Durch diese Unterrichteinheit sollen Schüler:innen ihre Fähigkeiten und Fertigkeiten im Bereich der Stochastik entwickeln und erweitern, indem sie mithilfe eingeführter mathematischer Techniken kombinatorische Fragestellungen lösen. Ferner lernen sie Daten darzustellen, zu erfassen und zu interpretieren.
Insgesamt sind sie durch das Auseinandersetzen mit und Lösen von alltagsbezogenen Vorgängen und Ereignissen zunehmend in der Lage, diese nicht per se auf Glück und Zufall zurückzuführen, sondern sie durch mathematische Überlegungen und Handlungsweisen realistisch einzuschätzen, wodurch sie die Modellierungskompetenz erlangen.
Inhaltsverzeichnis
0. Allgemeine Informationen zu der Revisionsprüfung
1. Thema und Lernschwerpunkt der Unterrichtsreihe
2. Einbettung der Unterrichtsstunde in die Unterrichtsreihe
3. Problemstellung, LSP und Anforderungsbereiche der Unterrichtsstunde
4. Lehr- und Arbeitsplanbezug
5. Sachanalyse
6. Didaktisch-methodische Überlegungen zu einzelnen Stundenaspekten
7. Tabellarischer Unterrichtsverlauf
8. Literatur-, Quellenverzeichnis und Abkürzungen
0. Allgemeine Informationen zu der Revisionsprüfung
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
1. Thema und Lernschwerpunkt der Unterrichtsreihe
Thema der Unterrichtsreihe: Kombinatorik, Daten und Diagramme
Lernschwerpunkt (LSP2 ) der Unterrichtsreihe:
Die Schülerinnen und Schüler (SuS3 ) entwickeln und erweitern ihre Fähigkeiten und Fertigkeiten im Bereich der Stochastik, indem sie mithilfe eingeführter mathematischer Techniken kombinatorische Fragestellungen lösen. Ferner lernen sie Daten darzustellen, zu erfassen und zu interpretieren.
Insgesamt sind sie durch das Auseinandersetzen mit und Lösen von alltagsbezogenen Vorgängen und Ereignissen zunehmend in der Lage, diese nicht per se auf Glück und Zufall zurückzuführen, sondern sie durch mathematische Überlegungen und Handlungsweisen realistisch einzuschätzen (Modellierungskompetenz).
2. Einbettung der Unterrichtsstunde in die Unterrichtsreihe
1. Der Baum und seine Pfade - Einführung in die Kombinatorik durch das Lösen mehrstufiger kombinatorischer Sachsituationen mithilfe eines Baumdiagramms
2. Die Tabelle und ihre Kreuzungen - Kennen- und Anwendenlernen der Kreuztabelle als Lösungstechnik bei kombinatorischen Fragestellungen mit zwei Ausprägungen
3. Striche werden zu Streifen und Säulen - Einführung in die Stochastik durch die (deskriptive) Auseinandersetzung mit Strichlisten und Diagrammen sowie erstes Anfertigen eigener Diagramme
4. Daten, Daten, Daten - Üben und Vertiefen des Entnehmens und Darstellens von Informationen aus bzw. in verschiedenen Listen und Diagrammen
5. Die Klasse 3c im Umfragefieber (Teil 1) - Gemeinsames Planen einer Klassenumfrage mit erstem Erheben von Daten
6. Die Klasse 3c im Umfragefieber (Teil 2) - Darstellen und Auswerten der erhobenen Daten
7. Wir würfeln mit einem Würfel - Gemeinsame Erarbeitung der gleichmäßigen Häufigkeitsverteilung der Augenzahlen durch ein mehrstufiges Laplace-Experiment
' 8. Wir würfeln mit zwei Würfeln - Gemeinsame Erarbeitung der Häufigkeitsverteilung von Augensummen beim Werfen zweier Würfel durch ein Zufallsexperiment z
9. Allerlei Würfelsummen - Kombinatorisches Ergründen des Zufallsexperiments durch das systematische Finden aller möglichen Würfelbilder für die jeweiligen Augensummen
10. Fair oder unfair? - Nutzen der Erkenntnisse aus den Würfelexperimenten zum Überprüfen von Spielregeln auf ihre Fairness und zum Erfinden eigener Regeln
3. Problemstellung, LSP und Anforderungsbereiche der Unterrichtsstunde
Problemstellung
Welche Augensumme wird am häufigsten gewürfelt?
Lernschwerpunkt der Unterrichtsstunde
In der Stunde üben und vertiefen die SuS ihre stochastischen Kompetenzen im Bereich der Statistik und Wahrscheinlichkeit sowie ihre prozessbezogenen Kompetenzen des Darstellens, Kommunizierens und Argumentierens, indem sie sich sukzessive und gemeinsam die Häufigkeitsverteilung von Augensummen beim Werfen zweier Würfel erarbeiten.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
4. Lehr- und Arbeitsplanbezug
Lehrplan Mathematik des Landes NRW4
Zu den inhaltsbezogenen Kompetenzen:
Inhaltsbereich: Zahlen und Operationen Schwerpunkt: Operationsvorstellungen: Die SuS
- „wechseln zwischen verschiedenen Darstellungsformen von Operationen (mit Material, [...] symbolisch und sprachlich) hin und her
Inhaltsbereich: Daten, Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten Schwerpunkt: Daten und Häufigkeiten: Die SuS
- „sammeln Daten aus der unmittelbaren Lebenswirklichkeit und stellen sie in Diagrammen und Tabellen dar“
- „entnehmen [...] Diagrammen und Tabellen Daten und ziehen sie zur Beantwortung von mathematikhaltigen Fragen heran“
Zu den prozessbezogenen Kompetenzen
Problemlösen/ kreativ sein: Die SuS
- „nutzen die Einsicht in Zusammenhänge zur Problemlösung“ (lösen)
- „überprüfen Ergebnisse auf ihre Angemessenheit“ (reflektieren und überprüfen)
- „übertragen Vorgehensweisen auf ähnliche Sachverhalte“ (übertragen)
- „wählen bei der Bearbeitung von Problemen geeignete mathematische Regeln, Algorithmen und Werkzeuge aus und nutzen sie der Situation angemessen“ (anwenden)
Argumentieren: Die SuS
- „stellen Vermutungen über mathematische Zusammenhänge oder Auffälligkeiten an“ (vermuten)
- „testen Vermutungen anhand von Beispielen und hinterfragen, ob ihre Vermutungen, Lösungen, Aussagen, etc. zutreffend sind“ (überprüfen)
- „bestätigen oder widerlegen ihre Vermutungen anhand von Beispielen und entwickeln ansatzweise allgemeine Überlegungen oder vollziehen diese nach“ (folgern)
Darstellen / Kommunizieren: Die SuS
- „halten ihre Arbeitsergebnisse [...] fest“ (dokumentieren)
- „bearbeiten komplexere Aufgabenstellungen gemeinsam, treffen dabei Verabredungen und setzen eigene und fremde Standpunkte in Beziehung“ (kooperieren und kommunizieren)
- „übertragen eine Darstellung in eine andere“ (zwischen Darstellungen wechseln)
Schuleigenes Curriculum der KGS Nieheim5
Inhaltsbereich: Größen und Messen:
- „Tabellen und Skizzen als Bearbeitungshilfen zur Lösung von Sachaufgaben nutzen“ Daten, Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten:
- „aus einer Tabelle Daten entnehmen und zur Beantwortung mathematischer Fragen nutzen“
- „Daten sammeln und in Form einer Tabelle darstellen“
- „Daten aus der unmittelbaren Lebenswirklichkeit sammeln und in einem Diagramm darstellen“
- „aus Diagrammen und Tabellen Daten entnehmen und zur Beantwortung mathematischer Fragen heranziehen“
- „Vermutungen über die Eintrittswahrscheinlichkeit von einfachen Ereignissen anstellen und beschreiben“
Zahlen und Operationen:
- „Additions- und Subtraktionsaufgaben im Zahlenraum bis 100“
- „zwischen verschiedenen Zahldarstellungen wechseln“
5. Sachanalyse
In der geplanten Unterrichtsstunde setzen sich die SuS mit einer stochastischen Fragestellung auseinander, bei der es um die Auftretenshäufigkeit von Augensummen beim Werfen zweier Würfel geht. Zur Beantwortung dessen durchführen sie einen mathematischen Versuch, in welchem sie mehrfach hintereinander würfeln, die Augensummen bestimmen und diese jeweils notieren. Fachlicherseits handelt es bei diesem Würfelversuch um ein Zufallsexperiment, da die Ereignisse nicht jedes Mal vorausgesagt werden können.6
Die Ergebnismenge besteht aus den möglichen Augensummen 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 und 12. Nach mehrfachen Wurfergebnissen (Gesetz der großen Zahlen) wird ersichtlich, dass die einzelnen Ausgänge nicht gleichwahrscheinlich sind ergo eine Ungleichheit in der Häufigkeitsverteilung besteht. So treten die Ereignisse 6, 7 oder 8 häufiger auf als beispielsweise 2, 3, 11 oder 12. Die Begründung liegt in den verschiedenen Anzahlen an Kombinationsmöglichkeiten für eine einzelne Augensumme. Das heißt, je höher die Anzahl an Kombinationsmöglichkeiten bei einer Augensumme ist, desto wahrscheinlicher und höher ist ihr Auftreten. Umgekehrt bedeutet dies, dass je niedriger die Anzahl an Kombinationsmöglichkeiten bei einer Augensumme ist, desto unwahrscheinlicher und seltener ist ihr Vorkommen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
6. Didaktisch-methodische Überlegungen zu einzelnen Stundenaspekten
Aufbau der Unterrichtsreihe
In der Unterrichtsreihe werden alle Teilgebiete der Stochastik (Statistik, Wahrscheinlichkeit und Kombinatorik) behandelt. So sind die einzelnen Stunden in ihrem Inhalt aufeinander aufbauend und vernetzend und müssen damit in ihrer Gesamtheit betrachtet werden (Kumulativer Lernprozess).
In der geplanten Unterrichtsstunde setzen sich die SuS vor dem Hintergrund der Statistik und Wahrscheinlichkeit mit der Problemstellung auseinander, ehe diese in der Folgestunde kombinatorisch erarbeitet wird. So sollen die SuS die Mehrdimensionalität dieses Wissenschaftsbereiches erfahren und dafür sensibilisiert werden alltägliche Ereignisse nicht per se mit Zufall und Glück zu bewerten, sondern sie immer mehr mit Hilfe der Mathematik realistisch einschätzen zu können (vgl. LSP der Reihe) (Prinzip der Alltagsorientierung).
Der Inhalt der Vorstunde wird in dieser Stunde auf einem höheren Niveau bearbeitet, sodass anknüpfendes Lernen möglich wird (Spiralcurriculum, Vernetztes Lernen).
Gruppenarbeit
Die in der Unterrichtsreihe geplanten Arbeitsphasen finden überwiegend in Kleingruppen statt. Die Konstellation dieser Gruppen sind fest, sodass die SuS durch ihre jeweils heterogenen mathematischen Kompetenzen voneinander und miteinander lernen und sie darüber hinaus ihre allgemeinen sozialen Kompetenzen, in denen für sie eventuell neuen Mitschülerkonstellationen, üben (S oziales Lernen).
In der geplanten Unterrichtsstunde ist die Sozialform neben den allgemeindidaktischen Absichten zugunsten des Sachgegenstandes gewählt. Da nämlich viele Gruppen parallel und mehrfach das Experiment durchführen, können eine höhere Anzahl an gemeinsamen Wurfergebnissen zusammengetragen und folglich ein repräsentativeres Bild der Häufigkeitsverteilung entstehen. Damit nähert sich die relative Häufigkeit immer mehr der Wahrscheinlichkeit des Zufallsexperiments an (Gesetz der großen Zahlen).7
Gliederung der Arbeitsphasen8
Die Arbeitsphasen geben der Unterrichtsstunde nicht nur methodische Struktur (hinsichtlich der Experimentdurchführung) und Abwechslung, sondern dienen auch dem Inhalt und damit der Erreichung des LSPs. So geht es in Arbeitsphase 1 um das Erfassen, in Arbeitsphase 2 um das Darstellen und in Arbeitsphase 3 um das Auswerten der Augensummen. Arbeitsphase 2 ist bewusst im Plenum geplant. Hier werden die Experimentausgänge aller Gruppen in einem gemeinsamen Diagramm dargestellt. Dies ist nicht nur hinsichtlich der Würdigung sprich des pädagogischen Aspekts sinnvoll (Prozess- und Produktorientierung), sondern, und wie bereits oben erwähnt, von statistischer und wahrscheinlichkeitsorientierter Bedeutung. So können die SuS erst aufgrund der vielen Ereignisse zu Aussagen über die Häufigkeitsverteilung kommen. Konsequenterweise ist Arbeitsphase 2 unabdingbar für das Arbeiten in Phase 3 und damit auch für die Erreichung des LSPs.
Ausgang der Stunde
Da weder geplant noch vorausgesagt werden kann, wie intensiv die SuS zusammenarbeiten und wie viele Wurfergebnisse in der vorgegebenen Zeit erzielt werden, können der Unterrichtsverlauf und -Ausgang noch nicht eindeutig abgesehen werden. So kann es sein, dass
a) hinsichtlich der Repräsentativität zu wenige Ausgänge vorliegen oder
b) die Zeit des Zusammentragens so viel Zeit beansprucht, dass Arbeitsphase 3 kürzer oder die geplante Abschlussreflexion in die Folgestunde verschoben werden muss.
Diese Offenheit des Stundenausganges verlangt von der L flexibles und situatives Handeln, sowie die Bereitschaft zur Änderung ihrer weitere Unterrichtsplanungen. Letztlich geht es um eine Orientierung an den SuS und ihren Lernprozess (Prozessorientierung).
Sachsituation
Die Sachsituation von Ole und Lisa soll die SuS auf die Problemstellung der Stunde einstimmen, ihnen einen Bezug zu ihrem Alltag darstellen (Lebensweltorientierung) und in diesem Zuge die Bedeutsamkeit des Lösens solcher Aufgaben nahelegen (Modellierungsprozess). Gleichfalls werden eine grundlegende Motivation und Anstrengungsbereitschaft für das weitere Arbeiten erhofft. Das Auseinandersetzen mit der Vermutung der Figur Lisa kann darüber hinaus sinnstiftendes Kommunizieren und Reflektieren fördern, was konsequenterweise ein Arbeiten auf Anforderungsbereich 3 stützt.
Offene Lernformen
Die Unterrichtsplanungen gründen auf dem Prinzip der Offenheit mit dem Ziel, den SuS ein individuelles und differenziertes Lernen zu ermöglichen und zwar
- medial: Auswahl zwischen zwei Darstellungsarten; Tipp-Karten
- sozial: Austausch und gemeinsames Arbeiten in Kleingruppen und im Plenum
- methodisch: Zulassung individueller Lernwege und Vorgehensweisen
- qualitativ: Tiefe der Durchdringung der Häufigkeitsverteilung; Lernen auf verschiedenen Anforderungsbereichen (vgl. Kap. 3)
- quantitativ: keine Vorgabe hinsichtlich der Anzahl an Würfen
- individuell: Jedes Kind kann mit seinem Vorwissen und mit seinen Kompetenzen (z.B.
Interpretationsvermögen, Darstellbarkeit, schnelles Kopfrechnen, ...) zur Lösung beitragen
Sprachliche Förderung und Sprachbildung
Dies geschieht in der Stunde durch
- die kommunikationsfördernde Aufgabe und damit einher durch das gemeinsame Vermuten, Experimentieren und Auswerten
- das Arbeiten in Gruppen und im Plenum
- das gemeinsame Nutzen des Materials (2 Würfel und 1 Arbeitsblatt pro Gruppe, 1 Diagramm pro Klasse)
- den Wortspeicher und das Vorlesenlassen der Themenleine
[...]
1
2 „LSP" als künftig genutzte Abkürzung für „Lernschwerpunkt".
3 „SuS“ als künftig genutzte Abkürzung für „Schülerinnen und Schüler“.
4 MSW (Hrsg.) (2008): „Richtlinien und Lehrpläne für die Grundschule in Nordrhein-Westfalen"; S. 59-60, 61 ff.
5 Schuleigener Arbeitsplan für das Fach Mathematik - Jahrgangsstufe 3; letzter Stand: 01.08.2017.
6 Bettermarks GmbH (2017): „Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung".
7 Graphik entnommen aus: http://monopolystar.ru/forum/showthread.php?t=55 (letzter Aufruf: 29.09.2018).
8 Hemmerich, W. (2011-2018): „Gesetz der großen Zahlen".
- Citation du texte
- Anonyme,, 2018, Das Würfelexperiment. Welche Augensumme wird am häufigsten gewürfelt?, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1370853
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