Die Welt der Mathematik und ihre dazugehörigen zahlreichen Anwendungen
weisen häufig komplizierte und abstrakte Funktionen auf, deren Auswertung lange und aufwendige Rechenwege mit sich zieht. Darum ist es sinnvoll, solche Funktionen durch umgänglichere Funktionen möglichst gut zu approximieren, d.h. an zu nähern (lat. appropinquare: sich nähern). Dazu bieten sich der Einfachheit halber Funktionen an, welche sich durch Polynome oder durch eine unendliche Polynomfunktionen, also Potenzreihen, darstellen lassen.
Potenzreihenentwicklung mit der
Entwicklungsstelle x
0
= 0 nach Maclaurin
Hannes Rosenow
19. Juli 2011
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
3
2
Herleitung der Taylor-Reihe mit der Entwicklungs-
stelle x
0
und der Maclaurin-Reihe mit x
0
= 0 f¨ur die
Potenzreihenentwicklung einer Funktion f (x)
4
3
Herleitung der Restgliedformel nach Lagrange
mithilfe des erweiterten Mittelwertsatzes der
Di
fferentialrechnung
8
4
Herleitung spezieller Funktionen und Beispiele
der Potenzreihenentwicklung mit Konvergenz-
betrachtungen
12
4.1
Konvergenzradius r einer Potenzreihe . . . . .
13
4.2
Die nat¨urliche Exponentialfunktion exp(x) . . .
14
4.3
Der Logarithmus naturalis . . . . . . . . . . .
17
4.4
Die Kosinusfunktion cos(x) . . . . . . . . . . .
21
5
Anwendungen der Potenzreihenentwicklung
25
6
Literaturverzeichnis
27
1
Einleitung
Die Welt der Mathematik und ihre dazugeh¨origen zahlreichen Anwendungen
weisen h¨aufig komplizierte und abstrakte Funktionen auf, deren Auswer-
tung lange und aufwendige Rechenwege mit sich zieht. Darum ist es sinn-
voll, solche Funktionen durch umg¨anglichere Funktionen m¨oglichst gut zu
approximieren, d.h. an zu n¨ahern (lat. appropinquare: sich n¨ahern). Da-
zu bieten sich der Einfachheit halber Funktionen an, welche sich durch
Polynome oder durch eine unendliche Polynomfunktionen, also Potenzrei-
hen, darstellen lassen. Potenzreihen besitzen die Form einer unendlichen
Reihe
1
i
=0
a
i
(x
- x
0
)
i
wobei gilt:
i
=0
a
i
(x
- x
0
)
i
= a
0
+ a
1
(x
- x
0
)
+ a
2
(x
- x
0
)
2
+ a
3
(x
- x
0
)
3
+ ...
(1)
mit den Koe
ffizienten a
i
und der Entwicklungsstelle x
0
.
Diese Idee der Approximation sowie und ihr dazugeh¨origer Sachverhalt mit
einigen Schlussfolgerungen waren bereits Gregory, Newton, Leibniz und
Johann Bernoulli bekannt, doch erst der britische Mathematiker Brook
Taylor
2
- ein Sch¨uler Newtons und Mitglied des Komitees zur Kl¨arung des
Streits ¨uber die
"
Erfindung" der Di
fferential- und Integralrechnung zwi-
schen Newton und Leibniz - f¨uhrte die Gedanken zu Ende und publizier-
te sie als Erster im Jahr 1715 in seinem Werk Methodus incrementorum
directa et inversa : heute als
"
Satz von Taylor" und
"
Taylor-Reihe" be-
kannt. Im Werk Treatise of Fluxions vom schottischen Mathematiker Colin
Maclaurin
3
gewinnt die Reihe Brook Taylors noch weiter an Bedeutung,
da Maclaurin daraus die vom Vorzeichen h¨oherer Ableitungen abh¨angi-
gen Folgerungen ¨uber Maxima und Minima ableitete. Der Sonderfall der
Taylor-Reihe mit der festen Entwicklungsstelle x
0
= 0, den der Schotte
haupts¨achlich betrachtete, ist heute in der Fachwelt der Mathematik noch
als
"
Maclaurin-Reihe" wohlbekannt.
(vgl.[7])
1
Zum vollst¨andigen ¨
Uberblick Anlage 1 betrachten.
2
1685-1731, einer der bedeutendsten Mathematiker sowie zu jener Zeit anerkannter Maler und Musiker
3
1698-1746, 1717 bereits Mathematikprofessor in Aberdeen und sp¨ater in Edinburgh
3
2
Herleitung der Taylor-Reihe mit der Entwicklungsstelle
x
0
und der Maclaurin-Reihe mit x
0
= 0 f¨ur die Potenz-
reihenentwicklung einer Funktion f (x)
Nun zur¨uck zur ¨
Uberlegung durch Approximation komplizierte Funktionen
durch einfache Polynome auszudr¨ucken. Man kann mithilfe einer linearen
Funktion (N¨aherungsfunktion P(x) genannt), die an die Stelle x
0
an den
Graphen G
f
angelegt wird, was geometrisch betrachtet der Tangente der
Funktion f (x) im Punkt S (x
0
| f (x
0
)) entspricht und zur Tangentengleichung
y
T
f¨uhrt, eine relativ gute N¨aherung f¨ur f (x) erhalten, wie am folgenden
Beispiel mit f (x)
= sin(x) und x
0
= 0 ersichtlich wird:
(vgl.[4], S.216)
P(x)
= y
T
= f (x
0
)
+ f (x
0
)(x
- x
0
)
(2)
f (x)
= sin(x) und f (x) = cos(x) mit f (0) = 0 und f (0) = 1 (3)
da x
0
= 0 und wegen (2) und (3) :
P(x)
= y
T
= f (x
0
)
+ f (x
0
)(x
- x
0
)
= f (0) + f (0) · x = x und P (x) = 1
Die N¨aherungsfunktion P(x)
= x ist ein Polynom 1. Ordnung und wurde
hier mit Hilfe der Tangentengleichung so bestimmt, dass an der betrachteten
Stelle x
0
= 0 die N¨aherungsfunktion im Funktionswert und im Wert der 1.
Ableitung mit der gegebenen Funktion ¨ubereinstimmt:
f (x
0
)
= f (0) = sin(0) = 0 = P(0) = P(x
0
)
und
f (x
0
)
= f (0) = cos(0) = 1 = P (0) = P (x
0
)
Wie deutlich in Abbildung 1 zu erkennen ist n¨ahert sich der Graph von P(x)
der Sinuskurve bei x
0
gut an, solange man sich nicht zu weit von x
0
= 0 in
x-Richtung entfernt.
4
Abbildung 1: Approximation von f (x) durch P
n
(x) bei x
0
= 0
Nach diesem Ansatz der linearen Ann¨aherung soll nun aber eine noch
genauere Approximation durch Polynome h¨oherer Ordnung gelingen.
Die gegebene Funktion und ihre N¨aherungsfunktion sollen an der Stelle x
0
nicht nur in ihren Funktionswerten und den Werten ihrer ersten Ableitung
¨ubereinstimmen, sondern desweiteren in ihren n ersten Ableitungswerten.
F¨ur die N¨aherungsfunktion P(x) eignet sich wie oben genannt eine Poly-
nomfunktion.
Es wird also gefordert
(vgl.[10])
, dass
P(x
0
)
= f (x
0
); P (x
0
)
= f (x
0
); P (x
0
)
= f (x
0
); P (x
0
)
= f (x
0
);
... (4)
Da sich hier auf die Maclaurin-Methode beschr¨ankt und konzentriert wird,
ist per Definition x
0
= 0 und es ergibt sich mit (1) nun f¨ur die N¨aherungs-
funktion die (endliche) Polynomfunktion P
n
(x) der Form
P
n
(x)
=
n
i
=0
a
i
x
i
= a
0
+ a
1
x
+ a
2
x
2
+ a
3
x
3
+ ... + a
n
x
n
.
Allerdings ist nicht zu erwarten, dass die Funktion und die Polynomfunkti-
on an allen Punkten immer exakt die selben Werte besitzen - es existiert so-
zusagen geometrisch gesehen eine Diskrepanz zwischen dem Graphen des
Polynoms und dem eigentlichen Funktionsverlauf, sprich ein
"
Fehler"
R
n
(x)
= f (x) - P
n
(x), welcher Restglied R
n
genannt wird (dazu aber mehr
im Kapitel 3).
5
Zur n¨aheren Bestimmung der Koe
ffizienten a
i
wird P
n
(x) gliedweise
di
fferenziert - man bildet also der Forderung (4) nachkommend die n
ersten Ableitungen, n
N:
P
n
(x)
= a
0
+ a
1
x
+ a
2
x
2
+ a
3
x
3
+ ... + a
n
x
n
=
n
i
=0
a
i
x
i
P
n
(x)
= 1 · a
1
+ 2 · a
2
x
+ 3 · a
3
x
2
+ 4 · a
4
x
3
+ ... + n · a
n
x
(n
-1)
=
n
i
=1
(i a
i
x
i
-1
)
P
n
(x)
= 1 · 2 · a
2
+ 2 · 3 · a
3
x
+ 3 · 4 · a
4
x
2
+ ... + (n - 1) · n · a
n
x
(n
-2)
P
n
(x)
= 2 · 3 · a
3
+ 2 · 3 · 4 · a
4
x
+ 3 · 4 · 5 · a
5
x
2
+ ... + (n - 2)(n - 1) · n · a
n
x
(n
-3)
P
(IV)
n
(x)
= 2 · 3 · 4 · a
4
+ 2 · 3 · 4 · 5 · a
5
x
+ ... + (n - 3)(n - 2)(n - 1) · n · a
n
x
(n
-4)
· · ·
P
(n)
n
(x)
= 1 · 2 · 3 · 4 · · · (n - 2)(n - 1) · n · a
n
= n!a
n
Nun ergibt sich aus der Forderung, dass die Funktions- und Ableitungswerte
von f (x) und P
n
(x) an der Stelle x
0
= 0 ¨ubereinstimmen sollen, folgendes:
f (0)
= P
n
(0)
= a
0
a
0
= f (0)
f (0)
= P
n
(0)
= 1 · a
1
a
1
=
f (0)
1
f (0)
= P
n
(0)
= 1 · 2 · a
2
a
2
=
f (0)
1
·2
f (0)
= P
n
(0)
= 2 · 3 · a
3
a
3
=
f
(0)
2
·3
f
(IV)
(0)
= P
(IV)
n
(0)
= 2 · 3 · 4 · a
4
a
4
=
f
(IV)
(0)
2
·3·4
· · ·
f
(n)
(0)
= P
(n)
n
(0)
= n!a
n
a
n
=
f
(n)
(0)
n!
Somit erh¨alt man f¨ur a
i
also
f
(i)
(0)
i!
und die Polynomfunktion lautet folglich:
P
n
(x)
=
n
i
=0
f
(i)
(0)
i!
x
i
(5)
Diese Polynomfunktion (5) heißt Maclaurin-Funktion
4
von f (x) mit Ent-
wicklungsstelle x
0
= 0.
4
Bemerkung zur Notation: Im Folgenden wird die Maclaurin-Funktion mit T
n
(x; 0) bezeichnet. (F¨ur weitere
Bezeichnungen wird auf Anlage 1 verwiesen.)
6
Wenn man von einer beliebigen Entwicklungsstelle ausgeht - also Null durch
x
0
und x durch (x
-x
0
) ersetzt wird - und die Summierung bis ins Unendliche
fortgesetzt werden soll erh¨alt man die Taylor-Reihe:
T (x; x
0
)
=
i
=0
f
(i)
(x
0
)
i!
(x
- x
0
)
i
Man darf f¨ur eine Funktion f (x) eine Potenzreihenentwicklung nach Taylor
bzw. Maclaurin nur dann anwenden, wenn gilt:
Die Funktion f mit f : I
R ist ¨uber einem Intervall I = [x
0
; x] definiert
und darin stetig di
fferenzierbar und auf dem offenen Intervall I wenigstens
(n
+ 1) -mal differenzierbar. Differenzierbar nat¨urlich deswegen, weil man
an der zu entwickelnden Stelle die Ableitungen bilden muss und stetig, was
aus der Di
fferenzierbarkeit folgert, damit die Funktion ohne Unterbrechung
ist.
Um jeweils zur Taylor- bzw. Maclaurin-Reihe zu gelangen, ben¨otigt man al-
so die Potenzreihenentwicklung
5
nach Taylor bzw. Maclaurin der Funk-
tion f (x).
Eine Funktion f (x) wird genau dann durch ihre Taylor- bzw. Maclaurin-
Reihe dargestellt, wenn der Limes des dazugeh¨origen Restgliedes f¨ur alle
x
]x
0
; x
0
+ h[ f¨ur n Null ist: lim
n
R
n
(x; x
0
)
= 0 .
(vgl.[3])
Unter den obigen Voraussetzungen f¨ur die Approximation einer Funktion
gilt der Satz von Taylor
f (x)
=
n
i
=0
f
(i)
(x
0
)
i!
(x
- x
0
)
i
+ R
n
(x; x
0
)
(6)
Speziell f¨ur die Entwicklung nach Maclaurin (x
0
= 0) und ihr Restglied gilt
dann:
f (x)
=
n
i
=0
f
(i)
(0)
i!
x
i
+ R
n
(x; 0)
5
Bemerkung:
"
Potenzreihenentwicklung" ist der ¨
Uberbegri
ff w¨ahrend
"
Potenzreihenentwicklung nach Tay-
lor
/Maclaurin" eine spezielle Methode beschreibt.
7
Final del extracto de 28 páginas
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