Ein Versicherungsunternehmen hat im Falle eines auftretenden Schadens einen entsprechenden Geldbetrag an den Versicherungsnehmer zu zahlen. Um bevorstehende Ausgaben richtig kalkulieren zu können, ist die Bestimmung der Verteilung aller Schäden in einem festen Beobachtungszeitraum von großer Bedeutung.
In der vorliegenden Arbeit steht das kollektive Modell im Mittelpunkt, welches davon ausgeht, dass der Gesamtschaden durch die Summe einer zufälligen Anzahl von unabhängigen und identisch verteilten Schadenhöhen gegeben ist. Nach einem Ansatz von H. Panjer kann man verschiedene Verteilungen für die zufällige Anzahl der Schäden über eine Rekursionsformel zu einer Klasse von Verteilungen (der Panjer-Klasse) zusammenfassen. Dies ermöglicht die Herleitung von Rekursionsformeln für die Verteilung des Gesamtschadens im kollektiven Modell.
Die Verallgemeinerung der Panjer-Klasse erfolgt über die Abwandlung der Rekursionsformel durch eine spezielle Folge, wodurch sich die Klasse um die sogenannte Annuitätenverteilung erweitert. Untersucht werden die Existenzvoraussetzungen einer solchen Verteilung und die Form der erzeugenden Funktion. Im Anschluss an die Parameterschätzung der Annuitätenverteilung lassen sich Rekursionsformeln für die Verteilung eines diskontierten Gesamtschadens ableiten.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- 1 Der Gesamtschaden im kollektiven Modell
- 1.1 Das Modell
- 1.2 Die Verteilung des Gesamtschadens
- 1.2.1 Erwartungswert und Varianz
- 1.2.2 Faltung
- 1.2.3 Charakteristische und erzeugende Funktionen
- 2 Eine Klasse von Schadenzahlverteilungen
- 2.1 Charakterisierung
- 2.2 Die Panjer-Rekursionsformel: Diskreter Fall
- 2.3 Die Panjer-Rekursionsformel: Stetiger Fall
- 3 Verallgemeinerung der Panjer-Klasse
- 3.1 Annuitätenverteilungen und ihre Existenz
- 3.2 Eigenschaften von Annuitätenverteilungen
- 3.2.1 Die erzeugende Funktion einer Annuitätenverteilung.
- 3.2.2 Zusammengesetzte Poissonverteilung
- 3.3 Schätzung der Parameter einer Annuitätenverteilung
- 3.4 Anwendung der Annuitätenverteilung
- A Ansätze zur Programmierung und Maple-Programme
- A.1 Exakte Verteilung des Gesamtschadens
- A.2 Panjer-Rekursion: Diskreter Fall
- A.3 Panjer-Rekursion: Stetiger Fall.
- A.4 Parameterschätzung
- A.5 Die Verteilung des diskontierten Gesamtschadens
- B Verzeichnis über Verteilungen
- Symbolverzeichnis
- Abbildungsverzeichnis
- Literaturverzeichnis
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die vorliegende Diplomarbeit befasst sich mit der Verallgemeinerung der Panjer-Klasse von Schadenzahlverteilungen in der Risikotheorie. Die Arbeit analysiert das kollektive Modell von Lundberg und Cramér, das den Gesamtschaden als Summe unabhängiger und identisch verteilter Schadenhöhen definiert. Ziel ist es, die Verteilung des Gesamtschadens mit Hilfe von Rekursionsformeln zu berechnen und die Panjer-Klasse durch die Einführung der Annuitätenverteilung zu erweitern. Die Arbeit beleuchtet dabei die Eigenschaften der Annuitätenverteilung und untersucht, unter welchen Bedingungen sie existiert.
- Das kollektive Modell in der Risikotheorie
- Die Panjer-Klasse von Schadenzahlverteilungen
- Die Annuitätenverteilung und ihre Eigenschaften
- Zusammengesetzte Poissonverteilung
- Anwendungen der Annuitätenverteilung
Zusammenfassung der Kapitel
Das erste Kapitel behandelt das kollektive Modell und die Berechnung der Verteilung des Gesamtschadens mit Hilfe von Faltungsformeln und charakteristischen Funktionen. Kapitel zwei fasst die Panjer-Klasse von Schadenzahlverteilungen zusammen und stellt die Panjer-Rekursionsformel für diskrete und stetige Schadenhöhen vor. Das dritte Kapitel widmet sich der Verallgemeinerung der Panjer-Klasse durch die Einführung der Annuitätenverteilung. Es werden die Eigenschaften der Annuitätenverteilung, ihre Existenzbedingungen und ihre Beziehung zur zusammengesetzten Poissonverteilung untersucht.
Schlüsselwörter
Risikotheorie, kollektives Modell, Gesamtschadenverteilung, Schadenzahlverteilung, Panjer-Klasse, Annuitätenverteilung, zusammengesetzte Poissonverteilung, Rekursionsformeln, erzeugende Funktion.
- Quote paper
- Anett Weber (Author), 2007, Verallgemeinerung der Panjer-Klasse und Simulation der Gesamtschadenverteilung, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/145315
