Im Umgang mit Gasen gelten die gleichen physikalischen Gesetze wie für Newtonsche Mechanik. Da ein Gas jedoch aus sehr vielen Teilchen besteht, macht eine Anwendung der Newtonschen Gesetze jedoch nahezu unmöglich. Daher müssen andere Gesetzmäßigkeiten, bzw. Theorien verwendet werden, um dennoch die physikalischen Zustände von Gasen bestimmen und vorhersagen zu können. Dazu wird die kinetische Gastheorie verwendet. Eine andere Möglichkeit ist die Verwendung der idealen Gasgesetze, um die es in diesem Versuch gehen soll.
Anfängerpraktikum, WS 07/08
Jan Hoppe
Protokoll zum Versuch: GV Ideale Gasgesetze (05.02.08)
Theoretische Grundlagen
Im Umgang mit Gasen gelten die gleichen physikalischen Gesetze wie für Newtonsche Mechanik. Da ein Gas jedoch aus sehr vielen Teilchen besteht, macht eine Anwendung der Newtonschen Gesetze jedoch nahezu unmöglich. Daher müssen andere Gesetzmäßigkeiten, bzw. Theorien verwendet werden, um dennoch die physikalischen Zustände von Gasen bestimmen und vorhersagen zu können. Dazu wird die kinetische Gastheorie verwendet. Eine andere Möglichkeit ist die Verwendung der idealen Gasgesetze, um die es in diesem Versuch gehen soll.
Nach dem idealen Gasgesetz kann der Zustand eines Gases eindeutig durch Druck, Volumen und Temperatur bestimmt werden. Nach dem nullten Hauptsatz gilt, dass wenn ein System A mit einem System B und B mit System C im thermodynamischen Gleichgewicht liegen, dann gilt das auch für A und C. Demnach besteht die Möglichkeit, eine der Variablen konstant zu halten und zu überprüfen, wie sich die Änderungen der anderen beiden aufeinander auswirken.
Diese Regel verwendeten Boyle-Mariotte, Gay-Lussac und Charles bei ihren Experimenten mit Gasen. Das Gesetz von Boyle-Mariotte, der die Temperatur konstant hielt, besagt: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.
Charles fand heraus, dass sich Volumen und Temperatur (bei konstantem Druck) proportional zu einander verhalten: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten oder Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.
Analog ergibt sich das Gesetz von Gay-Lussac bei konstantem Volumen: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten oder Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.
Für ein ideales Gas lässt daraus folgender Zusammenhang Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ableiten, wobei n der Anzahl der Mole entspricht und R für die universalle Gaskonstante steht.
Wenn wir nun für t die Temperatur in °C und für T in Kelvin festlegen (T0 wäre die Temperatur in Kelvin bei 0°C, also 273,16K), dann kann aus den beiden Gleichungen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, durch Subtraktion und anschließende Division der Zusammenhang Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gewonnen werden. Durch kürzen und umstellen ergibt sich dann Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Da Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten der Temperatur in °C t entspricht, lässt sich die Gleichung auch als Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.
Für das Gesetz von Gay-Lussac ergibt sich analog Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (p0 entspricht dem Druck bei T0).
Setzt man Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gleich Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, dann lassen sich die beiden letzten Gesetze auch als Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten schreiben.
Ergänzung: Der Druck wird hierbei über die U-Röhre (siehe Versuchsaufbau) gemessen. Durch die Öffnung auf der einen Seite, verhält es sich wie ein Barometer. Sind beide Säulen auf einer Höhe, wirkt nur der Atmosphärendruck auf das Gas. Wird jedoch eine der Säulen verschoben, kann der Druck vergrößert oder verkleinert werden. Dabei verhält sich der Druck in einem Barometer entsprechen der Gleichung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Um den Druck in dem Gas unserer Apparatur zu ermitteln, muss entsprechend zu dem Atmosphärendruck noch die Höhendifferenz Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten addiert werden: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.
Versuchsaufbau
Der Aufbau besteht aus einer U-förmigen Röhre (eigentlich 2 Röhren, die über einen Schlauch verbunden sind) mit Quecksilber, die an einer Seite geöffnet ist. In dem geschlossenen Schenkel ist die Gasprobe enthalten. Ebenfalls um diesen Schenkel herum ist eine weitere Glasröhre, durch die Wasser gepumpt werden kann. Dieses kommt aus einem beheizbaren Behälter, so dass die Temperatur der Gasprobe über das Wasser erwärmt werden kann. Mit einem Maßstab kann das Volumen des Gases und der Druckunterschied (Abstand zwischen den beiden Quecksilbersäulen) ermittelt werden.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
(Quelle: Skript S. 59)
Messung bei konstanter Temperatur
Beim ersten Versuch sollte bei Zimmertemperatur der Druck verändert (durch bewegen des offenen Schenkels) und das entsprechende Volumen ermittelt werden.
Bei der Vorbereitung zu diesem Versuch haben wir folgende Werte gemessen, bzw. Fehler angenommen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Auf diese Weise erhielten wir folgenden Graphen:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Fehler für das Volumen und den Druck wurden nach der Fehlerfortpflanzung nach Gauß ermittelt: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.
Die Regressionsgerade hat folgende Formel: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Der Fehler für die Steigung wurde ebenfalls nach der Fehlerfortpflanzung nach Gauß ermittelt, indem der Fehler für die einzelnen Steigungen berechnet und dann der Mittelwert gebildet wurde, dabei muss beachtet werden, dass diese Vorgehensweise keinen genauen Fehler liefert und mehr einer Näherung gleicht. Auf diese Weise beträgt der Fehler ± 0,329.
Der Fehler für den Schnittpunkt mit der y-Achse wurde mit Excel berechnet (Standardfehler der geschätzten y-Werte für alle x-Werte der Regression). Auf diese Weise erhalten wir folgende Formel für die Regressionsgeraden: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.
Messung bei konstantem Druck
Nun wurde die Temperatur des Wasserbehälters erhöht und die Pumpe eingeschaltet. Auf diese Weise wurde das Gas erwärmt. Erst wurden zwei Druckwerte, 114415pa (entspricht ∆h = 120mm) und 91824pa (entspricht ∆h = -50mm), ausgewählt. Dann wurde bei unterschiedlichen Temperaturen der Druck eingestellt und das resultierende Volumen notiert. Auf diese Weise haben wir die Änderung von Volumen und Temperatur bei konstantem Druck festgehalten:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Zunächst wurde der letzte Wert für die Messreihe bei höherem Druck ignoriert. Dieser ist offensichtlich durch einen Schreib- oder Messfehler entstanden.
Wir erhalten hier nun zwei Geradengleichungen der Form Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, die wir gesondert betrachten:
Höherer Druck: Die Regressionsgerade verläuft nach der Gleichung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Analog zur vorherigen Messung wurden die Fehler berechnet, so dass die Gleichung, inklusive der Fehler, nun die Form Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten hat.
Niedrigerer Druck: Die Gleichung mit den in ihr enthaltenen Fehlern lautet Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.
Aus der Steigung können wir nun Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bestimmen. Wir haben schon gesehen, dass Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gilt. Hier entspricht der erste Summand b und der zweite mx, auf den es uns ankommt. Die Temperatur (und das x) können wir nun weglassen, so dass gilt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten oder umgestellt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.
Der Fehler für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten wird wieder durch die Gaußsche Fehlerfortpflanzung bestimmt (die Fehler der Einzelwerte entsprechen den, die in den Klammern in den Gleichungen stehen). So erhalten wir für den höheren Druck Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und den niedrigeren Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Der erwartete Wert ist Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Beide Ergebnisse stimmen folglich mit der Erwartung überein.
Messung bei konstantem Volumen
Dieser Teil des Versuches wurde gleichzeitig und auch nahezu Analog zu dem vorherigen durchgeführt. Es wurde bloß anstatt des Drucks das Volumen beibehalten. Daher wurde der Druck nun im Verhältnis zu der sich ändernden Temperatur aufgetragen. Die beiden gewählten Volumina waren 0,0000153m3 (entspricht h = 150mm) und 0,0000194m3 (entspricht h = 190mm). Dazu ergaben sich folgende Zusammenhänge:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Auch hier musste ein Wert außer Acht gelassen werden. Da dieser Messwert gleichzeitig zu dem falschen Wert der vorherigen Messung aufgenommen wurde, vermuten wir einen Zusammenhang, daher gelten für ihn die gleichen Gründe für seine Fehlerhaftigkeit.
Die beiden Gleichungen sind: Für das kleinere Volumen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und das größere Volumen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.
Auch hier lässt sich Analog zu vorherigen Messung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bestimmen, nur dass jetzt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Zusammen mit den Fehlern ergibt sich Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Da auch Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist, kann man sehen, dass beide Messwerte gut mit der Erwartung übereinstimmen.
Ermitteln der Molmenge des Gases
Die Anfangs bereits genannte Gleichung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten lässt sich nach Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten umstellen. Aus den Steigungen, die wir während des ganzen Versuches ermittelt haben, lässt sich zusammen mit der Gaskonstante die Molmenge des Gases errechnen. Zuerst sollen jedoch alle Steigungen noch einmal dargestellt werden:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Alle in der Tabelle genannten Verhältnisse kommen auch in der Formel für n vor, so dass wir die Steigung nur noch um die fehlenden Faktoren (die konstant gehaltenen Zustandsgrößen und die Gaskonstante R) ergänzen müssen. In diesem Fall werden alle Temperaturen in Kelvin umgerechnet: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.
Auch hier wird die Fehlerfortpflanzung nach Gauß verwendet, um die Unsicherheiten der Ergebnisse zu bestimmen. Wir erhalten:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Wie man sieht, gibt es einen bestimmten Bereich, in dem alle Werte miteinander übereinstimmen. Dieser Bereich liegt zwischen 0,00072 und 0,00082mol. Man kann annehmen, dass (wenn unsere Ergebnisse richtig sind) die in dem Behälter wirklich enthaltene Molmenge in diesem Bereich liegt. Da uns ein Erwartungswert fehlt, müssen wir bei dieser Näherung bleiben.
Diskussion
Wir haben die im Theorieteil erwähnten Gesetze von Charles, Gay-Lussac und Boyle-Mariotte verifizieren können. Anhand der Graphen lässt sich zeigen, dass sich die verschiedenen Gesetzte (annähernd) konstant verhalten (wenn die beiden aussortierten Werte ignoriert werden), wenn eine der Zustandsgrößen nicht verändert wird. Auch die Werte für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten zeigen eine ausreichende Übereinstimmung mit dem erwarteten Wert. Wir können also sagen, dass sich das von uns untersuchte Gas in dem verwendeten Temperaturbereich zumindest näherungsweise wie ein ideales Gas verhält.
Verwendete Literatur:
Giancoli, D. C. (2006) Physik, München: Pearson Studium
Werner, U. (2005) Skript zum Anfängerpraktikum, Uni Bielefeld
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- Citation du texte
- Jan Hoppe (Auteur), 2008, Ideales Gasgesetz, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/176201
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