In dieser Arbeit zeige ich die Bedeutung des Sachrechnens für die Kompetenzentwicklung von Schüler:innen auf und untersuche, inwieweit Fermi-Aufgaben als eine geeignete Variante angesehen werden können, diese Ziele zu erreichen. Dabei nehme ich insbesondere Bezug auf die von der KMK formulierten Bildungsstandards und beleuchte die praktische Arbeit im Unterricht anhand eines konkreten Beispiels.
Ich werde zunächst klären, was unter Fermi-Aufgaben zu verstehen ist. Anschließend möchte beschreiben, welche Rolle das Sachrechnen in den aktuellen Bildungsstandards einnimmt. Danach werde ich einige der in den Bildungsstandards genannten Kompetenzen genauer betrachten und kurz beispielhaft darstellen, wie Sachrechnen und insbesondere Fermi-Aufgaben zu deren Entwicklung beitragen können. Abschließend möchte ich anhand einer konkreten Fermi-Aufgabe die Herangehensweise im Unterricht beschreiben und Potenziale sowie mögliche Schwierigkeiten benennen.
Inhalt
Einführung
1 Fermi- Aufgaben
2 Sachrechnen in den Bildungsstandards
2.1 Entwicklung inhaltsbezogener Kompetenzen beim Sachrechnen
2.2 Entwicklung prozessbezogener Kompetenzen beim Sachrechnen
3 Wie viel Lebenszeit verbringt ein Mensch schlafend?
3.1 Vorbereitung
3.2 Vorgehen
3.3 Potenziale
3.4 Schwierigkeiten
4 Fazit
Literatur
Internetquellen
Einführung
„Beim Sachrechnen werden Aufgaben gelöst, die neben der Anwendung von Mathematik – meistens nach dem Ausführen einer Rechnung – auch die Verarbeitung von Sachinformationen verlangen“ (Maaß 2009, S. 10). Ich möchte in dieser Arbeit die Bedeutung des Sachrechnens für die Kompetenzentwicklung der Schülerinnen und Schüler aufzeigen und untersuchen, inwieweit Fermi- Aufgaben als eine geeignete Variante angesehen werden können, diese Ziele zu erreichen.
Dazu werde ich zunächst klären, was unter Fermi- Aufgaben zu verstehen ist. Anschließend möchte beschreiben, welche Rolle das Sachrechnen in den aktuellen Bildungsstandards einnimmt. Danach werde ich einige der in den Bildungsstandards genannten Kompetenzen genauer betrachten und kurz beispielhaft darstellen, wie Sachrechnen und insbesondere Fermi- Aufgaben zu deren Entwicklung beitragen können. Abschließend möchte ich anhand einer konkreten Fermi- Aufgabe die Herangehensweise im Unterricht beschreiben und Potenziale sowie mögliche Schwierigkeiten benennen.
In meiner Arbeit werde ich Schülerinnen und Schüler mit SuS sowie Lehrerinnen und Lehrer mit LuL abkürzen.
1 Fermi- Aufgaben
Fermi-Aufgaben sind eine Art von Sachaufgaben. Es handelt sich dabei um „komplexe reale Probleme, die mathematische Annahmen, Wissen und Datenbeschaffungen benötigen, um zu einer Lösung zu kommen“ (Witzel 2015, S.11). Sie gehören zu den unterbestimmten Aufgaben. Es sind daher wenige oder gar keine Zahlen gegeben. Die SuS werden dazu angehalten, selbst die nötigen Daten zu erheben, zu schätzen oder aus geeigneten Medien zu entnehmen, um das Problem zu lösen. So kommt es dazu, dass Kinder von unterschiedlichen Annahmen ausgehen, weshalb die Lösungen individuell und nicht richtig oder falsch, sondern plausibel oder nicht plausibel sind. Fermi-Aufgaben sollen besonders „die Haltung der Kinder fördern, sich einem auf den ersten Anschein schier unlösbaren Problem zu stellen und sich gemeinsam auf den Weg zu machen“ (Bongartz 2012, S.148). Häufige Formen von Fermi- Aufgaben sind Fragen nach einer Anzahl oder nach Größenbestimmungen in Alltagssituationen. Genauso treten Behauptungen auf in Verbindung mit der Frage, ob das stimmen kann. In jedem Fall werden die Aufgaben durch das Ausführen eines Modellierungsprozesses gelöst (vgl. Maaß 2009, S. 11).
2 Sachrechnen in den Bildungsstandards
Sachrechnen nimmt eine Sonderstellung im Bereich der Mathematik in der Grundschule ein. Will man die Beschäftigung mit Sachaufgaben im Mathematikunterricht der Grundschule mit der Erfüllung der Bildungsstandards rechtfertigen, so stellt sich ein Problem: Vergebens sucht man nach der Zielstellung „Sachrechenkompetenz“ auszubilden oder der expliziten Vorgabe, sich mit Sachaufgaben auseinanderzusetzen. „[…] Die Standards [orientieren sich] nur implizit an den traditionellen Sachgebieten des Mathematikunterrichts der Grundschule: Arithmetik, Geometrie, Größen und Sachrechnen. In den Vordergrund gestellt werden vielmehr allgemeine und inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen“ (KMK 2004, S.6). Als prozessbezogene allgemein-mathematische Kompetenzen werden Problemlösen, Darstellen von Mathematik, Argumentieren, Modellieren und Kommunizieren angeführt (vgl. ebd., S.7). Daneben werden Zahlen und Operationen, Raum und Form, Muster und Strukturen, Größen und Messen sowie Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit als konkrete Inhaltsbereiche genannt, in denen mathematische Kompetenzen zu erwerben sind (vgl. ebd., S.8). Die Kompetenzen sind nicht isoliert zu betrachten, sondern sollen sich im Zusammenspiel entwickeln. Bei genauerem Hinsehen wird deutlich, dass alle diese Kompetenzen beim Sachrechnen gefördert und ausgebildet werden können. Im Folgenden möchte ich dies aufzeigen.
2.1 Entwicklung inhaltsbezogener Kompetenzen beim Sachrechnen
Im Bereich Größen und Messen sollen die SuS Größenvorstellungen entwickeln und lernen, mit Größen in Sachsituationen umzugehen (vgl. ebd., S.11). Das bedeutet, dass SuS Einheiten aus den Bereichen Geldwerte, Zeitspannen, Längen, Rauminhalte und Gewichte kennen und Stützpunktwissen aufweisen sollen (vgl. ebd., S.11). Durch authentische Verwendung von Größen in Sachaufgaben, die Notwendigkeit im Lösungsprozess Einheiten umzuwandeln und die Überprüfung, ob das errechnete Ergebnis in der Sachsituation schlüssig erscheint, werden die Kompetenzen im Inhaltsbereich Größen und Messen unterstützt. Gerade bei Fermi- Aufgaben besteht die Möglichkeit, fehlende Daten zu recherchieren, Stützpunktwissen zu erweitern und so in zukünftigen Aufgaben genaueres Schätzen zu ermöglichen.
Im Bereich Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit sollen die Kinder unter anderem lernen, Daten durch Beobachtungen und einfache Experimente selbst zu erheben, aus Tabellen und Schaubildern zu entnehmen und in angemessener Form darzustellen (vgl. ebd., S. 11). Da realistische Sachaufgaben häufig Tabellen oder Schaubilder beinhalten, bieten sie eine gute Gelegenheit, das Lesen dieser Darstellungen zu thematisieren. Außerdem ist es gerade bei unterbestimmten Aufgaben wie Fermi- Aufgaben erforderlich, Daten mittels eigener Beobachtungen oder geeigneter Experimente oder auch Darstellungen in verschiedenen Medien zusammenzutragen.
Im Inhaltsbereich Zahlen und Operationen sollen die SuS am Ende der vierten Klasse Zahldarstellungen, Zahlbeziehungen und Rechenoperationen verstanden haben, beherrschen und in Kontexten anwenden können (vgl. ebd., S. 9). Das beinhaltet, dass die Kinder sich im Zahlenraum bis 1.000.000 zurechtfinden, die Grundrechenarten kennen und mündliche sowie schriftliche Rechenverfahren in verschiedenen Situationen anwenden können (vgl. ebd., S. 9). Um Rechenoperationen nach der systematischen Einführung zu trainieren und zu wiederholen, eignen sich Sachaufgaben. Von einer realistischen Sachsituation ausgehend müssen Rechenoperationen flexibel angewandt werden. Falls es Schwierigkeiten beim Rechenverfahren gibt, kann an dieser Stelle gezielt wiederholt und geübt werden. Es ist wichtig darauf zu achten, dass die Aufgaben nicht an das gerade behandelte Thema angepasst werden (vgl. Maaß 2009, S. 22). Es sollten nicht die kürzlich eingeführten Rechenoperationen in einen austauschbaren Sachkontext eingekleidet werden, sondern ein authentischer Sachkontext verschiedene Rechenoperationen erfordern. Dabei sind alle Grundrechenarten von Bedeutung, denn alle müssen auch Jahre nach ihrer Einführung noch sicher beherrscht werden. Gerade unterbestimmte Aufgaben wie Fermi- Aufgaben verleiten die Kinder nicht dazu, die zuletzt eingeführte Rechenoperation willkürlich mit gegebenen Zahlen durchzuführen ohne den Sachkontext zu betrachten. Außerdem fordern Fermi- Aufgaben meist verschiedene Rechenoperationen, wie in Abschnitt 3.2 zu sehen sein wird.
Verknüpfungsmöglichkeiten zum Sachrechnen im Inhaltsbereich Raum und Form bieten sich vor allem bei den Kompetenzen, sich im Raum zu orientieren und Flächen- und Rauminhalte zu messen (vgl. KMK 2004, S. 10). Um sich im Raum zu orientieren, sollen die Kinder beispielsweise Pläne und Ansichten nutzen (vgl. ebd., S.10). Da es in Sachsituationen durchaus realistisch ist, Ansichten von Städten oder Gebäudekomplexen als Ausgangspunkt für Probleme wie zum Beispiel die Unterbringung von Menschen, Gebäudesicherung oder Dacharbeiten zu haben, kann dieser Inhaltsbereich in Sachaufgaben bedeutsam sein. Auch Flächen- und Rauminhalte herauszufinden, ist in Sachproblemen und speziell Fermi- Aufgaben oft unumgänglich, wenn es etwa um Fliesenlegearbeiten oder die Eignung bestimmter Gefäße zum Transport beziehungsweise zur Aufbewahrung von Flüssigkeiten geht.
Bei der Kompetenz mit funktionalen Beziehungen umgehen zu können sollen die SuS diese in Sachsituationen erkennen, sprachlich ausdrücken und darstellen können (vgl. ebd., S.11). Hier bietet es sich beispielsweise an, eine Einkaufssituation zu untersuchen, um daran die Beziehung von Menge und Preis zu erforschen. Bei Fermi- Aufgaben tritt das Entdecken von Mustern und Strukturen gerade im Bereich des innermathematischen Lösens hervor. SuS müssen oft mit großen Zahlen umgehen. Die Kinder haben Gelegenheit und Zeit, gemeinsam einen geschickten Rechenweg (etwa durch gegensinniges Verändern) zu finden. Der Blick auf Zusammenhänge, Muster und Strukturen wird so geschult (vgl. Walther 2012, S. 81).
2.2 Entwicklung prozessbezogener Kompetenzen beim Sachrechnen
Beim Problemlösen sollen die SuS ihre „mathematischen Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten bei der Bearbeitung problemhaltiger Aufgaben anwenden, Lösungsstrategien entwickeln und nutzen […] [sowie] Zusammenhänge erkennen, nutzen und auf ähnliche Sachverhalte übertragen“ (KMK 2004, S. 7). Die SuS lernen dabei, auch herausfordernde Probleme in Angriff zu nehmen und einen eigenen Weg zu finden, diese mit den ihnen zur Verfügung stehenden Fähigkeiten und Fertigkeiten zu lösen. Gerade durch den Austausch mit anderen wird die Aufgeschlossenheit für und Suche nach besonders geschickten Lösungsmöglichkeiten angeregt (vgl. Walther 2012, S. 84). Außerdem erkennen die Kinder den Nutzen der Mathematik bei der Bewältigung von Problemsituationen. Da Probleme sich in der Regel aus Sachsituationen ergeben, sind das Sachrechnen im Allgemeinen und Fermi- Aufgaben im Speziellen besonders bedeutsam für die Entwicklung von Problemlösekompetenz.
Es ist wichtig, dass die SuS „ihr eigenes Vorgehen mitteilen und die Gedanken anderer Kinder nachvollziehen“ (Franke 2010, S. 28) und somit Kompetenzen im Kommunizieren über mathematische Zusammenhänge erwerben (vgl. KMK 2004, S. 8). Um diese Kompetenzen zu fördern bieten sich Gruppenarbeitsphasen und die Ergebnispräsentation vor den anderen Gruppen an. Eine anregende Gesprächsgrundlage kann sehr gut durch ansprechende Fermi- Aufgaben geschaffen werden.
Daran anschließend ist Argumentieren bedeutsam, nämlich dass Kinder lernen, eigene und fremde Ergebnisse kritisch zu hinterfragen, mathematische Aussagen auf Plausibilität zu überprüfen und Vermutungen über mathematische Zusammenhänge anzustellen (vgl. ebd., S.8). Besonders Fermi- Aufgaben provozieren unterschiedliche Ergebnisse, über die diskutiert werden kann.
Gerade in Bezug auf Fermi-Aufgaben möchte ich außerdem die Förderung der Modellierungskompetenz beim Sachrechnen hervorheben. Die SuS sollen aus Darstellungen von Alltagssituationen relevante Informationen filtern, Sachprobleme mathematisch darstellen, lösen und diese Lösungen wieder in die Ausgangssituation tragen (vgl. ebd., S.8). Ausgangspunkt im Mathematikunterricht müssen von Beginn an offene, realitätsbezogene Aufgaben sein (vgl. Maaß 2009, S.25). Den Kindern muss ausreichend Zeit zur Verfügung gestellt werden, sich mit der Sachsituation auseinanderzusetzen, Vorerfahrungen bewusst zu machen, die Situation zu strukturieren und das Problem zu erkennen (vgl. ebd., S.31). Anschließend können eigene Fragen gestellt werden, auf deren Grundlage eine Auseinandersetzung erfolgt. Dabei wird das Realmodell, d.h. die vereinfacht und strukturiert dargestellte Situation, in ein mathematisches Modell überführt. Mit geeigneten Rechenoperationen werden die Fragestellungen mathematisch gelöst und im Nachhinein wieder auf die Sachsituation bezogen. Nun muss das Ergebnis auf Plausibilität überprüft werden (vgl. ebd., S.24). Modellieren kann als sehr anspruchsvoll und fehleranfällig angesehen werden, da wie beschrieben viele Teilkompetenzen benötigt werden. Außerdem sollen die SuS in der Lage sein, selbst Sachaufgaben zu erfinden (vgl. KMK 2004, S.8). Da Fermi- Aufgaben immer Modellierungsaufgaben sind, kann beispielsweise ein Erfinderwettbewerb durchgeführt werden, wenn die Kinder mit Fermi- Aufgaben ausreichend vertraut sind (vgl. Bongartz 2012, S. 149).
Um mathematische Probleme zu lösen, müssen Kinder sich mit Darstellungen auseinandersetzen (vgl. KMK 2004, S. 8). Dies ist unter anderem erforderlich, wenn die SuS sich die beschriebene Situation grafisch in einer Skizze oder in einer Beschreibung mit eigenen Worten festhalten. Außerdem müssen beispielsweise bei Fermi- Aufgaben Daten recherchiert oder erhoben werden, wobei geeignete Darstellungen gewählt und diese zumeist Tabellen und Diagramme anschließend erstellt oder erlesen werden müssen.
3 Wie viel Lebenszeit verbringt ein Mensch schlafend?
Da das Thema Zeit bereits in Klassenstufe 1/2 im Lehrplan für Mathematik in Sachsen auftaucht und in der Regel in der zweiten Klasse besprochen wird, kann die Aufgabe ab diesem Zeitpunkt eingesetzt werden. Je nach Zeitpunkt des Einsatzes und Vorkenntnissen der SuS müssen gegebenenfalls Hilfen ausgewählt werden.
3.1 Vorbereitung
Bevor eine Lehrperson eine Fermi- Aufgabe im Unterricht stellt, muss sie Vorüberlegungen treffen. So sollte die Lehrkraft bedenken, welche Begriffe oder Sachinhalte sie mit den Kindern vorher besprechen, welches Material sie bereitstellen und welche Räume und Orte sie den SuS zugänglich machen muss (vgl. Bongartz 2012, S. 148). Außerdem sollten LuL sich Gedanken darüber machen, welche Ideen die Kinder haben könnten, um gegebenenfalls entsprechendes Material bereitzuhalten oder Hilfestellungen leisten zu können (vgl. ebd., S.148). Wie bereits erwähnt, bietet es sich an, Fermi- Aufgaben in Kleingruppen bearbeiten zu lassen, damit sich die SuS gegenseitig helfen und ihre Kommunikationskompetenzen sowohl in der Gruppen- als auch in der Präsentations- und Diskussionsphase erweitern können. Speziell in Bezug auf die Klasse muss die Lehrperson entscheiden, welche Gruppengröße und -zusammensetzung sinnvoll ist und welche Hilfen bereitgehalten werden, falls SuS keine eigenen fruchtbaren Ideen entwickeln (vgl. ebd., S.148).
3.2 Vorgehen
LuL sollten zunächst eine Einführung in die Situation schaffen. So kann die Lehrperson beispielsweise erzählen, wann sie abends zu Bett ging, wie früh am Morgen sie aufstehen musste und was sie noch tun muss, weil sie es abends vor dem Schlafen nicht mehr geschafft hat. An dieser Stelle sollten die Kinder und ihre Vorerfahrungen einbezogen werden. Erfahrungsgemäß werden sich einige Kinder zu Wort melden. An geeigneter Stelle sollte die Lehrperson die Aufgabe stellen. Hier muss sichergestellt werden, dass alle Begriffe einzeln und die Frage insgesamt verstanden wurden. Aufgrund des vorangegangenen Gesprächs wird die überwiegende Anzahl der Kinder sicherlich motiviert sein, sich dem Problem zuzuwenden. Je nachdem wie erfahren die Klasse mit offenen, komplexen Aufgaben ist, können erste Ideen noch gemeinsam gesammelt oder die Kinder sofort in die Gruppen eingeteilt werden. Wichtig ist es, die Kinder vor der Gruppenarbeitsphase auf Verhaltensregeln hinzuweisen und darauf, dass das Vorgehen für die anschließende Präsentation- und Diskussionsrunde festgehalten werden soll. Dazu können beispielsweise Plakate zur Verfügung gestellt werden.
In den Gruppen sollten die SuS erst einmal in Ruhe arbeiten können. LuL neigen dazu, Hilfen zu früh anzubieten (vgl. Maaß 2009, S. 38). Falls sich aber herausstellt, dass Unterstützung tatsächlich benötigt wird, bietet es sich an zu fragen, welche Größen und Zahlen hier gesucht und wie diese ermittelt werden können (vgl. Bongartz 2012, S. 149). Haben die Kinder keine Ideen hierzu, kann die Lehrkraft ihnen den Tipp geben, an ihr eigenes Schlafverhalten zu denken. In der Regel ist den Kindern bekannt, wann sie schlafen gehen und wieder aufstehen müssen. Bei Bedarf kann auch in Büchern aus der Klassenbibliothek, im Sachunterrichtsbuch oder auf geeigneten Kinderseiten im Internet recherchiert oder es können Mitschüler befragt werden. Bleiben die SuS an fortgeschrittener Stelle im Modellierungsprozess hängen, sollten die Lehrperson dazu auffordern, sich bewusst zu machen, was schon herausgefunden wurde, was schon berechnet werden kann beziehungsweise konnte und was nun noch in Erfahrung gebracht werden muss (vgl. ebd., S.149). Hat die Gruppe bereits ein Endergebnis gefunden, sollten sie überprüfen, ob dieses sinnvoll ist und für die anderen nachvollziehbar dargestellt wurde.
Nach etwa 20 Minuten Arbeitszeit in den Gruppen kann in die Präsentations- und Diskussionsphase übergegangen werden. Hier bietet sich die Gelegenheit, die Kinder auf lautes, deutliches Sprechen sowie leises und aufmerksames Verhalten als Zuhörer hinzuweisen. Einige Gruppen stellen ihr Ergebnis vor und erläutern ihre Annahmen und ihre Vorgehensweise. Die Zuhörer haben die Aufgabe, kritisch zu hinterfragen, ob die Annahmen plausibel, die Vorgehensweisen logisch und die Ergebnisse glaubhaft erscheinen. Gegebenenfalls sollen sie Rückfragen stellen und so die Gedanken der vorstellenden Gruppe nachvollziehen. Oftmals können Kinder aus Gruppen, deren Ergebnis plausibel ist, den Kindern aus Gruppen, deren Ergebnis nicht plausibel ist, aufzeigen, wo das Problem liegt. Meist erkennen SuS ohne plausibles Ergebnis das Problem auch selbst, während plausible Ergebnisse vorgetragen werden. Ein Eingreifen der Lehrkraft ist sicherlich nur selten erforderlich.
Ein plausibles Ergebnis wäre beispielsweise 26 Jahre. Wenn man davon ausgeht, dass ein Mensch bis zum sechsten Geburtstag etwa 12 Stunden pro Tag schläft, was annehmbar ist, da Säuglinge noch wesentlich mehr und beispielsweise fünfjährige Kinder meist weniger schlafen, so sind es bei 365 Tagen pro Jahr (ohne Berücksichtigung von Schaltjahren) schon 26280 Stunden. Veranschlagt man vom sechsten bis zum 18. Geburtstag etwa 10 Stunden pro Tag, so kommen 43800 Stunden hinzu. Danach schläft ein Mensch circa sieben Stunden pro Tag. Wenn ein Mensch etwa 80 Jahre alt wird, sind das noch einmal 158410 Stunden. Addiert man diese Werte und rechnet sie in Jahre um, ergibt sich der oben genannte Wert. Auch wenn Kinder das unterschiedliche Schlafverhalten nach Alter nicht mit berücksichtigen, wäre das Ergebnis meiner Meinung nach als plausibel zu werten, falls sie von einer realistischen eigenen Schlafdauer sowie einer glaubhaften Annahme bezüglich der Länge eines Lebens ausgehen und die Umrechnungen richtig ausführen.
3.3 Potenziale
Konkret bei dieser Aufgabe besteht neben der Entwicklung der oben beschriebenen prozessorientierten Kompetenzen vor allem die Möglichkeit in den Inhaltsbereichen Größen und Messen sowie Zahlen und Operationen zu arbeiten. Die Kinder bauen ihr Stützpunktwissen zum Thema Zeit aus, indem sie sich über die Schlafdauer Gedanken machen. Sie trainieren Umrechnungen von Stunden in Jahre, da die Angabe in Jahren zur Beantwortung dieser Aufgabe am besten geeignet ist. Bei den Umrechnungen nehmen die Kinder sicherlich den Weg über Tage und eventuell Monate, um zu Jahren zu kommen. Somit werden auch diese Umrechnungen und das Wissen darüber, wie viele Tage ein Jahr beziehungsweise ein Monat und wie viele Stunden ein Tag beinhaltet, erlernt oder wiederholt und gefestigt. Bei dieser Aufgabe sind die Rechenoperationen Addition und Division erforderlich, die ebenfalls geübt werden.
Außerdem bietet das Thema Lebensweltbezug und kann gegebenenfalls im Sachunterricht erneut aufgegriffen werden. Themenorientiertes und fächerübergreifendes Arbeiten wird so wie bei vielen Fermi- Aufgaben ermöglicht (vgl. Maaß 2009, S. 54).
Für leistungsschwächere Kinder bietet sich insbesondere die Chance „Lösungsansätze [zu] wagen, weil sie wissen, dass es kein einfaches ‚richtig‘ oder ‚falsch‘ gibt“ (Witzel 2015, S.11). So trauen sie sich mehr zu und können über sich hinauswachsen. Gerade bei dieser Aufgabe ist es auch möglich, zunächst mit dem Zählen zu beginnen und erst nach einiger Zeit Zusammenhänge zu erkennen und dann zu rechnen. Auch ist es nicht falsch, das Ergebnis in Stunden anzugeben und sich dann im Austausch die Umrechnungen erklären zu lassen.
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- Arbeit zitieren
- Caroline Jantz (Autor:in), 2017, Die Rolle des Sachrechnens und der Fermi-Aufgaben bei der Kompetenzentwicklung im Mathematikunterricht in der Grundschule, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1337733
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