Das Ziel des Versuches ist die räumliche und zeitliche Entwicklung der Wärme in einem Kupferstab zu messen. Die dabei ermittelten Ergebnisse sollen mit einer Näherung der Wärmeleitungsgleichung verglichen werden.
Anfängerpraktikum, WS 07/08
Jan Hoppe
Protokoll zum Versuch: Wärmeausbreitung (29.01.08)
Ziel
Das Ziel des Versuches ist die räumliche und zeitliche Entwicklung der Wärme in einem Kupferstab zu messen. Die dabei ermittelten Ergebnisse sollen mit einer Näherung der Wärmeleitungsgleichung verglichen werden.
Theoretische Grundlagen
Wärme kann sich auf drei verschiedene Weisen ausbreiten: Konvektion, Wärmeleitung und -strahlung.
Wärmeleitungkann man sich in festen Körpern (in unserem Fall ein Kupferstab) als Kollisionen der Elektronen und Moleküle untereinander vorstellen. Dabei wird die kinetische Energie von einem Teilchen zum anderen übertragen. Wenn ein Körper nur an einem Ende erwärmt wird, bewegen sich die Teilchen dort schneller und stoßen die in der Umgebung liegenden verstärkt an. Auf diese Weise breitet sich die Wärme entlang eines Körpers aus.
Betrachtet man einen Stab mit Länge L und Radius r, der aus einem Material mit der Dichte ρ und der spezifischen Wärme c besteht, so kommt es bei ungleichmäßiger Wärmeverteilung zu einem Temperaturgefälle und einem damit verbundenem Transport der Wärme. Für einen idealisierten eindimensionalen Fall gilt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Das Minuszeichen zeigt, dass die Wärme von wärmeren Orten zu kälteren fließt. Die Wärmeleitfähigkeit κ ist eine materialabhängige Proportionalitätskonstante, die angibt, wie der Name schon sagt, wie gut ein bestimmtes Material Wärme leitet. Materialien mit großer Wärmeleitfähigkeit leiten Wärme besser (und schneller) als die mit kleiner.
Für die Wärmestromdichte ([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] dividiert durch die Fläche A) gilt folglich [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Aus diesen Gleichungen lässt sich dieWärmeleitungsgleichungherleiten: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Jedoch wird durchKonvektion[durch Bewegung von Molekülen (hier: der den Körper umgebenden Luft) von einem Ort zum anderen übertragene Wärme] undWärmestrahlung(Übertragung von Wärme, ohne jegliche Materie, durch elektromagnetische Wellen) Wärme aus dem Körper abgeführt, so dass sich nicht überall die gleiche Temperatur einstellt.
Die Konvektion ist proportional zu [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und die Wärmestrahlung zu [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Zusammen mit diesen Verlusten ergibt sich die Wärmeleitungsgleichung: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
In dieser Gleichung werden die Wärmeverluste durch h dargestellt, das von dem Material und der Form des Körpers abhängt.
Da diese Form eine Näherung ist, lässt sich keine Lösung für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ermitteln, es sei denn, es liegt einestationäre Wärmeverteilungvor, bei der sich die Temperatur an keiner Stelle mehr ändert, weil genauso viel Wärme aufgenommen wie abgegeben wird: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Das lässt sich durch den Ansatz [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] lösen.
[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist die Differenz der Temperatur an den einzelnen Thermoelementen und der Anfangstemperatur.
Ähnlich dazu ist [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist die Differenz der stationären Temperatur am Ende des Stabes mit der Anfangstemperatur. Ist aber außerdem noch mit der Heizleistung verknüpft: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] beschreibt den konstanten Wärmestrom, der in diesem Versuch angenommen wird).
Um diezeitliche Entwicklungder Temperatur beschreiben zu können, wird für ein bestimmtes Volumenelement [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Wärmebilanz betrachtet: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Zusammen mit der Masse m des Volumenelements lässt sich folgende Gleichheit feststellen: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Diese lässt sich auflösen zu [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für den Aufheiz- und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für den Abkühlvorgang.
Versuchsaufbau
Bei diesem Versuch wird die Temperatur überThermoelementegemessen. Diese aktiven Sensoren bestehen aus zwei miteinander verbundenen Metallen (oder –legierungen). Sobald die Verbindungsstelle erwärmt wird, tritt eine Thermospannung auf, die abgegriffen werden kann.
In diesem Fall bestehen die Thermoelemente aus einer Kupferstange und 10 an ihr befestigten Konstantandrähten, die an einem Referenzofen angeschlossen sind. Über diesen kann, mit einem Computer, die zeitliche Entwicklung der Temperatur der einzelnen Messstellen aufgezeichnet werden. Erwärmt wird die Stange durch einen Lötkolben, in den sie eingespannt ist.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
(Quelle: Werner, U. (2007): 82)
Versuchsdurchführung
Begonnen wurde der Versuch mit der Erwärmung des Referenzofens Sobald dieser eine konstante Temperatur erreicht hat, wurde der Lötkolben eingeschaltet und das Programm, dass den zeitlichen Verlauf der Temperatur an den Thermoelementen aufzeichnet, gestartet. Sobald sich stationäre Temperaturen an den Messpunkten eingestellt haben, wurden die Graphen ausgedruckt. Nun wurde der Lötkolben ausgeschaltet und die Messung erneut gestartet. Auf diese Weise konnte der zeitliche Verlauf der Abkühlung ermittelt werden.
Darauf wurde aus den gesammelten Daten τ und κ berechnet.
Allgemeine Messwerte und -fehler
Wir haben folgende Messwerte (inkl. der von uns angenommenen Fehler) erhalten:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Messfehler wurden nach der Fehlerfortpflanzung nach Gauß berechnet: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
So konnte [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] festgestellt werden.
Messung von τ
Aufheizmessung: Der Lötkolben wurde eingeschaltet und die Messung am Computer gestartet. Nach einer gewissen Zeit stellten sich folgende Temperaturen ein, die sich nicht mehr änderten:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Aus dem Verlauf sollte τ für die Thermoelemente in der Nähe der Heizung bestimmt werden. Dazu wurde die eingangs erwähnte Formel nach τ umgestellt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Die Temperaturwerte wurden für die Zeiten 300s, 400s, 700s, 1000s und 1200s aus dem Graphen abgelesen, in die Gleichung eingesetzt und ausgerechnet. Dann wurde der Mittelwert gebildet. So ergaben sich für die ersten drei Thermoelemente folgende Werte:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der Fehler nach Gauß ergibt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Mit dem Fehler ergaben sich folgende Werte für τ:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abkühlvorgang: Analog zu der vorherigen Messung wurden die Temperaturwerte für die Zeiten 200s, 400s, 600s, 800s und 1000s abgelesen. Mit ihnen wurden dann wieder für die ersten drei Thermoelemente [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ermittelt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Hier hat der Fehler folgende Form: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Auch hier erhielten wir Werte inklusive der Fehler:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Vergleichtman die Ergebnisse für beide Vorgänge miteinander, fällt auf, dass sie sich, aufgrund der hohen Fehler, ähneln. Die einzelnen Werte könnten gleich sein. Vergleicht man jedoch die Werte mit den aufgezeichneten Graphen, fällt auf, dass beim Aufheizen nach ungefähr 1800s stationäre Temperaturen erreicht wurden, beim Abkühlen jedoch erst nach 2300s. Wir müssten also ein höheres τ für letzteres erwarten, was, bis für τ1, mit den Ergebnissen vereinbar wäre, wenn man die Fehler ignoriert. Ein Grund für die Abweichungen könnte darin liegen, dass der Lötkolben evtl. noch nachgeheizt hat oder Ein-, bzw. Ausschalten des Netzgerätes nicht zeitgleich zum Messungsstart stattfand.
Ermittlung von κ
Anhand der Temperaturen, die sich nach einer gewissen Zeit eingestellt haben, konnte [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ermittelt werden. Die Endtemperatur wurde mit der Temperatur, die sich am ersten Thermoelement (also [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]) eingestellt hat, gleichgesetzt. Abzüglich der Raumtemperatur, ergibt sich so [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Auf die gleiche Weise wurde [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für die nächsten drei Thermoelemente ermittelt. So ergaben sich [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Diese Werte wurden in die obige Formel eingesetzt und die Ergebnisse gemittelt, so dass sich ein λ von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ergab.
Der Fehler wird nach folgender Gleichung berechnet: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Durch den Fehler erhalten wir [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Um zu vergleichen, wie genau die Funktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] mit dem von uns ermittelten , die gemessenen stationären Temperaturen wiedergibt, wurden Werte und Funktion in folgendem Graphen dargestellt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Man erkennt, dass bis auf den ersten (der unserem [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] entspricht) und einige der hinteren Werte, die Funktion den von uns gemessenen räumlichen Verlauf der Temperatur sehr gut wiedergibt.
Mit dem Ergebnis für λ lässt sich [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] errechnen. Auf diese Weise erhalten wir [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Für κ ergibt sich folgender Fehler: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Auf diese Weise erhalten wir ein κ von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Auswertung
In derLiteraturfinden sich verschiedene Werte für κ. So z.B. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (Giancoli, D.C. (2006): 676), [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (Brechmann, G. u. a. (1996): 309) und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (Kuchling, H. (2004): 644). Der von uns gemessene Wert weicht also erheblich von der Erwartung ab. Gründe hierfür könnten systematische Fehler, wie z.B. die Näherung von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] oder Messfehler, die durch falsches Ein- oder Ausschalten und falsche Messungsstarts hervorgerufen wurden.
Literaturliste:
Brechmann, G. u.a. (1996) Elektrotechnik Tabellen Energie-/Industrieelektronik, 4. Auflage, Braunschweig: Westermann Schulbuchverlag
Giancoli, D. C. (2006) Physik, München: Pearson Studium
Kuchling, H. (2004) Taschenbuch der Physik, 18. Auflage, Leipzig: Fachbuchverlag Leipzig
Tkotz, K. (2002) Fachkunde Elektrotechnik, 23. Auflage, Haan-Gruiten: Europa Lehrmittel
Werner, U. (2007) Skript zum Anfängerpraktikum, Uni Bielefeld
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- Citar trabajo
- Jan Hoppe (Autor), 2008, Protokoll zum Versuch "Wärmeausbreitung", Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/176113
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