Untersuchungen zur numerischen Modellierung von Hohlkastenbrücken in Massivbauweise

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

1 Einleitung
1.1 Erläuterung der Profilverformung
1.2 Vorgaben der Norm zur Berücksichtigung der Profilverformungen
1.3 Zielsetzung
1.4 Vorgehensweise

2 Besonderheiten des Hohlkastenträgers
2.1 Anwendungsbereich von Hohlkastenträgem im Brückenbau
2.2 Einfluss der Querschnittsform auf die Profilverformungen

3 Schnittgrößenermittlung mithilfe von Handrechenverfahren
3.1 Auflistung einiger Handrechenverfahren
3.2 Verfahren nach Lindlar
3.2.1 Funktionsweise des Verfahrens
3.2.2 Berechnung nach dem Verfahren von Lindlar
3.2.3 Ergebnisse aus dem Verfahren nach Lindlar
3.3 Verfahren nach Schlaich und Scheef
3.3.1 Funktionsweise des Verfahrens
3.3.2 Berechnung nach dem Verfahren von Schlaich und Scheef
3.3.3 Ergebnisse aus dem Verfahren nach Schlaich und Scheef
3.4 Verfahren nach Steinle
3.4.1 Funktionsweise des Verfahrens
3.4.2 Problematik des Verfahrens nach Steinle

4 Verifizierung der Handrechenverfahren mithilfe eines räumlichen Schalenmodells 29
4.1 Erläuterung der FEM
4.2 Modellierung des Querschnitts als Schalenmodell
4.3 Ergebnisse des Schalenmodells
4.4 Vergleich der Ergebnisse der Handrechenverfahren und des Schalenmodells
4.4.1 Vergleich der Längsnormalspannungen und Querbiegemomente
4.4.2 Interpretation der Ergebnisse
4.4.3 Verifizierung der Falluntersuchungen von Hofbauer

5 Untersuchung verschiedener Modellierungsvarianten
5.1 Stabwerkssystem mit 6 Freiheitsgraden oder 7 Freiheitsgraden
5.1.1 Funktionsweise und Modellierung des Stabwerks
5.1.2 Erfassung der unterschiedlichen Längsnormalspannungen für das Stabwerkssystem mithilfe des Schalenmodells
5.2 Trägerrostmodell
5.2.1 Funktionsweise und Modellierung
5.2.2 Ermittlung der Steifigkeiten für die Trägerrostmodelle
5.3 Schalenmodell
5.4 Vergleich der Modellierungsvarianten
5.4.1 Überprüfung des Trägerrostmodells
5.4.2 Vergleich der Längsnormalspannungen
5.5 Diskussion der Ergebnisse
5.5.1 Empfehlung von Modellierungsvarianten für die Praxisanwendung
5.5.2 Überprüfung der Geometriegrenzwerte des Nationalen Anhangs der Norm

6 Fazit
6.1 Genauigkeit und Anwendbarkeit der Handrechenverfahren
6.2 Untersuchung der unterschiedlichen Modellierungsvarianten und Überprüfung der Vorgaben des Nationalen Anhangs der Norm

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abb. 1: Verformungsfigur eines Hohlkastenträgers unter exzentrischer Belastung (vgl. Grossert, 1989: 20)

Abb. 2: Verformungsanteile eines Hohlkastenträgers unter exzentrischer Belastung (vgl. Grossert, 1989: 17)

Abb. 3: Verformung eines Hohlkastens in Abhängigkeit von der Querbiegesteifigkeit (vgl. Grossert, 1989: 15)

Abb. 4: Längsnormalspannungen eines Hohlkastenträgers infolge einer unsymmetrischen Belastung über dem linken Steg

Abb. 5: Querbiegemomente eines Hohlkastenträgers infolge einer unsymmetrischen Belastung über dem linken Steg

Abb. 6: Ausschnitt aus DIN EN 1992-2/NA bezüglich der Berücksichtigung von Profilverformungen (vgl. DIN e.V., 2013-04: 25)

Abb. 7: Regelquerschnitt der Westrampe Köhlbrandbrücke

Abb. 8: Lastaufteilung bei einem unsymmetrischen Lastfall (vgl. Krebs / Lindlar, 1988: 14)

Abb. 9: Veranschaulichung der Bezeichnungen für das Verfahren nach Lindlar

Abb. 10: Stegverschiebung âs des Querrahmens unter „1“ Belastung und resultierende Einheitsbiegemomente m0 und mu (vgl. Krebs / Lindlar, 1988: 14)

Abb. 11: Einfluss der Laststellung für die Stegabsenkung und die dadurch resultierenden Schnittgrößen aus der Profilverformung bei verschiedenen Hohlkasten Querschnitten (vgl. Schlaich / Scheef, 1982: 63)

Abb. 12: Aufteilung des Querschnitts für die Berechnung nach dem Verfahren von Lindlar

Abb. 13: Bestimmung der Schnittgrößen aus Profilverformung nach dem Verfahren von Schlaich und Scheef (vgl. Borkowski: 2014: 23)

Abb. 14: Parameter und Beiwerte für die Schnittgrößenermittlung nach Schlaich und Scheef (vgl. Schlaich / Scheef, 1982: 52)

Abb. 15: symmetrische Lastfälle nach dem Verfahren von Schlaich und Scheef (vgl. Schlaich / Scheef, 1982: 53)

Abb. 16: unsymmetrische Lastfälle nach dem Verfahren von Schlaich und Scheef (vgl. Schlaich / Scheef, 1982: 54)

Abb. 17: Modifizierung des Querschnitts der Westrampe der Köhlbrandbrücke, für die Anwendung des Verfahrens nach Schlaich und Scheef

Abb. 18: normierte Einheitsverwölbung für einen Hohlkastenquerschnitt (vgl. Lindlar. 1970: 218) ..

Abb. 19: Modellierung des Querschnitts der Westrampe der Köhlbrandbrücke als Schalenmodell

Abb. 20: Modellierung der Stützquerträger im Schalenmodell

Abb. 21: antimetrische Linienlast über den Stegen des Schalenmodells

Abb. 22: antimetrische Einzellast über den Stegen in Feldmitte des Schalenmodells

Abb. 23: Systemskizze der Festhaltungen für die x-Achse und y-Achse

Abb. 24: Vergleich der Längsnormalspannungen aus dem räumlichen Schalenmodell und dem Verfahren nach Lindlar für Lastfall 1, antimetrische Linienlast

Abb. 25: Vergleich der Längsnormalspannungen aus dem räumlichen Schalenmodell und dem Verfahren nach Lindlar für Lastfall 2, antimetrische Einzellast

Abb. 26: Vergleich der Querbiegemomente aus dem räumlichen Schalenmodell, dem Verfahren nach Lindlar und dem Verfahren nach Schlaich und Scheef für Lastfall 1, antimetrische Linienlast

Abb. 27: Vergleich der Querbiegemomente aus dem räumlichen Schalenmodell und dem Verfahren nach Lindlar für Lastfall 2, antimetrische Einzellast

Abb. 28: Infolge einer 100 kN/m Linienlast ermittelten a) Längsnormalspannungen aus der Profilverformung an der Unterseite des Steges und b) Querbiegemomente im Steganschnitt zur Fahrbahnplatte (vgl. Borkowski, 2014: 21)

Abb. 29: Infolge einer 1000 kN Einzellast ermittelten a) Längsnormalspannungen aus der Profilverformung an der Unterseite des Steges und b) Querbiegemomente im Steganschnitt zur Fahrbahnplatte (vgl. Borkowski, 2014: 20)

Abb. 30: Modellierung eines Stabwerkssystems mit exzentrischem Lastangriff

Abb. 31: Längsnormalspannungen im untern Steganschnitt aus einer antimetrischen Linienlast, oXi0 in [MN/m[2]]

Abb. 32: Längsnormalspannungen im oberen Steganschnitt aus einer antimetrischen Linienlast, oxu in [MN/m2]

Abb. 33: Längsnormalspannungen des Stabwerkssystems aus Linienlast mit 100 kN/m, ax,u in [MN/m2] '.

Abb. 34: Längsnormalspannungen des Stabwerkssystems aus Linienlast mit 50 kN/m, <jxu in [MN/m2]

Abb. 35: Längsnormalspannungen in den Stegen aus einer unsymmetrischen Linienlast, <JX 0 in [MN/m2]

Abb. 36: Längsnormalspannungen in den Stegen aus einer unsymmetrischen Linienlast, <JXU in [MN/m2]

Abb. 37: Ausschnitt aus Trägerrostmodell mit Erläuterungen zur Modellierung des Trägerrostsystems

Abb. 38: Aufteilung des Querschnitts der Westrampe der Köhlbrandbrücke, für die Modellierung der Längsträger im Trägerrost

Abb. 39: Vergleich der Längsnormalspannungen aus den unterschiedlichen Modellierungsvarianten am Steganschnitt oben bei Lastfall 1: unsymmetrischer Linienlast

Abb. 40: Vergleich der Längsnormalspannungen aus den unterschiedlichen Modellierungsvarianten am Steganschnitt unten bei Lastfall 1: unsymmetrischer Linienlast

Abb. 41: Vergleich der Längsnormalspannungen aus den unterschiedlichen Modellierungsvarianten am Steganschnitt oben bei Lastfall 2: unsymmetrischer Einzellast

Abb. 42: Vergleich der Längsnormalspannungen aus den unterschiedlichen Modellierungsvarianten am Steganschnitt oben bei Lastfall 2: unsymmetrischer Einzellast

Abb. 43: Verformungsfigur des Schalenmodells der 35 m Stützweite (L/H = 10) unter unsymmetrischer Linienlast (Erhöhungsfaktor für Verformungen: 2500)

Abb. 44: Verformungsfigur des Schalenmodells der 85 m Stützweite (L/H = 25) unter unsymmetrischer Linienlast (Erhöhungsfaktor für Verformungen: 2500)

T abellenverzeichnis

Tab. 1: Untersuchte Schlankheiten und resultierende Stützweiten

Tab. 2: Wirtschaftliche Stützweiten für Hohlkastenbrücken (RE-ING Teil 2 Abschnitt 2, 2021:4) ...

Tab. 3: Differentialgleichung der Profilverformung und des elastisch gebetteten Balkens (vgl. Steinle, 1970: 219)

Tab. 4: Zusammenhänge zwischen Hohlkasten und elastisch gebettetem Balken (vgl. Krebs / Lindlar, 1988: 14)

Tab. 5: Erläuterungen der Bezeichnungen für das Verfahren nach Lindlar

Tab. 6: Längsnormalspannungen (cx) nach dem Verfahren von Lindlar

Tab. 7: Querbiegemomente (my) nach dem Verfahren von Lindlar

Tab. 8: Querbiegemomente (my) nach dem Verfahren von Schlaich und Scheef

Tab. 9: Längsnormalspannungen (ax) aus dem Schalenmodell

Tab. 10: Querbiegemomente (my) aus dem Schalenmodell

Tab. 11: angesetzte Lasten für die unterschiedlichen Stützweiten, Werte in Klammern für die Torsionsmomente der Stabwerkssysteme

Tab. 12: Verhältnisse der Abstände der Schotten zur Kastenbreite für die unterschiedlichen Schlankheiten

Tab. 13: Vergleich verschiedener Schnittgrößen zwischen Schalenmodell und Trägerrostmodell bei LF1 unsymmetrischer Linienlast

Tab. 14: Vergleich der Längsnormalspannungen der unterschiedlichen Modellierungsvarianten für Lastfall 1 unsymmetrische Linienlast

Tab. 15: Vergleich der Längsnormalspannungen der unterschiedlichen Modellierungsvarianten für Lastfall 2 unsymmetrische Einzellast

1 Einleitung

1.1 Erläuterung der Profilverformung

Hohlkastenträger eignen sich im Brückenbau aufgrund ihrer hohen Torsions- und Biegesteifig­keit bei einem verhältnismäßig geringem Materialeinsatz oft als wirtschaftliche Lösung. Unter symmetrischen Belastungen, kann die Berechnung von Hohlkastenträgern in Längsrichtung als einfaches Stabwerk erfolgen. Die Querrichtung hingegen lässt sich mithilfe einer Rahmenbe­rechnung erfassen, wobei die Schnittgrößen, sowohl für die Längs- als auch für die Querrich­tung, mit modernen Stabwerksprogrammen berechnet werden können. Diese Einfachheit der Berechnung ist allerdings nicht mehr gegeben, wenn unsymmetrische Lasten auf den Quer­schnitt wirken, da diese zu sogenannten „Profilverformungen“ führen. Hierdurch teilen sich die Längsnormalspannungen nicht mehr gleichmäßig in den Stegen auf und weiterhin entstehen zusätzliche Querbiegemomente. Besonders ist hierbei, dass die Längs- und Querrichtung mit­einander verknüpft sind und nicht mehr ohne weiteres getrennt voneinander berechnet werden können.

Aus einer exzentrisch angreifenden Last auf einen Hohlkasten, ergibt sich dabei die in Abb. 1 dargestellte Verformungsfigur.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1: Verformungsfigur eines Hohlkastenträgers unter exzentrischer Belastung (vgl. Grossert, 1989: 20)

Die Verformungsfigur aus Abb. 1 kann zur besseren Verständlichkeit in die Verformungsan­teile aus: Längsbiegung, Torsion und Profilverformung aufgeteilt werden, was in Abb. 2 dar­gestellt ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2: Verformungsanteile eines Hohlkastenträgers unter exzentrischer Belastung (vgl. Grossert, 1989: 17)

In Abb. 2 zeigt sich, dass sich die Knotenpunkte des Querschnitts, bei dem Verformungsanteil aus Profilverformung, relativ zueinander verschieben, während der Querschnitt bei den weite­ren Verformungsanteilen in seiner Form erhalten bleibt. Aufgrund dieser Verschiebung der Knotenpunkte relativ zueinander, bleibt das Profil in seiner Form nicht mehr erhalten, wodurch sich die unterschiedliche Verteilung der Längsnormalspannungen und die zusätzlichen Quer­biegemomente ergeben.

Die Größe der Profilverformung ist von der Schlankheit des Hohlkastens und der Querbiege­steifigkeit abhängig. Der Zusammenhang zwischen der Querbiegesteifigkeit und der Profilver­formung kann dabei anhand von zwei Grenzfällen erläutert werden.

Als erster Grenzfall wird davon ausgegangen, dass der Querschnitt querbiegestarr ist und ex­zentrische Lasten ausschließlich eine Torsion des Hohlkastens erzeugen (vgl. Grossert, 1989: 15). Der Querschnitt erfährt somit keine Profilverformung. Ein querbiegestarrer Hohlkasten kann durch die Anordnung von Schotten in einem engen Abstand oder durch dicke Stege und Platten erreicht werden, wodurch keine Querbiegemomente entstehen und sich die Längsnor- malspannungen gleichmäßig auf die Stege verteilen. Dies würde allerdings zu einem hohen Eigengewicht führen und wäre für die Praxis nicht mehr wirtschaftlich umsetzbar (vgl. Gros- sert, 1989: 15). Weiterhin würde der Einbau von Schotten in einem engen Abstand den Arbeits­fluss behindern und wäre somit ebenfalls nicht wirtschaftlich realisierbar (vgl. Grossert, 1989: 19).

Für den zweiten Grenzfall kann man den Hohlkasten als Gelenkfaltwerk annehmen, wobei die Stege und Platten gelenkig verbunden sind. Dadurch werden exzentrische Lasten über das He­belgesetz auf die Stege verteilt, wodurch die maximalen Längsnormalspannungen in lastnahen Steg deutlich zunehmen. Es treten ebenfalls keine Querbiegemomente auf. Hierbei kann auf die Torsionssteifigkeit des Hohlkastens verzichtet werden, was allerdings nicht dem tatsächlichen Tragverhalten des Hohlkastenträgers entspricht (vgl. Grossert, 1989: 20).

In Abb. 3 sind die beiden Grenzfälle sowie das tatsächliche Tragverhalten des Hohlkastens, welches zwischen den beiden Grenzfällen liegt, dargestellt (vgl. Grossert, 1989: 15).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 3: Verformung eines Hohlkastens in Abhängigkeit von der Querbiegesteifigkeit (vgl. Grossert, 1989:15)

Das tatsächliche Tragwerk, in Form des querbiegesteifen Kastens aus Abb. 3, setzt sich dabei aus dem Gelenkfaltwerk und der Rahmentragwirkung der Stege und Platten in Querrichtung zusammen. Durch die Biegung des Querrahmens werden die Lasten nicht mehr nach dem He­belgesetz auf die Stege des Hohlkastens verteilt, wie dies bei dem Gelenkfaltwerk der Fall ist. Dadurch verteilen sich die Längsnormalspannungen wieder gleichmäßiger auf die Stege, wobei allerdings zusätzliche Querbiegemomente infolge der Biegung der Stege und Platten in Quer­richtung entstehen.

Die unterschiedliche Verteilung der Längsnormalspannungen und die zusätzlichen Querbiege­momente, welche infolge der Profilverformung aus einer exzentrischen Last entstehen, sind nachfolgend in Abb. 4 und Abb. 5 für einen rechteckigen Hohlkasten veranschaulicht.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 4: Längsnormalspannungen eines Hohlkastenträgers infolge einer unsymmetrischen Belastung über dem linken Steg

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 5: Querbiegemomente eines Hohlkastenträgers infolge einer unsymmetrischen Belastung über dem linken Steg

Abb. 4 zeigt, dass die Längsnormalspannungen infolge der Profilverformung auf der lastnahen Seite des Hohlkastens zunehmen, während die Längsnormalspannungen auf der lastfernen Seite abnehmen. Hieraus ergeben sich höhere maximale Längsnormalspannungen, als aus einer gleichmäßigen Verteilung der Längsnormalspannungen auf den Querschnitt. Daher kann auch von „zusätzlichen Längsnormalspannungen“ infolge der Profilverformung gesprochen werden. Die maximalen Längsnormalspannungen aus den unsymmetrischen Lasten müssen dabei auf beide Seiten berücksichtigt werden, da die Lasten sowohl links als auch rechts unsymmetrisch wirken können. Wird die Profilverformung nicht berücksichtigt, liegt die Bemessung für die maximalen Längsnormalspannungen auf der unsicheren Seite.

Des Weiteren ergeben sich die in Abb. 5 zu sehenden Querbiegemomente, welche infolge der Biegung der Stege und Platten entstehen und ebenfalls bei der Bemessung des Hohlkastenträ­gers berücksichtigt werden müssen.

Mithilfe von Stabwerkssystemen können die angesprochenen Effekte nicht berücksichtigt wer­den, da Stabwerkssysteme keine Möglichkeiten bieten die Profilverformung zu erfassen. Für eine korrekte Berechnung muss deshalb entweder auf ein räumliches Schalenmodell, unter An­wendung der Finiten-Elemente-Methode [FEM] oder auf Handrechenverfahren, welche die Ef­fekte der Profilverformung mit Ersatzsystemen ermitteln können, zurückgegriffen werden.

An dieser Stelle sei angemerkt, dass die Profilverformung keinesfalls mit der Wölbkrafttorsion gleichgesetzt werden kann, da bei der Wölbkrafttorsion das Profil seine Form in Querrichtung beibehält. Stattdessen entsteht eine Verwölbung des Querschnitts in Längsrichtung, woraus zu­sätzliche Längsnormalspannungen resultieren. Aufgrund der Querschnittsform ist der Einfluss der Wölbkrafttorsion bei Hohlkästen hingegen meist gering und kann üblicherweise vernach­lässigt werden (vgl. Steinle, 1970: 221).

1.2 Vorgaben der Norm zur Berücksichtigung der Profilverformungen

Die Effekte der Profilverformung wurden bereits in der alten DIN 1075 berücksichtigt, welche eine Ermittlung der unterschiedlichen Längsnormalspannungen in den Stegen forderte, wenn bestimmte Geometriegrenzwerte unterschritten wurden. Die gleichen Geometriegrenzwerte be­finden sich auch in dem aktuell gültigen Nationalen Anhang zur DIN EN 1992-2 und sind in Abb. 6 aufgeführt.

NCI Zu 5.3.1

(NA.108) Ein- und mehrzellige Kastenträger dürfen hinsichtlich der Längsspannungen und der zugehörigen Schubspannungen näherungsweise nach der Theorie des torsionssteifen Stabes behandelt werden, solange die Bedingungen leff/ h > 18 und la / b > 4 eingehalten sind.

Dabei ist

b mittlere Kastenbreite (Außenmaß)

h mittlere Kastenhöhe (Außenmaß)

leff Abstand zwischen den Stützquerträgern

la Abstand der Schotte bzw. Querträger

In allen anderen Fällen ist beim Nachweis gegen Ermüdung im Zustand II der Anteil der unterschiedlichen Längsspannungen in den Stegen zu verfolgen.

Die Querbiegung, auch infolge Profilverformung, muss nachgewiesen werden.

Abb. 6: Ausschnitt aus DIN EN 1992-2/NA bezüglich der Berücksichtigung von Profilverformungen (vgl. DIN e.V., 2013-04: 25)

Die Norm gibt vor, dass Querbiegemomente aus Profilverformungen und der Rahmentragwir­kung immer nachgewiesen werden müssen. Die unterschiedlichen Längsnormalspannungen in den Stegen, die aus den Effekten der Profiverformung resultieren, müssen hingegen nur beim Nachweis gegen Ermüdung im Zustand II berücksichtigt werden, wenn die Geometriegrenz­werte unterschritten werden. Bei Einhaltung der Geometriegrenzwerte darf der Hohlkasten als torsionssteifer Stab betrachtet werden. Hierdurch können die unterschiedlichen Längsnormal- spannungen in den Stegen vernachlässigt werden und in Längsrichtung ist eine Schnittgrö­ßenermittlung mithilfe eines einfachen Stabwerkssystems, ohne Berücksichtigung der Profil­verformungen, zulässig.

1.3 Zielsetzung

Ziel im ersten Teil der Arbeit ist es, die Genauigkeit und Anwendbarkeit von zwei Handrechen­verfahren zu ermitteln, indem die Längsnormalspannungen und Querbiegemomente infolge der Profilverformung ermittelt werden und anschließend mit einem räumlichen Schalenmodell ver­glichen werden. Ebenfalls soll anhand dieser Berechnung nachvollzogen werden, wie sich groß der Einfluss der Profilverformung bei verschiedenen Stützweiten bzw. Schlankheiten ist.

Im weiteren Teil der Arbeit werden verschiedene Modellierungsvarianten für die Schnittgrö­ßenermittlung von Hohlkastenträgern vorgestellt, berechnet und miteinander verglichen. Ziel ist es hierbei zu ermitteln, welches Verfahren für die Bemessung der Hohlkastenträger, auch bei unsymmetrischen Lasten, zu empfehlen ist. Außerdem wird diskutiert, ob die Vorgaben des Nationalen Anhangs mit den Ergebnissen aus den Modellierungsvarianten nachvollzogen und bestätigt werden können.

1.4 Vorgehensweise

Die Berechnungen erfolgen anhand des Querschnitts der Westrampe der Köhlbrandbrücke, welcher in Abb. 7 dargestellt ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 7: Regelquerschnitt der Westrampe Köhlbrandbrücke

Sowohl für die Handrechenverfahren und dem Vergleich mit dem räumlichen Schalenmodell als auch für die Untersuchung der verschiedenen Modellierungsvarianten werden verschiedene Stützweiten und damit Schlankheiten herangezogen, um die Effekte der Profilverformungen besser nachvollziehen zu können. Die unterschiedlichen Schlankheiten und Stützweiten, wel­che sich aus dem Verhältnis der jeweiligen Stützweite zu der Kastenhöhe von 3,54 m ergeben, sind in Tab. 1 aufgeführt.

Tab. 1: Untersuchte Schlankheiten und resultierende Stützweiten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die in dieser Arbeit betrachteten Systeme werden als Dreifeldträger berechnet, wobei die Be­lastungen ausschließlich auf dem mittleren Feld wirken. Weiterhin wird für alle Berechnungen ein elastisches Materialverhalten angenommen und die Berechnungen erfolgen im Zustand I.

Die Untersuchungen der Profilverformungen im Zustand II von Büsse haben gezeigt, dass der Einfluss der Profilverformung im Zustand II, im Vergleich zu dem Einfluss aus Biegung im Zustand II, abnimmt (vgl. Borkowski, 2014: 30). Somit wird der Einfluss der Profilverformun­gen bei einer Berechnung im Zustand I geringfügig überschätzt.

2 Besonderheiten des Hohlkastenträgers

2.1 Anwendungsbereich von Hohlkastenträgern im Brückenbau

Hohlkastenbrücken in Massivbauweise zeichnen sich durch ihre hohe Biege- und Torsionsstei­figkeit aus, wodurch sie für Stützweiten von 30 m bis 150 m wirtschaftlich eingesetzt werden können. Sie eignen sich ebenfalls bei einer gekrümmten Linienführung, da sie Torsionsbelas­tungen, welche durch die gekrümmte Linienführung auch bei Eigengewichtslasten entstehen, problemlos aufnehmen können.

Tab. 2: Wirtschaftliche Stützweiten für Hohlkastenbrücken (RE-ING Teil 2 Abschnitt 2, 2021:4)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wie in Tab. 2 dargestellt, werden Hohlkastenbrücken üblicherweise mit Schlankheiten von L/13 bis zu L/50 ausgeführt, wobei die Schlankheit maßgeblich durch die Konstruktionsart und die Ausführung als ein- oder mehrfeldrige Brücke beeinflusst wird. Hierbei werden Stützweiten von unter 40 m mit einer geringen Felderanzahl in der Praxis üblicherweise nicht mit Hohlkas­tenträgern umgesetzt, da Hohlkastenträger, im Vergleich zu anderen Querschnittsformen, einen besonders hohen Schalungsaufwand pro Kubikmeter Beton aufweisen und somit nicht wirt­schaftlich umsetzbar sind (vgl. Scheel, 2021: 3).

Neben den großen Steifigkeiten, bieten Hohlkastenträger außerdem die Vorteile, dass sie sich mithilfe des Taktschiebe- oder des Freivorbauverfahrens schnell und wirtschaftlich errichten lassen. Des Weiteren werden Spannglieder und die Koppelstellen gegen Korrosion geschützt, da sie im Inneren des Hohlkastens verankert werden können.

Außerdem stellt sich eine äußerst vorteilhafte Querverteilung der Lasten auf die Stege ein, da die Lasten mithilfe von Umlauftorsion über den Querschnitt verteilt werden. Somit müssen un­symmetrisch angreifende Lasten nicht hauptsächlich über einen Steg abgetragen werden, wie dies beispielsweise bei Plattenbalkenbrücken der Fall ist. Letztlich bietet der Hohlkastenträger, insbesondere bei der Ausführung mit geneigten Stegen ein optisch ansprechendes Bild, da der Querschnitt dadurch für den Betrachter schlanker wirkt (vgl. Hegger, 2019: 7-2).

2.2 Einfluss der Querschnittsform auf die Profilverformungen

Anhand der Norm in Abb. 6 zeigt sich bereits, dass die Querschnittsgestaltung einen nicht un­erheblichen Einfluss auf die Effekte der Profilverformungen hat.

Generell wird die Profilverformung größer, wenn die Kastenbreite und/oder Kastenhöhe zu­nimmt und wenn die Dicke der Stege oder Platten abnehmen. Beides führt dazu, dass sowohl die Biegungen als auch die Verschiebungen der Stege und Platten ansteigen und sich somit die Knotenpunkte des Querschnitts, relativ zueinander betrachtet, stärker verschieben. Besonders erhöht wird dieser Effekt, wenn die Stegdicke kleiner als 50 cm wird (vgl. Rao, 1981: 6-9).

Im Gegensatz dazu nehmen mit einer größeren Stegneigung sowohl die maximalen Längsspan- nungen, als auch die maximalen Querbiegemomente ab. Die Querbiegemomente verringern sich dabei am oberen Steganschnitt und erhöhen sich stattdessen am unteren Steganschnitt, was sich positiv auswirkt, da sich die maximalen Querbiegemomente am oberen Steganschnitt aus­bilden (vgl. Rao, 1981: 6-9).

Mit steigender Länge des Kragarmes, im Vergleich zu der Gesamtbreite des Kastenträgers, nehmen die maximalen Querbiegemomente zu, während die maximalen Längsnormalspannun- gen wiederum abnehmen. Der Effekt für die Querbiegemomente wird allerdings bei großen Spannweiten und/oder größeren Stegneigungen gegenläufig und die maximalen Querbiegemo­mente reduzieren sich stattdessen (vgl. Rao, 1981: 6-9).

3 Schnittgrößenermittlung mithilfe von Handrechenverfahren

3.1 Auflistung einiger Handrechenverfahren

Für die Ermittlung der Schnittgrößen aus der Profilverformung werden, im Rahmen dieser Ar­beit, das Verfahren nach Lindlar, aus seiner Dissertation: „Zur Profilverformung einzelliger Kastenträger“ und das Verfahren nach Schlaich und Scheef, aus deren Bericht „Beton-Hohl­kastenbrücken“ für den IVBH, angewendet. Es werden nicht die exakten Herleitungen für die beiden Verfahren beschrieben, sondern lediglich erläutert, wie die grundsätzliche Funktions­weise der Verfahren aufgebaut ist und welche Randbedingungen bzw. Einflüsse jeweils berück­sichtigt werden können. Um die exakten Herleitungen und Hintergründe der Verfahren nach­vollziehen zu können, wird auf die entsprechende Literatur verwiesen.

Außerdem wurde im Rahmen der Arbeit auch das Verfahren nach Steinle, aus seiner Disserta­tion „Torsions- und Profilverformung“, untersucht, welches allerdings keine sinnvollen Ergeb­nisse liefern konnte. Auf die Problematik bei der Anwendung des Verfahrens wird in Kapitel 3.4.2 genauer eingegangen.

Im Anschluss werden die ermittelten Schnittgrößen mit einem räumlichen Schalenmodell ver­glichen, um zu ermitteln, wie genau die Ergebnisse der Verfahren sind. Weiterhin wird außer­dem die Komplexität der Verfahren untersucht, um einschätzen zu können, ob sich die Verfah­ren für eine praktische Anwendung eignen.

Weitere Handrechenverfahren, mit einer kurzen Zusammenfassung der jeweiligen Verfahren, lassen sich außerdem in der Dissertation „Beitrag zur rechnerischen Überprüfung von Beton­hohlkastenbrücken“ von Borkowski finden. Außerdem sind einige Verfahren, auch aus dem internationalen Bereich, in der Dissertation „Berechnung langer dünnwandiger dreizelliger Trä­ger unter Berücksichtigung der Profilverformung“ von Castrillon aufgelistet. Hierbei werden auch die Randbedingungen beschrieben, welche in den jeweiligen Verfahren berücksichtigt werden können.

3.2 Verfahren nach Lindlar

3.2.1 Funktionsweise des Verfahrens

Wie bei vielen Handrechenverfahren beginnt auch Lindlar in seinem Verfahren mit der Lastu­mordnung, indem der unsymmetrische Lastfall in einen symmetrischen und antimetrischen Lastfall aufgeteilt wird, was in Abb. 8 dargestellt ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 8: Lastaufteilung bei einem unsymmetrischen Lastfall (vgl. Krebs / Lindlar, 1988: 14)

Der symmetrische Anteil kann mithilfe der Stabstatik nachgewiesen werden, da sich hieraus weder Querbiegemomente noch unterschiedliche Längsnormalspannungen ergeben.

Der antimetrische Lastfall hingegen erzeugt eine Torsionsbeanspruchung, welche wiederum in einen Anteil aus St. Venant‘scher Torsion und einen Anteil mit einer profilverformenden Be­lastung aufgeteilt wird. Um die Schnittgrößen aus der profilverformenden Belastung ermitteln zu können, nutzt Lindlar die Analogie zum elastisch gebetteten Balken, was es erlaubt, die Schnittgrößen des Hohlkastenträgers anhand eines Ersatzsystems, in Form des elastisch gebet­teten Balkens, zu ermitteln. Die Möglichkeit, das tatsächliche Tragwerk anhand des Ersatzsys­tems als elastisch gebetteten Balken zu berechnen, bewies Steinle erstmals in seiner Arbeit, indem er zeigte, dass die Differentialgleichung des elastisch gebetteten Balkens gleich zu der Differentialgleichung der Profilverformung ist. Die beiden Differentialgleichungen sind in Tab. 3 aufgeführt.

Tab. 3: Differentialgleichung der Profilverformung und des elastisch gebetteten Balkens (vgl. Steinle, 1970: 219)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um das Flächenträgheitsmoment des elastisch gebetteten Balkens zu ermitteln, muss ein Er­satzträgheitsmoment [Zers] bestimmt werden. Dieses entspricht nicht nur der Eigenbiegesteifig­keit der Stegscheiben, sondern muss so ermittelt werden, dass die Verformungen des Ersatz­balkens mit den Verformungen des tatsächlichen Systems übereinstimmen (vgl. Lindlar, 1984: 28). Für die Steifigkeit in Querrichtung, also die Rahmensteifigkeit, gibt Lindlar die Bettungs­ziffer [cß ] an, welche den Widerstand des Rahmens, hauptsächlich durch die Biegung der Plat­ten, gegen eine Stegabsenkung angibt (vgl. Lindlar, 1984: 35). Wird das Ersatzträgheitsmoment und die Bettungsziffer mithilfe des elastisch gebetteten Balkens zusammengeführt, ergibt sich eine korrekte Berücksichtigung der Längs- sowie Quertragwirkung für das System und die Schnittgrößen des elastisch gebetteten Balkens sind somit proportional zu den tatsächlichen Schnittgrößen. Die Zusammenhänge und die Lagerungsbedingungen, welches sich aus dem tat­sächlichen Tragwerk für das Ersatzsystem des elastisch gebetteten Balkens ergeben, sind in der nachfolgenden Tab. 4 übersichtlich zusammengestellt.

Tab. 4: Zusammenhänge zwischen Hohlkasten und elastisch gebettetem Balken (vgl. Krebs / Lindlar, 1988: 14)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die verwendeten Bezeichnungen für das Verfahren sind in der Tab. 5 aufgelistet und teilweise in Abb. 9 veranschaulicht

Tab. 5: Erläuterungen der Bezeichnungen für das Verfahren nach Lindlar

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tab. 5 (Fortsetzung): Erläuterungen der Bezeichnungen für das Verfahren nach Lindlar

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 9: Veranschaulichung der Bezeichnungen für das Verfahren nach Lindlar

Für die Berücksichtigung der Längstragwirkung kann das Trägheitsmoment des elastisch ge­betteten Balkens nach Lindlar mithilfe der nachfolgenden Formeln ermittelt werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um die Quertragwirkung des Systems zu erfassen, wird die Rahmensteifigkeit in Querrichtung als elastische Bettung für den Balken angesetzt, womit der Widerstand des Rahmens gegen eine

Stegabsenkung berücksichtigt wird. Für die Ermittlung der Bettungsziffer [cß], wird der halbe Querrahmen, unter Ausnutzung der Querschnittssymmetrie, mit einer „1“ Kraft in der Stegachse belastet. Daraus resultiert die „Einheitsverformung“ [ ], womit anschließen die Bet­tungsziffer berechnet werden kann. Die Einheitsverformung und auch die resultierenden „Ein­heitsbiegemomente“[m ] sind in Abb. 10 dargestellt. Die Berechnung der Einheitsverformung und der Einheitsbiegemomente sollte dabei möglichst mithilfe eines Stabwerksprogrammes er­folgen, da somit auch gevoutete Stege und Platten leicht berücksichtigt werden können.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 10: Stegverschiebung ös des Querrahmens unter „1“ Belastung und resultierende Einheitsbiegemomente m0 und mu (vgl. Krebs / Lindlar, 1988: 14)

Aus der Stegverschiebung kann nun die Bettungsziffer mit der folgenden Formel ermittelt wer­den:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Handelt es sich dabei um einen rechteckigen Kasten, mit a = 0°, vereinfacht sich die Ermitt­lung der Bettungsziffer deutlich zu:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Letztlich muss die antimetrische Last so auf das Ersatzsystem angepasst werden, dass sie direkt in der Stegachse des tatsächlichen Tragwerks angreift, was mit der nachfolgenden Formel be­rücksichtigt wird:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da heutige Stabwerksprogramme auch Systeme mit elastisch gebetteten Balken ermitteln kön­nen, sollte die Berechnung mithilfe der EDV erfolgen. Dies ermöglicht es außerdem, in Längs­richtung veränderliche Querschnitte und beliebige Stützweiten mit einer beliebigen Anzahl von Feldern zu berechnen, ohne dass dafür spezielle Tafelwerke notwendig sind. Für die Modellie­rung des elastisch gebetteten Balkens kommt in dieser Arbeit die FEM-Software InfoCAD zur Anwendung.

Nachdem die Momente und Verformungen des Balkens berechnet wurden, können diese ver­wendet werden, um daraus die Längsnormalspannungen und die Querbiegemomente aus der Profilverformung mit den nachfolgenden Formeln zu ermitteln:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei dem Verfahren nach Lindlar sollte beachtet werden, dass nicht alle, für die Profilverfor­mung relevanten Effekte, berücksichtigt werden können. So wird der Einfluss der Wölbkraft­torsion bei dem Verfahren vernachlässigt, was der üblichen Vorgehensweise im Massivbau entspricht und der hierdurch entstehende Fehler gering ist (vgl. Lindlar, 1984: 22).

Weiterhin werden auch die Schubverformungen in den hier aufgeführten Formeln nicht erfasst. Lindlar gibt in seiner Dissertation eine Möglichkeit an, um die Schubverformungen zumindest grob zu berücksichtigen und zeigt anhand einer Beispielrechnung, dass die Vernachlässigung der Schubverformungen bei üblichen Hohlkastenträgern einen Fehler von unter 6 % für die Schnittgrößenermittlung der Profilverformung erzeugt (vgl. Lindlar 1984: 67). Diese Aussage ist allerdings kritisch zu betrachten, da Usuki in seiner Arbeit ermittelt, dass die Schubverfor­mungen die Zusatzbeanspruchungen aus der Profilverformung um bis zu 20 % erhöhen können (vgl. Borkowski, 2014: 15).

Außerdem kann mit dem Verfahren lediglich ein Lastangriff direkt auf dem Steg berücksichtigt werden. Dies ist jedoch für die Praxisanwendung nur von untergeordneter Bedeutung, da mit einem Lastangriff direkt über dem Steg, die nahezu größten Schnittgrößen erreicht werden. Die in Abb. 11 dargestellten Verformungen für unterschiedliche Laststellungen in Querrichtung des Hohlkastens zeigen, dass die größten Schnittgrößen für gedrungene Hohlkästen infolge der Pro­filverformung bei einer Belastung am Steganschnitt entstehen, womit die ermittelten Schnitt­größen aus dem Verfahren nach Lindlar ausreichend genau sind. Lediglich für hohe Hohlkas­tenträger ergeben sich größere Verformungen und damit auch größere Schnittgrößen, bei einer Laststellung am Kragarmende des Hohlkastenträgers, weshalb für solche Querschnitte geson­derte Betrachtungen erfolgen sollten.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 11: Einfluss der Laststellung für die Stegabsenkung und die dadurch resultierenden Schnittgrößen aus der Profilverformung bei verschiedenen Hohlkasten Querschnitten (vgl. Schlaich / Scheef, 1982: 63)

Mit dem Verfahren nach Lindlar können auch Hohlkasten ohne Stützquerträger berechnet wer­den. Hierbei werden die festen Auflager des elastisch gebetteten Balkens stattdessen durch Fe­dern ersetzt, um so die verringerte Steifigkeit des Systems abzubilden. Die Berechnung eines Systems ohne Stützquerträger ist in der Dissertation von Lindlar aufgeführt (vgl. Lindlar, 1984: 89-91).

3.2.2 Berechnung nach dem Verfahren von Lindlar

Für die Berechnung der Handrechenverfahren sowie des räumlichen Schalenmodells werden die Stege der unterschiedlichen Stützweiten mit zwei antimetrischen Lastfällen belastet. Last­fall 1 besteht aus zwei antimetrischen Linienlasten mit jeweils 50 kN/m und Lastfall 2 besteht aus zwei antimetrischen Einzellasten mit jeweils 500 kN. Beide Lastfälle greifen auf dem mitt­leren Feld des Dreifeldträgers direkt über der Stegachse an, wobei die Einzellasten in Feldmitte wirken.

Zuerst wird der Querschnitt der Westrampe der Köhlbrandbrücke für die Berechnung nach dem Verfahren von Lindlar aufgeteilt, um die Querschnittswerte der Fahrbahn- sowie Bodenplatte und der Stege zu ermitteln.

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Abb. 12: Aufteilung des Querschnitts für die Berechnung nach dem Verfahren von Lindlar

Aus der Aufteilung nach Abb. 12 ergeben sich die folgenden Werte:

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Aus den Querschnittwerten können die Hilfswerte av bis a6 und k ermittelt werden, woraus sich wiederum das Ersatzträgheitsmoment für den elastisch gebetteten Balken ergibt.

Der halbe Querrahmen wird in dieser Arbeit ebenfalls mit InfoCAD berechnet, wobei eine Ele­mentlänge von jeweils 5 cm angesetzt wird, um durch die feine Diskretisierung sicherzustellen, dass die Einheitsverformung und die Einheitsbiegemomente möglichst genau berechnet wer­den. Das InfoCAD Modell befindet sich im Anhang A1 und die daraus resultierenden Werte sind nachfolgend aufgeführt.

Aus der Stegverschiebung lässt sich nun die Bettungsziffer ermitteln und weiterhin werden auch die Ersatzlasten für den elastisch gebetteten Balken berechnet.

Nachdem alle Parameter für das Ersatzsystem ermittelt wurden, werden die Biegemomente und Verformungen des elastisch gebetteten Balkens berechnet, um anschließend die Querbiegemo­mente und Längsnormalspannungen aus der Profilverformung zu ermitteln. Die Berechnung der elastisch gebetteten Balken für die unterschiedlichen Stützweiten befindet sich in den An­hängen A2 bis A5 und es werden nachfolgend direkt die Ergebnisse aufgeführt.

3.2.3 Ergebnisse aus dem Verfahren nach Lindlar

In Tab. 6 und Tab. 7 sind die Ergebnisse für die Längsnormalspannungen bzw. Querbiegemo­mente aus der Profilverformung aufgeführt. Die Längsnormalspannungen und Querbiegemo­mente werden am Steganschnitt oben mit einem negativen Vorzeichen und am unteren Stegan­schnitt mit einem positiven Vorzeichen versehen, um somit eine bessere Veranschaulichung der Ergebnisse bei den nachfolgenden Vergleichen zu erreichen. Die Vorzeichenwahl ist ledig­lich zur Veranschaulichung gewählt, da die Vorzeichen aufgrund des antimetrischen Lastfalls an allen Knotenpunkten des Querschnitts sowohl negativ als auch positiv ausfallen können und diese lediglich abhängig von der betrachteten Seite des Querschnitts sind.

Tab. 6: Längsnormalspannungen (uz) nach dem Verfahren von Lindlar

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Tab. 7: Querbiegemomente (my) nach dem Verfahren von Lindlar

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Der Vergleich der Ergebnisse aus dem räumlichen Schalenmodell und dem Handrechenverfah­ren nach Schlaich und Scheef erfolgt im weiteren Verlauf dieser Arbeit.

3.3 Verfahren nach Schlaich und Scheef

3.3.1 Funktionsweise des Verfahrens

Schlaich und Scheef benutzen in ihrem Verfahren ebenfalls die Lastumordnung aus Abb. 8, um einen unsymmetrischen Lastfall in einen symmetrischen und antimetrischen Lastfall aufzutei­len. Auch nutzen sie die Analogie zum elastisch gebetteten Balken, um die proportionalen Schnittgrößen anhand des Ersatzsystems für das tatsächliche Tragwerk zu ermitteln.

Bei dem Verfahren betrachten Schlaich und Scheef ein Element der Länge „1“ und gehen hier­bei zuerst von einem ausgesteiften Rahmen aus, welcher durch eine unbekannte Diagonalkraft „S“ steif gehalten wird, was in Abb. 13 zu sehen ist. Anschließend wird am elastisch gebetteten Balken die Größe der unbekannten Diagonalkraft „S“ ermittelt, welche nötig ist, um den Rah­men steif zu halten. Nach der Ermittlung der Größe von S wird die Kraft gelöst und stattdessen als Einwirkung auf den Rahmen aufgebracht, woraus sich mithilfe der Faltwerkwirkung die Schnittgrößen infolge der Profilverformung ermitteln lassen.

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Abb. 13: Bestimmung der Schnittgrößen aus Profilverformung nach dem Verfahren von Schlaich und Scheef (vgl. Borkowski: 2014: 23)

Besonders ist hierbei, dass durch die Methode verschiedene Laststellungen möglich sind und nicht nur ein direkter Lastangriff auf den Stegen berechnet werden kann. Die möglichen sym­metrischen und unsymmetrische Laststellungen, sowie die Formeln für die Berechnung der Beiwerte, um die Schnittgrößen aus den Lastfällen zu ermitteln, sind in den nachfolgenden Abb. 14 bis Abb. 16 aufgeführt.

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Abb. 14: Parameter und Beiwerte für die Schnittgrößenermittlung nach Schlaich und Scheef (vgl. Schlaich / Scheef, 1982: 52)

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Abb. 15: symmetrische Lastfälle nach dem Verfahren von Schlaich und Scheef (vgl. Schlaich / Scheef, 1982: 53)

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Abb. 16: unsymmetrische Lastfalle nach dem Verfahren von Schlaich und Scheef (vgl. Schlaich / Scheef, 1982: 54)

Das Verfahren setzt konstante Dicken für die Fahrbahn- und Bodenplatten sowie Stege voraus. Außerdem erlaubt es eine Berücksichtigung von geneigten Stegen. Die Effekte der Wölbkraft­torsion, Schubverformungen und die Einflüsse aus einer Berechnung im Zustand II werden bei der Ermittlung der Schnittgrößen aus der Profilverformung nicht berücksichtigt.

Für die Berechnung der Querbiegemomente und Normalkrafte aus den unsymmetrischen Be­lastungen sind die Formeln aus Abb. 16, ohne die Berechnung eines elastisch gebetteten Bal­kens, allerdings nur gültig, wenn die nachfolgenden Bedingungen eingehalten sind:

- Stützweite des Systems ist groß genug
- ausschließlich Linienlasten wirken
- Abstand von Schotten oder Stützquerträgern ist ausreichend groß

Bei kurzen Stützweiten, störenden Elemente oder Belastungen des Systems durch Einzellasten muss zusätzlich die Stabkraft S und die daraus resultierenden Schnittgrößen anhand der Spalte e) aus Abb. 16 ermittelt werden, wofür die Berechnung eines elastisch gebetteten Bal­kens nötig ist. Außerdem ist für die Ermittlung der Längsnormalspannungen ebenfalls immer die Schnittgrößenermittlung mithilfe des elastisch gebetteten Balkens erforderlich.

Bei großen Stützweiten bieten die Formeln aus Abb. 15 und Abb. 16 die Möglichkeit, Querbie­gemomente und Normalkräfte aus symmetrischen sowie unsymmetrischen Linienlasten schnell berechnen zu können. Dies ist beispielsweise für eine Überprüfung von Schnittgrößenermitt­lungen aus anderen Verfahren oder für eine erste Abschätzung der Querbiegemomente hilf­reich.

3.3.2 Berechnung nach dem Verfahren von Schlaich und Scheef

Da anhand des Verfahrens nach Lindlar bereits die Berechnung eines elastisch gebetteten Bal­kens als Ersatzsystem für den Hohlkastenträger gezeigt wurde und die Bearbeitungszeit dieser Arbeit begrenzt ist, wird darauf verzichtet für das Verfahren nach Schlaich und Scheef ebenfalls einen elastisch gebetteten Balken zu berechnen. Stattdessen werden mithilfe des Verfahrens lediglich die Querbiegemomente aus einem antimetrischen Lastangriff aus Linienlasten auf den Stegen nach Abb. 16 ermittelt und mit dem Handrechenverfahren nach Lindlar sowie mit dem räumlichen Schalenmodell verglichen.

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Abb. 17: Modifizierung des Querschnitts der Westrampe der Köhlbrandbrücke, für die Anwendung des Verfahrens nach Schlaich und Scheef

Da das Verfahren nach Schlaich und Scheef konstante Dicken für die Stege und Platten voraus­setzt, wird der Querschnitt zuerst, wie in Abb. 17 dargestellt, modifiziert. Aus der Modifizie­rung des Querschnitts nach Abb. 17 ergeben sich die folgenden Werte:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Anschließend können aus den Formeln aus Abb. 14 und Abb. 16 die Querschnittswerte und die benötigten Beiwerte ermittelt werden.

Io = 0,00294 m[3]

Iu = 0,00092 m[3]

Is = 0,02542 m[3]

r0 = 21,3045

ru = 53,1192

ß = 0,78040

k5 = 58,4346

Für die Ermittlung der Querbiegemomente wurden somit alle nötigen Parameter bestimmt und im nächsten Schritt können die Querbiegemomente berechnet werden.

3.3.3 Ergebnisse aus dem Verfahren nach Schlaich und Scheef

Wie bereits erläutert, wird für das Verfahren nach Schlaich und Scheef kein elastisch gebetteter Balken ermittelt, sodass lediglich Ergebnisse für die Querbiegemomente durch eine Belastung aus antimetrischen Linienlasten vorliegen und nicht durch die Belastung aus antimetrischen Einzellasten. Ebenfalls können somit keine Längsnormalspannungen ermittelt werden. Da die Ermittlung des elastisch gebetteten Balkens nicht erfolgt, ergeben sich für alle Stützweiten die gleichen Querbiegemomente, welche in Tab. 8 aufgeführt sind.

Die Querbiegemomente werden am Steganschnitt oben mit einem negativen Vorzeichen und am unteren Steganschnitt mit einem positiven Vorzeichen versehen, um somit eine bessere Ver­anschaulichung der Ergebnisse bei den nachfolgenden Vergleichen zu erreichen. Die Vorzei­chenwahl ist lediglich zur Veranschaulichung gewählt, da die Vorzeichen aufgrund des anti­metrischen Lastfalls an allen Knotenpunkten des Querschnitts sowohl negativ als auch positiv ausfallen können und diese lediglich abhängig von der betrachteten Seite des Querschnitts sind.

Der Vergleich der Ergebnisse aus dem räumlichen Schalenmodell und dem Handrechenverfah­ren nach Lindlar erfolgt im weiteren Verlauf dieser Arbeit.

Tab. 8: Querbiegemomente (my) nach dem Verfahren von Schlaich und Scheef

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3.4 Verfahren nach Steinle

3.4.1 Funktionsweise des Verfahrens

Steinle verwendet in seiner Dissertation die gleiche Lastumordnung, wie sie auch Lindlar be­nutzt und in Abb. 8 dargestellt ist. Nach der Aufteilung der Belastungen nutzt er die Analogie zum elastisch gebetteten Balken, um die Schnittgrößen des Hohlkastenträgers anhand der pro­portionalen Schnittgrößen aus dem Ersatzsystem zu berechnen. Die Möglichkeit hierfür be­steht, wie bereits in Kapitel 3.2.1 und in Tab. 3 aufgeführt, da die Differentialgleichung des elastisch gebetteten Balkens gleich zu der Differentialgleichung der Profilverformung ist.

Um die Längsnormalspannungen aus einem antimetrischen Lastfall zu ermitteln, verwendet Steinle dabei die normierte Einheitsverwölbung, welche in Abb. 18 für einen Hohlkastenquer­schnitt dargestellt ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 18: normierte Einheitsverwölbung für einen Hohlkastenquerschnitt (vgl. Lindlar. 1970: 218)

Die Schnittgrößen für die Berechnung liefert auch hier der elastisch gebettete Balken über die Bestimmung der Momente und der Verformung des Balkens, wobei aus den Momenten die Längsnormalspannungen und aus den Verformungen die Querbiegemomente ermittelt werden. Norman Feddern Masterarbeit 27

Das Verfahren von Steinle kann allerdings lediglich auf rechteckige Querschnitte angewendet werden, welche in Längs- und Querrichtung konstante Querschnitte bzw. Dicken aufweisen. Ebenso kann mit dem Verfahren lediglich ein Lastangriff direkt über dem Steg berechnet wer­den. Dies ist allerdings, wie bereits in Abb. 11 gezeigt, für die Praxis nur von untergeordneter Bedeutung. Mit dem Verfahren lässt sich außerdem auch die Wölbkrafttorsion erfassen, wobei Steinle allerdings feststellt, dass die Schnittgrößen hieraus gering sind und daher vernachlässigt werden können (vgl. Steinle, 1970: 221).

Schubverformungen lassen sich mit dem Verfahren nach Steinle ebenfalls nicht berücksichti­gen.

3.4.2 Problematik des Verfahrens nach Steinle

Im Rahmen dieser Arbeit wurden auch Berechnungen mithilfe des Verfahrens nach Steinle durchgeführt. Zuerst wurde dafür die Beispielrechnung Steinles anhand der Henschbachtalbrü- cke nachgerechnet und ebenfalls als räumliches Schalenmodell modelliert, um die Schnittgrö­ßen miteinander zu vergleichen. Die Ergebnisse des Schalenmodells zeigen sowohl für die Querbiegemomente als auch die Längsnormalspannungen eine gute Übereinstimmung mit den Ergebnissen aus der Beispielrechnung von Steinle. Werden allerdings Parameter nur leicht ab­geändert, wie beispielsweise die Dicke der Fahrbahnplatte, so entstehen große Abweichungen zwischen dem Handrechenverfahren und dem räumlichen Schalenmodell. Das Verfahren nach Steinle gibt damit, bei leicht veränderten Parametern gegenüber der Beispielrechnung, keine sinnvollen Ergebnisse aus.

Grund für die Abweichungen und nicht sinnvollen Ergebnisse liegt vermutlich in der Schnitt­größenermittlung mithilfe des elastisch gebetteten Balkens, da die ermittelten Momente und Verformungen in der Beispielrechnung von Steinle zwar bei der Anwendung der gleichen For­meln, nicht aber bei einer Vergleichsrechnung mit Tabellenwerk oder Stabwerksprogrammen nachvollzogen werden können.

Da diese Differenzen im Rahmen der Arbeit nicht aufgeklärt werden konnten, wurde das Ver­fahren letztlich nicht weiterbearbeitet. Angemerkt werden muss allerdings, dass für das Ver­fahren nach Steinle lediglich Unterlagen aus der Fachzeitschrift „Beton- und Stahlbeton“ vor­lagen und nicht die Dissertation selbst. Wahrscheinlich ist, dass mithilfe der Dissertation die Berechnungen nach Steinle korrekt ausgeführt werden kann und sich zumindest ähnliche Er­gebnisse im Vergleich zu dem räumlichen Schalenmodell ergeben.

4 Verifizierung der Handrechenverfahren mithilfe eines räumlichen Schalenmodells

4.1 Erläuterung der FEM

Nach der Schnittgrößenermittlung mithilfe der beiden Handrechenverfahren aus Kapitel 3.3 und 3.4 werden nun die Ergebnisse mit einem räumlichen Schalenmodell unter Anwendung der FEM verglichen, um die Genauigkeit der Ergebnisse zu überprüfen.

Bei der FEM wird das Tragwerk in eine bestimmte Anzahl von Elementen unterteilt, welche an den Knotenpunkten miteinander verknüpft sind. Hierbei können bis zu sechs Verformungen erfasst werden, welche sich in drei Verschiebungs- und drei Verdrehungsgrößen unterteilen lassen. Die Ermittlung der Verformungen erfolgt dabei, indem eine Gesamtsteifigkeitsmatrix aufgestellt und gelöst wird, wobei aus den Verformungen anschließend Schnittgrößen für jedes Element ermittelt werden können. Für die Aufstellung und Lösung der Steifigkeitsmatrix kommt dabei üblicherweise das Weggrößenverfahren, in der Form des Drehwinkelverfahrens, zur Anwendung.

Die FEM kann dabei sowohl für eindimensionale Stabwerke, zweidimensionale Platten-, Schei­ben- sowie Schalenelemente und für dreidimensionale Volumenelemente angewendet werden. Hierbei muss betont werden, dass die heutigen Programme zur Berechnung mithilfe der FEM inzwischen deutlich komplexere Algorithmen besitzen, welche beispielsweise die Berechnung von größeren Systemen beschleunigen oder genauere Lösungen mithilfe von verschiedenen Ansatzfunktionen ermöglichen. Genauere Erläuterungen für die Funktionsweise und die Be­rechnung mithilfe der FEM kann in entsprechender Fachliteratur nachvollzogen werden.

Weiterhin ist zu beachten, dass es sich bei der FEM immer um eine Näherungslösung handelt, welche zwar durch eine feine Diskretisierung der Elemente sehr genaue Ergebnisse liefert, al­lerdings niemals eine exakte Lösung berechnet.

Für die Berechnung des FEM Schalenmodells kommen viereckige „SH46“ Schalenelemente des Programmes „InfoCAD“ von Infograph zur Anwendung. Die Elemente erlauben eine Be­rechnung von drei Verschiebungen sowie drei Verdrehungen an jedem Elementknoten. Dies ist notwendig, da die Stege und Platten des Hohlkastens sowohl in Scheiben- als auch in Platten­ebene beansprucht werden, was nur mit Schalenelementen erfasst werden kann.

Alternativ könnte das FEM Modell auch mithilfe von Volumenelementen modelliert werden, um so den Querschnitt bestmöglich abzubilden. Allerdings werden hierbei lediglich die Span­nungen ermittelt und es können keine Querbiegemomente ausgelesen werden, welche stattdes­sen händisch aus den Spannungen berechnet werden müssten. Somit ist diese Art der Model­lierung für die Ermittlung der Schnittgrößen infolge der Profilverformung unvorteilhaft und wird nicht weiterverfolgt.

4.2 Modellierung des Querschnitts als Schalenmodell

Der Querschnitt der Westrampe der Köhlbrandbrücke weist in Querrichtung veränderliche ge- voutete Stege sowie Fahrbahn- und Bodenplatten auf, welche berücksichtigt werden, indem die Elemente in entsprechenden Bereichen mit unterschiedlichen Dicken modelliert sind, was in Abb. 19 dargestellt ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 19: Modellierung des Querschnitts der Westrampe der Köhlbrandbrücke als Schalenmodell

Weiterhin sind die Elemente mit Exzentrizitäten versehen, sodass die Fahrbahn- und die Bo­denplatte, abgesehen von den Kappen, eine ebene Ober- bzw. Unterseite erhalten, was ebenfalls in Abb. 19 zu erkennen ist.

Für die Diskretisierung des Modells wurde eine Elementlänge von < 50 cm angestrebt, um si­cherzustellen, dass die Ergebnisse ausreichend genau ermittelt werden, da es sich bei der FEM lediglich um eine Näherungslösung handelt.

In den Auflagerachsen sind außerdem Stützquerträger angeordnet, welche mit einer Scheiben­dicke von 80 cm angesetzt werden und in Abb. 20 zu sehen sind.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 20: Modellierung der Stützquerträger im Schalenmodell

Der Lastansatz für die antimetrischen Linien- und Einzellasten erfolgt gleich zu dem Lastansatz für die Handrechenverfahren, indem die Belastungen auf dem mittleren Feld des Dreifeldträ­gers direkt über der Stegachse angreifen, wobei die Einzellasten in Feldmitte wirken.

Die beiden Lastfälle sind außerdem in Abb. 21 und Abb. 22 veranschaulicht.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 21: antimetrische Linienlast über den Stegen des Schalenmodells

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Abb. 22: antimetrische Einzellast über den Stegen in Feldmitte des Schalenmodells

Die Auflager wurden als Punktlager mit dem Abstand von 2,35 m von der Symmetrieachse des Querschnitts modelliert. Alle Auflager sind in der z-Achse festgehalten und die Festhaltungen der x- und y-Achse sind in der nachfolgenden Abb. 23 dargestellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 23: Systemskizze der Festhaltungen für die x-Achse und y-Achse

Die Schalenmodelle sind in den Anhängen A6 bis A9 aufgeführt.

4.3 Ergebnisse des Schalenmodells

Die Längsnormalspannungen des Schalenmodells werden in InfoCAD für die Ober- und Un­terseite eines jeden Elements als aXt0 und aXtU ausgegeben. Da sich die Ergebnisse der Hand­rechnung allerdings auf die Achsen des Querschnitts beziehen, werden für den Vergleich Mit­telwerte aus den Spannungen der Ober- und Unterseite der Elemente des Schalenmodells ge­bildet. Verglichen werden die Längsnormalspannungen und Querbiegemomente an dem oberen und unteren Steganschnitt, welche sich nur geringfügig von den Spannungen in der Fahrbahn- bzw. Bodenplatte unterscheiden.

Die aus den antimetrischen Einzellasten ermittelten Werte für die Längsnormalspannungen und Querbiegemomente werden für den oberen Steganschnitt mit einem geringen Abstand von den belasteten Knoten angegeben, da die Schnittgrößen an dem direkt belasteten Knoten, aufgrund der lokalen Lasteinleitung bei Einzellasten, deutlich höher sind und somit nicht zu vergleich­baren Ergebnisse führen würden.

Die Längsnormalspannungen und Querbiegemomente werden am Steganschnitt oben mit ei­nem negativen Vorzeichen und am unteren Steganschnitt mit einem positiven Vorzeichen ver­sehen, um somit eine bessere Veranschaulichung der Ergebnisse bei den nachfolgenden Ver­gleichen zu erreichen. Die Vorzeichenwahl ist allerdings lediglich zur Veranschaulichung ge­wählt, da die Vorzeichen aufgrund des antimetrischen Lastfalls an allen Knotenpunkten des Querschnitts sowohl negativ als auch positiv ausfallen können und die Vorzeichen lediglich abhängig von der betrachteten Seite des Querschnitts sind.

Tab. 9: Längsnormalspannungen (uz) aus dem Schalenmodell

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Tab. 10: Querbiegemomente (my) aus dem Schalenmodell

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4.4 Vergleich der Ergebnisse der Handrechenverfahren und desSchalenmodells

4.4.1 Vergleich der Längsnormalspannungen und Querbiegemomente

Nachdem die Berechnungen der Handrechenverfahren und des räumlichen Schalenmodells ab­geschlossen sind, können nun die Ergebnisse miteinander verglichen werden. Zuerst erfolgt der Vergleich der Längsnormalspannungen aus den beiden Lastfällen in den nachfolgenden Abb. 24 und Abb. 25.

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Abb. 24: Vergleich der Längsnormalspannungen aus dem räumlichen Schalenmodell und dem Verfahren nach Lindlar für Lastfall 1, antimetrische Linienlast

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Abb. 25: Vergleich der Längsnormalspannungen aus dem räumlichen Schalenmodell und dem Verfahren nach Lindlar für Lastfall 2, antimetrische Einzellast

Die Längsnormalspannungen, welche mit dem Verfahren nach Lindlar berechnet wurden, sind für den ersten Lastfall im Vergleich mit dem Schalenmodell zu gering. Lediglich bei der Schlankheit von L/H = 10 am unteren Steganschnitt zeigt sich eine gute Übereinstimmung der Spannungen mit dem Schalenmodell. Für den zweiten Lastfall aus den antimetrischen Einzel­lasten zeigt sich ein besseres Ergebnis, wobei auch hier die Spannungen am oberen Stegan­schnitt etwas zu gering im Vergleich zum Schalenmodell sind.

Weiterhin lässt sich erkennen, dass die Spannungen für das Verfahren nach Lindlar beim ersten Lastfall schnell abklingen und gegen null tendieren. Dieser Trend ist zwar auch für das Scha­lenmodell erkennbar, allerdings verläuft dieser flacher, sodass sich bei einer Schlankheit von L/H = 25 eine deutliche Differenz zwischen dem Schalenmodell und dem Verfahren nach Lind­lar erkennen lässt. Die Längsnormalspannungen aus den Einzellasten hingegen sind für alle Stützweiten nahezu gleich groß und die Differenz zwischen dem Schalenmodell und dem Ver­fahren nach Lindlar ist sehr gering.

Der Vergleich der Querbiegemomente erfolgt ebenso für die beiden Lastfälle aus antimetrischer Linienlast und antimetrische Einzellast in den nachfolgenden Abb. 26 und Abb. 27. Hierbei werden für die Belastung aus den antimetrischen Linienlasten auch die Ergebnisse des Verfah­rens nach Schlaich und Scheef mit aufgeführt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 26: Vergleich der Querbiegemomente aus dem räumlichen Schalenmodell, dem Verfahren nach Lindlar und dem Verfahren nach Schlaich und Scheef für Lastfall 1, antimetrische Linienlast

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 27: Vergleich der Querbiegemomente aus dem räumlichen Schalenmodell und dem Verfahren nach Lindlar für Lastfall 2, antimetrische Einzellast

Im Gegensatz zu den Längsnormalspannungen zeigen die berechneten Querbiegemomente aus dem Verfahren nach Lindlar für beide Lastfälle eine äußerst gute Übereinstimmung mit den Ergebnissen des Schalenmodells. Lediglich die Querbiegemomente des Verfahrens nach Lind­lar bei dem zweiten Lastfall am oberen Steganschnitt, haben eine größere Abweichung von den Querbiegemomenten des Schalenmodells. Das Verfahren von Schlaich und Scheef hingegen erreicht für den oberen Steganschnitt erst bei einer Schlankheit von L/H = 20 eine gute Über­einstimmung mit dem Schalenmodell, während die Querbiegemomente am unteren Stegan­schnitt für alle Schlankheiten größere Differenzen aufweisen.

Anders als bei den Längsnormalspannungen nehmen die Querbiegemomente mit steigender Stützweite bis zu einem Maximum zu und verlaufen danach annähernd linear. Dieses Maximum wird für Einzellasten bereits bei der Schlankheit von L/H = 15 erreicht, während die Querbie­gemomente durch Linienlasten erst bei einer Schlankheit von L/H = 20 einen annähernd linea­ren Verlauf aufweisen.

4.4.2 Interpretation der Ergebnisse

Bei der Ermittlung der Längsnormalspannungen aus antimetrischen Linienlasten liefert das Verfahren für fast alle Stützweiten deutlich zu geringe Spannungen, sodass die Ergebnisse auf der unsicheren Seite liegen. Außerdem lässt sich erkennen, dass durch das Ersatzsystem die Längsnormalspannungen gegen null tendieren, wie dies bei einem unendlich langen, elastisch gebetteten Balken der Fall ist, während die Spannungen des Schalenmodells bei den zunehmen­den Schlankheiten zwar ebenfalls geringer werden, aber langsamer abnehmen.

Die Längsnormalspannungen aus den antimetrischen Einzellasten hingegen klingen nicht ab, sondern bleiben für alle Stützweiten nahezu konstant. Sowohl das Schalenmodell, als auch das Handrechenverfahren nach Lindlar berücksichtigen dies korrekt, wobei auch hier etwas größere Spannungen mit dem Schalenmodell ermittelt werden und das Handrechenverfahren auf der unsicheren Seite liegt.

Für die exakte Berechnung der Längsnormalspannungen infolge von Profilverformungen sollte daher besser auf ein Schalenmodell zurückgegriffen werden, da somit sichergestellt werden kann, dass die berechneten Spannungen nicht zu gering ausfallen. Gründe für die Abweichun­gen der Längsnormalspannungen sind vermutlich die nicht berücksichtigten Einflüsse der Wölbkrafttorsion und der Schubverformung. Weiterhin liegen dem Verfahren nach Lindlar ei­nige weitere Vereinfachungen, wie beispielsweise bei der Ermittlung des Ersatzträgheitsmo­ments, zugrunde, welche wahrscheinlich ebenfalls zu den Abweichungen beitragen.

Die Querbiegemomente hingegen zeigen eine deutlich bessere Übereinstimmung zwischen dem Schalenmodell und dem Verfahren nach Lindlar, sodass diese auch mit dem Handrechenver­fahren korrekt ermittelt werden können. Zwar sind die Abweichungen der Querbiegemomente am oberen Steganschnitt bei Einzellasten etwas größer, allerdings liegen die Abweichungen noch in einem akzeptablen Rahmen. Das Verfahren nach Schlaich und Scheef ohne Ermittlung eines elastisch gebetteten Balkens hingegen ist nur für ausreichend große Stützweiten eine gute Annäherung für die Ermittlung der Querbiegemomente, wobei die Querbiegemomente am un­teren Steganschnitt etwas zu gering ausfallen. Somit ist das Verfahren bei größeren Schlank­heiten gut geeignet, um Ergebnisse zu überprüfen oder eine erste überschlägige Schnittgrö­ßenermittlung durchzuführen. Genauere Querbiegemomente sowie auch Längsnormalspannun- gen infolge der Profilverformung können mit dem Verfahren nach Schlaich und Scheef aller­dings nur mithilfe des elastisch gebetteten Balkens ermittelt werden, was einen deutlich größe­ren Aufwand erzeugt.

Wird ein elastisch gebetteter Balken als Ersatzsystem herangezogen, wie bei dem Verfahren nach Lindlar, zeigt sich allerdings ein nicht unerheblicher Aufwand, da neben dem elastisch gebetteten Balken auch der Querrahmen modelliert werden muss. Weiterhin ist eine Lastauf­teilung in den antimetrischen und symmetrischen Lastfall nötig, welche beide berechnet und anschließend überlagert werden müssen, um die Schnittgrößen infolge der unsymmetrischen Belastung zu erhalten. Bei einem Schalenmodell hingegen ist diese Aufteilung nicht notwendig und es kann direkt eine unsymmetrische Last aufgebracht werden. Außerdem erlaubt das Scha­lenmodell ebenfalls die Berücksichtigung unterschiedlicher Laststellungen, während das Ver­fahren nach Lindlar ausschließlich für einen Lastangriff direkt auf den Stegen anwendbar ist.

Zusammenfassend zeigt sich, dass mit modernen FEM Programmen die Berechnung der Schnittgrößen aus der Profilverformung nicht wesentlich komplexer oder aufwendiger ist, als aus dem Handrechenverfahren nach Lindlar. Darüber hinaus können deutlich mehr Einflüsse und Randbedingungen berücksichtigt werden, welche mit dem Verfahren nach Lindlar nicht erfassbar sind. Weiterhin erlaubt das Schalenmodell auch eine Berechnung im Zustand II des Systems, was mit dem Verfahren nach Lindlar, sowie den meisten anderen Handrechenverfah­ren, nicht möglich ist.

4.4.3 Verifizierung der Falluntersuchungen von Hofbauer

Hofbauer untersucht in seiner Arbeit „Zur Berechnung des unsymmetrisch belasteten Kasten­trägers“ den Einfluss der Profilverformungen für unterschiedliche Querschnitte und Stützwei­ten. Hierfür ermittelt Hofbauer die Längsnormalspannungen und Querbiegemomente aus einer unsymmetrischen Linien- bzw. Einzellast, welche direkt über dem Steg angreift, für die Stütz­weiten von 30 m, 50 m, 70 m und 100 m. Die Längsnormalspannungen und Querbiegemomente aus der Linien- und Einzellast sind in Abb. 30 und Abb. 31 dargestellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 28: Infolge einer 100 kN/m Linienlast ermittelten a) Längsnormalspannungen aus der Profilverformung an der Unterseite des Steges und b) Querbiegemomente im Steganschnitt zur Fahrbahnplatte (vgl. Borkowski, 2014: 21)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 29: Infolge einer 1000 kN Einzellast ermittelten a) Längsnormalspannungen aus der Profilverformung an der Unterseite des Steges und b) Querbiegemomente im Steganschnitt zur Fahrbahnplatte (vgl. Borkowski, 2014: 20)

In seinen Berechnungen ermittelt Hofbauer, dass die Querbiegemomente, sowohl infolge der Linien- als auch der Einzellast, schnell einen Grenzwert erreichen und diese mit zunehmenden Stützweiten nicht weiter ansteigen. Der Maximalwert wird dabei für eine unsymmetrische Ein­zellast bereits bei der 30 m Stützweite erreicht, während sich der Grenzwert aus der unsymmet­rischen Linienlast erst bei einer Stützweite von 50 m einstellt. Diese Ergebnisse können anhand der Schnittgrößen des Schalenmodells verifiziert werden. Auch bei dem Schalenmodell stellt sich der Maximalwert für die Querbiegemomente aus antimetrischen Einzellasten bei einer Stützweite von 35 m ein. Bei antimetrischen Linienlasten treten die maximalen Querbiegemo­mente erst bei einer Stützweite von 55 m auf, was sich ebenfalls mit den Ergebnissen Hofbauers in Abb. 28 deckt.

Die Längsnormalspannungen aus einer unsymmetrischen Linienlast hingegen nähern sich mit zunehmender Stützweite nach Hofbauer gegen null an und es zeigt sich generell ein Abnehmen des Einflusses der Profilverformung bei größerer Schlankheit. Auch dieser Effekt zeigt sich in den Ergebnissen des Schalenmodells, wobei die Längsnormalspannungen hier langsamer ab­klingen und bei einer Stützweite von 85 m noch nicht gegen null laufen. Die Spannungen aus Hofbauers Berechnungen in Abb. 28 hingegen, tendieren bei einer 70 m Stützweite bereits ge­gen null. Diese Differenzen sind sehr ähnlich zu denen, welche bereits bei dem Vergleich des Verfahrens nach Lindlar mit dem Schalenmodell festgestellt wurden. Mit dem Schalenmodell kann ebenfalls bestätigt werden, dass die Längsnormalspannungen infolge der Profilverformun­gen aus einer Einzellast für fast alle Schlankheiten gleich sind und mit zunehmender Stützweite nur in äußerst geringem Maße abnehmen, wie dies nach Hofbauer in Abb. 29 zu sehen ist.

5 Untersuchung verschiedener Modellierungsvarianten

5.1 Stabwerkssystem mit 6 Freiheitsgraden oder 7 Freiheitsgraden

5.1.1 Funktionsweise und Modellierung des Stabwerks

Für die Ermittlung der Schnittgrößen eines Hohlkastenträgers ist es üblich, die Längs- und Qu­errichtung in getrennten Systemen zu berechnen. Hierbei bietet sich für die Längsrichtung die Berechnung als Stabwerks system an, da sich somit ein einfaches und anschauliches System ergibt, an welchem die Biegemomente, Querkraft und Torsionsmomente übersichtlich ermittelt werden können. Besonders vorteilhaft bei der Modellierung als Stabwerkssystem ist außerdem, dass die Fehleranfälligkeit aufgrund der einfachen Modellierung stark verringert wird.

Die Modellierung der Längsrichtung als Stab ist nach dem Nationalen Anhang der DIN 1992­2 allerdings nur zulässig, wenn die Geometriegrenzwerte, welche in Kapitel 1.2 erläutert wur­den, eingehalten sind und der Hohlkastenträger als torsionssteifer Stab betrachtet werden darf. Bei der Annahme des torsionssteifen Stabes verdreht sich der Stab infolge von Torsionsbelas­tungen, aber bleibt in seiner Querschnittsform erhalten, sodass keine Profilverformungen auf­treten.

Als erste Modellierungsvariante für die Berechnung der Längsrichtung wird deshalb das Sys­tem als Stabwerk mit sechs Freiheitsgraden berechnet. Bei der Modellierung als Stabwerkssys­tem bleiben die Profilverformungen unberücksichtigt. Dadurch kann der Fehler, welcher bei einer Vernachlässigung der Profilverformungen auftritt, ermittelt werden.

Mit modernen Stabwerksprogrammen wird die Berechnung von Stabwerken ebenfalls mit der FEM ausgeführt, wobei die Elemente nahezu gleich zu den Erläuterungen aus Kapitel 4.1 auf­gebaut sind. Der Unterschied besteht hauptsächlich darin, dass die Elemente lediglich einen Knoten am Anfang und am Ende aufweisen und sich somit keine flächigen Elemente mit vier Knoten, sondern stattdessen Stäbe mit zwei Knoten ergeben. Bei der Modellierung mit sechs Freiheitsgraden können dabei ebenfalls drei Verschiebungen und drei Verdrehungen an jedem Knoten ermittelt werden. Allerdings bieten inzwischen einige Stabwerksprogramme auch Ele­mente mit sieben Freiheitsgraden an, welche zusätzlich die Verwölbung eines Stabes erfassen können und somit die Effekte der Wölbkrafttorsion korrekt berechnet werden. Für die Model­lierung als Stabwerk wird in dieser Arbeit daher ein Stabwerk mit sechs und eines mit sieben Freiheitsgraden berechnet. Die Berechnung des Stabwerks mit sieben Freiheitsgraden erfolgt mit der Software „RSTAB 9“ und die Modellierung des Stabwerks mit sechs Freiheitsgraden mit „InfoCAD“. Die Schnittgrößenermittlung unter Berücksichtigung der Wölbkrafttorsion soll hierbei als Möglichkeit überprüft werden, um eine Annäherung der unterschiedlichen Spannun­gen in den Stegen aus der Profilverformung zu erhalten. Unabhängig von der Anzahl der Frei­heitsgrade läuft die Modellierung der Stabwerke gleich ab.

Für die Modellierung wird für die Elemente der Querschnitt des Hohlkastens angesetzt und mit den entsprechenden Stützweiten eingegeben. Bei torsionssteifen Lagern werden diese üblicher­weise seitlich vom Stab angeordnet, was in Abb. 30 veranschaulicht ist, um somit auch die Verteilung der Lasten auf die Lager ermitteln zu können. Die Festhaltungen der einzelnen Lager sind dabei gleich zu denen des Schalenmodells und können aus Abb. 23 entnommen werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 30: Modellierung eines Stabwerkssystems mit exzentrischem Lastangriff

Die Querträger zu den Auflagern, links und rechts des Stabes, werden dabei unendlich steif angesetzt. Weiterhin müssen die Lasten in Längsrichtung zu Linien- und Einzellasten aufsum­miert werden, da keine Flächenlasten auf einen Stab aufgebracht werden können. Exzentrische Lasten werden berücksichtigt, indem die entstehende Torsionsbelastung ermittelt und zusätz­lich auf den Stab aufgebracht wird, was ebenfalls in Abb. 30 dargestellt ist. Letztlich sollte eine ausreichend feine Diskretisierung der Elemente vorgenommen werden, um möglichst genaue Schnittgrößen zu berechnen.

Da bei dem Vergleich der unterschiedlichen Modellierungsvarianten die Schnittgrößen infolge der Profilverformung im Vordergrund stehen, werden die Lasten so angepasst, dass sich für alle Stützweiten das gleiche Biegemoment, ergibt und somit auch die Längsnormalspannungen, in­folge der reinen Biegebelastung, für alle Stützweiten gleich sind. Differenzen bei den Längs- normalspannungen für die verschiedenen Stützweiten ergeben sich deshalb lediglich aus der Profilverformung und der Wölbkrafttorsion. Die Lasten für die unterschiedlichen Stützweiten sind in der Tab. 11 zusammengefasst und werden, abgesehen von den Torsionsmomenten, für alle Modellierungsvarianten angewendet.

Tab. 11: angesetzte Lasten für die unterschiedlichen Stützweiten, Werte in Klammern für die Torsionsmomente der Stabwerkssysteme

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da die Lasten für die Stabwerkssysteme nicht exzentrisch angesetzt werden können, werden zusätzlich Torsionsmomente angesetzt.

Die Modelle der Stabwerkssysteme mit sechs oder sieben Freiheitsgraden können in den An­hängen A10 bis A13 bzw. A14 bis A17 nachvollzogen werden.

5.1.2 Erfassung der unterschiedlichen Längsnormalspannungen für das Stabwerkssystem mithilfe des Schalenmodells

Stabwerkssysteme können, wie bereits erläutert, die Profilverformung und somit die unter­schiedlichen Längsnormalspannungen in den Stegen nicht berücksichtigen. Allerdings bieten sie aufgrund der einfachen und nachvollziehbaren Modellierung eine gute Lösung für die Schnittgrößenermittlung der Längsrichtung des Hohlkastenträgers. Um das System in Längs­richtung weiterhin mithilfe eines Stabwerks berechnen zu können, wird mithilfe eines Schalen­modells ein Faktor zur Erhöhung der Spannungen aus unsymmetrischen Linien- und Einzellas­ten bestimmt. Dieses Vorgehen ist sinnvoll, wenn für die Berechnung der Querrichtung bereits ein Schalenmodell angewandt wird, da sich der Faktor mithilfe des Schalenmodells schnell er­mitteln lässt und wenig zusätzlicher Aufwand entsteht.

Zur Ermittlung des Faktors für die Erhöhung der Längsnormalspannungen in den Stegen wird das Schalenmodell jeweils mit einer antimetrischen Linien- bzw. einer antimetrischen Einzel­last belastet und die resultierenden Längsnormalspannungen werden mit den Längsnormalspan­nungen aus einer symmetrischen Belastung ins Verhältnis gesetzt. Dieses Verfahren zur ver­einfachten Berücksichtigung der Profilverformung schlägt auch Lindlar in seiner Dissertation vor (vgl. Lindlar, 1984: 82).

Wichtig ist hierbei, dass ein separater Faktor für die Einzel- und Linienlasten errechnet wird, da sich die resultierenden Spannungen deutlich unterscheiden und dies lediglich mit verschie­denen Faktoren korrekt berücksichtigt werden kann. Weiterhin sollten auch die Faktoren für die Erhöhung der Spannungen am oberen und unteren Steganschnitt getrennt ermittelt werden, da sich auch hier die Längsnormalspannungen unterschiedlich verteilen können.

Die Ermittlung eines solchen Faktors zur Erhöhung der Längsnormalspannungen am unteren Steganschnitt wird hier einmal beispielhaft für die 35 m Stützweite durchgeführt. In Abb. 31 und Abb. 32 sind die Längsnormalspannungen aus den antimetrischen Linienlasten dargestellt, um die Längsnormalspannungen aus der Profilverformung zu ermitteln.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 31: Längsnormalspannungen im untern Steganschnitt aus einer antimetrischen Linienlast, oXt0 in [MN/m[2]]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 32: Längsnormalspannungen im oberen Steganschnitt aus einer antimetrischen Linienlast, aXiU in [MN/m2]

Aus den Längsnormalspannungen können die gemittelten Längsnormalspannungen aus der

Profilverformung berechnet werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Anschließend kann mithilfe einer symmetrischen Belastung auf einem Stabwerk der Erhö­hungsfaktor für die Längsnormalspannungen ermittelt werden. Die Last auf dem Stabwerk be­trägt dabei die Summe der Betragswerte der antimetrischen Lasten, was in diesem Fall 100 kN/m als Linienlast ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Spannungen aus dem Stabwerkssystem bei einer symmetrischen Belastung sind in Abb. 33 veranschaulicht.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 33: Längsnormalspannungen des Stabwerkssystems aus Linienlast mit 100 kN/m, oXtU in [MN/m[2]]

Aus den Spannungen der Abb. 31 bis Abb. 33 kann nun der Erhöhungsfaktor bestimmt werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mithilfe des Erhöhungsfaktors können nun die Längsnormalspannungen eines Stabwerks an­gepasst werden, um die maximalen Längsnormalspannungen in den Stegen zu ermitteln, welche bei einer unsymmetrischen Belastung auftreten. In diesem Beispiel wird das Stabwerkssystem dafür mit einer 50 kN/m Linienlast belastet und die resultierenden Spannungen ermittelt, was in Abb. 34 dargestellt ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 34: Längsnormalspannungen des Stabwerkssystems aus Linienlast mit 50 kN/m, aXiU in [MN/m[2]]

Die maximalen Längsnormalspannungen unten von 0,628 MN/m2 können nun mit dem Faktor erhöht werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um das Ergebnis zu verifizieren, wird auch das Schalenmodell mit einer unsymmetrischen Li­nienlast von 50 kN/m belastet und die resultierenden Längsnormalspannungen sind in Abb. 35 und Abb. 36 zu sehen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 35: Längsnormalspannungen in den Stegen aus einer unsymmetrischen Linienlast, oXt0 in [MN/m[2]]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 36: Längsnormalspannungen in den Stegen aus einer unsymmetrischen Linienlast, aXiU in [MN/m2]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es zeigt sich, dass die erhöhten Längsnormalspannungen des Stabwerksmodells, von 0,985 MN/m2, sehr gut mit den Längsnormalspannungen des Schalenmodells, von 0,975 MN/m2, übereinstimmen.

Der ermittelte Faktor gilt in dem gezeigten Beispiel lediglich für einen direkten Lastangriff auf den Stegen. In Kapitel 3.2.1 wurde bereits erläutert, dass daraus für übliche Hohlkastenträger die größten Schnittgrößen infolge der Profilverformung entstehen. Somit kann der Faktor, auf der sicheren Seite liegend, für alle unsymmetrischen Lastfälle angewendet werden. Alternativ könnten allerdings auch verschiedene Laststellungen für die Querrichtung im Schalenmodell betrachtet werden, um so entsprechend unterschiedliche Faktoren zu ermitteln und die Längs­normalspannungen für das Stabwerkssystem genauer zu ermitteln.

5.2 Trägerrostmodell

5.2.1 Funktionsweise und Modellierung

Ein Trägerrostmodell besteht, wie auch das übliche Stabwerksmodell, aus Stäben mit sechs Freiheitsgraden, welche mithilfe der FEM berechnet werden und ebenfalls lediglich die Schnitt­größen in Längsrichtung des Hohlkastenträgers ermitteln können. Allerdings besteht das Trä­gerrostmodell aus einer deutlich höheren Anzahl von Stäben.

Bei einem Trägerrostmodell wird das Modell üblicherweise in zwei oder mehr Längsträger und in Querträger unterteilt, welche beispielsweise im Abstand von einem Meter angeordnet wer­den. Die Querträger bilden damit in der Regel eine Platte nach, um die Querverteilung von Lasten auf die Längsträger zu erfassen. Besonders geeignet ist diese Modellierung beispiels­weise bei Plattenbalkenbrücken. Hierbei werden die Stege als Längsträger modelliert und die Platte als Querträger aufgeteilt, um ein realitätsnahes, aber dennoch übersichtlich und nachvoll­ziehbares Modell zu erhalten.

Auch bei dem Hohlkastenträger werden die Stege als Längsträger herangezogen, wobei zu be­achten ist, dass auch die Fahrbahn- und Bodenplatte für die Längsträger mit angesetzt werden. Die Modellierung eines Trägerrostes wird anhand des Querschnitts der Westrampe der Köhl­brandbrücke im nachfolgenden Kapitel aufgezeigt.

Um die Torsionsmomente des Trägerrostmodells zu berechnen ist es sinnvoll, zusätzlich einen Torsionsstab einzufügen, welcher lediglich die Torsionsmomente aufnimmt, damit diese nicht mehr aus den Längsträgern aufaddiert werden müssen. Diese Modellierungsvariante ist insbe­sondere bei mehrzelligen Hohlkastenträgern zu empfehlen, da hierbei bereits aus dem Eigen­gewicht Torsionsmomente in den einzelnen Längsträgern entstehen, welche sich allerdings auf­summiert zu null ergeben und dies mit einem entsprechenden Torsionsstab direkt erfasst wird.

Für die Ermittlung der Torsionssteifigkeit des Torsionsstabes muss allerdings der Gesamtquer­schnitt herangezogen werden, da die aufsummierten Torsionssteifigkeiten der einzelnen Längs- träger deutlich geringer sind und somit zu falschen Werten führen würden. Der Torsionsstab wird anschließend mit Kopplungen, welche lediglich die Torsion der Längsträger an den Tor­sionsstab weitergeben, an die Längsträger angeschlossen. Die Längsträger erhalten hingegen keine Torsionssteifigkeit und der Torsionsstab erhält keine Biegesteifigkeit.

Anders als die Ermittlung der Steifigkeiten der Längsträger und des Torsionsstabes ist die Er­mittlung der Biege- und Torsionssteifigkeiten der Querträger, aufgrund der Querschnittsform des Hohlkastenträgers, problematisch. Dies liegt daran, dass sowohl die Fahrbahn- als auch die Bodenplatte zur Querverteilung der Lasten beitragen und die Verformungen der Stege nicht nur an der Oberkante, sondern auch an der Unterkante behindern. Dieses Verformungsverhalten lässt sich allerdings mit dem Trägerrost, aufgrund der Einschränkung bei der Modellierung mit Stabelementen, nicht nachbilden. Für die Ermittlung der Biegesteifigkeit der Querträger erge­ben sich daher zwei Grenzfälle. Es können entweder nur die Eigenbiegesteifigkeiten der Platten einzeln angesetzt werden oder es wird ebenfalls der Steiner-Anteil angesetzt, um die Biegestei­figkeit der Querträger deutlich zu erhöhen und somit auch die Querverteilung der Lasten zu verbessern.

Im Rahmen dieser Arbeit wurden beide Grenzfälle untersucht, wobei sich die Momentenver­teilung auf die Längsträger eher dem des Schalenmodells annähert, wenn der Steiner-Anteil bei der Ermittlung der Biegesteifigkeit vernachlässigt wird. Allerdings liegt die tatsächliche Stei­figkeit dazwischen und keiner der Grenzfälle kann als gute Annäherung angesehen werden, weshalb für die Biegesteifigkeit der Querträger der Mittelwert der beiden Grenzfälle gewählt wird.

Die Biegesteifigkeit kann so angepasst werden, dass die Momentenverteilung mit der des Scha­lenmodells übereinstimmt. Allerdings ist der praktische Nutzen des Trägerrostmodells dann nicht mehr gegeben, da eine Modellierung des Schalenmodells zur Abstimmung des Trägerros­tes notwendig wird und stattdessen auf die Berechnung der Längsnormalspannungen mit einem Erhöhungsfaktor für das Stabwerksmodell aus Kapitel 5.1.2 zurückgegriffen werden sollte.

Die Torsionssteifigkeit der Querträger wird lediglich aus den Torsionssteifigkeiten der einzel­nen Platten ermittelt, da eine größere Torsionssteifigkeit kaum Einfluss auf die Lastverteilung und die Schnittgrößen im Modell hat.

Für die Auflager des Trägerrostmodells werden die Lager ebenfalls in den entsprechenden La­gerachsen angeordnet und es werden dieselben Festhaltungen definiert, wie dies im Schalen­modell und auch im Stabwerkssystem modelliert wird und in Abb. 23 veranschaulicht ist.

Ein Trägerrostmodell ist in der nachfolgenden Abb. 37 aufgeführt, um zu veranschaulichen, wie das Modell aufgebaut ist. Außerdem sind die Trägerrostmodelle mit allen wichtigen Ein­gabeparametern in den Anhängen A18 bis A21 aufgeführt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 37: Ausschnitt aus Trägerrostmodell mit Erläuterungen zur Modellierung des Trägerrostsystems

Die Trägerrostmodellierung hat somit einen höheren Aufwand als die Modellierung als Einzel­stab, allerdings bietet sie trotzdem eine übersichtliche und nachvollziehbare Erfassung des Sys­tems. Außerdem wird mithilfe des Trägerrostmodells die Querverteilung der Lasten auch in Abhängigkeit von der Distanz zu den Auflagern ermittelt, sodass sich genauere Auflagerkräfte, als mit dem Stabwerkssystem, ermitteln lassen. Schwierig ist jedoch die Ermittlung der Biege­steifigkeit der Querträger für eine korrekte Querverteilung der Lasten.

5.2.2 Ermittlung der Steifigkeiten für die Trägerrostmodelle

Um die Modellierung der Trägerroste besser nachvollziehen zu können, wird im Folgenden das Trägerrostsystem für die 35 m Stützweite genauer erläutert. Die anderen Stützweiten sind iden­tisch aufgebaut.

Zuerst wird der Gesamtquerschnitt der Westrampe der Köhlbrandbrücke aufgeteilt, um daraus zwei Längsträger zu erhalten und die Steifigkeiten ermitteln zu können. Der aufgeteilte Quer­schnitt ist in Abb. 38 zu sehen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 38: Aufteilung des Querschnitts der Westrampe der Köhlbrandbrücke, für die Modellierung der Längsträger im Trägerrost

Die Biegesteifigkeiten der Längsträger ergeben sich somit jeweils zur Hälfte der Steifigkeiten des Gesamtquerschnittes. Für die Ermittlung der Biegesteifigkeiten sollten außerdem die mit­wirkenden Breiten ermittelt werden. Da das Trägerrostmodell lediglich in Feldmitte ausgewer­tet wird, wird auf eine Modellierung der mitwirkenden Breiten verzichtet. Stattdessen werden aus den Momenten der Längsträger die Spannungen, unter Berücksichtigung der mitwirkenden Breiten, berechnet.

Wie bereits erläutert, muss die Torsionssteifigkeit am Gesamtquerschnitt ermittelt werden, während die Biegesteifigkeiten des Torsionsstabes zu null gesetzt werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um die Ersatzsteifigkeiten der Querträger zu ermitteln, werden konstante Dicken für die Fahr­bahn- und Bodenplatte verwendet, wie dies ebenfalls für das Handrechenverfahren nach Sch­laich und Scheef angesetzt wurde und in Abb. 17 dargestellt ist.

Ermittelt man die Steifigkeit der Querträger lediglich aus den Eigenbiegesteifigkeiten so erge­ben sich diese wie nachfolgend:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Setzt man hingegen auch die Steiner-Anteile für die Ermittlung der Biegesteifigkeiten an, ergibt sich eine deutlich höhere Steifigkeit zu:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für die Trägerrostmodelle wird der Mittelwert der beiden Steifigkeiten für die Querträger an­gesetzt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hierbei muss angemerkt werden, dass sich die Breite b aufgrund des Abstands der Querträger mit 1,00 m ebenfalls zu 1,00 m ergibt und bei anderen Abständen entsprechend angepasst wer­den muss.

Die Ermittlung der Torsionssteifigkeit für die Querträger erfolgt lediglich aus den Torsionsstei­figkeiten der einzelnen Platten, da größere Torsionssteifigkeiten kaum Einfluss auf die Schnitt­größenermittlung haben.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Alle weiteren Steifigkeiten der verschiedenen Elemente des Trägerrostsystems sind im Anhang angefügt und werden hier nicht weiter behandelt, da sie für die Schnittgrößenermittlung nur eine untergeordnete Rolle spielen oder deren Steifigkeitsermittlung als bekannt vorausgesetzt wird.

Die Trägerrostmodelle werden ebenfalls mit einer unsymmetrischen Linien- und Einzellast in zwei Lastfällen berechnet, welche in Tab. 11 zusammengefasst sind. Da die Lasten auf dem Trägerrostmodell exzentrisch angesetzt werden können, ist keine Belastung durch ein zusätzli­ches Torsionsmoment notwendig.

5.3 Schalenmodell

Die Funktionsweise der FEM sowie auch der Aufbau der Schalenmodelle für die unterschied­lichen Stützweiten, ist bereits in Kapitel 4.2 für den Vergleich mit den Handrechenverfahren erläutert und wird für den Vergleich der Modellierungsvarianten genauso umgesetzt. Allerdings werden statt der antimetrischen Lastfälle die unsymmetrischen Lastfälle aus Tab. 11 berechnet.

Weiterhin werden außerdem Schalenmodelle modelliert, welche zusätzlich zu den Stützquer­trägern Schotten in den Drittelspunkten eines jeden Feldes enthalten. Diese Schalenmodelle werden untersucht, um den Einfluss des zweiten Geometriegrenzwertes des Nationalen An­hangs der Norm zu überprüfen. Der zweite Geometriegrenzwert fordert, dass das Verhältnis der Kastenbreite zu dem Abstand der Schotten >4 betragen muss, damit der Hohlkastenträger als torsionssteifer Stab angesehen werden darf und bei einer Verletzung des Grenzwertes ebenfalls die unterschiedlichen Längsnormalspannungen in den Stegen untersucht werden müssen. Mit der Anordnung von Schotten in den Drittelspunkten der Felder wird dieser Grenzwert unter­schritten, womit sich ebenfalls unterschiedliche Längsnormalspannungen in den Stegen einstel­len sollten, auch wenn das Verhältnis der Kastenhöhe zu dem Abstand der Stützquerträger >18 eingehalten ist. Die Verhältnisse der Abstände der Schotten zu der Kastenbreite für die unter­schiedlichen Stützweiten sind in Tab. 12 aufgeführt.

Tab. 12: Verhältnisse der Abstände der Schotten zur Kastenbreite für die unterschiedlichen Schlankheiten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Schotten in den Feldern der Hohlkastenträger haben dabei die gleiche Dicke und Ele­mentaufteilung wie die Stützquerträger, welche in Kapitel 4.2 veranschaulicht sind.

Die Schalenmodelle, welche zusätzlich Schotten in den Drittelspunkten erhalten, sind in den Anhängen A22 bis A25 angegeben.

5.4 Vergleich der Modellierungsvarianten

5.4.1 Überprüfung des Trägerrostmodells

Aufgrund der erläuterten Problematiken bei der Modellierung des Trägerrostmodells, insbeson­dere für die Ermittlung der Biegesteifigkeit der Querträger, werden zunächst einige Schnittgrö­ßen und die Verformungen der Trägerrostmodelle mit dem räumlichen Schalenmodell vergli­chen, um abschätzen zu können, ob sich das Trägerrostmodell als Modellierungsvariante für einen Hohlkastenträger eignet.

Für das Schalenmodell werden „Bemessungsobjekte“ in Form der Längsträger und des Gesamt­querschnitts eingefügt, welche die Schnittgrößen aus den Elementen integrieren, wodurch die Schnittgrößen wie bei einem Stabwerk auslesbar sind. Somit können My und Qz für die Längs­träger, sowie Mx für den Gesamtquerschnitt ausgelesen werden, wodurch ein Vergleich mit den Trägerrostmodellen in Tab. 13 möglich ist.

Tab. 13: Vergleich verschiedener Schnittgrößen zwischen Schalenmodell und Trägerrostmodell bei LF1 unsymmetrischer Linienlast

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Vergleich zeigt, dass sich sowohl die Schnittgrößen als auch die Verformungen mit zuneh­mender Stützweite annähern, allerdings die Differenzen, insbesondere bei der 35 m Stützweite, äußerst groß sind. Das Torsionsmoment aus dem Schalenmodell ist für die 35 m Stützweite nahezu doppelt so groß wie das des Trägerrostmodells und auch eine Anpassung der Querträ­gersteifigkeiten kann die Differenz nur geringfügig verringern.

Mit einer Erhöhung der Biegesteifigkeit der Querträger steigen die Torsionsmomente und Quer­kräfte an, allerdings verringern sich gleichzeitig die Verformungen und die Biegemomente. Wird die Biegesteifigkeit der Querträger verringert, so nehmen die Torsionsmomente und Querkräfte ab, während die Verformungen und die Biegemomente sich vergrößern.

Somit kann das Trägerrostmodell nicht so angepasst werden, dass die Schnittgrößen alle eine gute Übereinstimmung mit dem Schalenmodell haben. Hinzu kommt, dass die Modellierung eines Schalenmodells zur Abstimmung des Trägerrostmodells nicht zielführend ist, da in die­sem Fall das bereits erläuterte Verfahren aus Kapitel 5.1.2 für Stabwerkssysteme angewandt werden sollte.

Auf der sicheren Seite liegend könnte die Biegesteifigkeit der Querträger lediglich aus der Ei­genbiegesteifigkeiten der Platten ermittelt werden, wodurch sich das größte Biegemoment in dem direkt belasteten Längsträger einstellt und die Längsnormalspannungen maximal werden. Somit würden die Längsnormalspannungen ausreichend groß, jedoch nicht korrekt, erfasst wer­den. Für die Ermittlung von allen anderen Schnittgrößen wäre dann allerdings mindestens ein zusätzliches Stabwerkssystem notwendig, da die anderen Schnittgrößen des Trägerrostmodells, aufgrund der geringen Querverteilung der Lasten, teilweise deutlich von dem tatsächlichen Tragverhalten abweichen würden.

Für den weiteren Vergleich der Längsnormalspannungen, aus den unterschiedlichen Modellie­rungsvarianten, wird die Biegesteifigkeit der Querträger aus Kapitel 5.2.2 beibehalten und nicht weiter angepasst.

5.4.2 Vergleich der Längsnormalspannungen

Nachdem die verschiedenen Modellierungsvarianten vorgestellt wurden, können die Ergeb­nisse der Modelle miteinander verglichen werden, um im Anschluss abzuleiten, welche Model­lierungsvarianten korrekte Ergebnisse liefern und inwiefern diese praktisch angewendet werden können. Die Ergebnisse für die unsymmetrische Linienlast aus Lastfall 1 und die unsymmetri­sche Einzellast aus Lastfall 2 sind in den Tab. 14 und Tab. 15 aufgeführt.

Die Längsnormalspannungen der Schalenmodelle werden, wie bereits bei dem Vergleich mit dem Handrechenverfahren, aus den Mittelwerten der Spannungen an der Ober- und Unterseite der Elemente ermittelt. Um die Spannungen aus den Stabwerksmodellen und denen der Träger­roste mit den Spannungen aus den Schalenmodellen vergleichen zu können, werden aus den Biegemomenten die Spannungen für den oberen und unteren Anschnitt der Stege bestimmt und nicht die maximalen Längsnormalspannungen verwendet. Somit kann außerdem eine bessere Aussagekraft der Modelle in Bezug auf den Nationalen Anhang der Norm erreicht werden, da dieser lediglich eine Berücksichtigung der unterschiedlichen Längsnormalspannungen in den Stegen fordert.

Für die Ermittlung der Längsnormalspannungen der Trägerroste ergibt sich bei der 35 m Stütz­weite, aufgrund der mitwirkenden Breite, ein geringeres Flächenträgheitsmoment. Dieses be­trägt 7,8284 m[4] statt 8,7698 m[4] Der Querschnitt mit der mitwirkenden Breite ist in dem An­hang A18 für das Trägerrostmodell mit der 35 m Stützweite angegeben. Bei den anderen Stütz­weiten des Trägerrostmodells ergibt sich die mitwirkenden Breite zu der vollen Breite der Längsträger.

Tab. 14: Vergleich der Längsnormalspannungen der unterschiedlichen Modellierungsvarianten für Lastfall 1 unsymmetrische Linienlast

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tab. 15: Vergleich der Längsnormalspannungen der unterschiedlichen Modellierungsvarianten für Lastfall 2 unsymmetrische Einzellast

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus den Ergebnissen der beiden Tabellen können die Längsnormalspannungen weiter in Abb. 39 und Abb. 40 für den ersten Lastfall, sowie in Abb. 41 und Abb. 42 für den zweiten Lastfall, veranschaulicht werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 39: Vergleich der Längsnormalspannungen aus den unterschiedlichen Modellierungsvarianten am Steganschnitt oben bei Lastfall 1: unsymmetrischer Linienlast

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 40: Vergleich der Längsnormalspannungen aus den unterschiedlichen Modellierungsvarianten am Steganschnitt unten bei Lastfall 1: unsymmetrischer Linienlast

Für die Ergebnisse der Längsnormalspannungen aus dem ersten Lastfall zeigt sich deutlich, dass die maximalen Spannungen bei geringen Schlankheiten am größten sind und mit zuneh­mender Schlankheit abnehmen, wodurch sich die Spannungen für alle Modellierungsvarianten an die des Stabwerkssystems mit sechs Freiheitsgraden annähern, welche bei allen Stützweiten die gleichen Spannungen ausgeben.

Die größten Längsnormalspannungen des ersten Lastfalls sind bei der Modellierungsvariante des Schalenmodells mit lediglich Stützquerträgern zu erkennen, wobei hier die Spannungen schnell abfallen und für die Schlankheit von L/H = 25 nahezu identisch mit denen des Stab­werks mit sechs Freiheitsgraden sind.

Vergleich der Längsnormalspannungen oben LF2

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 41: Vergleich der Längsnormalspannungen aus den unterschiedlichen Modellierungsvarianten am Steganschnitt oben bei Lastfall 2: unsymmetrischer Einzellast

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 42: Vergleich der Längsnormalspannungen aus den unterschiedlichen Modellierungsvarianten am Steganschnitt oben bei Lastfall 2: unsymmetrischer Einzellast

Die Längsnormalspannungen aus dem zweiten Lastfall zeigen für den Steganschnitt oben deut­lich andere Ergebnisse als für den ersten Lastfall oder den zweiten Lastfall am Steganschnitt unten. Dies kann hierbei mit der Problematik der lokalen Lasteinleitung durch die Einzellast begründet werden, wodurch die Ergebnisse nur schwer bewertet werden können und für die weitere Interpretation weniger berücksichtigt werden.

Allerdings zeigen die Längsnormalspannungen am Steganschnitt unten, dass die Ergebnisse ähnlich zu denen des ersten Lastfalls sind und sich auch hier die größten Spannungen für das Schalenmodell mit lediglich Stützquerträgern ergeben. Unterschiedlich hingegen ist, dass die Spannungen des Schalenmodells mit Schotten in den Drittelspunkten eine kleinere Differenz zu den Spannungen des Schalenmodells mit Stützquerträgern aufweisen. Außerdem klingen die Spannungen aller Modellierungsvarianten deutlich langsamer ab und nähern sich zwar dem des Stabwerkssystems mit sechs Freiheitsgraden an, sind jedoch trotzdem auch bei einer Schlank­heit von L/H = 25 noch deutlich größer als die des Stabwerkssystems mit sechs Freiheitsgraden.

5.5 Diskussion der Ergebnisse

5.5.1 Empfehlung von Modellierungsvarianten für die Praxisanwendung

Aus den Abb. 39, Abb. 40 und Abb. 42 kann abgeleitet werden, dass, abgesehen von dem Scha­lenmodell, keine der vorgestellten Modellierungsvarianten für die Schlankheit von L/H = 10 ausreichend genaue Ergebnisse ausgibt. Dabei sind die Werte bei der Schlankheit von L/H = 10 im Vergleich zu dem Schalenmodell deutlich zu gering.

Die Modellierung des Stabwerkssystems mit sieben Freiheitsgraden, anstelle von sechs Frei­heitsgraden, gibt zwar größere Spannungen aus, allerdings entstehen diese durch die Berück­sichtigung der Wölbkrafttorsion und nicht durch die Berücksichtigung der Profilverformung, sodass zwar bessere, aber nicht ausreichend genaue Ergebnisse erzielt werden.

Auch die Modellierung als Trägerrost ergibt zu geringe Längsnormalspannungen im Vergleich zu dem Schalenmodell, sodass auch diese Modellierungsvariante für die Praxis nicht empfohlen werden kann. Es könnte die Biegesteifigkeit der Querträger herabgesetzt werden, was in Kapitel

5.2.2 erläutert ist, um somit die Querverteilung der Lasten zu verringern und die Längsnormal­spannungen, im direkt belasteten Steg, deutlich zu erhöhen. Somit könnten die Längsnormal- spannungen, auch infolge der Profilverformungen, ermittelt werden. Allerdings ergibt eine sol­che Berechnung keinesfalls korrekte Ergebnisse, sondern lediglich Spannungen, die in jedem Fall auf der sicheren Seite liegen. Diese Modellierungsvariante wäre in einem solchen Fall al­lerdings ausschließlich für die Ermittlung der Längsnormalspannungen zu nutzen, während für die Ermittlung von weiteren Schnittgrößen in Längsrichtung eine andere Modellierungsvariante angewendet werden müsste.

Für eine korrekte Schnittgrößenermittlung kann daher eindeutig die Modellierung eines Stab­werkssystems mit sechs Freiheitsgraden für die Längsrichtung und ein Schalenmodell für die Querrichtung empfohlen werden. Mithilfe des Schalenmodells können anhand des Verfahrens aus Kapitel 5.1.2 Erhöhungsfaktoren für das Stabwerkssystem ermittelt werden, um somit auch die unterschiedlichen Längsnormalspannungen in den Stegen infolge der Profilverformung zu berücksichtigen. Dies erlaubt es das übersichtliche Stabwerkssystem für die Berechnung der Längsrichtung anzuwenden.

Ebenfalls möglich ist die Schnittgrößenermittlung für die Längs- und Querrichtung mithilfe des Handrechenverfahrens nach Lindlar, welches in Kapitel 3.2 erläutert ist. Die Querbiegemo­mente zeigen dabei eine sehr gute Übereinstimmung mit dem Schalenmodell, sodass das Ver­fahren für die Querrichtung angewendet werden kann. Die Spannungen in Längsrichtung, in­folge der Profilverformungen, zeigen allerdings größere Abweichungen, sodass die Ergebnisse teilweise auf der unsicheren Seite liegen. Es kann auch hier ein Erhöhungsfaktor analog zu Kapitel 5.1.2 bestimmt werden, um somit das Stabwerkssystem mit sechs Freiheitsgraden für die Berechnung aller weiteren Schnittgrößen in Längsrichtung anwenden zu können. Das Hand­rechenverfahrens ist allerdings der Modellierung eines Schalenmodells nicht vorzuziehen, da die Berechnung komplex und aufwändig ist. Hinzu kommt, dass es mit dem Handrechenver­fahren nicht möglich ist, verschiedene Laststellungen in Querrichtung zu erfassen sowie die Einflüsse der Wölbkrafttorsion und der Schubverformungen nicht berücksichtigt werden.

Das vereinfachte Verfahren nach Schlaich und Scheef, ohne die Berechnung eines elastisch gebetteten Balkens, eignet sich für eine schnelle und überschlägige Berechnung von Querbie­gemomente, um beispielsweise einschätzen zu können, ob die Ergebnisse des Schalenmodells sinnvoll sind.

Eine Schnittgrößenermittlung infolge Profilverformung in Querrichtung des Systems kann le­diglich mit den angesprochenen Handrechenverfahren oder dem Schalenmodell erfolgen.

5.5.2 Überprüfung der Geometriegrenzwerte des Nationalen Anhangs der Norm

Anhand der Vergleiche der unterschiedlichen Modellierungsvarianten kann auch abgeschätzt werden, ob die Geometriegrenzwerte des Nationalen Anhangs der DIN 1992-2 mit den Berech­nungsergebnissen nachvollzogen werden können. Bei einem Verhältnis der Stützweite zur Kas­tenhöhe von L/H < 18 müssen die unterschiedlichen Längsnormalspannungen aus der Profil­verformung berücksichtigt werden, während sie bei einem Wert von >18 vernachlässigbar sind.

Die Abbildungen Abb. 39, Abb. 40 und Abb. 42 zeigen, dass mit zunehmender Schlankheit die Längsnormalspannungen infolge der Profilverformungen abnehmen. Bei einem Verhältnis von L/H = 18 liegt der Fehler zwischen einem Stabwerkssystem mit sechs Freiheitsgraden und ei­nem räumlichen Schalenmodell bei maximal 10 %. Da das Schalenmodell die Profilverformung korrekt erfasst und das Stabwerkssystem die Profilverformung nicht berücksichtigt, kann dar­aus abgeleitet werden, dass die Vernachlässigung der Profilverformung bei einer Schlankheit von L/H = 18 ebenfalls bei maximal 10 % liegt. Der Geometriegrenzwert deckt sich dement­sprechend sehr gut mit den Berechnungen und eine Vernachlässigung der Profilverformung, ab einer Schlankheit von L/H > 18, ergibt lediglich einen geringfügigen Fehler. Hinzu kommt au­ßerdem, dass die Spannungen, welche aus Verkehrslasten resultieren, mit zunehmender Stütz­weite im Verhältnis zu den Spannungen aus dem Eigengewicht geringer werden. Dadurch sinkt auch der Einfluss der Profilverformung, da Eigengewichtslasten immer symmetrisch wirken und somit keine profilverformende Belastung erzeugen.

In dem Nationalen Anhang der Norm könnte noch eine Unterscheidung zwischen Einzel- und Linienlasten getroffen werden, da Abb. 42 zeigt, dass hier der Einfluss der Profilverformung deutlich langsamer abklingt und auch bei großen Schlankheiten noch unterschiedliche Längs- normalspannungen in den Stegen vorliegen. Allerdings ist auch hier der Einfluss der Verkehrs­lasten im Vergleich zu den Eigengewichtslasten bei zunehmenden Stützweiten abnehmend, so­dass der hierdurch entstehende Fehler gegebenenfalls auch vernachlässigt werden kann.

Es bietet sich an, weitere Untersuchungen für Belastungen durch unsymmetrische Einzellasten durchzuführen, bei welchen auch das Eigengewicht berücksichtigt wird. Hieraus könnten die Schnittgrößen infolge der Profilverformung aus unsymmetrischen Einzellasten im Verhältnis zu den Lasten aus dem Eigengewicht bei unterschiedlichen Stützweiten ermittelt werden. Somit ließe sich ableiten, ob eine gesonderte Berücksichtigung von Einzellasten in dem Nationalen Anhang notwendig bzw. sinnvoll ist.

Weiterhin kann auch die Annahme eines torsionssteifen Stabes ab einer Schlankheit von L/H > 18 durch die Verformungsfiguren des Schalenmodells bestätigt werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 43: Verformungsfigur des Schalenmodells der 35 m Stützweite (L/H = 10) unter unsymmetrischer Linienlast (Erhöhungsfaktor für Verformungen: 2500)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 44: Verformungsfigur des Schalenmodells der 85 m Stützweite (L/H = 25) unter unsymmetrischer Linienlast (Erhöhungsfaktor für Verformungen: 2500)

Der Unterschied zwischen Abb. 43 und Abb. 44 zeigt deutlich den Einfluss der Profilverfor­mung bei unterschiedlichen Schlankheiten. Während sich das Profil bei der Schlankheit von L/H = 10 in Abb. 43 stark verformt und nahezu keine Verdrehung des Querschnitts zu sehen ist, ist bei einer Schlankheit von L/H = 25 in Abb. 44 kaum noch eine Profilverformung zu erkennen, wohingegen sich der Querschnitt deutlich verdreht. Somit kann auch die Annahme eines torsionssteifen Stabes, ab einer Schlankheit von L/H > 18, sehr gut nachvollzogen wer­den.

Der zweite Geometriegrenzwert der Norm bezieht sich auf das Verhältnis des Abstandes der Schotten zu der Kastenbreite und fordert bei einem Verhältnis von La/B < 4 ebenfalls die Be­rücksichtigung der unterschiedlichen Längsnormalspannungen in den Stegen.

Vergleicht man jedoch die Spannungen des Modells mit lediglich Stützquerträgern und des Modells mit Schotten in den Drittelspunkten, so ergeben sich bei abnehmenden Stützweiten geringere Spannungen für das Modell mit den Schotten. Bei größeren Stützweiten sind die Spannungen des Modells mit Schotten hingegen nur leicht größer als die des Schalenmodells mit ausschließlich Stützquerträgern.

Somit entsteht eine Verringerung der Profilverformung, wenn beide Grenzwerte unterschritten werden. Erst, wenn der erste Grenzwert eingehalten ist und der zweite Grenzwert unterschritten wird, stellen sich geringfügig höhere Spannungen bei dem Modell mit Schotten ein. Allerdings sind die Abweichungen zwischen den beiden Modellen bei großen Stützweiten äußerst gering.

Die kleineren Spannungen, wenn beide Grenzwerte unterschritten sind, lassen sich dadurch er­klären, dass die Schotten im Feld des Hohlkastenträgers eine Profilverformung behindern und sich die Lasten dadurch gleichmäßiger auf die Stege aufteilen. Somit nehmen auch die maxi­malen Längsnormalspannungen für das Modell mit Schotten ab.

Wird der erste Grenzwert eingehalten und lediglich der zweite Grenzwert unterschritten, so entstehen die höheren Längsnormalspannungen bei dem Schalenmodell mit Schotten aus der Wölbkrafttorsion, da die Verwölbung des Querschnitts in Längsrichtung durch die Schotten behindert wird. Diese zusätzlichen Längsnormalspannungen infolge der Wölbkrafttorsion fal­len dabei allerdings vernachlässigbar gering aus.

Aus den Ergebnissen lässt sich somit ableiten, dass der zweiten Geometriegrenzwert bei ein­zelligen Hohlkastenträgern für die Profilverformung nicht von Bedeutung ist und der Einfluss stattdessen durch die Wölbkrafttorsion auftritt, welche allerdings vernachlässigt werden kann.

6 Fazit

6.1 Genauigkeit und Anwendbarkeit der Handrechenverfahren

Das untersuchte Handrechenverfahren nach Lindlar funktioniert, wie die meisten Handrechen­verfahren zur Schnittgrößenermittlung aus der Profilverformung, mithilfe der Berechnung der Schnittgrößen über einen elastisch gebetteten Balken als Ersatzsystem. Die berechneten Quer­biegemomente des Verfahrens nach Lindlar stimmen dabei für alle untersuchten Stützweiten sehr gut mit denen aus dem räumlichen Schalenmodell überein. Es zeigen sich lediglich bei den Querbiegemomenten aus Einzellasten geringe Abweichungen.

Auch die Längsnormalspannungen aus dem Verfahren nach Lindlar stellen eine gute Annähe­rung an die Längsnormalspannungen aus dem Schalenmodell dar, allerdings entstehen hier grö­ßere Differenzen. Die Spannungen des Handrechenverfahrens liegen dabei meist auf der unsi­cheren Seite. Dies resultiert aus den Vereinfachungen des Verfahrens sowie der Vernachlässi­gung der Wölbkrafttorsion und der Schubverformungen. Eine korrekte Berechnung der Längs­normalspannungen infolge der Profilverformungen sollte deshalb mithilfe von Schalenmodel­len erfolgen, was mit modernen Computern und leistungsstarker FEM Software auch in der üblichen Ingenieurpraxis möglich ist.

Des Weiteren kann mit dem Handrechenverfahren nach Lindlar lediglich ein Lastangriff direkt auf den Stegen berücksichtigt werden, was zwar zu den größten Spannungen infolge der Pro­filverformung führt, allerdings keine Abstufung der Spannungen für günstigere Laststellungen in Querrichtung erlaubt. Mit dem Schalenmodell hingegen können sowohl in Längs- als auch in Querrichtung alle Laststellungen korrekt erfasst werden.

Die Anwendung des Verfahrens nach Lindlar ist somit für die heutige Praxis nur noch bedingt zu empfehlen, da zwar die ermittelten Querbiegemomente korrekt sind, allerdings die Ergeb­nisse für die Längsnormalspannungen überwiegend auf der unsicheren Seite liegen. Weiterhin ist der Aufwand zur Anwendung des Verfahrens nicht unerheblich ist, da für die Schnittgrö­ßenermittlung zwei Ersatzsysteme, sowie einige Querschnittswerte und Parameter, bestimmt werden müssen.

Das Verfahren nach Schlaich und Scheef wurden im Rahmen der Arbeit lediglich vereinfacht angewandt, wodurch nur Querbiegemomente ermittelt wurden. Die berechneten Querbiegemo­mente nach dem Verfahren von Schlaich und Scheef eigenen sich dabei gut für eine einfach Schnittgrößenkontrolle oder eine überschlägige Ermittlung der Querbiegemomente. Um Längs- normalspannungen oder genauere Querbiegemomente infolge der Profilverformung ermitteln zu können, sind allerdings zusätzliche Untersuchungen notwendig, bei denen auch ein elastisch gebetteter Balken berechnet werden muss.

6.2 Untersuchung der unterschiedlichen Modellierungsvarianten und Überprüfung der Vorgaben des Nationalen Anhangs der Norm

Im Rahmen dieser Arbeit wurden als Modellierungsvarianten für die Längsrichtung Stabwerks­systeme mit sechs oder sieben Freiheitsgraden, Trägerrostsysteme und Schalenmodelle unter­sucht, um zu ermitteln, welche Modelle die Effekte der Profilverformung berücksichtigen und die daraus resultierenden unterschiedlichen Längsnormalspannungen in den Stegen korrekt er­fassen.

Das Stabwerkssystem mit sechs Freiheitsgraden kann die Profilverformung nicht berücksichti­gen und gibt somit Längsnormalspannungen ausschließlich infolge der Biegemomente bzw. Normalkräfte aus. Allerdings ist es möglich einen Erhöhungsfaktor für die Längsnormalspan­nungen mithilfe eines Schalenmodells zu ermitteln, um somit den Einfluss der Profilverfor­mung zu berücksichtigen. Besonders vorteilhaft ist hierbei, dass die einfache und nachvollzieh­bare Modellierung des Stabwerkssystems in Längsrichtung beibehalten wird, wodurch ein ge­ringer Aufwand für die Modellierung entsteht und die Fehleranfälligkeit deutlich reduziert wird.

Stabwerkssysteme mit sieben Freiheitsgraden berücksichtigen zusätzlich die Verwölbung und können somit die Längsnormalspannungen infolge der Wölbkrafttorsion, nicht jedoch der Pro­filverformung, erfassen. Zwar entstehen hierbei größere Spannungen als beim Stabwerkssys­tem mit sechs Freiheitsgraden, allerdings sind diese immer noch geringer als bei der Erfassung der Profilverformung mithilfe des Schalenmodells, sodass die Modellierungsvariante für die Schnittgrößenermittlung von Hohlkastenträgern keinen Vorteil gegenüber dem Stabwerkssys­tem mit sechs Freiheitsgraden bietet.

Neben den Schalenmodellen wurden ebenfalls Trägerrostsysteme modelliert, um somit über die zwei Längsträger die unterschiedlichen Spannungen in den Stegen, bei unsymmetrischer Be­lastung, zu erfassen. Die Ermittlung der Steifigkeiten der Querträger ist allerdings problema­tisch und kann lediglich abgeschätzt werden. Für eine korrekte Ermittlung müssten die Mo­mente der Längsträger, beispielsweise mit einem Schalenmodell, abgeglichen werden. Damit wäre das Trägerrostmodell jedoch nicht mehr sinnvoll, da stattdessen auf ein Stabwerkssystem mit Erhöhungsfaktor zurückgegriffen werden sollte. Vereinfacht könnten die Querträger mit der Eigenbiegesteifigkeit der Fahrbahn- und Bodenplatte ermittelt werden, um somit die ge­ringste Steifigkeit und damit auch die maximalen Längsnormalspannungen in dem direkt be­lasteten Steg zu erhalten. Die Längsnormalspannungen hieraus würden zwar auf der sicheren Seite liegen, aber nicht korrekt sein. Darüber hinaus wären alle weiteren Schnittgrößen aus dem Modell nicht mehr verwendbar, sodass ein zusätzliches Modell notwendig wäre. Hinzu kommt, dass sich die Torsionsmomente, unabhängig von der Steifigkeit der Querträger, deutlich zu ge­ring einstellen und nicht richtig ermittelt werden können.

Korrekt erfasst werden kann die Profilverformung nur mithilfe von Schalenmodellen oder al­ternativ durch Handrechenverfahren, die jedoch zu Ungenauigkeiten bei der Ermittlung der Längsnormalspannungen führen. Da Schalenmodelle in der Praxis bereits oft für die Berech­nung der Querrichtung zur Anwendung kommen, liegt es somit nahe, die entsprechenden Er­höhungsfaktoren für das Stabwerkssystem zu ermitteln und die Längsrichtung mit einem Stab­werkssystem zu bemessen. Diese Art der Berechnung ist auch für die praktische Anwendung zu empfehlen.

Alternativ kann die Querrichtung sowie die Erhöhungsfaktoren mithilfe von Handrechenver­fahren ermittelt werden. Der Aufwand ist hierbei jedoch nicht wesentlich geringer als für die Modellierung eines Schalenmodells. Ferner liegt das Handrechenverfahren bei der Ermittlung der Längsnormalspannungen teilweise auf der unsicheren Seite.

Ebenfalls wurde mit den Schalenmodellen überprüft, ob die Geometriegrenzwerte des Natio­nalen Anhangs der Norm für die Berücksichtigung der Profilverformungen nachvollzogen wer­den können. Der Nationale Anhang der Norm erlaubt ab einer Schlankheit von L/H > 18 des Hohlkastenträgers, die unterschiedlichen Längsnormalspannungen in den Stegen zu vernach­lässigen und den Hohlkastenträger als torsionssteifen Stab anzunehmen.

Die Berechnungen ergeben ab einer Schlankheit von L/H = 18 einen maximalen Fehler von 10 % bei der Vernachlässigung der Profilverformung, welcher mit zunehmender Schlankheit geringer wird. Darüber hinaus nimmt der Anteil der Verkehrslasten an den Gesamtlasten mit zunehmender Stützweite ab, wodurch auch der Effekt der Profilverformung für die Ge­samtschnittgrößen abnimmt. Somit kann der erste Geometriegrenzwert der Norm mit den Be­rechnungsergebnissen nachvollzogen werden. Außerdem zeigen sich auch anhand der Verfor­mungsfiguren der Schalenmodelle, dass die Annahme eines torsionssteifen Stabes mit zuneh­mender Schlankheit zutreffend ist, da bei größeren Schlankheiten kaum noch Profilverformun­gen entstehen und stattdessen hauptsächlich eine Verdrehung des Querschnitts auftritt.

Der zweite Geometriegrenzwerte des Nationalen Anhangs der Norm, welcher ein Verhältnis der Abstände der Schotten zu der Kastenbreite von >4 fordert, um die unterschiedlichen Längs- normalspannungen in den Stegen vernachlässigen zu dürfen, kann anhand der Berechnungen nicht verifiziert werden. Bei geringen Schlankheiten, welche den ersten Geometriegrenzwert unterschreiten, zeigt sich, dass die Unterschiede der Längsnormalspannungen in den Stegen, bei einer gleichzeitigen Unterschreitung des zweiten Geometriegrenzwertes, sogar abnehmen. Dies liegt daran, dass die Schotten die Profilverformung behindern und sich die Lasten dadurch wieder gleichmäßiger auf die Stege verteilen. Bei Schlankheiten von L/H > 18 und einer Un­terschreitung des zweiten Geometriegrenzwertes werden die Längsnormalspannungen größer, als wenn der zweite Geometriegrenzwert eingehalten wird. Allerdings sind die Differenzen da­bei äußerst gering und resultieren nicht aus der Profilverformung, sondern aus der Wölbkraft­torsion.

Es kann somit abgeleitet werden, dass das Verhältnis der Stützweite zu der Kastenhöhe einen deutlich größeren Einfluss auf die Effekte der Profilverformung und den daraus resultierenden maximalen Längsnormalspannungen in den Stegen hat, als es das Verhältnis der Abstände der Schotten zu der Kastenbreite hat. Der zweite Geometriegrenzwert kann, zumindest für einzel­lige Hohlkastenträger, daher vernachlässigt werden, da hierdurch ein kaum merklicher Fehler auftritt.

Der Nationale Anhang gibt außerdem vor, dass die Querbiegemomente, welche auch infolge von Profilverformungen auftreten, immer berücksichtigt werden müssen. Anhand der Schalen­modelle und dem Vergleich mit den Handrechenverfahren nach Lindlar lässt sich erkennen, dass die Querbiegemomente infolge von Profilverformungen mit steigender Schlankheit bis zu einem Maximalwert zunehmen. Dieser Maximalwert stellt sich dabei sowohl für Einzel- als auch für Linienlasten ein. Da die Querbiegemomente also nicht wie die Längsnormalspannun- gen abfallen, sollten sie für alle Stützweiten bzw. Schlankheiten berücksichtigt werden. Die Vorgabe der Norm bezüglich der Querbiegemomente kann somit ebenfalls anhand der Ergeb­nisse der Schalenmodelle sowie des Verfahrens nach Lindlar bestätigt werden.

Danksagung

An dieser Stelle möchte ich mich bei all denjenigen bedanken, die mich während der Anferti­gung dieser Masterarbeit unterstützt und motiviert haben.

Zuerst gebührt mein Dank Herrn Prof. Dr.-Ing. Tim Rauert der meine Masterarbeit betreut und begutachtet hat. Für die Organisation von Materialien und die konstruktive Kritik bei der Er­stellung dieser Arbeit möchte ich mich herzlich bedanken.

Außerdem möchte ich mich bei meinen Eltern bedanken, die mir mein Studium durch ihre Un­terstützung ermöglicht haben und meine Masterarbeit korrekturgelesen haben.

Letztlich gilt mein Dank auch meiner Freundin Julia, welche mich ebenfalls unterstützt und die Arbeit lektoriert hat.

Norman Feddern

Barmstedt, den 12.07.2022

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