine große Realisation von v % ist oder eine Erhöhung von
u % . Deshalb ist die Präzision des Signals desto höher je geringer die Varianz der
σ ist und je größer die Varianz des Liquidationswertes 0 Σ ist Noise-Trader-Order 2
u
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Σ , desto wahrscheinlicher sind große Realisationen von v % und damit (je größer 0
große Aufträge des Insider).
Die Handelstrategie des Insider wird als Χ bezeichnet und ist definiert durch die
( ) = Χ % % und die Preisstrategie P des Market-Maker x v Funktion durch die
( ) = Ρ + % % % . Die Gewinne des informierten Händler sind durch die p x u Funktion
( ) π = − % % % % gegeben. v p x Funktion
Ein Gleichgewicht wird definiert als ein Paar von Χ und P, welche zwei
Bedingungen erfüllen:
Profitmaximierung: Für jede abwechselnde Handelsstrategie ′ Χ und für a)
jedes v gilt:
{ { } ( ) } ( ) π ′ π = ≥ = % % % % , , . E X P v v E X P v v (2.1)
b) Markteffizienz: Der Preis ist mittelstreng informationseffizient, d.h alle
öffentlich verfügbaren Informationen (die Gleichgewichtswerte der Modell-
( ) { } Χ Ρ = Ε + % % % % (2.2) , . p v x u
Kyle beweist in Theorem 1 die Existenz eines Gleichgewichtes (Herleitung im
Anhang), in dem die Strategie des Insider und des Market-Maker gegeben sind
durch:
( ) ( )
Χ ( ) ( ) Ρ + = + (2.3)
β
Die optimale Menge des Insiders ist eine lineare Funktion der Differenz zwischen
dem Liquidationswert und seinem Erwartungswert. Diese Menge hängt von der
Varianz des Ordervolumens der Noise-Trader ab. Der Insider kann sich hinter
diesen Aufträgen „verstecken“. Je größer der Varianz ist, desto schwieriger wird es
für den Market-Maker, aus dem gesamten Ordervolumen auf die Order des Insiders
(und damit auf die Informationen des Insiders) zu schließen.
Implizit hängt auch sein Gewinn von dieser Varianz ab. Die Preisfunktion des
Market-Makers ist eine lineare Funktion des aggregierten Ordervolumens. Die
Variable λ reflektiert, wie stark der Market-Maker den Preis an die Verände-rung
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des Auftragsvolumens anpaßt. Da λ proportional zum Verhältnis von 2 Σ
u
ist, hängt die optimale Insiderstrategie (X) von dieser Variable ab.
Das Marktergebnis wird durch die Kosten der adversen Selektion (Gewinne des
Insiders) und dem Informationsgehalt der Preise charakterisiert.
Der Erwartungswert des Gewinns ist:
{ } { } ( ) ( ) ( ) β λβ λ Ε − = Ε − − − − % x v p v p v p u
0 0
{ } { } ( ) { } ( ) ( ) β λβ λ = Ε − − Ε − − Ε − 2 2 2 % v p v p v p u
0 0 0
{ } { } ( ) ( ) Ε − Ε − Σ und 2 % =0 (wegen Unkorreliertheit zwischen v und v p v p u Da = 0
0 0
u % ), ist der erwartete Gewinn nach Einsetzen von β und λ :
( ) ( ) 1 1 π σ Ε = Σ 2 2 (2.4)
0 u 2
σ bewirkt auch eine Verdoppelung der Ordergröße des Eine Verdoppelung von 2
u
Insiders und diese verdoppelt seinen erwarteten Gewinn. Was passiert mit dem
Preis? Im Gleichgewicht ist der Preis:
2 2 1 ( ) ( ) ( ) λ Ρ + = + + + − + 0 % % % % = x u p x u p v p u Σ 0 0 0 1 σ 2 2 0 0 2 Σ
σ sowohl auf die optimale Menge x als auf das optimale Da eine Änderung von 2
u
λ wirkt, gleichen sich in der Preisgleichung diese Effekte aus und der Preis bleibt
stabil.
Der Informationsgehalt des Preises wird durch die bedingte Varianz des
( )
Liquidationswertes (nach Beobachtung des Preises) Var v p gemessen. Eine
Varianz von Null bedeutet, dass der Preis alle Informationen enthält und bei der
Σ wäre der Preis vollständig uninformativ. Die Berechnung im Anhang Varianz 0
Σ ( ) ≡ Σ = 0 zeigt dass: (2.5) Var v p
1 2
Auf diese Weise sind die Hälfte der privaten Informationen des Insider in den Preis
einbezogen. Der Insider maximiert seinen Gewinn:
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π λ Ε = − Ε Ε = + Ε = 0 x v p x mit p x p x da u 0
( )
und so ergibt sich die optimale Auftragsgrösse x
2 0
der Erwartungswert von Preis
2 0
Nach Einsatz von λ ergibt sich:
( ) ( ) ( ) ( ) λ λ λ ∗ = + + = + % % % Var p Var p x u Var x Var u
0
− Σ Σ Σ v p λ λ σ = + = + = 2 2 0 0 0 0 Var λ u 2 4 4 2
Das bedeutet, dass im Gleichgewicht der Preis dem bedingten Erwartungswert des
Liquidationswertes entspricht. Deswegen ergänzen sich ihre Varianzen zur
unbedingten Varianz des Liquidationswert ( ) Σ .
0
Viele Eigenschaften des sind annähernd auch auf das Sequential auction
equilibrium anwendbar.
3. Sequential auction equilibrium
Kyle verallgemeinerte das Modell des Single auction equilibrium durch Darstellung
eines Modells, in dem eine Reihe von Handelsrunden sequentiell durchgeführt
werden. In diesem dynamischen Modell reflektieren die Gleichgewichtspreise bei
jeder Auktion, die in der vergangenen und aktuellen Ordergröße erhaltenen
Informationen. Die Handelsentscheidungen des Insiders in jeder Periode sind
wegen ihrer Wirkung auf den Informationsinhalt des Preises miteinander
verbunden.
Annahmen des Modells
Der Handel beginnt zum Zeitpunkt t = 0 und endet in t = 1. Es gibt N Auktionen und
t bezeichnet die Zeit bei der die n’te Auktion durchgeführt wird. Die Reihenfolge
n
teilen das Intervall [ ] = < < = 0,1 . Kyle nimmt der Auktionszeitpunkte 0 1 t t t L
N 0 1
an, dass ( ) ∆ % normalverteilt ist mit % u t einer Brown’schen Bewegung folgt, so dass u
n
σ ∆ . Das impliziert, dass die bei den Erwartungswert von Null und Varianz 2 t
u n
einzelnen Auktionen von den uninformierten Händlern gehandelten Mengen
unabhängig voneinander sind. Der Liquidationswert v % ist normalverteilt mit
Σ . v % ist unabhängig von ( )
% . n x % ist die u t p und der Varianz 0 Erwartungswert 0
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∆% ist die gehandelte x aggregierte Position des Insiders nach der n’ten Auktion und n
Menge des Insiders bei der n’ten Auktion. Bei jeder Auktion findet der Handel in
zwei Schritten statt: Die Strategie des Insiders hängt von den vergangenen Preisen
und von dem Liquidationswert ab, so dass seine Position nach der n‘ten Auktion ist
( ) ( ) = = % % % % , , 1, , x X p p v n N (3.1) K K − n n n 1 1
Wenn der Market-Maker in Schritt zwei den Preis setzt, beobachtet er die aktuelle
und die vergangene Ordergröße, so dass seine Preisfunktion definiert ist durch
( ) ( ) = + + = % % % % % p P x u x u n N (3.2) 1, , K K
1 1, n n n n
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