In der Mathematik gibt es eine Reihe zentraler Aussagen, deren Beweis über Jahre brauchte. Zudem gibt es noch heute viele Annahmen, die weder bewiesen noch widerlegt sind. Dazu zählt auch die ABC-Vermutung.
Man spricht von einem ABC-Tripel, wenn die Zahlen des Zahlentripels (a; b; c) paarweise teilerfremd sind und zusätzlich die Summe von a und b den Wert von c ergibt mit der Eigenschaft, dass das Radikal aus dem Produkt der drei Zahlen kleiner ist als die größte der drei Zahlen.
Bisher ist unbekannt, ob die Anzahl der Zahlentripel endlich ist. Gilt die ABC-Vermutung, so folgen hieraus eine Reihe weiterer Aussagen, beispielsweise eine schwache Formulierung des letzten Satzes von Fermat, der über 300 Jahre ungelöst war und erst 1993 von Wiles bewiesen wurde.
Eine Verschärfung der Aussage über Zahlentripel ergibt sich, wenn zusätzlich die Eigenschaft gut verlangt wird. Von guten Zahlentripeln spricht man, wenn der Quotient aus dem Logarithmus der betragsgrößten Zahl und dem Logarithmus des Radikals vom
Produkt der drei Zahlen größer als 1,4 ist.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Die ABC-Vermutung
- Grundlegende Definitionen
- Das polynomiale Analogon der ABC-Vermutung
- Spezielle Folgerungen aus der ABC-Vermutung
- Gute Tripel
- Der LLL-Algorithmus
- Einführung in die Gitter-Reduzierung
- Reduzierte Basis eines Gitters
- Verbesserung des LLL-Algorithmus nach Schnorr
- Faktorisierung von Polynomen im Gitter
- Beschreibung des Algorithmus
- Konstruktion guter ABC-Tripel mit dem LLL-Algorithmus
- Vorbemerkungen
- Das Lösen der Relation mit dem LLL-Algorithmus
- Konstruktion guter ABC-Tripel
- Erweiterung der Konstruktion durch Kettenbruchentwicklung
- Anhang
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Masterarbeit befasst sich mit der Konstruktion guter ABC-Tripel mittels des LLL-Algorithmus. Im Mittelpunkt steht die Anwendung des LLL-Algorithmus zur Berechnung von Zahlentripeln, die die Eigenschaften der ABC-Vermutung erfüllen. Die Arbeit untersucht, wie der LLL-Algorithmus zur effizienten Konstruktion guter ABC-Tripel eingesetzt werden kann.
- Die ABC-Vermutung und ihre Bedeutung in der Zahlentheorie
- Der LLL-Algorithmus und seine Anwendung zur Gitter-Reduzierung
- Die Konstruktion von ABC-Tripeln mit dem LLL-Algorithmus
- Die Eigenschaften guter ABC-Tripel und ihre Bedeutung für die ABC-Vermutung
- Die Erweiterung der Konstruktion durch Kettenbruchentwicklung
Zusammenfassung der Kapitel
Das erste Kapitel bietet eine Einführung in die Thematik und stellt die ABC-Vermutung sowie die Bedeutung guter ABC-Tripel vor. Das zweite Kapitel definiert die ABC-Vermutung und erläutert wichtige Folgerungen, die sich aus ihrer Gültigkeit ergeben. Das dritte Kapitel beschreibt den LLL-Algorithmus, der eine zentrale Rolle bei der Konstruktion guter ABC-Tripel spielt. Hier werden die Grundlagen der Gitter-Reduzierung sowie die Anwendung des Algorithmus zur Faktorisierung von Polynomen behandelt. Das vierte Kapitel zeigt, wie der LLL-Algorithmus für die Konstruktion von ABC-Tripeln eingesetzt werden kann. Es werden verschiedene Ansätze zur Konstruktion und deren Erweiterung durch Kettenbruchentwicklung vorgestellt.
Schlüsselwörter
ABC-Vermutung, LLL-Algorithmus, Gitter-Reduzierung, gute ABC-Tripel, Zahlentheorie, Polynomfaktorisierung, Kettenbruchentwicklung.
Häufig gestellte Fragen
Was besagt die ABC-Vermutung in der Mathematik?
Die ABC-Vermutung ist eine zentrale, bisher unbewiesene Annahme der Zahlentheorie. Sie beschreibt eine tiefe Beziehung zwischen der Addition und Multiplikation ganzer Zahlen anhand von teilerfremden Tripeln (a, b, c) mit a + b = c.
Was ist ein „gutes“ ABC-Tripel?
Ein Tripel gilt als „gut“, wenn der Quotient aus dem Logarithmus der größten Zahl (c) und dem Logarithmus des Radikals vom Produkt der drei Zahlen (a*b*c) einen bestimmten Wert überschreitet (hier > 1,4).
Wie hilft der LLL-Algorithmus bei der Konstruktion dieser Tripel?
Der LLL-Algorithmus (Lenstra-Lenstra-Lovász) dient der Gitter-Reduzierung. Er ermöglicht es, effizient kurze Vektoren in Gittern zu finden, was mathematisch genutzt werden kann, um Relationen für ABC-Tripel zu lösen.
Welche Bedeutung hat die ABC-Vermutung für andere mathematische Sätze?
Würde die ABC-Vermutung bewiesen, folgten daraus viele andere wichtige Aussagen, wie zum Beispiel eine schwache Formulierung des Großen Satzes von Fermat.
Welche Rolle spielt die Kettenbruchentwicklung in dieser Arbeit?
Die Kettenbruchentwicklung wird als Erweiterung zur Konstruktion genutzt, um noch präzisere oder „bessere“ Tripel zu finden, die über die Standardergebnisse des LLL-Algorithmus hinausgehen.
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- Matthias Mahl (Autor), 2009, Konstruktion guter ABC-Tripel mit dem LLL-Algorithmus, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/155457
