1 Thema der Reihe
Wir erforschen das Zahlengitter – ein operatives Übungsformat zur Entdeckung von Rechenstrategien im Zahlenraum bis 100 sowie der Anbahnung und Schulung im Problemlösen und Argumentieren.
2 Aufbau der Reihe
Erste Unterrichtssequenz :
„Wir lernen Zahlengitter (3x3) und deren Rechenregel kennen“ – Kennenlernen von Struktur, Begrifflichkeiten und Rechenregel um erste Gitter auszufüllen und eine Grundlage zur Verbalisierung zu schaffen.
Zweite Unterrichtssequenz :
„Wir suchen Zahlengitter (3x3) mit Zielzahl 12“ – Das Ausfüllen des Gitters und Suchen möglichst vieler Lösungen bei gleicher Start- und Zielzahl zur Anbahnung des Problemlösens, Entwicklung von Strategien sowie der Anregung des Verbalisierens.
Dritte Unterrichtssequenz :
„Gibt es Zahlengitter mit ungeraden Zielzahlen?“ – Anwendung und Vertiefung der gefundenen Strategien und deren Überprüfung bei der Suche nach ungeraden Zielzahlen unter Veränderung der Startzahl.
Vierte Unterrichtssequenz :
„Sind wir Zahlengitterexperten und können unsere Strategie auf größere Zahlengitter anwenden?“ – Übertragen der Entdeckungen auf unterschiedlich große Zahlengitter und Ablegen der Zahlengitterprüfung!
3 Ziele der Stunde
Das Schwerpunktziel der Stunde
Die Schüler sollen eine strategische Verfahrensweise anbahnen, indem sie in Partnerarbeit kreativ sind, Rechenstrategien entdecken, möglichst viele Zahlengitter mit Zielzahl 12 finden,
nach Begründungen suchen, ihre Ergebnisse angemessen kennzeichnen und anschließend ihre Erkenntnisse verbal begründen und argumentieren.
Im Rahmen der Sachkompetenz ....
...sollen die Schüler einen operativen Zusammenhang zwischen den Zahlen, Mittelzahl – Pluszahlen – und Zielzahl, entdecken.
...sollen die Schüler Additions- und Subtraktionsaufgaben unter Ausnutzung von Zerlegungsstrategien und Rechengesetzen sicher lösen.
4 Die fachwissenschaftliche Analyse des Unterrichtsgegenstandes
Das Zahlengitter
Das Zahlengitter ist ein operatives Übungsformat, dem eine bestimmte Struktur, die Rechenvorschrift, zugrunde liegt. Durch seine Variationsmöglichkeiten kann es in dieser Unterrichtsstunde zur Anbahnung einer Problemlösefähigkeit genutzt werden.
Rechenregeln
Den Schülern sind die Rechenregeln in folgender Form bekannt:
1. Addiere mit der oberen Pluszahl waagerecht.
2. Addiere mit der linken Pluszahl senkrecht.
3. Addiere immer zum vorherigen Kästchen dazu.
1 Thema der Reihe
Wir erforschen das Zahlengitter - ein operatives Übungsformat zur Entdeckung von Rechenstrategien im Zahlenraum bis 100 sowie der Anbahnung und Schulung im Problemlosen und Argumentieren.
2 Aufbau der Reihe
Erste Unterrichtssequenz :
„Wir lernen Zahlengitter (3x3) und deren Rechenregel kennen“ - Kennenlernen von Struktur, Begrifflichkeiten und Rechenregel um erste Gitter auszufüllen und eine Grundlage zur Verbalisierung zu schaffen.
Zweite Unterrichtssequenz :
„Wir suchen Zahlengitter (3x3) mit Zielzahl 12“ - Das Ausfüllen des Gitters und Suchen möglichst vieler Lösungen bei gleicher Start- und Zielzahl zur Anbahnung des Problemlösens, Entwicklung von Strategien sowie der Anregung des Verbalisierens.
Dritte Unterrichtssequenz :
„Gibt es Zahlengitter mit ungeraden Zielzahlen?“ - Anwendung und Vertiefung der gefundenen Strategien und deren Überprüfung bei der Suche nach ungeraden Zielzahlen unter Veränderung der Startzahl.
Vierte Unterrichtssequenz :
„Sind wir Zahlengitterexperten und können unsere Strategie auf größere Zahlengitter anwenden?“ - Übertragen der Entdeckungen auf unterschiedlich große Zahlengitter und Ablegen der Zahlengitterprüfung!
3 Ziele der Stunde
Das Schwerpunktziel der Stunde
Die Schüler sollen eine strategische Verfahrensweise anbahnen, indem sie
- in Partnerarbeit kreativ sind,
- Rechenstrategien entdecken,
- möglichst viele Zahlengitter mit Zielzahl 12 finden,
- nach Begründungen suchen,
- ihre Ergebnisse angemessen kennzeichnen und anschließend ihre Erkenntnisse verbal
begründen und argumentieren.
Im Rahmen der Sachkompetenz
...sollen die Schüler einen operativen Zusammenhang zwischen den Zahlen, Mittelzahl - Pluszahlen - und Zielzahl, entdecken.
...sollen die Schüler Additions- und Subtraktionsaufgaben unter Ausnutzung von Zerlegungsstrategien und Rechengesetzen sicher lösen.
4 Die fachwissenschaftliche Analyse des Unterrichtsgegenstandes
Das Zahlengitter ist ein operatives Übungsformat, dem eine bestimmte Struktur, die Rechenvorschrift, zugrunde liegt. Durch seine Variationsmög- Das^ahlengitte^J lichkeiten kann es in dieser Unterrichtsstunde zur Anbahnung einer Problem- lösefahigkeit genutzt werden.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Das vorliegende Zahlengitter stammt aus dem Zahlbereich der Natürlichen Zahl einschließlich der Null (INO ). Wird die Additionszahl b auf dem waagerechten Pfeil in einer Zeile zu der Startzahl hinzugefügt, ergibt sich die Zahl rechts vom Kästchen, b. Durch erneutes addieren der eben entstandenen Zahl b und der Additionszahl b ergibt sich die Randzahl rechts oben, 2b.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Wird der Startzahl 0 die senkrecht verlaufende Additionszahl a hinzugefügt, ergibt sich die Randzahl a. Durch die Rechenvorschrift „plus“ der Zahl a mit der Additionszahl a ergibt sich 2a. Die Mittelzahl entsteht durch Zusammenlegung der beiden Additionszahlen und der Startzahl. Die Zielzahl ist die Summe der zweifachen Additionszahlen und der Startzahl. Da die letztgenannte 0 ist, kann sie in den weiteren Ausführungen vernachlässigt werden. Die Zielzahl d ist stets eine gerade Zahl, 2n, denn:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Somit ist gezeigt, dass die Mittelzahl immer die Hälfte der Zielzahl ist respektive die Zielzahl entspricht dem zweifachen der Mittelzahl. Diese Erkenntnis ist für die Entdeckung und Findung möglichst vieler Möglichkeiten mit Zielzahl 12 von fundamentaler Bedeutung, da die Schüler alle Zahlzerlegungen der Mittelzahl 6 (also 12/2) finden sollten/ könnten.
Den Schülern sind die Rechenregeln in folgender Form bekannt:
1. Addiere mit der oberen Pluszahl waagerecht.
2. Addiere mit der linken Pluszahl senkrecht. y
3. Addiere immer zum vorherigen Kästchen dazu.
Wie eben genannt, muss die Mittelzahl 6 in alle Möglichkeiten zerlegt werden, damit alle Zahlengitter der Zielzahl 12 gefunden werden können.
Eine natürliche Zahl n kann in Mengen natürlicher Zahlen zerlegt werden. Die Anzahl M an Möglichkeiten bei vorgegebener Start- und Zielzahl lässt sich wie folgt berechnen: M = [(d - 0):2] + 1, wobei die Mengen der nichtnegativen ganzen Zahlen betrachtet werden. Daraus ergibt sich: M = [(12 - 0): 2] + 1 = 7.
Folgende sieben Zerlegungen sind möglich: M = (6 + 0) = (0 + 6) = (5 + 1) = (1 + 5) = (2 + 4) = (4 + 2) = (3 + 3). Zujeder Zerlegung, außer 6 = 3 + 3, kann die Tauschaufgabe gebildet werden.
„Viele Wege führen nach Rom“ und viele Wege führen zur Zielzahl 12. Ohne Anwendung von Differenzierungsmöglichkeiten können die Entdeckungen wie folgt entstehen:
1. Unsystematisches/ willkürliches Probieren
Die Schüler wählen eine bzw. zwei beliebige Additionszahlen und be-
rechnen die Summe. Wenn sie nicht auf die gewünschte Zielzahl stoßen könnten sie willkürlich neue Zahlen verwenden oder
2. Systematisch vorgehen. Das Entdecken zweier Additionszahlen die nicht 12 ergeben könnte die SuS dazu veranlassen, eine der gewählten Additionszahlen so lange zu verändern (vergrößern / verkleinern) bis das Gitter richtig ausgefüllt ist.
3. Systematisches Verändern: Ist auf den eben genannten Wegen eine Möglichkeit gefunden die zur Summe 12 führt, könnten die Additionszahlen gegensinnig verändert werden, damit die Mittelzahl 6 erhalten bleibt. Das heißt, das Vergrößern einer Additionszahl a um die Zahl x hat als Resultat die Verminderung der Additionszahl b um die Zahl x. Analog dazu: Verkleinern von a um x führt zu Vergrößern von b um x.
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