Ein Versicherungsunternehmen hat im Falle eines auftretenden Schadens einen entsprechenden Geldbetrag an den Versicherungsnehmer zu zahlen. Um bevorstehende Ausgaben richtig kalkulieren zu können, ist die Bestimmung der Verteilung aller Schäden in einem festen Beobachtungszeitraum von großer Bedeutung.
In der vorliegenden Arbeit steht das kollektive Modell im Mittelpunkt, welches davon ausgeht, dass der Gesamtschaden durch die Summe einer zufälligen Anzahl von unabhängigen und identisch verteilten Schadenhöhen gegeben ist. Nach einem Ansatz von H. Panjer kann man verschiedene Verteilungen für die zufällige Anzahl der Schäden über eine Rekursionsformel zu einer Klasse von Verteilungen (der Panjer-Klasse) zusammenfassen. Dies ermöglicht die Herleitung von Rekursionsformeln für die Verteilung des Gesamtschadens im kollektiven Modell.
Die Verallgemeinerung der Panjer-Klasse erfolgt über die Abwandlung der Rekursionsformel durch eine spezielle Folge, wodurch sich die Klasse um die sogenannte Annuitätenverteilung erweitert. Untersucht werden die Existenzvoraussetzungen einer solchen Verteilung und die Form der erzeugenden Funktion. Im Anschluss an die Parameterschätzung der Annuitätenverteilung lassen sich Rekursionsformeln für die Verteilung eines diskontierten Gesamtschadens ableiten.
Brandenburgisch Technische Universität Cottbus
Diplomarbeit im Studiengang Mathematik am Lehrstuhl für
Wahrscheinlichkeitstheorie & Statistik
Verallgemeinerung der Panjer-Klasse und Simulation der Gesamtschadenverteilung
von Anett Weber
2007
Inhaltsverzeichnis
Einleitung ... 5
1 Der Gesamtschaden im kollektiven Modell ... 7
1.1 Das Modell ... 7
1.2 Die Verteilung des Gesamtschadens ... 7
1.2.1 Erwartungswert und Varianz ... 7
1.2.2 Faltung ... 9
1.2.3 Charakteristische und erzeugende Funktionen ... 15
2 Eine Klasse von Schadenzahlverteilungen ... 28
2.1 Charakterisierung ... 28
2.2 Die Panjer-Rekursionsformel: Diskreter Fall ... 32
2.3 Die Panjer-Rekursionsformel: Stetiger Fall ... 39
3 Verallgemeinerung der Panjer-Klasse ... 43
3.1 Annuitätenverteilungen und ihre Existenz ... 43
3.2 Eigenschaften von Annuitätenverteilungen ... 47
3.2.1 Die erzeugende Funktion einer Annuitätenverteilung ... 47
3.2.2 Zusammengesetzte Poissonverteilung ... 55
3.3 Schätzung der Parameter einer Annuitätenverteilung ... 66
3.4 Anwendung der Annuitätenverteilung ... 72
A Ansätze zur Programmierung und Maple-Programme ... 82
A.1 Exakte Verteilung des Gesamtschadens ... 82
A.2 Panjer-Rekursion: Diskreter Fall ... 82
A.3 Panjer-Rekursion: Stetiger Fall ... 84
A.4 Parameterschätzung ... 86
A.5 Die Verteilung des diskontierten Gesamtschadens ... 89
B Verzeichnis über Verteilungen ... 94
Symbolverzeichnis ... 96
Abbildungsverzeichnis ... 97
Literaturverzeichnis ... 98
Einleitung
Die Risikotheorie beschäftigt sich unter anderem mit der Frage, wie man die Verteilung aller auftretenden Schäden in einem bestimmten Zeitraum, für die ein Versicherungsunternehmen zu zahlen hat, bestimmen kann.
Im Mittelpunkt des ersten Kapitels der vorliegenden Arbeit steht
das kollektive Modell von F. Lundberg und H. Cramér, welches davon ausgeht, dass
der Gesamtschaden durch die Summe einer zufälligen Anzahl von unabhängigen und
identisch verteilten Schadenhöhen gegeben ist.
Zunächst wird gezeigt, wie der Erwartungswert und die Varianz des Gesamtschadens
bestimmt werden können. Anschließend werden zwei Wege aufgezeigt, mit denen die
Verteilung des Gesamtschadens berechnet werden kann. Dabei verwendet die erste
Methode Faltungsformeln, während die zweite Methode die Gesamtschadenverteilung
über charakteristische beziehungsweise erzeugende Funktionen ermittelt.
Nach einem Ansatz von H. Panjer werden im zweiten Kapitel verschiedene Verteilungen für die zufällige Schadenanzahl über eine Rekursionsformel zu einer Klasse von Verteilungen (der sogenannten Panjer-Klasse) zusammengefasst. Damit kann man dann Rekursionsformeln für die Verteilung des Gesamtschadens im kollektiven Modell herleiten, welche im Fall diskret verteilter Schadenhöhen (mit Computerunterstützung) exakt und im Fall stetig verteilter Schadenhöhen numerisch berechnet werden kann.
Kapitel 1 und 2 stellen im Wesentlichen eine Zusammenfassung bekannter Ergebnisse der Risikotheorie dar. Die aufgeführten Beispiele wurden jedoch selbständig durchgerechnet und programmiert.
Wie der Titel schon sagt, ist die Verallgemeinerung der
Panjer-Klasse das eigentliche Thema der Arbeit. Grundlage hierfür bilden die
Artikel Annuity distributions, A new class of compound Poisson distributions und
On an integral equation for discounted compound-annuity distributions von Colin
M. Ramsay (siehe [14] und [15]).
Im ersten Abschnitt des dritten Kapitels wird die sogenannte
Annuitätenverteilung vorgestellt. Diese erhält man, wenn man in die
Rekursionsformel für die Verteilung der Schadenzahl aus der Panjer-Klasse eine
spezielle Folge einsetzt. Weiterhin wird untersucht, unter welchen
Voraussetzungen eine solche Verteilung existiert. Der dazugehörige Beweis ist
bei Ramsay [15], S. 16, nur in Ansätzen vorhanden und wurde daher gröÿtenteils
selbständig durchgeführt.
Abschnitt 3.2 zeigt, welche Form die erzeugende Funktion einer
annuitätenverteilten Schadenzahl hat. Auÿerdem wird bewiesen, dass eine
annuitätenverteilte Zufallsgröÿe unter gewissen Voraussetzungen einer
zusammengesetzten Poissonverteilung unterliegt. Die Beweise der dabei
auftretenden Zwischenergebnisse sind fast alle bei Ramsay [15] nachzulesen.
Diese sind jedoch meist sehr knapp gehalten, so dass sie in der vorliegenden
Arbeit ausführlicher (und übersichtlicher) gestaltet wurden.
Mit Hilfe der erzeugenden Funktion werden im nächsten Abschnitt Erwartungswert
und Varianz einer annuitätenverteilten Schadenzahl bestimmt. Dabei wird ein
anderer Ansatz verwendet als bei Ramsay [15] (siehe S. 20, 21). Auf der
Grundlage einer konkreten Stichprobe für die Schadenzahl kann man dann die
Parameter einer Annuitätenverteilung nach der Momentenmethode schätzen. Ein
entsprechendes Maple-Programm wurde eigenständig entwickelt.
Im letzten Teil des dritten Kapitels wird das kollektive Modell etwas
abgewandelt, um einen Diskontierungsfaktor einbeziehen zu können. Anschließend
werden Erwartungswert und Varianz des diskontierten Gesamtschadens bestimmt. Die
Formel für die Varianz ist bei Ramsay [14], S. 194, fehlerhaft und wurde
korrigiert. Mit einer annuitätenverteilten Schadenzahl kann man schließlich eine
Rekursionsformel für die Verteilung des diskontierten Gesamtschadens herleiten.
Die Vorgehensweise wird bei Ramsay [14] deutlich, jedoch sind auch hier eine
Reihe von Unkorrektheiten beziehungsweise Fehlern zu finden. Zum Beispiel
spricht der Autor an manchen Stellen von Verteilungsfunktionen, verwendet aber
die Notation von Dichten (vgl. [14], S.194 unten, S. 195 Formeln (10) und (12)).
Darüber hinaus fehlen in mehreren Formeln Faktoren (siehe [14], S. 194 unten, S.
195 Formeln (10) und (12), S. 196 Formel (13) und der dazugehörige Beweis, S.
197 Formel (17)). Zur Berechnung der Verteilung des diskontierten Gesamtschadens
wird ein Verfahren zur Lösung einer Volterraschen Integralgleichung zweiter Art
(vgl. Jerri [7], S. 134-136) auf den Fall abgewandelt, dass die
Integrationsobergrenze noch einen konstanten Faktor besitzt. In einem
selbständig entwickelten Maple-Programm wird das Verfahren durch Anwendung der
Simpson-Regel vereinfacht, um überhaupt Ergebnisse zu erhalten.
Den Abschluss der Arbeit bilden zwei Anhänge. Die Quelltexte aller
Maple-Programme, die zur Berechnung der Beispiele verwendet wurden, sind in
Anhang A nachzulesen. Im Anhang B ndet man eine Übersicht über alle in dieser
Arbeit auftretenden Verteilungen und deren Symbole.
Alle Beweise, die aus der Literatur entnommen wurden, sind entsprechend gekennzeichnet. Die Zahlen in eckigen Klammern stehen für den jeweiligen Eintrag im Literaturverzeichnis.
Mein besonderer Dank gilt Prof. Dr. Wolfgang Freudenberg (BTU Cottbus) für seine Betreuung und Unterstützung.
1 Der Gesamtschaden im kollektiven Modell
Ein wichtiges Thema der Versicherungsmathematik ist die Modellierung aller auftretenden Schäden in einer bestimmten Beobachtungsperiode, die ein Versicherungsunternehmen an die Versicherungsnehmer zu zahlen hat. Aus diesem Grund wird im ersten Abschnitt dieses Kapitels das zugrundeliegende Modell von F. Lundberg und H. Cramér vorgestellt.
Anschließend wird gezeigt, wie man Erwartungswert und Varianz des Gesamtschadens berechnen kann und es werden zwei Methoden betrachtet, mit deren Hilfe man die Verteilung des Gesamtschadens unter gewissen Voraussetzungen explizit bestimmen kann.
1.1 Das Modell
Ein Versicherungsunternehmen hat im Falle eines auftretenden Schadens einen entsprechenden Geldbetrag an den Versicherungsnehmer zu zahlen. Um bevorstehende Zahlungen richtig kalkulieren zu können, ist das Ausmaß aller auftretenden Schäden von großer Bedeutung. Dazu betrachtet man das folgende, sogenannte kollektive, Modell:
[...]
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