Schwerpunkt dieser Arbeit ist die Kombination von Methoden der Digitalen Speckle-Photographie (DSP) und der räumlich phasenschiebenden Elektronischen Specklemuster-Interferometrie (SPS ESPI) zur quantitativen Detektion dreidimensionaler Verschiebungen.
Die Elektronische Specklemuster-Interferometrie (ESPI) ist ein etabliertes Verfahren zur zerstörungsfreien Analyse von Oberflächenverformungen mit interferometrischer
Genauigkeit. Der Einsatz räumlich phasenschiebender Verfahren ermöglicht eine quantitative und gegenüber äußeren Störungen weitgehend unempfindliche Bestimmung der Objektverformung. Zur Ausweitung des Messverfahrens auf dreidimensionale Verformungserfassung sind pro Verformungszustandzustand jedoch drei Interferogramme erforderlich, was aus Stabilitätsgründen bei Untersuchung dynamischer Prozesse nicht möglich ist.
In dieser Arbeit wird daher die SPS ESPI nur zur Bestimmung der axialen Deformationskomponente der untersuchten Objektoberfläche verwendet. Die quantitative Bestimmung der lateralen Verschiebungskomponenten erfolgt durch Anwendung von
Methoden der Digitalen Speckle-Photographie (DSP). Bei der DSP werden zwei von der untersuchten Objektoberfläche (rück-)gestreute
Specklefelder vor und nach einer lateralen Verschiebung in einem digitalen Bildverarbeitungssystem gespeichert und nachfolgend ausgewertet. Dabei wird das laterale Verschiebungsfeld unter Anwendung von digitalen Kreuzkorrelationsalgorithmen numerisch bestimmt. Voraussetzung für den Einsatz dieser Methoden der DSP bei der SPS ESPI ist die Rekonstruktion der Objektwellenintensität aus den aufgezeichneten Speckleinterferogrammen. Hierzu können sowohl die Modulationsverteilung als auch die durch eine Fouriertransformationsmethode bestimmte Amplitudenverteilung genutzt werden.
Des Weiteren wird gezeigt, dass die auf diese Weise ermittelten Verschiebungsfelder in der Speckle-Interferometrie zur Kompensation lateraler Dekorrelationseffekte genutzt werden können.
Die in dieser Arbeit entwickelten und charakterisierten Methoden zur Detektion lateraler Verschiebungen und zur Kompensation lateraler Dekorrelationseffekte werden anschließend auf speckleinterferometrische Untersuchungen an technischen
Oberflächen angewandt. Abschließend erfolgt der Einsatz des Verfahrens bei mikroskopischen SPS ESPI-Untersuchungen an biologischen Proben bei Auflicht- und bei Durchlichtbeleuchtung.
WESTFÄLISCHE
WILHELMS-UNIVERSITÄT
MÜNSTER
Anwendung von Methoden der
Digitalen Speckle-Photographie
bei der räumlich phasenschiebenden
Elektronischen
Specklemuster-Interferometrie
Diplomarbeit
von
Patrik Langehanenberg
vorgelegt dem
Fachbereich Physik der
Westfälischen Wilhelms-Universität Münster
Münster, den 13. März 2005
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Theoretische Grundlagen
3
2.1 Der Speckle-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2 Digitale Speckle-Photographie (DSP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2.1
Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2.2
Digitale Kreuzkorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3 Räumlich
phasenschiebende
Elektronische
Specklemuster-
Interferometrie (SPS ESPI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3.1
Interferometrische Detektion von Verschiebungen . . . . . . . .
9
2.3.2
Räumliches Phasenschiebeverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.3
Phasenrekonstruktion im Ortsraum . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.4
Modulationsbestimmung im Ortsraum . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.5
Auswertung im Frequenzraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Experimentelle Methoden
20
3.1 Experimenteller Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Digitale Speckle-Photographie (DSP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.1
Detektion von lateralen Verschiebungen mit Subpixel-Auflösung
22
3.2.2
Verschiebung von Bilddaten im Subpixelbereich . . . . . . . . . 24
3.2.3
Quantifizierung des Rauschens bei der Detektion lateraler Ver-
schiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 ESPI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.1
Einstellung des Phasengradienten . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.2
Bestimmung der Specklegröße d
Sp
. . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.3
Differenzphasenbestimmung im Ortsraum . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.4
Modulationsmethode (MOD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.5
Fouriertransformationsmethode (FTM) . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.6
Quantifizierung des Rauschens der Differenzphase . . . . . . . . 30
3.4 Kompensation lateraler Dekorrelationseffekte . . . . . . . . . . . . . . . 32
i
Inhaltsverzeichnis
4 Experimentelle Ergebnisse und Diskussion
33
4.1 Charakterisierung und Optimierung der Methoden zur Detektion late-
raler Specklefeldverschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.1
Messablauf der Detektion lateraler Verschiebungen . . . . . . . 33
4.1.2
Charakterisierung und Optimierung der DSP-Methoden . . . . . 36
4.1.2.1
Unterbildgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.2.2
Für die Subpixel-Interpolation genutzter Bereich der
Kreuzkorrelationsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.2.3
Anzahl der berücksichtigten Zeilen und Spalten der
Kreuzkorrelationsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1.2.4
Digitalisierungseffekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.1.3
Diskussion der experimentellen Ergebnisse zur Detektion latera-
ler Verschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Einsatz von DSP-Methoden an räumlich phasengeschobenen Interfero-
grammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.1
Verschiebungsmessung an räumlich phasengeschobenen Interfe-
rogrammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.2
Charakterisierung und Optimierung des Experimentalaufbaus . 45
4.2.2.1
Specklegröße d
Sp
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.2.2
Mittlere Intensität I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.2.3
Intensitätsverhältnis zwischen Referenz- und Objektwelle 47
4.2.2.4
Defokussierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2.2.5
Einfluss axialer Verschiebungen . . . . . . . . . . . . . 51
4.2.2.6
Detektion nicht einheitlicher Verschiebungen . . . . . . 51
4.2.3
Diskussion der experimentellen Ergebnisse zur Charakterisie-
rung und Optimierung des Experimentalaufbaus . . . . . . . . . 53
4.3 Kompensation lateraler Dekorrelationseffekte . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4.1
Untersuchungen an Gewebephantomen . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4.2
Untersuchungen an biologischen Proben durch mikroskopische
SPS ESPI/DSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4.2.1
Untersuchungen bei Auflichtbeleuchtung . . . . . . . . 66
4.4.2.2
Tumoröse humane Leberzellen in Durchlichtbeleuchtung 68
5 Ausblick
71
6 Zusammenfassung
72
Literaturverzeichnis
75
ii
1 Einleitung
Schwerpunkt dieser Arbeit ist die Anwendung von Methoden der Digitalen
Speckle-Photographie (DSP) bei der räumlich phasenschiebenden Elektronischen
Specklemuster-Interferometrie (SPS ESPI). Dabei wird insbesondere untersucht, ob
die Kombination der beiden Verfahren die quantitative Detektion dreidimensionaler
Verschiebungen ermöglicht.
Die Elektronische Specklemuster-Interferometrie (ESPI) ist ein etabliertes Verfahren
zur zerstörungsfreien Analyse von Oberflächenverformungen mit interferometrischer
Genauigkeit. Die Anwendung der ESPI erfolgt bereits in vielfältigen Einsatzgebieten
bei der Material- und Werkstoffprüfung [CGA98,GHH
+
90]. Auch bei der Bearbeitung
von Fragestellungen im Bereich der Mikroskopie und der Biologie wurde die ESPI
bereits erfolgreich eingesetzt [LSV97, SPT00].
Der Einsatz räumlich phasenschiebender Verfahren bei der ESPI ermöglicht eine
quantitative, vorzeichenrichtige und dabei gegenüber äußeren Störungen weitgehend
unempfindliche Bestimmung der Objektverformung. Hierbei wird im Gegensatz zu
zeitlichen Phasenschiebeverfahren zur Auswertung nur jeweils ein Interferogramm
pro Verformungszustand benötigt. Zur Ausweitung des Messverfahrens auf dreidi-
mensionale Verformungserfassung sind pro Verformungszustandzustand jedoch drei
Interferogramme erforderlich. Bei Untersuchung dynamischer Prozesse, insbesondere
bei in-vivo-Messungen an biologischen Objekten, ist diese Möglichkeit zur dreidimen-
sionalen Verformungserfassung aus Gründen der Stabilität nicht gegeben.
In dieser Arbeit wird daher die räumlich phasenschiebende ESPI (SPS ESPI) nur zur
Bestimmung der axialen Deformationskomponente der untersuchten Objektoberfläche
verwendet. Die quantitative Bestimmung der lateralen Verschiebungskomponenten
aus den aufgenommenen Speckle-Interferogrammen erfolgt durch Anwendung von
Methoden der Digitalen Speckle-Photographie (DSP).
Bei der DSP werden zwei von der untersuchten Objektoberfläche (rück-)gestreute
Specklefelder vor und nach einer lateralen Verschiebung in einem digitalen Bildver-
arbeitungssystem gespeichert und nachfolgend ausgewertet. Dabei wird das laterale
Verschiebungsfeld unter Anwendung von digitalen Kreuzkorrelationsalgorithmen
numerisch bestimmt [CCTD93].
Voraussetzung für den Einsatz dieser Methoden der Digitalen Speckle-Photographie
1
1 Einleitung
bei der SPS ESPI ist die Rekonstruktion der Objektwellenintensität aus den
aufgezeichneten Speckleinterferogrammen. Dieses ist in anderen Arbeiten durch
Auswertung des Frequenzspektrums der Interferogramme (Fouriertransformations-
methode) [FBB01] oder durch Modulationsbestimmung zeitlich phasengeschobener
Speckle-Interferogramme [SS97] realisiert worden. Zeitliche Phaseschiebeverfahren
sind jedoch zum Einsatz bei dynamischen Prozessen nicht geeignet. Fouriertransforma-
tionsmethoden stellen einen hohen Rechenaufwand dar, weshalb die Einsatzfähigkeit
zur online-Rekonstruktion der Objektwellenintensität bei aktuell zu Verfügung
stehenden Rechenkapazitäten nicht gegeben ist.
In der vorliegenden Arbeit wird daher ein alternativer Ansatz zur Rekonstruktion
der Objektwellenintensitätsverteilung vorgestellt. Hierzu wird zunächst untersucht,
ob die Modulationsverteilung räumlich phasengeschobener Interferogramme als
Intensitätsverteilung zur Detektion lateraler Verschiebungen mit Methoden der
Digitalen Speckle-Photographie einsetzbar ist. Die hierbei erzielten Ergebnisse werden
den Resultaten bei Anwendung von Fouriertransformationsmethoden vergleichend
gegenübergestellt. Des Weiteren wird untersucht, ob die auf diese Weise ermittelten
Verschiebungsfelder in der Speckle-Interferometrie zur Kompensation lateraler Dekor-
relationseffekte genutzt werden können.
Die in dieser Arbeit entwickelten und charakterisierten Methoden zur Detekti-
on lateraler Verschiebungen und zur Kompensation lateraler Dekorrelationseffekte
werden anschließend auf speckleinterferometrische Untersuchungen an technischen
Oberflächen angewandt. Abschließend erfolgt der Einsatz des Verfahrens bei mikro-
skopischen SPS ESPI-Untersuchungen an biologischen Proben bei Auflicht- und bei
Durchlichtbeleuchtung.
2
2 Theoretische Grundlagen
Dieses Kapitel befasst sich mit den theoretischen Grundlagen der Digitalen Speck-
le Photographie (DSP) und der räumlich phasenschiebenden Elektronischen Speckle-
Pattern Interferometry (SPS ESPI). Hierzu werden zunächst der Speckle-Effekt und
die Methoden der Digitale Speckle-Photographie zur lateralen Verschiebungsmessung
dargestellt. Danach findet eine Beschreibung der in der SPS ESPI eingesetzten Aus-
werteverfahren zur Bestimmung der Differenzphase statt. Weiterhin werden in diesem
Abschnitt Verfahren zur Modulationsbestimmung im Ortsraum bzw. zur Rekonstruk-
tion der Objektwellenintensität mit Fouriertransformationsmethoden vorgestellt, über
die in dieser Arbeit die Verbindung zwischen der SPS ESPI und der DSP geschaffen
wird.
2.1 Der Speckle-Effekt
Im Folgenden wird der Speckleeffekt beschrieben, der die Grundlage für die in dieser
Arbeit angewendete Elektronische Specklemuster-Interferometrie (ESPI) und Digitale
Speckle-Photographie (DSP) bildet und somit die physikalischen Grenzen dieser Mess-
verfahren bestimmt.
Bei Beleuchtung einer optisch rauen Oberfläche mit kohärentem Licht (Rauigkeit >
Lichtwellenlänge ) wird die einfallende Lichtwelle durch jedes Oberflächenelement
rückgestreut, wodurch die reflektierten Teilwellen interferieren. Da die optischen Weg-
längen des rückgestreuten Lichts aufgrund der Rauigkeit der Streuoberfläche statistisch
verteilt sind, entsteht im Fernfeld eine räumlich modulierte Intensitätsverteilung. Diese
Intensitätsverteilung wird als Specklemuster oder Granulation bezeichnet [Ras94]. Sind
die Oberflächenunebenenheiten deutlich größer als die Wellenlänge des verwendeten
Laserlichts, so ist das Specklefeld weitgehend unabhängig von der Oberflächenbeschaf-
fenheit.
Für die Wahrscheinlichkeitsdichte p(I) der Intensität I eines Specklefeldes gilt mit
I 0:
p(I) =
1
2 I
2
exp -
I
2 I
2
.
(2.1)
Hierbei beschreibt I die mittlere Intensität des Specklefeldes.
Die Phase eines Specklefeldes ist gleichverteilt. Es gilt für die Wahrscheinlichkeits-
dichte p() der Phase mit - < :
p() =
1
2
.
(2.2)
3
2 Theoretische Grundlagen
Für eine ausführliche Beschreibung der Statistik von Specklefeldern sei auf [Goo75]
verwiesen.
Die laterale Specklegröße ist durch den Abstand zwischen dem Maximum und
dem Minimum 1. Ordnung der Autokorrelationsfunktion der Intensitätsverteilung
eines Specklemusters definiert [Goo75]. Bei Verwendung einer Abbildungsoptik mit
einer kreisförmigen Aperturblende mit dem Durchmesser D
A
ergibt sich für die
laterale Specklegröße d
Sp
[Enn75]:
d
Sp
1,22 ·
L
D
A
.
(2.3)
Hierbei bezeichnet L den Abbildungsabstand und die Laserwellenlänge.
Für die mittlere longitudinale Ausdehnung der Speckle d
long
ergibt sich [LC92]:
d
long
= 8 · ·
L
2
D
2
A
.
(2.4)
Besteht das abbildende System aus mehreren optischen Komponenten, kann die zu-
sammengesetzte Abbildungsoptik theoretisch durch ein einziges optisches System be-
schrieben werden, in das die Parameter aller Einzelkomponenten eingehen [Hec01]. Die
Aperturblende des optischen Systems ist hierbei der für die Specklegröße entscheidende
Parameter.
2.2 Digitale Speckle-Photographie (DSP)
Die Speckle-Photographie [Enn75] ist eine Methode zur Detektion lateraler Verschie-
bungen (,,in-plane"-Bewegungen). Hierzu werden Specklefelder vor und nach einer
Änderung der untersuchten Objektoberfläche senkrecht zur optischen Achse des
eingesetzten Bildaufnahmesystems verglichen.
2.2.1 Prinzip
Abb. 2.1 zeigt schematisch den Aufbau eines Systems zur Speckle-Photographie. Eine
kohärente Lichtquelle (z. B. ein Laser) beleuchtet das zu untersuchende Objekt. Das
rückgestreute Licht wird mit Hilfe eines Abbildungssystems (z. B. einer Linse) scharf
auf eine photographische Platte abgebildet.
Bei der Verwendung klassischer Methoden der Speckle-Photographie erfolgt die Belich-
tung der Photoplatte mit jeweils einer Specklefeldintensitätsverteilung vor und nach
einer Veränderung der Objektoberfläche. Durch anschließende punktweise Abrasterung
mit einem unaufgeweiteten Laserstrahl wird aus dem resultierenden Doppelbelich-
tungsbild mithilfe einer Linse in Fourieranordnung das räumliche Frequenzspektrum
4
2 Theoretische Grundlagen
Laser
Beleuchtung
Objekt
L
Kamera
L
AP
Abbildung 2.1:
Schematischer Aufbau zur (Digitalen-) Speckle-Photographie; AP:
Aperturblende, L: Aufweitungs-/Abbildungslinse, Kamera: Photo-
platte oder Rasterbildsensor
für jeden Objektpunkt auf einen Schirm projeziert. Diese Projektion enthält Youngs-
che Interferenzstreifen, die senkrecht zur Verschiebungsrichtung orientiert sind und
deren Abstand umgekehrt proportional zur Größe der Verschiebung ist [Lex03].
Mit klassischen Speckle-Interferometrie-Verfahren kann aufgrund der Youngschen In-
terferenzstreifen die Richtung einer Verschiebung nicht vorzeicheneindeutig bestimmt
werden. Des Weiteren können mit dieser Methode nur Verschiebungen detektiert wer-
den, die größer als der laterale Speckle-Durchmesser sind, da die überlagerten Speckle-
muster zur Erzeugung Youngscher Interferenzstreifen nicht überlappen dürfen [Sjö94].
Der Einsatz von Rasterbildsensoren (z. B. CCD- und CMOS-Kameras) und digitaler
Bildverarbeitung ermöglicht in Verbindung mit digitalen Korrelationsverfahren neben
einer richtungseindeutigen Detektion lateraler Verschiebungen auch eine Detektion von
Verschiebungen, die kleiner als die Speckelgröße sind. Des Weiteren erhöht der Einsatz
digitaler Bildverarbeitungsmethoden auch die Flexibilität des Messverfahrens, da z. B.
Sequenzen von Einzelbildern digital gespeichert und anschließend im zeitlichen Verlauf
und mit verschiedenen Methoden ausgewertet werden können [Sjö94].
Bei der Digitalen Speckle-Photographie (DSP) wird zunächst eine Referenzaufnah-
me der rückgestreuten Intensitätsverteilung einer zu untersuchenden Objektoberfläche
aufgenommen und digital gespeichert. Nach erfolgter Oberflächenveränderung findet
die Aufnahme eines zweiten Bildes statt. Je nach Anforderung und zeitlicher Abfolge
der zu untersuchenden Oberflächenveränderung werden die Aufnahmen der untersuch-
5
2 Theoretische Grundlagen
Kreuzkorrelation
x
y
Abbildung 2.2:
Prinzip der Verschiebungsmessung mittels Kreuzkorrelation: die rela-
tive laterale Verschiebung zweier Bilddaten (hier in x-Richtung ver-
schobenes Punktmuster, siehe Markierung) wird durch die Position
des Maximums in der zweidimensionalen Kreuzkorrelationsmatrix an-
gezeigt; der Pfeil kennzeichnet die Verschiebung
ten Objektoberfläche in zeitlichen Intervallen wiederholt. Die Veränderung der Objek-
toberfläche zwischen den einzelnen Zuständen kann nun aus den digital gespeicherten
Daten jeweils paarweise durch den Einsatz von Kreuzkorrelationsalgorithmen (siehe
Kap. 2.2.2) analysiert werden.
2.2.2 Digitale Kreuzkorrelation
Die im vorangehenden Abschnitt erläuterte Bestimmung lateraler Verschiebungen
unter Anwendung der klassischen Speckle-Photographie erfolgte durch Abbildung des
Fourier-Spektrums einer doppelbelichteten Photoplatte. Wird bei der Specklefeld-
aufnahme ein digitaler Rasterbildsensor verwendet, so erfolgt die Bestimmung der
lateralen Verschiebung durch den Einsatz der digitalen Kreuzkorrelation.
Das Prinzip der Detektion lateraler Verschiebungen mit Hilfe eines Kreuzkorrelations-
algorithmus ist in Abb. 2.2 anhand computergenerierter Testbilder veranschaulicht.
Auf zwei lateral (hier in x-Richtung) gegeneinander verschobene digitalisierte Bilder
(Abb. 2.2 oben) wird ein Kreuzkorrelationsalgorithmus angewendet. Die in Abb. 2.2
(unten) gezeigete resultierende zweidimensionale Kreuzkorrelationsmatrix, welche zur
6
2 Theoretische Grundlagen
Darstellung in Grauwerte transformiert wurde, ist ein Ähnlichkeitsmaß der beiden
Bilder für verschiedene Verschiebungen. Hierbei entsprechen die Bildkoordinaten der
Matrix der x- und y-Komponente der Verschiebung und der zugehörige Grauwert dem
Grad der Ähnlichkeit der Bilder. Aus der Kreuzkorrelationsmatrix lässt sich durch
Bestimmung der Koordinaten des Wertes mit maximaler Ähnlichkeit die zwischen
den beiden Bildern erfolgte laterale Verschiebung ermitteln. Aus diesen Koordinaten
und unter Berücksichtigung des Abbildungsmaßstabs bei der Bildaufnahme kann
die mittlere Verschiebung der untersuchten Objektoberfläche errechnet werden. Teilt
man die Bilder in Unterbereiche auf, auf die jeweils Kreuzkorrelationsalgorithmen
angewendet werden, können auch nicht einheitliche laterale Verschiebungen der
Objektoberfläche als Verschiebungsfeld erfasst werden (siehe Kap. 4.2.2.6). Die
Teilbereiche der Bilder werden im Folgenden als Unterbilder bezeichnet.
Bei der Unterteilung der zu analysierenden Bilder in Unterbilder muss ein Kompro-
miss zwischen lateraler Auflösung (kleine Unterbilder) und hoher Präzision bei der
Verschiebungsdetektion (große Unterbilder) gefunden werden (siehe Kap. 4.1.2.1).
Des Weiteren ist das Nyquist-Theorem zu beachten, welches besagt, dass mit einer
Unterbildgröße N die maximale messbare Verschiebung N/2 beträgt [FB02].
Die mathematischen Beschreibung der zweidimensionalen Kreuzkorrelation zweier
Signale f(x,y) = f(r) und h(x,y) = h(r) ist gegeben durch [SB93]:
c
f h
(r) =
-
f
(r)h(r + r) dr.
(2.5)
Hierbei bezeichnet die komplexe Konjugation und r die zweidimensionale laterale
Verschiebung in der Bildebene.
Für die Anwendung auf zwei quadratische Bilder f und h der Größe (N × M) wird
Gl. 2.5 diskretisieren. Mit
r =
x
y
i
j
r =
x
y
k
l
lässt sich Gl. 2.5 umschreiben zu:
c
f h
(k,l) =
N -1
i=0
M -1
j=0
f
(i,j)h(k + i,l + j)
(2.6)
mit k = 0,1,. . . ,N - 1
und l = 0,1,. . . ,M - 1.
Da der Rechenaufwand der in Gl. 2.5 und Gl. 2.6 beschriebenen Algorithmen mit der
Bildgröße N ×M ansteigt, wird die Kreuzkorrelation nicht im Ortsraum, sondern unter
7
2 Theoretische Grundlagen
Nutzung des Kreuzkorrelationstheorems im Fourierraum berechnet [FB02].
Für die Fourier-Transformation F einer gegebenen Funktion f(r) gilt [BSMM01]:
F(f (r)) = F () =
-
f (r) exp(-2ir) dr
(2.7)
F
-
1
(F ()) = f (r) =
-
F () exp (2ir) d
(2.8)
mit =
µ
.
Hierbei enthält der Vektor die Raumfrequenzanteile und µ in x- und y-Richtung.
Mit F () = F(f(r)) und H() = F(h(r)) ergibt sich für die Kreuzkorrelation in
Gl. 2.5:
c
f h
(r) =
-
f
(r)h(r + r) dr
=
-
-
F
() exp(2ir) dr
-
H(
) exp (-2i
(r + r)) d
dr
=
-
-
-
F
()H(
) exp (-2ir(
- )) exp (-2
r)dr d d
=
-
-
F
()H(
) exp (-2i
r)
-
exp (-2ir(
- )) dr d d
=
-
-
F
()H(
) exp (-2i
r)(
- ) d
d
=
-
F
()H() exp (-2ir) d
c
f h
(r) = F
-
1
(F
()H()) .
(2.9)
Gl. 2.9 wird als Kreuzkorrelationstheorem bezeichnet, welches besagt, dass die Kreuz-
korrelation der inversen Fourier-Transformation des Produkts eines Signalspektrums
mit dem komplex-konjugierten Spektrum eines zweiten Signals entspricht.
Das Kreuzkorrelationstheorem gilt auch für den Fall einer diskret ausgeführten Fou-
riertransformation [SB93]. In diesem Fall gilt für die in Gl. 2.9 eingesetzten Fourier-
transformierten F und H:
F (r,s) = F(f (k,l)) =
1
N · M
N -1
k=0
M -1
l=0
f (k,l) exp -2i
rk
N
+
sl
M
(2.10)
H(r,s) = F(h(k,l)) =
1
N · M
N -1
k=0
M -1
l=0
h(k,l) exp -2i
rk
N
+
sl
M
(2.11)
8
2 Theoretische Grundlagen
mit
r = 0,1,. . . ,N - 1
mit
s = 0,1,. . . ,M - 1
und
µ
r
s
.
Durch Bestimmung der Position des Maximums der durch Gl. 2.9 beschriebenen dis-
kretisierten Kreuzkorrelationsfunktion und unter Berücksichtigung des Abbildungs-
maßstabs wird in der Digitalen Speckle-Photographie (DSP) die mittlere Verschiebung
der zu untersuchenden Objektoberfläche bestimmt.
2.3 Räumlich phasenschiebende Elektronische
Specklemuster-Interferometrie (SPS ESPI)
In diesem Abschnitt werden die theoretischen Grundlagen der räumlich phasenschie-
benen Elektronischen Specklemuster-Interferometrie (SPS ESPI) vorgestellt.
2.3.1 Interferometrische Detektion von Verschiebungen
Die Detektion von Verschiebungen d(x,y) einer Oberfläche im Punkt (x,y) erfolgt bei
der Elektronischen Specklemuster-Interferometrie (ESPI) durch Bestimmung der Pha-
senänderung (x,y) des reflektierten Lichts einer mit kohärentem Licht beleuchteten
optisch rauen Objektoberfläche. Zwischen der Oberflächenveränderung d(x,y) und der
Phasenänderung (x,y) gilt die Relation [Sol69]:
(x,y) =
2
d(x,y) · [e
B
(x,y) - e
Q
(x,y)] .
(2.12)
Hierbei bezeichnen e
Q
und e
B
die Einheitsvektoren in Beleuchtungs- und Beobach-
tungsrichtung (siehe Abb. 2.3).
Mit der Definition des Sensitivitätsvektors S(x,y)
S(x,y) =
2
[e
B
(x,y) - e
Q
(x,y)]
(2.13)
erhält man hieraus die Bestimmungsgleichung für den Zusammenhang zwischen De-
formation der untersuchten Oberfläche d(x,y) und Phasenänderung der reflektierten
Lichtwelle (x,y):
(x,y) = d(x,y) · S(x,y).
(2.14)
Die Phasenänderung (x,y), die im Folgenden als Differenzphase zweier Zustände
bezeichnet wird, kann durch Verfahren der räumlich phasenschiebenden ESPI be-
stimmt werden.
Eine Messanordung hierzu ist in Abb. 2.3 schematisch dargestellt.
9
2 Theoretische Grundlagen
e
B
Laser
Beleuchtung
Objekt
L1
L2
CCD
ST
ST
L3
AP
S
e
Q
d
Abbildung 2.3:
Schematischer Aufbau zur räumlich phasenschiebenden Elektroni-
schen Specklemuster Interferometrie (SPS ESPI); ST: Strahlteiler,
L1, L2: Aufweitungsoptiken für Objekt- und Referenzwelle, L3: Ab-
bildungssystem, AP: Aperturblende, CCD: digitaler Kamera-Sensor,
d: Verschiebungsvektor der Objektoberfläche, e
Q
: Einheitsvektor in
Beleuchtungsrichtung, e
B
: Einheitsvektor in Beobachtungsrichtung,
S: Sensitivitätsvektor
10
2 Theoretische Grundlagen
Eine kohärente (Laser-)Lichtquelle wird in Analogie zur klassischen Holographie über
einem Strahlteiler (ST) in eine Objekt- und eine Referenzwelle aufgeteilt.
Die Objektwelle beleuchtet über eine Aufweitungsoptik (L1) die Oberfläche des
untersuchten Objekts. Das vom Objekt rückgestreute Licht wird mit Hilfe einer
Abbildungsoptik (L3) auf einen digitalen Rasterbildsensor (CCD) abgebildet.
Die Referenzwelle wird zur Ausleuchtung des Bildaufnahmesensors durch eine Optik
(L2) aufgeweitet und anschließend durch einen Strahlteiler ST mit dem vom Objekt
rückgestreuten Licht kohärent überlagert.
Der Rasterbildsensor detektiert das durch Überlagerung von Objekt- und Referenz-
welle entstandene Interferogramm und übermittelt es an ein digitales Bildverarbei-
tungssystem.
Die elektrischen Feldstärken von Objekt- und Referenzwelle (E
O
und E
R
) an
einem Punkt mit Koordinaten (x,y) in der Ebene des Bildaufnahmesensors können
durch
Objektwelle: E
O
(x,y) = E
0
O
(x,y) exp (i
O
(x,y))
(2.15)
Referenzwelle: E
R
(x,y) = E
0
R
(x,y) exp (i
R
(x,y))
(2.16)
beschrieben werden. Hierbei bezeichnen
O
(x,y) und
R
(x,y) die Phasenverteilungen
von Objekt und Referenzwelle und E
0
O
und E
0
R
die jeweiligen Amplituden der elektri-
schen Feldstärke. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind die Zeitabhängigkeit und
die vektorielle Schreibweise in Gl. 2.15 und 2.16 nicht aufgeführt.
Die Intensität des Ausgangszustandes I
A
(x,y) des zu untersuchenden Objektes ergibt
sich durch Überlagerung von Objekt- und Referenzwelle:
I
A
(x,y) = |E
O
(x,y) + E
R
(x,y)|
2
(2.17)
= I
O
(x,y) + I
R
(x,y) + 2 I
O
(x,y)I
R
(x,y) cos (
O
(x,y) -
R
(x,y)).
Dabei sind I
O
(x,y) und I
R
(x,y) die Intensitätsverteilungen von Objekt- und Referenz-
welle.
Mit der Objektwellenintensität I
O
ergeben sich analog hierzu die elektrische Feldstärke
E
O
der Objektwelle und das Intensitätsmuster I
B
im verformten Zustand der Objek-
toberfläche:
E
O
(x,y) = E
0
O
exp (i (
O
(x,y) + (x,y)))
(2.18)
I
B
(x,y) = I
O
(x,y) + I
R
(x,y)
+2 I
O
(x,y)I
R
(x,y)cos(
O
(x,y) -
R
(x,y) + (x,y))
(2.19)
Der Wert (x,y) in Gl. 2.19 bezeichnet die durch die Verformung der Objektober-
fläche bewirkte Phasenänderung der Objektwelle (siehe Gl. 2.14).
11
2 Theoretische Grundlagen
Objekt
CCD
R
ST
AO
AP
Abbildung 2.4:
Anordnung der Optik zur Erzeugung eines nährungsweise paralle-
len Trägerstreifensystems zum Einsatz bei der SPS ESPI durch ver-
setzte Einkopplung der Referenzwelle über einen Strahlteiler, CCD:
Kamera-Sensor, AO: Abbildungssystem, R: optische Faser zur Refe-
renzbeleuchtung, ST: Strahlteiler
2.3.2 Räumliches Phasenschiebeverfahren
Zur quantitativen richtungseindeutigen Bestimmung der durch Verschiebung der Ob-
jektoberfläche bewirkten Differenzphase wird bei der Erzeugung des Interferogramms
eines Zustandes ein paralleles, äquidistantes Trägerstreifensystem durch einen räum-
lich konstanten Phasengradienten zwischen Objekt- und Referenzwelle generiert. Ein
nährungsweise konstanter Phasengradient wird durch den Versatz des (virtuellen)
Quellpunktes der divergenten Referenzwelle von der optischen Achse der Objektwelle
realisiert (siehe Abb. 2.4).
Für den Fall eines konstanten Phasengradienten ( = (
x
,
y
) = konst.) lässt
sich die Referenzwellenphase
R
in Gl. 2.17 und Gl. 2.19 in diskreter Schreibweise
(x,y x
n
,y
m
) formulieren als:
R
(x
n
,y
m
) = n
x
+ m
y
+ C.
(2.20)
Dabei sind n = 1,. . . ,N und m = 1,. . . ,M die Pixelkoordinaten des Rasterbildsensors
der Größe (N, M). Der Parameter C bezeichnet einen konstanten Phasenoffset.
Mit der Gesamtintensität I
0
(x
n
,y
m
) = I
R
(x
n
,y
m
) + I
O
(x
n
,y
m
) am Ort (x
n
,y
m
) und der
Modulation
0
:
0
(x
n
,y
m
) =
2 I
R
(x
n
,y
m
)I
O
(x
n
,y
m
)
I
0
(x
n
,y
m
)
(2.21)
kann Gl. 2.17 unter Berücksichtigung der Integration der Intensität über die einzelnen
Pixel des Sensors umgeschrieben werden zu [Cre93]:
I(x
n
,y
m
) = I
0
(x
n
,y
m
) 1 +
0
(x
n
,y
m
)sinc
2
cos (
O
(x
n
,y
m
) + n
x
+ m
y
+ C)
= I
0
(x
n
,y
m
) [1 + (x
n
,y
m
) cos ((x
n
,y
m
) + n
x
+ m
y
+ C)]
(2.22)
12
2 Theoretische Grundlagen
Dabei bezeichnet (x
n
,y
m
) die Objektwellephase. Der Sinc-Term beschreibt die In-
tegration der Intensität über die einzelnen Pixel im Winkelbereich . Der Wert
entspricht der Modulation
0
unter Berücksichtigung der Intensitätsintegration über
die einzelnen Pixel:
(x
n
,y
m
) =
0
(x
n
,y
m
)sinc
2
.
(2.23)
Die Interferogrammgleichung (2.22) beinhaltet drei unbekannte Variablen (Gesamtin-
tensitätsverteilung I
0
(x
n
,y
m
), Objektwellenphasenverteilung (x
n
,y
m
) und Modulati-
on (x
n
,y
m
)). Unter der Voraussetzung, dass der Phasengradient (
x
,
y
) bekannt ist
und bei Vernachlässigung der additiven Konstanten C können drei linear unabhängige
Bestimmungsgleichungen aufgestellt werden. Für den in dieser Arbeit verwendeten Al-
gorithmus erfolgt die Lösung des so entstandenen Gleichungssystems durch Nutzung
dreier benachbarter Werte der aufgenommenen Intensitätsverteilung in Richtung des
Phasengradienten (siehe Kap. 2.3.3) [Kre96].
2.3.3 Phasenrekonstruktion im Ortsraum
Die Phasenrekonstruktion im Ortsraum erfolgt bei der räumlich phasenschiebenden
ESPI mittels Auswerteverfahren der klassischen Interferometrie.
Zur Bestimmung der Objektwellenphase (x,y) muss Gl. 2.22 eindeutig lösbar sein.
Für die diskretisierte Objektwellenphase
k
am Ort k kann durch Verrechnung dreier
benachbarter Werte I
k-1
,I
k
,I
k+1
einer Intensitätsverteilung ein lösbares Gleichungs-
system aufgestellt werden, wobei k der Pixelindex in Richtung des Phasengradien-
ten (
x
,
y
) ist. Eine Lösung bildet für einen beliebigen konstanten Phasengradien-
ten (
x
,
y
) der variable 3-Schritt-Algorithmus (Gl. 2.24), der für alle in dieser Arbeit
durchgeführten Differenzphasenbestimmungen eingesetzt wird [KKDvB03]:
k
+ n
x
+ m
y
+ C = arctan
1 - cos
sin
I
k-1
- I
k+1
2I
k
- I
k-1
- I
k+1
mod 2.
(2.24)
Die Subtraktion der ermittelten Phasen und
zweier Zustände ergibt die Differenz-
phase
k
mod 2:
k
(x
n
,y
m
) = (
k
(x
n
,y
m
) + n
x
+ m
y
+ C) - (
k
(x
n
,y
m
) + n
x
+ m
y
+ C)
=
k
(x
n
,y
m
) -
k
(x
n
,y
m
).
(2.25)
Die mit Gl. 2.25 berechnete Differenzphase kann aufgrund der Arkustangensfunk-
tion nur modulo 2 bestimmt werden. Zur weiteren quantitativen Auswertung und zur
anschaulichen Visualisierung ist daher die Beseitigung der 2-Sprünge der räumlichen
Differenzphasenverteilung mit Hilfe von Entfaltungsalgorithmen erforderlich.
Abb. 2.5 illustriert das Grundprinzip der Differenzphasenentfaltung. Dargestellt ist der
Schnitt durch eine Zeile einer simulierten sägezahnförmigen Differenzphasenverteilung.
Im einfachsten Fall bildet der Entfaltungsalgorithmus die Differenz benachbarter Pha-
senwerte. Falls dieser Wert ist, wird je nach Vorzeichen der gebildeten Differenz
13
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- Dipl.-Phys. Patrik Langehanenberg (Autor), 2005, Anwendung von Methoden der Digitalen Speckle-Photographie bei der räumlich phasenschiebenden Elektronischen Specklemuster-Interferometrie, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/128308
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