In der vorliegenden Arbeit werden anhand von Zeitreihen mit bekannter unterliegender Dynamik die Algorithmen zur numerischen Bestimmung von invarianten dynamischen Größen abgeleitet, implementiert und insbesondere an Messdaten unbekannter Dynamik angewendet.
Als bekannte nichtlineare Dynamiken werden erläutert und ausgewertet: das Räuber-Beute-Modell, das Lorenzmodell, die quadratische Ikeda-Abbildung und die kubische Henon-Abbildung. Die analysierten Messdaten stammen von einem Nuclear-Magnetic-Resonance-Laserexperiment. Alle untersuchten nichtlinearen Systeme weisen ein deterministisch chaotisches Verhalten auf. Dabei zeigt sich, dass der durch die Bewegungsgleichungen beschriebene Fluß im Phasenraum auf einen z.T. fraktalen Unterraum - den Attraktor - beschränkt ist.
Neben Verfahren zur Rekonstruktion des Phasenraums und des Attaktors aus den Daten, wird eine Methode zur lokal-linearen Rauschunterdrückung für die Präparation von Messdaten im Detail abgeleitet, erläutert und angewendet.
Der Schwerpunkt der Arbeit liegt auf der numerischen Bestimmung invarianter dynamischer Größen aus den Daten. Diese Größen charakterisieren die unterliegende nichtlineare Dynamik auf einer Makroskala und erlauben Vergleiche verschiedener Systeme. Die hier betrachteten Invarianten sind: der Lyapunov-Exponent, die verallgemeinerten Renyi-Entropien und die verallgemeinerten (fraktalen) Dimensionen des Attraktors. Die erforderlichen Algorithmen zur Bestimmung der Invarianten werden im Detail erläutert und ihre Wirkungsweise anhand der Ergebnisse kritisch gewürdigt.
Die vorliegende Arbeit stellt im Detail den Arbeitsprozess von den (Mess-)Daten zu den invarianten dynamischen Größen dar.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Der Phasenraum
- Rekonstruktion des Phasenraums
- Die Zeitreihen
- Theoretische Grundlagen
- Allgemeine Methoden
- Lyapunov-Exponenten
- Wolf-Algorithmus
- Lyapunov-Exponenten via Tangentialabbildung
- Kantz-Algorithmus
- Entropien
- Dimensionen
- Verallgemeinerte Dimensionen Dq
- Die Kaplan-Yorke Dimension
- Analysen
- Voruntersuchungen
- Die Spektren der Zeitreihen raserl und raser2
- Recurrence Darstellungen
- Der Drift
- Rauschunterdrückung
- RBF-Entwicklung
- Lokal lineare Rausch-Unterdrückung
- Analysen
- Die Wahrscheinlichkeitsdichte
- Abschätzung der Entropien für raserl und raser2
- Abschätzung der verallgemeinerten Dimensionen
- Voruntersuchungen
- Epilog
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Arbeit befasst sich mit der Anwendung von Methoden der nichtlinearen Dynamik zur Analyse von Zeitreihen. Das Ziel ist es, anhand von künstlichen Zeitreihen mit bekannter Dynamik die Algorithmen zur Abschätzung der invarianten dynamischen Größen einzuführen und zu erklären. Nach erfolgreicher Rauschunterdrückung soll diese Größen aus experimentell gewonnenen Zeitreihen abgeschätzt werden.
- Rekonstruktion des Phasenraums aus Zeitreihen
- Berechnung von Lyapunov-Exponenten zur Charakterisierung der Dynamik
- Abschätzung von Entropien und Dimensionen zur Beschreibung der Komplexität des Systems
- Rauschunterdrückung in realen Zeitreihen
- Anwendung der Methoden auf experimentelle Daten
Zusammenfassung der Kapitel
- Kapitel 1 stellt die grundlegenden Konzepte der nichtlinearen Dynamik vor, insbesondere die Rekonstruktion des Phasenraums aus Zeitreihen.
- Kapitel 2 beschreibt die theoretischen Grundlagen für die Abschätzung der invarianten dynamischen Größen. Es werden verschiedene Algorithmen zur Berechnung der Lyapunov-Exponenten, Entropien und Dimensionen erläutert.
- Kapitel 3 befasst sich mit der Anwendung der Methoden auf künstliche und reale Zeitreihen. Es werden verschiedene Analysen durchgeführt, um die Ergebnisse der Methoden zu validieren.
Schlüsselwörter
Zeitreihen, nichtlineare Dynamik, Phasenraum-Rekonstruktion, Lyapunov-Exponenten, Entropien, Dimensionen, Rauschunterdrückung, experimentelle Daten.
Häufig gestellte Fragen
Was sind invariante dynamische Größen?
Invariante Größen wie Lyapunov-Exponenten, Renyi-Entropien und fraktale Dimensionen charakterisieren ein nichtlineares System unabhängig von den Anfangsbedingungen auf einer Makroskala.
Was versteht man unter Phasenraum-Rekonstruktion?
Es ist ein Verfahren, um aus einer eindimensionalen Zeitreihe den mehrdimensionalen Zustand eines dynamischen Systems (den Attraktor) wiederherzustellen.
Was ist ein Lyapunov-Exponent?
Der Lyapunov-Exponent misst die Geschwindigkeit, mit der sich nah beieinander liegende Trajektorien im Phasenraum voneinander entfernen. Ein positiver Exponent ist ein Indikator für deterministisches Chaos.
Warum ist Rauschunterdrückung bei Messdaten wichtig?
Reale Messdaten sind oft von Rauschen überlagert, das die Berechnung dynamischer Invarianten verfälschen kann. Lokal-lineare Verfahren helfen, das Signal zu präparieren, ohne die Dynamik zu zerstören.
Welche Modelle werden für die Analyse genutzt?
Häufig genutzte Modelle sind das Räuber-Beute-Modell, das Lorenzmodell (Wetterdynamik) sowie die Ikeda- und Henon-Abbildungen für mathematische Chaossysteme.
- Citation du texte
- Dr. Ingo Hoffmann (Auteur), 1993, Auswertung von Zeitreihen mit Methoden der nichtlinearen Dynamik, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/142452
