Diese Arbeit untersucht das Führungs- und Störverhalten des zeitdiskreten PI-Reglers und des zeitdiskreten Zustandsreglers mit Kompensation der Rechentotzeit für die Polvorgabe von zr1=0,5 und zr1=0, bei Änderung der Regelstrecken-Parameter der 1-Stromregelstrecke um ± 20%.
Ziel der Untersuchung ist festzustellen, welcher der beiden Regler empfindlicher auf die Veränderung der Regelstrecken-Parameter reagiert. Hierbei soll herausgefunden werden wie und in welchen Bereichen sich die Polstellen der Führungs- und Störübertragungsfunktion im Pol-Nullstellen Diagramm bewegen.
Inhalt
1 Einleitung
2 Aufgabenstellung
3 MATLAB und Simulink
3.1 MATLAB
3.1.1 Simulink
4 Die PT1 — Stromregelstrecke
4.1 Beschreibung der PT1 — Stromregelstrecke am Beispiel der Gleichstrommaschine für den Zeitbereich
4.2 Beschreibung der Stromregelstrecke der Gleichstrom- und Synchronmaschine für den Zeitdiskreten-Bereich
5 Stromregler-Entwurf nach dem Betragsoptimum
5.1 Einstellparameter für den PI-Regler nach dem Betragsoptimum im Zeitkontinuierlichen Bereich für die PTl-Stromregelstrecke mit Stromrichter als PTl-System
5.1.1 Pol-Lage des geschlossenen Regelkreises mit dem PI-Regler
5.1.2 Pol-Winkel und Dämpfungsfaktor
5.1.3 Regelverhalten des PI-Reglers bei Führung und Störungen
5.1.3.1 Regelverhalten des PI-Reglers bei Führung
5.1.3.2 Fazit
5.1.3.3 Regelverhalten des PI-Reglers bei Störungen und Störgrößenaufschaltung
5.1.3.4 Fazit
5.2 Herleitung des Zeitdiskreten PI-Reglers
5.2.1 Einstellparameter für den PI-Regler nach dem Betragsoptimum im Zeitdiskreten Bereich für die PTl-Stromregelstrecke mit idealem Stromrichter
5.2.2 Regelverhalten des Zeitdiskreten PI-Regler bei Führung und Störungen
5.2.2.1 Regelverhalten des zeitdiskreten PI-Reglers bei Führungen
5.2.2.2 Die Führungsübertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises mit dem Zeitdiskreten PI-Regler
5.2.2.3 Fazit
5.2.2.4 Regelverhalten des zeitdiskreten PI-Reglers bei Störungen und Störgrößenaufschaltung
5.2.2.5 Fazit
5.2.2.6 Regler-Windup und Stellgrößenbeschränkung
5.2.2.7 Zeitdiskreter PI-Regler mit Anti-Windup-Struktur
5.3 Zeitdiskreter Zustandsregler mit Kompensation der Rechentotzeit eines Abtastintervalls.
5.3.1 Regelverhalten des Zeitdiskreten Zustandsregler mit Rechentotzeit bei Führung und Störungen
5.3.1.1 Regelverhalten des Zeitdiskreten Zustandsregler mit Rechentotzeit bei Führung...
5.3.1.2 Die Führungsübertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises mit dem Zeitdiskreten Zustandsregler mit Rechentotzeit
5.3.1.3 Fazit
5.3.1.4 Regelverhalten des Zeitdiskreten Zustandsregler mit Rechentotzeit bei Störungen und Störgrößenaufschaltung
5.3.1.5 Fazit
5.3.2 Zeitdiskreter Zustandsregler mit Anti-Windup-Struktur
6 Lage der Pole der Führungsübertragungsfunktion und Störübertragungsfunktion bei Veränderung der Regelstrecken-Parameter der PTl-Stromregelstrecke im zeitdiskreten-Bereich
6.1 Lage der Pole der Führungsübertragungsfunktion und Störübertragungsfunktion mit den zeitdiskreten PI-Regler bei Veränderung der Regelstrecken-Parameter der PTl-Stromregelstrecke
6.1.1 Lage der Pole der Führungsübertragungsfunktion Gwz bei Änderung von Ra und La um +20%
6.1.1.1 Fazit:
6.1.2 Lage der Pole der Führungsübertragungsfunktion Gwz bei Änderung von La um +20%.
6.1.2.1 Fazit
6.1.3 Lage der Pole der Führungsübertragungsfunktion Gwz bei Änderung von Ra um +20%.
6.1.3.1 Fazit
6.1.4 Lage der Pole der Stör-Übertragungsfunktion GUiz bei Änderung von Ra und La um +20%
6.1.4.1 Fazit
6.1.5 Lage der Pole der Stör-Übertragungsfunktion GUiz bei Änderung von La um +20%.
6.1.5.1 Fazit
6.1.6 Lage der Pole der Stör-Übertragungsfunktion GUiz bei Änderung von Ra um + 20%
6.1.6.1 Fazit
6.2 Lage der Pole der Führungsübertragungsfunktion und Störübertragungsfunktion mit den zeitdiskreten Zustandsregler mit Rechentotzeit bei Veränderung der Regelstrecken-Parameter der PTl-Stromregelstrecke
6.2.1 Lage der Pole der Führungsübertragungsfunktion Gwz für die Polvorgabe zRl = 0. 5 bei Änderung von Ra und La um +20
6.2.1.1 Fazit
6.2.2 Lage der Pole der Führungsübertragungsfunktion Gwz für die Polvorgabe zRl = 0. 5 bei Änderung von La um +20%
6.2.2.1 Fazit
6.2.3 Lage der Pole der Führungsübertragungsfunktion Gwz für die Polvorgabe zRl = 0. 5 bei Änderung von Ra um +20%
6.2.3.1 Fazit
6.2.4 Lage der Pole der Führungsübertragungsfunktion Gwz für die Polvorgabe zRl = 0 bei Änderung von Ra und La um +20
6.2.4.1 Fazit
6.2.5 Lage der Pole der Führungsübertragungsfunktion Gwz für die Polvorgabe zRl = 0 bei Änderung von La um +20%
6.2.5.1 Fazit
6.2.6 Lage der Pole der Führungsübertragungsfunktion Gwz für die Polvorgabe zRl = 0 bei Änderung von Ra um +20%
6.2.6.1 Fazit
6.2.7 Lage der Pole der Stör-Übertragungsfunktion GUiz für die Polvorgabe zRl = 0. 5 bei Änderung von Ra und La um +20%
6.2.7.1 Fazit
6.2.8 Lage der Pole der Stör-Übertragungsfunktion GUiz für die Polvorgabe zRl = 0. 5 bei Änderung von La um +20%
6.2.8.1 Fazit
6.2.9 Lage der Pole der Stör-Übertragungsfunktion GUiz für die Polvorgabe zRl = 0. 5 bei Änderung von Ra um +20%
6.2.9.1 Fazit
6.2.10 Lage der Pole der Stör-Übertragungsfunktion GUiz für die Polvorgabe zRl = 0 bei Änderung von Ra und La um +20%
6.2.10.1 Fazit
6.2.11 Lage der Pole der Stör-Übertragungsfunktion GUiz für die Polvorgabe zRl = 0 bei Änderung von La um +20%
6.2.11.1 Fazit
6.2.12 Lage der Pole der Stör-Übertragungsfunktion GUiz für die Polvorgabe zRl = 0 bei Änderung von Ra um +20%
6.2.12.1 Fazit
6.2.13 Direkter Vergleich der Führungsübertragungsfunktion zwischen den zeitdiskreten PI- Regler und den zeitdiskreten Zustandsregler mit Kompensation der Rechentotzeit bei Veränderung der Regelstrecken-Parameter der PTl-Stromregelstrecke
6.2.13.1 Gesamtfazit
7 Matlab-Programme zu Kapitel 6
8 Abbildverzeichnis
9 Literaturverzeichnis
1 Einleitung
Bei dieser Arbeit handelt sich um eine Studienarbeit an der Hochschule Heilbronn der Fakultät Mechanik und Elektronik im Bachelor-Studiengang Elektronik- und Informationstechnik.
2 Aufgabenstellung
Untersucht werden soll das Führungs- und Störverhalten des zeitdiskreten PI-Reglers und des zeitdiskreten Zustandsreglers mit Kompensation der Rechentotzeit für die Polvorgabe von zr1=0,5 und zr1=0, bei Änderung der Regelstrecken-Parameter der Pl^ -Stromregelstrecke um + 20%.
Ziel der Untersuchung ist festzustellen, welcher der beiden Regler empfindlicher auf die Veränderung der Regelstrecken-Parameter reagiert. Hierbei soll herausgefunden werden wie und in welchen Bereichen sich die Polstellen der Führungs- und Störübertragungsfunktion im Pol-NullstellenDiagramm bewegen.
3 MATLAB und Simulink
3.1 MATLAB
MATLAB ist eine Software des US-Unternehmens The MathWorks für die Lösung von mathematischen Problemen mittels numerischer Berechnung auf der Basis von Matrizenrechnung.
3.1.1 Simulink
Simulink ist eine Software zur grafischen Programmierung von Simulation mittels Signalflussbilder von zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Systemen anhand deren Differenzialgleichungen und Differenzengleichung. Simulink ist ein Teil von MATLAB und benötigt daher für die Ausführung der Simulationen die MATLAB-Programmierumgebung.
4 Die PT1 —Stromregelstrecke
4.1 Beschreibung der PTl — Stromregelstrecke am Beispiel der Gleichstrommaschine für den Zeitbereich
Aus dem Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine wird die Übertragungsfunktion der Gleichstrommaschine für den Bildbereich abgeleitet, in dem die Differenzialgleichung für den Ankerstrom iA im Zeitbereich aufgestellt wird und diese anschließend durch die LaplaceTransformation in den Bildbereich transformiert wird. Da die Synchronmaschine durch das gleiche Ersatzschaltbild beschrieben ist, gelten für diese somit dieselben Übertragungsfunktionen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Notazion:
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Der Ankerstrom berechnet sich über das Integral der Zeit an der Spannung der Ankerspule und ist wie folgt definiert:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Nun wird der Ankerstrom nach der Zeit abgeleitet, sodass die Konstante und dass Integral entfallen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Maschengleichung wird wie in Abb. 3.1 eingezeichnet aufgestellt und nach der Spulenspannung ULA(t) umgestellt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Gleichung (4.3) für die Spulenspannung ULA(t) wird in die Gleichung (4.2) für die Ableitung des
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Ankerstrom — lA (t) eingesetzt. Somit ergibt sich folgende zu lösende Differenzialgleichung:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Das Blockschaltbild dieser Differenzialgleichung sieht folgendermaßen aus:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2:Signalflussplan der Gleichstrommaschine im Zeitkontinuierlichen-Bereich
Die Differenzialgleichung aus Gleichung (4.4) wird durch die Anwendung der Laplace -Transformation aus dem Zeitbereich in den Bildbereich transformiert.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Es ergibt sich folgende Gleichung für den Bildbereich, welche noch umgestellt wird, um die Übertragungsfunktion zu bilden
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Es ergibt sich somit die Übertragungsfunktion G(s) der Gleichstrommaschine im Bildbereich
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Übertragungsfunktion G{S) der Gleichung (4.7) wird mit — im Zähler und Nenner erweitert, um r a ein PT-].-System zu erhalten.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Nun erfolgt ein Koeffizientenvergleich von G(s) mit dem P^-System in allgemeiner Form.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Abbildung4.3 zeigt das Übertragungsverhalten eines Pl^ -System im Zeitbereich und die Poll-Lage in der s-Ebene.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 3: Allgemeine Übertragungsfunktion und Pol-Nullstellenlage in der s-Ebene eines PT1-Systems [1]
Abbildung 3 zeigt das der Poll der PT-^ -Strecke für alle Zeitkonstanten immer auf der linken Seite der s-Ebene liegt, somit ist die Strecke immer stabil.
Eine Dimensionsanalyse der Zeitkonstante von G(s) bestätigt die Richtigkeit der Herleitung, da die SI-Einheiten sich gegenseitig so kürzen, dass nur die SI-Einheit für die Zeitkonstante übrig bleib.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Nun wird die Sprungantwort bzw. Zeitfunktion lA (t) gebildet, in dem die Übertragungsfunkton G(s) mit einem Sprung angeregt wird. Zudem wird die Impulsantwort dazu addiert um den Anfangswert von lA (0) mit einzuberechnen, da dieser Anfangswert für die später im Kapitel erläuterten zeitdiskreten Übertragungsfunktionen benötigt wird. Diese Funktion werden anschließend mit der Inversen Laplace-Transformation vom Bildbereich in den Zeitbereich transformiert. Die Sprungfunktion stellt dabei die anliegende Ankerspannung abzüglich der induzierten Gegenspannung dar, die als Zeitfunktion AU(t) den Führungssollwert für den geschlossenen Regelkreis der Gleichstrommaschine wie in Abb.3.2 dargestellt vorgibt.
Zeitfunktion des Führungssollwert:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Laplace-Transformierte des Führungssollwerts:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Es wird die Ausgangsgröße IA (s) im Bildbereich gebildet.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
/x(0) entspricht dabei der Anregung von G(s) mit einem Dirac-Impuls mit Vernachlässigung des Vorfaktor da der Anfangswert von lA (0) — 0 angenommen wird.
Die Anregung der Übertragungsfunktion mit einem Sprung im Bildbereich
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Gleichung (4.14) und (4.15) werden in (4.13) eingesetzt und die inverse Laplace-Transformation angewendet.
Es ergibt sich folgende Zeitfunktion für lA (t) •
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der Anfangswert iA (0) = 0 wird angenommen, daher ergibt sich folgende Zeitfunktion für lA (t).
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Untere Abbildung zeigt den Graphen der Zeitfunktion lA (t) im Zeitkontinuierlichen-Bereich
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Abbildung 4: Zeitfunktion des Ankerstroms der Gleichstrommaschine
4.2 Beschreibung der Stromregelstrecke der Gleichstrom- und Synchronmaschine für den Zeitdiskreten-Bereich
Aus der Zeitfunktion des Ankerstroms im Zeitkontinuierlichen-Bereich der Gleichung (4.17), wird die Differenzengleichung des Ankerstroms für den Zeitdiskreten-Bereich gebildet, indem für die Zeitvariable t die Abtastvariable T, welche die Abtastzeit des abgetasteten Systems repräsentiert, eingesetzt wird. Diese Differenzengleichung wird dann durch die Anwendung der Z-Transformation vom Zeitkontinuierlichen-Bereich in den Zeitdiskreten Bereich transformiert.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Für die Zeitvariable t wird die Abtastvariable T eingesetzt. Der Anfangswert für den Ankerstrom wird zu iA (t = 0) angenommen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Darauf ergibt sich folgende Differenzengleichung:
Zur besseren Übersicht werden folgende Abkürzungen vereinbart und das Verzögerungsglied z erster Ordnung für die benötigte Z-Transformation eingefügt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Es ergibt sich folgende vereinfachte Differenzengleichung für den Ankerstrom:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Das Blockschaltbild dieser Differenzengleichung sieht folgendermaßen aus:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 5:Signalflussplan der Gleichstrommaschine im Zeitdiskreten-Bereich
Die Abbildung 6 zeigt die Zeitfunktion des Ankerstroms der Gleichstrommaschine im Zeitkontinuierlichen-Bereich und im Zeitdiskreten-Bereich
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 6: Ankerstrom der Gleichstrommaschine im Zeitkontinuierlichen- und Zeitdiskreten-Bereich
Nun wird die Gleichung (4.22) durch die Anwendung der Z-Transformation vom Zeitbereich ins Zeitdiskrete-Bereich transformiert.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Es ergibt sich folgende Gleichung für den Zeitdiskreten-Bereich, welche noch umgestellt wird, um die Übertragungsfunktion zu bilden.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Es ergibt sich somit die Übertragungsfunktion G(z) der Gleichstrommaschine für den ZeitdiskretenBereich.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Poll-Lage von G(z) berechnet sich in der z-Ebene wie folgt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 7 zeigt die Poll-Lage von G(z) in der z-Eben. Die Strecke ist stabil solange der Pol sich im
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 7: Poll-Lage der Übertragungsfunktion G(z) der Gleichstrommaschine in der z-Ebene
Die Lage des Polls a von G(z) ist abhängig von der Funktion ë T[1]. Dieser rein reeller Poll kann nicht genau den Nullwert auf der Z-Ebene erreichen.
Er kann jedoch nahe Null liegen da gilt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Das kann natürlich nicht erreicht werden, da .
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der Poll kann auch nicht genau auf Eins liegen, sondern nur nahe Eins, da gilt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Das kann natürlich nicht erreicht werden, da .
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Somit ergibt sich eine mögliche Poll-Lage von a im Bereich:
0<a<l In der Praxis jedoch liegt der Poll a von G(z) nahe Eins, da für abgetastete Systeme das Shannonsche Abtasttheorem nicht verletzt werden darf und eine möglichst kleine Abtastperiode T für schnelle Regelvorgänge erwünscht ist. Daher gilt:
Somit ergibt sich für die Poll-Lage a von G(z) für kleine Abtastperiode T:
5 Stromregler-Entwurf nach dem Betragsoptimum
In der Regelung soll die Regelgröße y(t) möglichst zeitlich genau der Führungsgröße w(t) entsprechen. Durch die Anwendung von Optimierungsverfahren soll dies erreicht werden, indem die Einstellparameter des Reglers nach den Kriterien der Verfahren ausgelegt werden.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 8:Allgemeiner Blockschaltbild eines geschlossenen Regelkreises
Das Betragsoptimum basiert auf den Frequenzgang des geschlossenen Regelkreises Gw(jw') und ist anwendbar bei Proportionalsysteme beliebiger Ordnung, die nicht schwingungsfähig sind, also keine Komplexe konjungierte Pole besitzen, falls doch müssen diese ausreichend gedämpft werden. Ziel ist es ein ideales Übertragungsverhalten des geschlossenen Regelkreises von Eins zu erhalten und dies möglichst über eine lange Bandbreite zu halten. Dadurch wird ein gutes Einschwingverhalten erreicht. Untere Abbildung zeigt eine Skizze des Bodediagramms, welche das erwünschte Verhalten des geschlossenen Regelkreises Gw(jw') nachdem Betragsoptimum aufweist.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 9:erwünschtes Führungsverhalten des geschlossenen Regelkreises Gw(jw) nach dem Betragsoptimum
Der Offene Regelkreis G0(s) ist wie folgt definiert:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Daraus ergibt sich für den geschlossen Regelkreis Gw(s) :
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Um vom Bildbereich in den Frequenzbereich überzugehen wird die Laplace-Variable ersetzt durch: s=jw^Gw(j'w) (5.3)
Nach den Optimierungskriterium des Betragsoptimum gilt:
Jedoch kann dieser Wert nie erreicht werden da gilt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Es kann daher nur näherungsweise ein ideales Übertragungsverhalten von Eins erreicht werden.
5.1 Einstellparameter für den PI-Regler nach dem Betragsoptimum im
Zeitkontinuierlichen-Bereich für die P7x-Stromregelstrecke mit Stromrichter als PT1- System
Es wird zur Regelstrecke ein Stromrichter hinzugefügt, welches ein PT-^ — Übertragungsverhalten aufweist mit der Zeitkonstante Tt. Dadurch ergibt sich für die Regelstrecke ein PT2-System mit zwei unterschiedliche Zeitkonstanten. Bei der Bildung des offenen Regelkreises wird die dominante Zeitkonstante T1 der Regelstecke kompensiert, indem die Nachstellzeit TN des PI-Regler gleichgesetzt wird mit der Zeitkonstante TA der PT-].-Stromregelstrecke. Aufgrund der Kompensierung ist es nicht notwendig vom Bildbereich in den Frequenzbereich zu wechseln, da die Nachstellzeit TN des PI-Regler schon bestimmt worden ist, somit kann gleich der geschlossene Regelkreis Gw(s) gebildet werden. Eine Realisierungstabelle für den Koeffizientenvergleich entfällt somit. Der geschlossene Regelkreis Gw(s) entspricht nach einer dementsprechenden Umformung der Übertragungsfunktion eins PP2- Systems. Somit wird dieser mit dem Lehrschen-Dämpfungsmaß verglichen. Durch einen Koeffizientenvergleich lassen sich dann die Dämpfung d und die Eigenfrequenz m des geschlossenen Regelkreises Gff(s) bestimmen. Ebenso werden Formeln zur Bestimmung der Poll-Lage von Gw(s) abgeleitete. Zudem wird in diesem Teilkapitel aufgezeigt, dass alle komplexe Pole mit dem gleichen Winkel die gleiche Dämpfung besitzen.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Übertragungsfunktion der PPi-Stromregelstrecke lautet hier:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Übertragungsfunktion des Stromrichters sieht folgendermaßen aus:
Daraus ergibt sich die Regelstecke Gs(s").
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 10 zeigt den geschlossenen Regelkreis.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 10:geschlossener Regelkreis der PT1-Stromregelstrecke mit PI-Regler und Stromrichter
Für den PI-Regler gilt dieses Regelgesetz im Zeitkontinuierlichen-Bereich:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Gleichung y(t) wird einmal Nach der Zeit abgeleitet, sodass folgt:
Nun wird die Gleichung Laplace-Transformiert.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Dadurch ergibt sich folgende Gleichung:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 11 zeigt das Blockschaltbild des PI-Reglers.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 11:Signalflussplan des PI-Reglers im kontinuierlichen-Bereich
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der geschlossene Regelkreis G^(s) ergibt sich zu:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Terme (—— i ' (jS't t A) im Nenner werden miteinander ausmultipliziert. Dadurch ergibt sich die Koeffizienten-Schreibweise des Polynoms.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Nun werden der Zähler und Nenner mit dem Term [1] erweitert, um die Normalform des Polynoms im Nenner zu bilden.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Nun wird in Matlab das Bodediagramm der geschlossenen Übertragungsfunktion Gw(s) nach den Einstellungen für den Verstärkungsfaktor KP des PI-Reglers nach der Gleichung 5.17. erstellt für einen Dämpfungsfaktor von 0,707 und 1.
Matlab-Programm zur Erstellung des Bodediagramms von Gw(s):
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 12:Bodediagram des geschlossenen Regelkreises mit PI-Regler und PT1-Stromregelstreck im zeitkontinuierlichen Bereich
Das Bodediagramm der Abbildung 12 zeigt das gewünschte Verhalten nach der Theorie des Betragsoptimum. Der Amplitudengang befindet sich für kleine Dämpfungsfaktoren länger auf dem 0 dB Wert. Dies bedeutet, dass bei kleinen Dämpfungsfaktoren die Regelgröße schneller der Führungsgröße nachkommt als mit einem größeren Dämpfungsfaktor.
5.1.1 Pol-Lage des geschlossenen Regelkreises mit dem PI-Regler
Zur analytischen Bestimmung der Polle wird das Polynom im Nenner von Gw(s) mit der pq-Formel berechnet. Es wird eine Formel hergeleitet zur Lage reeller Polle und eine Formel für komplexe Polle.
Lösung für reelle Pole.
Allgemeine Normalform einer quadratischen Gleichung: (5.18)
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Lösung für die Normalform (pq-Formel) für reelle Ergebnisse:
Das Polynom von Gw(_s') liegt schon in der Normalform da, sodass gleich die pq-Formel eingesetzt wird.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Einsetzen in der pq-Formel ergibt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Nun werden die Brüche unter der Wurzel auf einen gemeinsamen Nenner gebracht.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Es wird nun der Term [1] 7 aus der Wurzel gezogen durch anwenden dieses
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Lösung für komplexe Pole.
Lösung für die Normalform (pq-Formel) für komplexe Ergebnisse: (5.19)
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Analog zur Gleichung (5.18) ergibt sich
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
5.1.2 Pol-Winkel und Dämpfungsfaktor
In diesem Teilkapitel wird aufgezeigt, dass Polle mit dem Gleichen Winkel die Gleiche Dämpfung besitzen.
Allgemeine Normalform einer quadratischen Gleichung: (5.20)
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Das Lehrsche Dämpfungsmaß liegt schon in der Normalform da.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Es wird die Lösung für die Bestimmung der komplexen Polle angewendet in Analogie zu der Gleichung (5.19). Daraus folgt für komplexe Pole:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 13 zeigt die allgemeine Lage der komplexen Polle nach Gleichung (5.20)
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 13: Komplexe Pole in Abhängigkeit der Dämpfung und Eigenfrequenz
Nun wird die Beziehung für den Winkel aaufgestellt.
Für den Winkel a. gilt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Einsetzen der der Terme nach Abbildung 13 für GK und AK ergibt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Es ergibt sich somit:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Es wird nun der Term Vaus der Wurzel gezogen durch anwenden dieses Rechengesetzt: V = Vab ■ h für a, b >=0. Dadurch ergibt sich:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Somit besitzen Pole mit dem gleichen Winkel dieselbe Dämpfung.
5.1.3 Regelverhalten des PI-Reglers bei Führung und Störungen
5.1.3.1 Regelverhalten des PI-Reglers bei Führung
Hier wird nun das Führungsverhalten für drei verschiedene Dämpfungsfaktoren in Simulink simuliert. Es werden die Dämpfungsfaktor für den Schwingfall d=0.5, aperiodischen Grenzfall d=0.707 und der Kriechfall d=1 untersucht. Die Simulationsdauer beträgt 3ms.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 14 zeigt den Regelkreis in Simulink.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 14:Regelkreisstruktur des geschlossen Regelkreises mit dem PI-Reglers für den Zeitbereich
Abbildung 15 zeigt das Führungsverhalten des geschlossenen Regelkreises für einen Führungssollwert von 1 Ampere. Hier sei nochmal darauf hin gewissen, dass es sich bei 7^(7) um den zu regelnden Ankerstrom der PT-^ -Stromregelstrecke handelt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 15:Führungsverhalten des geschlossenen Regelkreises mit PI-Regler im Zeitbereich für unterschiedliche Dämpfungsfaktoren
Abbildung 16 zeigt die benötigte Stellgröße in Volt an für die drei unterschiedlichen Dämpfungsfaktoren, welcher der PI-Regler zur Verfügung stellen muss um die jeweilige Führungsgröße bzw. Ankerstrom iAtt) zu regeln.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 16: Stellgrößenverhalten des geschlossenen Regelkreises mit PI-Regler im Zeitbereich für verschiedene Dämpfungsfaktoren
5.1.3.2 Fazit
Die Führungsgröße erreicht für kleine Dämpfungsfaktoren schneller den Führungssollwert, jedoch steigt mit einem geringeren Dämpfungsfaktor die Überschwingweiter der Führungsgröße an. Zudem wird für kleine Dämpfungsfaktor deutlich mehr Stellgrößenanforderung benötigt. Daher eignet sich für ein schnelles Führungsverhalten mit möglichst geringer Stellgrößenanforderung der Dämpfungsfaktor von 0.707.
5.1.3.3 Regelverhalten des PI-Reglers bei Störungen und Störgrößenaufschaltung
Hier wird nun das Führungsverhalten beim Eintritt einer Störung für die drei verschiedene Dämpfungsfaktoren in Simulink untersucht. Die Störspannung beträgt 10 V und tritt nach 1.2ms sprungartig ein. Die Simulationsdauer beträgt 3ms. Zuerst wird jedoch die Störübertragungsfunktion GUt(s) für die Störspannung Ui(s)gebi\det und analysiert. Bei der Analyse der Störübertragungsfunktion wird ersichtlich, dass die Dominante Zeitkonstante T1 der PTr- Stromregeltrecke nicht kompensiert wird, sodass dies dazu führen wird, dass die Führungsgröße des geschlossenen Regelkreises beim Eintritt der Störspannung U[ lange benötigt, um wieder den Führungssollwert zu erreichen. Durch eine Störgrößenaufschaltung wird dieses Problem behoben.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 17: geschlossener Regelkreis der PT1-Stromregelstrecke mit PI-Regler, Stromrichter und Störspannung
Die Störübertragungsfunktion Guffs') berechnet sich folgendermaßen.
Es sei darauf hingewiesen, dass für die Störübertragungsfunktion der Führungssollwert IATV(s) keine Rolle spielt und daher zu Null gesetzt wird.
Für den Ausgangsignal IA(s) gilt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Ausmultiplizieren und umstellen ergibt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Daraus ergibt sich für die Gleichungen aus (5.6), (5.7), (5.10):
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Für KP gilt die Gleichung (5.17) und für die Nachstellzeit des PI-Reglers TN = Tlf sodass daraus folgt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Nach der Kürz ergibt sich Folgende Störübertagungsfunktion:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Gleichung (5.23) zeigt, dass die dominante Zeitkonstante der PT^ — Stromregelstrecke nicht kompensiert wird, sodass dies dazu führt, dass die Führungsgröße beim Eintritt einer Störspannung lange benötigt, um diese auf den Führungssollwert zu regeln.
Für die Darstellung in Simulink wird die Störübertragungsfunktion GUi^s) der Gleichung (5.24) in Koeffizienten-Darstellung umgeformt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Störübertragungsfunktion der Gleichung (5.13) wird nun in Simulink mit der Regelstruktur der Abbildung 18 für dieselbe Störspannung und Dämpfungsfaktor verglichen. Dabei wird der Führungssollwert IATV = 0 gesetzt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 18:Regelkreisstruktur des geschlossenen Regelkreises mit PI-Regler und Störspannung für den Zeitbereich
Diese Gleichung wird nun mit [1] auf beiden Seiten erweitert.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Daraus ergibt sich dann die Übertragungsfunktion des PI-Reglers.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
[...]
- Quote paper
- Ersan Ibrahimi (Author), 2019, Untersuchung des Führungs- und Störverhalten mit einem zeitdiskreten PI-Regler und mit einem zeitdiskreten Zustandsreglers, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/1330392
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