In diesem Beitrag werden die mathematisch-physikalischen Grundlagen, Methoden und Grundgesetze der allgemeinen Relativitätstheorie auf der Basis der Tensoranalysis im Riemann-Raum dargelegt. Zunächst wollen wir in einer Vorbetrachtung auf die physikalischen Voraussetzungen und Effekte, sowie auf die Prinzipien der speziellen Relativitätstheorie (SRT) und der allgemeinen Relativitätstheorie (ART) eingehen. Anschließend behandeln wir die grundlegenden Tensoren, wie Riemannscher Krümmungstensor, Ricci-Tensor und Materietensor, welche für die ART maßgebend sind. Für die mathematische Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie werden wir wichtige Ableitungs- und Variationsformen betrachten. Hierzu gehören die ko- und kontravariante Ableitung, die Lie-Ableitung, die Funktionsvariation, die substantielle Variation, die lokale und totale Variation, insbesondere des metrischen Tensors, sowie Variationsableitungen von Feldgrößen nach dem metrischen Tensor. Im Zusammenhang mit der Beschreibung des Materietensors wollen wir uns mit der Formulierung der Erhaltungssätze für Energie und Impuls in der allgemeinen Relativitätstheorie beschäftigen. Desweiteren behandeln wir diverse Herleitungen und die Bedeutung der Einsteinschen Feldgleichungen. Aus einer approximativen Theorie gewinnen wir die Beziehung zwischen der Newtonschen und der Einsteinschen Gravitationskonstante. Zum Abschluss gehen wir auf wichtige Lösungsmethoden und Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen ein.

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Inhalt

Einleitung

Vorbetrachtung: Postulate, Prinzipien, Raume und Effekte der Relativitatstheorie

1 Riemann-Geometrie und Tensoranalysis
1.1 Metrik, Christoffel-Symbole, kovariante Ableitung und Krummungstensor
1.2 Krummungstensor und Kurvenumlauf im Riemann-Raum
1.3 Komponentenform und Gradient von Tensorfeldern
1.4 Transformation der Ubertragungen
1.5 Zu hoheren Geometrien und Spezialfallen des Riemann-Raumes

2 Weitere Ableitungs- und Variationsformen von Tensorfeldern
2.1 Kontravariante Ableitung
2.2 Funktionsvariation des metrischen Tensors
2.3 Substantielle Variation des metrischen Tensors
2.4 Lokale Variation, Lie-Differential und Lie-Transport
2.5 Totale Variation und weitere Variationsformen fur Tensoren
2.6 Ableitungen und Variationsableitungen von Feldgrofien nach der Metrik

3 Der Materietensor
3.1 Zusammensetzung des Energie-Impulstensors
3.2 Lokale Variation und Erhaltungssatze in der allgemeinen Relativitatstheorie

4 Herleitung der Einsteinschen Gravitations-Feldgleichungen

5 Bestimmung der Einsteinschen Gravitationskonstante

6 Zu den Losungen und Losungsmethoden der Feldgleichungen

Literatur

Einleitung

In diesem Beitrag sollen die mathematisch-physikalischen Grundlagen, Methoden und Grundgesetze der allgemeinen Relativitatstheorie auf der Basis der Tensoranalysis im Riemann-Raum dargelegt werden. Zunachst wollen wir in einer Vorbetrachtung auf die physikalischen Voraussetzungen und Effekte, sowie auf die Prinzipien der speziellen Relativitatstheorie (SRT) und der allgemeinen Relativitatstheorie (ART) eingehen. In diesem Zusammenhang behandeln wir die Eigenschaften des Minkowski-Raumes, welcher in der SRT Verwendung findet und die Eigenschaften des 4-dimensionalen Riemann-Raumes, welcher der ART zugrunde liegt. Fur die Beschreibung der ART in der gekrummten 4- dimensionalen Raum-Zeit gehen wir auf wichtige Tensoren, wie Riemannscher Krummungstensor, Ricci-Tensor und Materietensor ein. Fur den Krummungstensor behandeln wir zwei verschiedene Herleitungsvarianten. Weiterhin werden grundlegende Gleichungen (wie z.B. die Gleichung der Geodaten und die Bianchi-Identitaten) und wichtige Eigenschaften der Tensoren betrachtet. Es sollen auch einige Bemerkungen zu den Geometrien erfolgen, welche uber die Riemann-Geometrie hinausgehen und welche in allgemeinen Feldtheorien zur Anwendung kommen.

Fur die mathematische Behandlung der allgemeinen Relativitatstheorie gehen wir auf wichtige Ableitungs- und Variationsformen ein. Hierzu gehoren die ko- und kontravariante Ableitung, die Lie-Ableitung, die Funktionsvariation, die substantielle Variation, die lokale und totale Variation von Tensorfeldern, insbesondere der Metrik, sowie Variationsableitungen von Feldgrofien nach dem metrischen Tensor. Im Zusammenhang mit der Beschreibung des Materietensors betrachten wir den mechanischen- und den elektromagnetischen Energietensor, sowie die Formulierung von Erhaltungssatzen in der allgemeinen Relativitatstheorie. Fur die Herleitung der Einsteinschen Gravitations-Feldgleichungen aus dem Hamilton-Prinzip der Feldtheorie gehen wir auf zwei Varianten ein. In diesem Zusammenhang behandeln wir die Beziehungen fur die Lagrange-Funktion bzw. Lagrange- Dichte sowie Variationsableitungen von Feldgrofien fur das Gravitationsfeld.

Den Ubergang von der Einsteinschen zur Newtonschen Gravitationstheorie vollziehen wir fur schwache Gravitationsfelder und kleine Geschwindigkeiten (gegenuber der Lichtgeschwindigkeit). Aus dieser approximativen Theorie gewinnen wir die Beziehung zwischen der Newtonschen und der Einsteinschen Gravitationskonstanten. Zum Abschluss gehen wir auf wichtige Losungsmethoden und Losungen der Einsteinschen Feldgleichungen ein: innere und aufiere Schwarzschild-Losung fur einen nichtrotierenden Himmelskorper, Kerr-Losung fur einen rotierenden Himmelskorper und die Robertson-Walker Metrik fur einen geschlossenen oder offenen Kosmos.

In der 2. Auflage haben wir alle Kapitel neu uberarbeitet und die Kapitel „Weitere Ableitungs- und Variationsformen von Tensorfeldern“, „Lokale Variation und Erhaltungssatze in der ART“ und „Bestimmung der Einsteinschen Gravitationskonstante“ mit aufgenommen.

Vorbetrachtung: Postulate, Prinzipien, Raume und Effekte der Relativitatstheorie Der speziellen Relativitatstheorie (SRT) liegen zwei Postulate zugrunde. Dies sind zum einen die Konstanz und der Grenzcharakter der Lichtgeschwindigkeit und zum anderen die Gleichberechtigung gradlinig und gleichformig zueinander bewegter Bezugssysteme (Inertialsysteme). Hieraus resultieren die Lorentz-Transformationen, womit man die Orts- und Zeitkoordinaten von einem in ein anderes Inertialsystem umrechnet und die speziell- relativistische Effekte wie z.B. die Relativitat der Gleichzeitigkeit, die Relativitat der Zeit (Zeitdilatation) und die relativistische Langenkontraktion.

Diese Effekte konnen wir als Raum-Zeit und Perspektiveffekte bezeichnen. Als Perspektiveffekt verstehen wir es deshalb, weil wir bei der Umrechnung (z.B. der Zeitintervalle) von einem in eine anderes Inertialsystem und zuruck die analogen Transformationen erhalten, eben weil die Bezugssysteme (Inertialsysteme) gleichberechtigt sind. Als Raum-Zeit-Effekt verstehen wir es deshalb, weil Raum und Zeit im Zusammenhang stehen und vom Bewegungszustand der Materie (des Bezugssystems) abhangen. In der Relativitatstheorie werden daher Raum und Zeit als eine Einheit betrachtet, sie werden in einer vierdimensionalen Raum-Zeit zusammengefasst. Der SRT liegt hierbei ein ungekrummter vierdimensionaler Raum, der Minkowski-Raum zugrunde, wobei in die vierte Dimension die Zeit eingeht. Es lasst sich nun ein raumzeitlicher Abstand in diesem Raum angeben, welcher invariant gegenuber Lorentz-Transformationen ist.

Ist das vierdimensionale Linienelementquadrat gleich Null und stellen wir eine Raumdimension weniger dar, so erhalten wir einen isotropen Hyperkegel, den Lichtkegel (einen Doppelkegel). Durch den Vorkegel wird die Vergangenheit und durch den Nachkegel wird die Zukunft reprasentiert. Auf dem Kegelmantel finden die Ereignisse mit Lichtgeschwindigkeit statt. Ist das Linienelementquadrat kleiner als Null, so folgt daraus eine Bewegung mit Unterlichtgeschwindigkeit.

Es stellte sich nun heraus, dass die Maxwellschen Gleichungen der Elektrodynamik ihre Form nach Lorentz-Transformation nicht anderten (Forminvarianz). Diese Forminvarianz gilt auch fur andere Grundgesetze der Physik wie z.B. in der Mechanik und in der Quantenmechanik. Das spezielle Relativitatsprinzip beinhaltet daher die Forminvarianz der Grundgesetze der Physik gegenuber (kontinuierlich auseinander hervorgehenden) Lorentz-Transformationen [4].

Den Rahmen der SRT verlassen wir, indem wir beschleunigte Bezugssysteme und die Gravitation mit einbeziehen. Betrachten wir die Verhaltnisse zunachst noch ohne Einbezug der Gravitation, so stellen wir fest, dass es im Minkowski-Raum nicht nur moglich ist Inertialsysteme (Lorentz-Systeme) zu betrachten, sondern auch beschleunigte Bezugssysteme, also Nichtinertialsysteme, welche damit nicht mehr gleichberechtigt zueinander sind. Deshalb lasst sich im Minkowski-Raum nicht nur spezielle, sondern auch allgemeine Relativitatstheorie betreiben, mithin konnen wir nun beliebige Koordinaten und beliebige Bewegungszustande der Beobachter betrachten. Man kommt damit folgerichtig zum allgemeinen Relativitatsprinzip: Fur zwei im beliebigen Bewegungszustand befindliche Beobachter (deren Koordinatensysteme kontinuierlich auseinander hervorgehen) haben die physikalischen Grundgesetze die gleiche Form (allgemeines Kovarianzprinzip) [4]. Wir wollen nun Einsteins Weg zur allgemeinen Relativitatstheorie betrachten.

Einstein stellte sich einen Beobachter in einem gleichmabig beschleunigten Kasten vor. Kann dann dieser Beobachter (wenn er keine Sicht zur Aubenwelt hat) feststellen, ob die Kraft, welche ihn z.B. auf den Boden druckt, von einer Tragheitswirkung oder einer Schwerkraft herruhrt? Sicher kann ein Beobachter dies nicht unterscheiden. Man sagt, Tragheit und Schwere sind aquivalent (trage und schwere Masse sind exakt gleich.) Weiter stellte sich Einstein in einem gleichmabig beschleunigt bewegten Kasten einen Lichtstrahl vor, der an den Kastenwanden hin und her reflektiert wird. Ein AuBenbeobachter wurde (aufgrund der Beschleunigung des Kastens) den Lichtstrahl gekrummt sehen. Aufgrund der Aquivalenz von Tragheit und Schwere muss dann aber der gleiche Effekt, welcher bei einer Beschleunigung auftritt, auch durch die Wirkung des Gravitationsfeldes auftreten. Ein Lichtstrahl muss also, wenn er sich an einer Masse vorbeibewegt, ebenfalls gekrummt werden (dies hangt von der Masse und vom Abstand zur Masse ab). Wenn dies aber der Fall ist, so muss das Licht der betrachteten Wellenfront, welches weiter von der Masse entfernt ist, sich schneller bewegen, als das Licht, welches sich naher an der Masse vorbeibewegt. Die Lichtgeschwindigkeit muss also von der Masse des Korpers (der das Licht ablenkt), vom Abstand und von der Richtung des Lichtes zur Richtung des Gravitationsfeldes abhangig sein. Die grundlegende Feststellung, die Lichtgeschwindigkeit sei konstant, musste Einstein nun bei Berucksichtigung des Gravitationsfeldes fallen lassen. Einstein sah so, dass grundlegende Anderungen seiner Theorie, ja eine neue Theorie erforderlich war, wenn man das Gravitationsfeld zu berucksichtigen hat. Die Krummung der Lichtstrahlen und die Anderung der Lichtgeschwindigkeit im Gravitationsfeld konnten nicht mehr durch den ungekrummten vierdimensionalen Minkowski-Raum erklart werden. Die Krummung der Lichtstrahlen deutete Einstein als Folge der Krummung des Raumes. Raum und Zeit bilden aber nach wie vor eine Einheit. Einstein musste also zum vierdimensionalen Riemann-Raum ubergehen, um die Krummung der vierdimensionalen Raum-Zeit berucksichtigen zu konnen. Da dies aber von den Massen abhangt (siehe oben), musste die GroBe und die Verteilung der Massen die Krummung der vierdimensionalen Raum-Zeit bestimmen. Diese Krummungsverhaltnisse bestimmen aber wiederum, wie wir sahen, die allgemein-relativistischen Effekte. Die Periheldrehung des Merkur, die Lichtablenkung der Sternlichtstrahlen an der Sonne, die Zeitverschiebung im Gravitationsfeld u.a. werden als Folge der Krummung der Raum-Zeit beschrieben.

Im Unterschied zur SRT, in der wir eine konstante Metrik und keine Raumkrummung hatten, haben wir nun in der allgemeinen Relativitatstheorie (ART), bei Vorhandensein eines Gravitationsfeldes, eine Variabilitat der Metrik und der Raumkrummung.

Jede Disziplin der Physik muss streng genommen das allgemeine Relativitatsprinzip als Fundament haben [4]. Man hat es insbesondere bei hohen Geschwindigkeiten und starken Gravitationsfeldern nicht nur mit dem einen oder anderen bekannten relativistischen Effekten zu tun. Es gibt Zusammenhange der allgemeinen sowie der speziellen Relativitatstheorie mit den einzelnen Physikdisziplinen wie Mechanik, Elektromagnetik, Optik, Thermodynamik usw., wobei die allgemeine Relativitatstheorie zusatzlich i.a. noch die Gravitation mit einbezieht. Das bedeutet aber, dass die ART sich nicht in der Gravitationstheorie erschopft. Es gilt also weder die Gleichsetzung ART ist gleich Gravitationstheorie noch gilt, dass sich der Minkowski-Raum nur mit der SRT verbinden lasst.

Nun werden die beiden vierdimensionalen Raume Minkowski-Raum (ein pseudoeuklidischer Raum) und Riemannscher-Raum (genauer: pseudoriemannscher Raum) nicht nebeneinander betrachtet, sondern in Beziehung gebracht. Zunachst lasst sich feststellen: Wird das Gravitationsfeld immer schwacher, so geht die gekrummte vierdimensionale Raum-Zeit mehr und mehr in den ungekrummten Minkowski-Raum uber. In beiden Raumen lassen sich insbesondere beschleunigte Bezugssysteme betrachten.

Lokal an den vierdimensionalen Riemann-Raum, also in einem Punkt der Raum-Zeit, kann man einen Minkowski-Raum anheften, reprasentiert durch eine Tangentialebene, worin wir ein Lorentz-Inertialsystem errichten konnen. Diese Konstruktion kann man in jedem Punkt des vierdimensionalen Riemann-Raumes durchfuhren.

Im Folgenden werden wir die theoretischen Zusammenhange zwischen Riemann-Geometrie und allgemeiner Relativitatstheorie auf der Basis der Tensoranalysis im Riemann-Raum etwas naher beleuchten.

Riemann-Geometrie und Tensoranalysis

1.1 Metrik, Christoffel-Symbole, kovariante Ableitung und Krummungstensor

In der allgemeinen Relativitatstheorie (ART) wird zum gekrummten 4-dimensionalen Riemann-Raum ubergegangen, wobei Raum und Zeit im Zusammenhang betrachtet werden und in die 4.-te Dimension die Zeit eingeht. Die Effekte der ART werden damit als Folge einer gekrummten Raum-Zeit verstanden. Die Krummungs- und Mafiverhaltnisse im Raum werden durch die Grofien und die Verteilung der Massen beschrieben, sie werden also durch das Gravitationsfeld bestimmt. Der Metriktensor wird in der ART mit dem Gravitationspotential gleichgesetzt. Mit Hilfe dieses Tensors wird das Linienelement im Riemann-Raum bestimmt. Man erhalt dafur mit den kovarianten Metrikkoeffizienten gik und

den krummlinigen Koordinaten xi (wobei in der Relativitatstheorie x0 = c . t ist bzw. auch mit x4 (4. Dimension) bezeichnet wird; c Lichtgeschwindigkeit, t- Zeitkoordinate)